随机过程PPT教学课件1.ppt

1、 -金融资产定价之应用金融资产定价之应用随机随机过程过程基础知识基础知识基本概念基本概念马尔可夫过程马尔可夫过程随机分析随机分析平稳过程平稳过程鞅和鞅表示鞅和鞅表示维纳过程维纳过程Ito定理定理基础资产价格基础资产价格衍生产品定价衍生产品定价 第一章第一章 基基 础础 知知 识识 第一节第一节 概概 率率 第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布 第三节第三节 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第四节第四节 矩母函数和特征函数矩母函数和特征函数 第五节第五节 条件期望条件期望 第六节第六节 指数分布指数分布 第七节第七节 收敛性和极限定理收敛性和极限定理 第一节第一节 概概 率率 一

2、、基本概念一、基本概念 1随机试验 其结果在事先不能确定的试验。具有三个特性： （1）可以在相同的条件下重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并能事先明确 试验的所有可能的结果； （3）每次试验前不能确定哪个结果会出现。 首页首页2样本空间样本空间 随机试验所有可能结果的集合，记为。其中每一个结果，称为样本点 。样本空间的一个子集E。 对样本空间的每一个事件E，都有一实数P（E）与之对应，且满足： （1）3随机事件随机事件 4概概 率率 10）（EP1）（P，21EE（3）对两两互不相容的事件序列 （2）)11iiiiEPEP（）（则称P（E）为事件E的概率概率。 首页首页二、概率的性质：

3、二、概率的性质： 1 0）（P2 ）（）（）（）（EFPFPEPFEP3 )(1)(EPEPc4 设 nEEE，21两两互不相容 ，则)11niiiniEPEP（）（5 设两两互不相容的事件 ，21EEiiE1则对于任意事件A，有)1iiEAPAP（）（首页首页三、概率的连续性三、概率的连续性 1极限事件 对于事件 若 ，21EE1nnEE1n则称事件序列 1nEn，递增 ，若 1nnEE1n则称事件序列 1nEn，递减。 这样可定义一个新的事件，记为 nnElimiinnEE1lim1nnEEiinnEE1lim1n1nnEE1n首页首页 2连续性定理 若 是递增的或递减的事件序列， 1nE

4、n，)limlimnnnnEPEP（）（证明证明 1nEn，nF11EF cnncininnEEEEF111)(1nnFnEiEni 则即 由包含在 中但不在任何前面的 （ ）中的点组成。 设 是递增序列，并定义事件 ：定理定理 111EF 2F3F首页首页容易验证 （ ）是互不相交的事件， 且满足 iiiiEF11iniiniEF11 nF1n和于是）（）（iiiiFPEP11)1iiFP（)lim1niinFP（)(lim1ininFP)(lim1ininEP)(limnnEP首页首页设E为随机试验，为其样本空间，A、B为任意两个事件，四、条件概率四、条件概率0）（AP）（）（）（APAB

5、PABP|为事件A出现的情况下，事件B的条件概率，或简称事件B关于事件A的条件概率。 若1定义则称首页首页定理定理2（乘法公式）（乘法公式） 2基本公式 假设 为任意n个事件（ ），nAAA，212n021）（nAAAP)|()|()(21312121AAAPAAPAPAAAPn）（）（121|nnAAAAP若则首页首页定理定理3（全概率公式与贝叶斯公式）（全概率公式与贝叶斯公式） 设事件 两两互不相容，nBBB，21iniB10）（iBPni,21，则（1）对任意事件A，有 )|)(1iiniBAPBPAP（）（2）对任意事件A ，若 ，有0）（AP)|)|)|(1iiniiiiBAPBPB

6、APBPABP（）（）（首页首页五、独立性如果事件A，B满足）（）（）（BPAPABP 设 是n个事件，如果对于任意 和 ，有 nAAA，21)2(ns sniiis211）（）（）（）（ssiiiiiiAPAPAPAAAP2121则称事件 相互独立。 nAAA，21则称事件A，B相互独立。 1定义定义两个两个n个个首页首页2独立性的性质 定理定理4 若事件A，B相互独立，则 ； ； 分别也相互独立.定理定理5 设事件 相互独立，若其中任意 个事件相应地换成它们的对立事件，则所得的n个事件仍然相互独立。nAAA，21BA与BA与BA与)1(nmm 推论推论 若事件 相互独立，则 nAAA，21

7、)(11)(11ininiiAPAP首页首页)(11)(11ininiiAPAP证证)(1)(11niiniiAPAP)(11niiAPniiAP1)(1) )(1 (11niiAP返回返回首页首页 一、一维随机变量的分布一、一维随机变量的分布 第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布 1随机变量 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为 ，如果对于每一，如果对于每一个个 都有唯一的一个实数都有唯一的一个实数 与之对应，这与之对应，这种对应关系称为一个随机变量，记作种对应关系称为一个随机变量，记作 或或X。 )(X)(X2分布函数 随机变量随机变量X取值不超过取值不超过x的概率的概率

8、 ， 称为称为X的分布函数（其中的分布函数（其中x为任意实数），记为为任意实数），记为 即即)(xXP)(xF)()(xXPxFx首页首页分布函数分布函数F（x）具有下列性质：）具有下列性质： 12 是非降函数，即当是非降函数，即当 时，有时，有 )(xF1)(0 xFx21xx )()(21xFxF0)(limxFx1)(limxFx34)()0(xFxFF（x）是右连续的，即）是右连续的，即 首页首页3分布密度 最常见的随机变量是离散型和连续型两种。最常见的随机变量是离散型和连续型两种。 离散型随机变量 随机变量随机变量X的可能取值仅有有限的可能取值仅有有限个或可列无穷多个。个或可列无穷多

9、个。 设设 是离散型随机变量是离散型随机变量X的的所有可能的取值，所有可能的取值， 是是 的概率：的概率： ),2, 1(kxkkpkxkkpxXP)(), 2 , 1(k则称上式为则称上式为X的的概率分布概率分布或或分布率分布率 。且满足。且满足 0kp11kkp首页首页3分布密度 连续型随机变量 如果对于随机变量如果对于随机变量X的分布函数为的分布函数为F（x），），存在非负的函数存在非负的函数f（x）,使对任意的实数使对任意的实数x有有 则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，f（x）称为）称为X的概率密的概率密度，且满足度，且满足xdttfxF)()(0)(xf1)(dxxf首页

10、首页二、随机变量的联合分布二、随机变量的联合分布 1联合分布函数 设设 是样本空间是样本空间 的的n个随机个随机变量，变量， 为任意实数，则称为任意实数，则称 特别地 为随机变量的为随机变量的n维联合分布函数维联合分布函数 nXXX，21nxxx，21),(),(221121nnnxXxXxXPxxxF，),()(yYxXPyxF，即是即是X，Y的二维联合分布函数的二维联合分布函数 首页首页2二维分布密度 离散型离散型 设（设（X，Y）所有可能的取值为）所有可能的取值为 ，而，而 是（是（X，Y）取值）取值 为为 的概率，即的概率，即则称上式为二维离散型随机向量（则称上式为二维离散型随机向量（

11、X，Y）的）的联合分布律联合分布律。它满足它满足 ),(jiyx, 2 , 1( i), 2 , 1jijp),(jiyxijjipyYxXP),(0ijp111ijijp首页首页2二维分布密度连续型 如果存在一个非负的二元函数如果存在一个非负的二元函数f（x，y）,使对使对任意的实数任意的实数x，y有有则称（则称（X，Y）为二维连续型随机变量，）为二维连续型随机变量，f（x，y）称为）称为（X，Y）的概率密度，满足：）的概率密度，满足： xydudvvufyxF),()( ，0),(yxf1),( dxdyyxf首页首页3边缘分布及独立性 边缘分布 设（设（X，Y）的分布函数为）的分布函数为

12、 ，则，则X，Y的分布函数的分布函数 、 ，依次称为关于，依次称为关于X和关于和关于Y的边缘分布函数，且有的边缘分布函数，且有 )(yxF，)(xFX)(yFY),()(xFxFX),()(yFyFY 独 立 性)(yxF，)(xFX)(yFY则称随机变量则称随机变量X和和Y是相互独立的。是相互独立的。 首页首页离散型离散型若随机变量（若随机变量（X，Y）的联合分布律）的联合分布律 分别称为（分别称为（X，Y）关于）关于X和和Y的边缘分布律。的边缘分布律。 , 2 , 1( i), 2 , 1jijjipyYxXP),(ijjiipxXPp1)(则则ijijjpyYPp1)(X和和Y相互独立相

13、互独立的充要条件是的充要条件是jiijppp首页首页连续型连续型若随机变量（若随机变量（X，Y）的概率密度为）的概率密度为 则则 X和和Y相互独立相互独立的充要条件是的充要条件是),(yxf分别称为（分别称为（X，Y）关于）关于X和和Y边缘概率密度。边缘概率密度。dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(),( yxf)(xfX)(yfY首页首页4条件分布函数 离散型 若若 ，则称，则称 为在条件为在条件 下，随机变量下，随机变量X的条件分布律的条件分布律 。0)jyYP （jijjjijippyYPyYxXPyYxXP),)|（ixX jyY iijijiijppxXPyYxXPx

14、XyYP),)|（同样同样为在条件为在条件 下，随机变量下，随机变量Y的条件分布律。的条件分布律。 首页首页4条件分布函数 连续型 称为在条件称为在条件 下，随机变量下，随机变量X的条件分布律的条件分布律 。同样同样称为在条件称为在条件 下，随机变量下，随机变量Y的条件分布律。的条件分布律。 )(),()|(yfyxfyxfYyY )(),()|(xfyxfxyfXxX 注意注意：分母不等于：分母不等于0返回返回首页首页第三节第三节 随机变量的数字特征随机变量的数字特征一、期望和方差一、期望和方差 1期望期望 设设离散型随机变量随机变量X的分布律为的分布律为 则则kkpxXP)(, 2 , 1

15、k)(XEkkkpx1 设设连续型随机变量随机变量X的概率密度为的概率密度为 ，)(xf则则)(XEdxxxf)(首页首页函数期望函数期望 当当 X为为离散型随机变量随机变量则则 当当X为为连续型随机变量，随机变量，则则)(XgY)()(XgEYEkkkpxg)(1)()(XgEYEdxxfxg)()(首页首页2。方差。方差 称随机变量称随机变量 的期望为的期望为X的的方差，即方差，即 计算方差时通常用下列关系式：计算方差时通常用下列关系式： 2)(XEX)(XD)(2XEXE)(XD22)(XEXE首页首页3性质性质（1）（2） （3） 若若X和和Y相互独立，则相互独立，则CCE)(0)(C

16、D)()(XCECXE)()(2XDCCXDniiniiXEXE11)()()()()(YEXEXYE（4）0)(XD的充要条件是的充要条件是 1)(XEXP返回返回首页首页3性质性质（5）（柯西）（柯西许瓦兹不等式）许瓦兹不等式） 等式成立当且仅当等式成立当且仅当 （6）若若X为非负整数值的随机变量，则为非负整数值的随机变量，则 证证 )()(| )(|222YEXEXYE1)(0XtYP)()(1iXPXEi首页首页（7）若）若X为非负值的随机变量，则为非负值的随机变量，则 1()()kE XkP Xk0)(1)(dxxFXE）（) 1(XP)2()2(XPXP) 3() 3() 3(XP

17、XPXP)()()(nXPnXPnXP最后对每一丛向列求和，即得。最后对每一丛向列求和，即得。首页首页1协方差协方差 计算协方差时通常用下列关系式：计算协方差时通常用下列关系式： 二、协方差和相关系数二、协方差和相关系数 ),(CovYX)()(YEYXEXE),(CovYX)()()(YEXEXYE2.相关系数相关系数 )()(),(CovYDXDYXrXY首页首页3性质性质（1） （2）若）若X和和Y相互独立，则相互独立，则 （4） 的充要条件是的充要条件是X与与Y以概率以概率1 线性相关，即线性相关，即),(Cov2)()(1,11jnjijiiniiniiXXXDXD0),(CovYX

18、1|XYr（3）1|XYr1)(baXYP返回返回首页首页例例1 设设X N（0，1），求），求 解解 当当n为偶数时，由分部积分得为偶数时，由分部积分得 当当n为奇数时，为奇数时， )(nXE)(nXEdxexxn22210)(nXE)(nXEdxexnxn22221)() 1(2nXEn依次递推，注意到依次递推，注意到 ，故，故 1)(0 xE偶数奇数2!)!1(135) 3)(1(0)(nnnnnXEn首页首页 在一次集会上，在一次集会上，n个人把他们的帽子放到房间的个人把他们的帽子放到房间的中央混合在一起，而后每个人随机地选取一项，求中央混合在一起，而后每个人随机地选取一项，求每人拿到

19、自己的帽子的人数每人拿到自己的帽子的人数X的均值和方差。的均值和方差。 例例2（匹配问题）（匹配问题） 解解 利用表达式利用表达式 nXXXX21其中其中其它个人拿到自己的帽子如果第，01iiX即求即求EX、DX故故 因因nXPi/1) 1(nXEi/1)(221)1(1)(nnnnXDi首页首页又又 ),(CovjiXX)()()(jijiXEXEXXE而而其它个人都拿到自己的帽子个人与第如果第，01jijiXX得得11)(jijiXXPXXE， 1| 1 1ijiXXPXP111nn故故 ),(CovjiXX) 1(1nn21n所以所以1)(XE1) 1(121)(22nnCnnXDn)

20、1(12nn返回返回首页首页一、矩母函数一、矩母函数 第四节第四节 矩母函数和特征函数矩母函数和特征函数 1定义定义 称称 的数学期望的数学期望 为为X的矩母函数的矩母函数2原点原点矩的求法矩的求法 tXe)(tXeEt 利用矩母函数可求得利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对的各阶矩，即对 逐次求导并计算在逐次求导并计算在 点的值：点的值： )(t0t)(tXXeEt )()tXnneXEt （)0()nnXE（首页首页3和的矩母函数和的矩母函数 定理定理1 设相互独立的随机变量设相互独立的随机变量 的的矩母函数分别为矩母函数分别为 ， ， ， 则其和则其和 的矩母函数为的矩母函数为 rXXX，

21、21)(1t)(2t)(trrXXXY21)(tY)(1t)(2t)(tr 首页首页例例1 设设X与与Y是独立的正态随机变量，各自的均值为是独立的正态随机变量，各自的均值为 与与 ，方差为，方差为 与与 ，求，求X+Y的矩的矩母函数。母函数。 解解 而正态分布的矩母函数为而正态分布的矩母函数为 122122)(）（YXtYXeEttXeEtYeE)(tX)(tY2/exp)(22ttt所以所以 )(tYX 2/)()exp(2222121tt首页首页 二、特征函数二、特征函数 1 .复随机复随机 变量变量 设设X，Y为二维（实）随机变量，则称为二维（实）随机变量，则称 为复随机变量为复随机变量

22、.2.数学期望数学期望 3 .特征函数特征函数 iYXZ)()()(YiEXEZE 设设X为随机变量，称复随机变量为随机变量，称复随机变量 的数学期望的数学期望itXe)(tXitXeE为为X的特征函数，其中的特征函数，其中t是实数。是实数。 还可写成还可写成 )(tXsincostXiEtXE首页首页4特征函数与分布函数的关系特征函数与分布函数的关系特征函数与分布函数特征函数与分布函数 相互唯一确定。相互唯一确定。特别特别 当当 存在时，有存在时，有 )()(xfxF)(tdxxfeitx)()(xfdtteitx)(215特征函数的性质特征函数的性质 性质性质1 对任何实数对任何实数t，

23、1| )(|tX证证 1| )(| )(|itXitXXeEeEt首页首页性质性质2 证证性质性质3设设a，b为任意实数，为任意实数， ，则，则Y的特的特征函数征函数 有有证证 )()(ttXX )( tXsincosXtiXtE）（）（sincostXiEtXEsincostXiEtXE)(tXbaXY)(tY)()(atetXitbY)()(baXitYeEt)itbXatieeE（)XatiitbeEe（)(ateXitb首页首页性质性质4 性质性质5设相互独立的随机变量设相互独立的随机变量 的的特征函数分别为特征函数分别为 ， ， 则和则和 若随机变量若随机变量X的的 n阶绝对矩存在，

24、即阶绝对矩存在，即 |nXE则则X的特征函数的特征函数 有有n阶导数，且有阶导数，且有 ) (tX)0()()()(kXkkiXEnk, 2 , 1rXXX，21)(1t)(2t)(trrXXXY21的特征函数为的特征函数为 )(tY)(1t)(2t)(tr首页首页例例2 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为 的泊松分布，的泊松分布，求求X的特征函数。的特征函数。解解 由于由于 所以所以 ekkXPk！）（)(tXekekkitk！0！keekitk)(0iteee)1(itee首页首页例例3 设随机变量设随机变量X服从服从a，b上的均匀分布，求上的均匀分布，求X的的特征函数。特征函数。

25、 解解 X的概率密度为的概率密度为 所以所以 其它01)(bxaabxfdxabetbaitxX1)()(abiteeitaitb首页首页例例4 设设X B（n，p），求），求X的特征函数的特征函数 及及和和 。 解解 X的分布律为的分布律为所以所以 )(tX）（ XE）（XDknkknqpckXP ）（)(tXknkknnkitkqpce0knkitknnkqpec)(0nitqpe)(由性质由性质4知知 npqpedtdiXEtnit0|)(）（2202222|)()(pnnpqqpedtdiXEtnit）（故故 ）（ XD22)XEXE（）（npq首页首页常见分布的数学期望、方差和特征函

26、数常见分布的数学期望、方差和特征函数返回返回见教材见教材首页首页一、条件期望的定义一、条件期望的定义 第五节第五节 条件期望条件期望 离散型离散型 其中其中连续型连续型 其中其中)|(jyYXE)|(1jiiiyYxXPx)(),()|(jjijiyYPyYxXPyYxXP)|(yYXEdxyxfx)|()|(yxf条件概率密度条件概率密度 首页首页二、全数学期望公式二、全数学期望公式 定理定理1 对一切随机变量对一切随机变量X和和Y，有有 连续型连续型 是随机变量是随机变量Y的函数，当的函数，当 时取值时取值因而它也是随机变量。因而它也是随机变量。 )|(YXEyY )|(yYXE离散型离散

27、型 )|(YXEE)(XE)()|()(1jjjyYPyYXEXEdyyfyYXEXEY)()|()(首页首页证证 只证（只证（X，Y）是离散型随机向量时的情况）是离散型随机向量时的情况 )()|(1jjjyYPyYXE)()|(11jjijiiyYPyYxXPx),(11jijiiyYxXPx),(11jijiiyYxXPx)()(1XExXPxiii首页首页 一矿工困在矿井中，要到达安全地带，有三个一矿工困在矿井中，要到达安全地带，有三个通道可选择，他从第一个通道出去要走通道可选择，他从第一个通道出去要走3个小时可个小时可到达安全地带，从第二个通道出去要走到达安全地带，从第二个通道出去要走

28、5个小时又个小时又返回原处，从第三个通道出去要走返回原处，从第三个通道出去要走7个小时也返回个小时也返回原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道，原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道，试问他到达安全地点平均要花多长时间。试问他到达安全地点平均要花多长时间。 例例1 解解 设设X表示矿工到达安全地点所需时间，表示矿工到达安全地点所需时间，Y表示表示他选定的通道，则由定理他选定的通道，则由定理1可知可知 )( XE)|(YXEE) 1() 1|(YPYXE) 2() 2|(YPYXE) 3() 3|(YPYXE )7()5(331EXEX15)(XE所以所以 首页首页 设在某一天内走进一个

29、商店的人数是数学期望设在某一天内走进一个商店的人数是数学期望等于等于100的随机变量，又设这些顾客所花的钱都为的随机变量，又设这些顾客所花的钱都为数学期望是数学期望是10元的相互独立的随机变量，再设一个元的相互独立的随机变量，再设一个顾客化钱时和进入该商店的总人数独立，试问在给顾客化钱时和进入该商店的总人数独立，试问在给定的一天内，顾客们在该店所化钱的期望值为多少？定的一天内，顾客们在该店所化钱的期望值为多少？ 例例2 解解 设设N 表示进入该店的顾客人数，表示进入该店的顾客人数， 表示第表示第i个顾个顾客所花的钱数，客所花的钱数， iX则则N 个顾客所花钱的总数为个顾客所花钱的总数为 Nii

30、X1则一天内顾客们在该店所化钱的期望值是则一天内顾客们在该店所化钱的期望值是 NiiXE1NiiNXEE1|）（首页首页而而 从而从而 由假设由假设所以所以 NiinNXE1|）（niinNXE1|）（niiXE1）（)(XnENiiNXE1|）（)(XNENiiXE1)()()(XENEXNEE100)(NE10)()(iXEXE于是于是 NiiXE1100010100它说明顾客们花费在该店钱数的期望值为它说明顾客们花费在该店钱数的期望值为1000元。元。 首页首页三、条件期望的应用三、条件期望的应用 定理定理2 设设X、Y是随机变量，是随机变量， 是是Borel函数，函数， 证证 下面的命

31、题说明在均方意义下，在已知随机变量下面的命题说明在均方意义下，在已知随机变量X的条件下，的条件下， 是是Y的最佳预测。的最佳预测。则则 )|(XYE)(xg)(2XgYE)|(2XYEYE|)(2XXgYE|)()|()|(2XXgXYEXYEYE首页首页|)|(2XXYEYE|)()|(2XXgXYEE)|(2XYEYE|)()|(XXgXYE由于由于 当当X取定值时是常数，取定值时是常数， )()|(XgXYE所以所以 )()|(XgXYE0| )|(XXYEYE故得故得 |)(2XXgYE|)|(2XXYEYE由定理由定理1，两边取数学期望，即得证。，两边取数学期望，即得证。 首页首页

32、通常当我们观察到通常当我们观察到 时，时， 是一切对是一切对Y的估值中均方误差最小的一个，我们称的估值中均方误差最小的一个，我们称之为之为Y关于关于X的回归的回归。 例例3 设身高为设身高为x（cm）的男子，其成年儿子的身高）的男子，其成年儿子的身高服从均值为服从均值为 ，方差为，方差为10的正态分布，问身高的正态分布，问身高为为175cm的男子，其成年儿子的身高的最佳预测值的男子，其成年儿子的身高的最佳预测值是多少？是多少？令令X表示父亲身高，表示父亲身高，Y表示儿子身高，则表示儿子身高，则 xX )|(xXYE3x解解 3XY N（0，10）与与X独立独立 Y的最佳预测是的最佳预测是 )1

33、75|(XYE)175|3(XXE)175|(3175XE178)(178E即其成年儿子的身高的最佳预测值是即其成年儿子的身高的最佳预测值是178cm。 返回返回首页首页 一、指数分布的定义一、指数分布的定义 第六节第六节 指数分布指数分布 若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 分布函数为分布函数为 则称则称X具有参数为具有参数为 的指数分布。的指数分布。 0,00,)(xxexfx0, 00,1)()(xxedyyfxFxx)0（首页首页二、无记忆性二、无记忆性 若随机变量若随机变量X满足满足 则称随机变量则称随机变量X是是无记忆的无记忆的。 如果我们把如果我们把X看作

34、某仪器的寿命，则看作某仪器的寿命，则X的无记的无记忆性表示忆性表示 :|sXPtXtsXP0ts， 在仪器已工作了在仪器已工作了t 小时的条件下，它至少工作小时的条件下，它至少工作 小时的概率与它原来至少工作小时的概率与它原来至少工作s 小时的概率是小时的概率是相同的。相同的。 换句换句话说话说 如果仪器在时刻如果仪器在时刻t是完好的，则它的剩余寿是完好的，则它的剩余寿命的分布就是原来寿命的分布。命的分布就是原来寿命的分布。ts 首页首页 考虑一个有两名营业员的邮局。假设当考虑一个有两名营业员的邮局。假设当A进去进去时，他发现一名营业员正在给时，他发现一名营业员正在给B办事而另一名营业办事而另

35、一名营业员正在为员正在为C服务。还假设已告诉服务。还假设已告诉A ，一旦，一旦B或或C离开离开就为他服务。如果一个营业员为一个顾客所花的时就为他服务。如果一个营业员为一个顾客所花的时间服从均值是间服从均值是 的指数分布。三个顾客中的指数分布。三个顾客中A最后最后离开邮局的概率是多少？离开邮局的概率是多少？ 例例1 解解 考虑考虑A发现一个营业员有空的时刻，此时发现一个营业员有空的时刻，此时B与与C中有中有一个刚好离开而另一个仍在接受服务。一个刚好离开而另一个仍在接受服务。 由指数分布的无记忆性，这另一个人在邮局再花由指数分布的无记忆性，这另一个人在邮局再花费的时间也服从指数分布，其均值仍为费的

36、时间也服从指数分布，其均值仍为 ，即仿佛他才开始服务即仿佛他才开始服务 ./1/1因此由对称性，他在因此由对称性，他在A之前结束服务的概率为，之前结束服务的概率为，故故A最后离开邮局的概率也是最后离开邮局的概率也是 。2/12/1首页首页 三、失效率函数三、失效率函数 指数变量的无记忆性可有指数分布的失效指数变量的无记忆性可有指数分布的失效率函数（也称风险率函数）进一步予以阐明。率函数（也称风险率函数）进一步予以阐明。 1定义定义 设设 是一个非负连续随机变量是一个非负连续随机变量X的分布的分布函数，其密度函数函数，其密度函数 ， )(tF)(tf则则 )()()(tFtft 称为称为X 的的

37、失效（或风险）率函数失效（或风险）率函数。 )(1)(tFtF)(tXP存活函数存活函数 首页首页 2 的直的直观解释观解释 为了阐明的意义，把为了阐明的意义，把X设想为某种元件设想为某种元件的寿命，且的寿命，且X假定已经存活假定已经存活t 小时，我们要小时，我们要求再过时间求再过时间dt它失效的概率，即考虑它失效的概率，即考虑 由于由于 可见可见 表示一个表示一个t 岁的元件将失效的可能性大小，岁的元件将失效的可能性大小，即元件将失效的概率强度。即元件将失效的概率强度。 |tXdttXtP|tXdttXtP,tXPtXdttXtPtXPdttXtP)()(tFdttfdtt)()(t)(t首

38、页首页 3生起率生起率 假设寿命分布是指数分布，那么由无记忆性，假设寿命分布是指数分布，那么由无记忆性，一个一个t 岁的元件的剩余寿命的分布与一个新岁的元件的剩余寿命的分布与一个新元件的寿命分布相同，因此应当是常数。元件的寿命分布相同，因此应当是常数。 事实上事实上 指数分布的失效率函数是常数。参数指数分布的失效率函数是常数。参数 常常称为分布的称为分布的生起率生起率（或速率）。（或速率）。 )()()(tFtft ttee于是于是4失效率函数失效率函数 与分布函数关系与分布函数关系)(t)(tF（1）失效率函数）失效率函数 唯一决定分布唯一决定分布 原因是原因是 )()()(tFtFdtdt

39、首页首页积分得积分得 即即 令令 得得 因而因而 即即 kdtttFt)()(log0)(exp)(0dttctFt0t1c)(exp)(0dtttFt)(exp1)(0dtttFt（2） 决定决定 )(t)(tF（有的定义可知）（有的定义可知）一个概率分布可用它的失效率（如果存在一个概率分布可用它的失效率（如果存在的话）来描述的话）来描述 。因此因此返回返回首页首页一、收敛性一、收敛性 第七节第七节 收敛性和极限定理收敛性和极限定理 1概率概率1收敛（或几乎处处收敛）收敛（或几乎处处收敛） 如果如果 随机变量序列随机变量序列 以概率以概率1收敛于收敛于X，或称，或称 几乎处处收敛于几乎处处收

40、敛于X，记作，记作 1limXXPnn则称则称nXnXXXsan.首页首页如果如果2均方收敛均方收敛 对于所有的对于所有的 有有 随机变量序列随机变量序列 以均方收敛于以均方收敛于X，记作，记作 且且 nXnX|2nXE|2XE则称则称0|lim2XXEnnXXnnl.i.m首页首页如果如果3依概率收敛依概率收敛 对于任意给定的正数对于任意给定的正数 ，有，有 随机变量序列随机变量序列 依概率收敛于依概率收敛于X，记作，记作 nX则称则称00|limXXPnnXXPn首页首页如果如果 4依分布收敛依分布收敛 设设 ， 分别为随机变量分别为随机变量 及及X 的的分布函数分布函数 随机变量序列随机

41、变量序列 以分布收敛于以分布收敛于X，记作，记作 nX则称则称)(xFn)(xFnX 对于的每一个连续点对于的每一个连续点x，有，有 )(xF)()(limxFxFnnXXdn首页首页（1）若）若 均方收敛，则均方收敛，则 必为依概率收敛；必为依概率收敛； 收敛性之间的关系收敛性之间的关系 nXnX（2）若）若 以概率以概率1收敛，则收敛，则 必为依概率收敛；必为依概率收敛； nXnX（3）若）若 依概率收敛，则依概率收敛，则 必为依分布收敛。必为依分布收敛。nXnX均方收敛与以概率均方收敛与以概率1收敛不存在确定的关系。收敛不存在确定的关系。 注注二、极限定理二、极限定理 1强大数定理强大数定理 如果如果 独立同分布，独立同分布，具有均值具有均值 ，则，则，21XX1/ )(lim21nXXXPnn首页首页 2中心极限定理中心极限定理 如果如果 独立同分布，独立同分布，具有均值具有均值 与方差与方差 ，则，则，21XX2annXXPnn1limdxexa2221注注若令若令 ，其中，其中 独立同分布独立同分布 ininXS1，21XX则则强大数定理强大数定理 表明表明 以概率以概率1收敛于收敛于 ； nSn/iXE中心极限定理中心极限定理 表明当表明当 时，时， 有有渐进正态分布。渐进正态分布。 nnS首页首页