高中数学第二章空间向量与立体几何习题课空间向量在空间问题中的综合应用课件北师大版选修2-1.ppt
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1、空间向量在空间问题中的综合应用空间向量在空间问题中的综合应用1.利用空间向量求两点间距离设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中任意两点,2.利用空间向量解决探索性问题立体几何探索性问题是近几年高考和各地模拟考试中的热点题型.空间向量作为一种工具,在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性,运用空间向量法解题,可使几何问题代数化,大大简化思维程序,使解题思路直观明了.空间中的探索性问题一般有以下两种类型:(1)“条件探索型”,就是指给出了问题的明确结论,但条件不足或未知,需要解题者探求、寻找使结论成立的条件的一类问题,这类问题的常用解法是逆推法,利用结论探求条件.(2)“存在型
2、”,是指结论不确定的问题,即在数学命题中,结论常以“是否存在”的形式出现,其结果可能存在,需要找出来;可能不存在,则需要说明理由.解答这一类问题时,先假设结论存在,若推证无矛盾,则结论存在;若推证出矛盾,则结论不存在.【做一做1】 已知空间两点A,B的坐标分别为(1,-1,1),(2,2,-2),则A,B两点的距离为.【做一做2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面结论错误的是()A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.AC1平面CB1D1解析:以D为原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0
3、,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).答案:D 【做一做3】 如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记 =,则当APC为钝角时,实数的取值范围是.解析:由题意,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),探究一探究二规范解答利用空间向量求空间中两点间距离利用空间向量求空间中两点间距离【例1】 如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折叠,使平面ABC与平面ADC垂直,求点B,D间的距离.思维点拨:
4、本题可利用向量法求解,两种思路,一种是用基向量表示,另一种用坐标表示.探究一探究二规范解答解:(方法一)过点D和B分别作DEAC于E,BFAC于F.则由已知条件可知AC=5,探究一探究二规范解答(方法二)过点D作DEAC于点E,过点B作BFAC于点F,过点E作FB的平行线EP,以E为坐标原点,EP,EC,ED所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.探究一探究二规范解答反思感悟利用空间向量求空间两点距离的基本方法(1)坐标法:建立空间直角坐标系,得出两个点的坐标,然后根据两点距离公式求解.(2)向量分解法:将两点所对应向量用基向量表示,然后利用公式|a|=求解.探究一探究二规
5、范解答变式训练变式训练1如图,60的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在两个半平面内,且都垂直于AB.若|AB|=1,|AC|=2,|BD|=3,求CD的长度.分析:本题中的图形不适合建立空间直角坐标系,因此可通过向量分解的方法,利用公式|a|=求解.探究一探究二规范解答探究一探究二规范解答利用空间向量解决空间中的探索性问题利用空间向量解决空间中的探索性问题【例2】在四棱锥P-ABCD中,ABCD是菱形,ABC=60,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上,且PEED=21.在PC上是否存在一点F,使BF平面AEC?并证明你的结论.思维点拨:首先假设存在,然后再根据BF平面AE
6、C,结合线面平行的条件进行推理.探究一探究二规范解答解:PA=AC=a,ABC=60,AB=AD=a.又PB=PD=a,PAAB,PAAD,PA平面ABCD.如图,以A为坐标原点,AD,AP所在直线分别为y轴、z轴,过点A垂直于平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系.探究一探究二规范解答探究一探究二规范解答反思感悟解决这类探索性问题的基本策略是:假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.探究一探究二规范解答变式训练变式训练2如图,在五面体ABCDEF中,FA
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