蚌埠学院线性代数课件(同济第六版)--第二章.ppt

1、第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算1 矩 阵979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx97963422644121121112线性方程组与矩阵的对应关系线性方程组与矩阵的对应关系)2121( 1njmianmij,;, 个数个数由由定义定义列的数表，列的数表，行行排成的排成的nm.列矩阵列矩阵行行称为称为nm.mn 简简称称矩矩阵阵111212122212nnmmmnaaaaaaaaa mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 记作记作简记为简记为 ijm nAa nmA 或或其中数其中数ija称为称为m nA 的第的第 i

2、 行第行第 j 列的元素列的元素, nmA 或或的的( i, j ) 元素。元素。 420134081zyx同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。.),()(, )(BABAnjibabBaABAijijijij相等，记作相等，记作与与则称矩阵则称矩阵若若是同型矩阵，是同型矩阵，与与设矩阵设矩阵21矩阵相等：矩阵相等：823 zyx,一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵1 1、零矩阵、零矩阵(Zero Matrix):注意：注意： .0000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的. .元素全为零的矩阵称为零矩阵，元素全为零的矩阵

3、称为零矩阵， 零矩阵记作零矩阵记作 或或 . .nm m nO O2、行矩阵、行矩阵(Row Matrix):列矩阵列矩阵(Column Matrix):只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为行矩阵称为行矩阵( (或行向量或行向量).)., naaaA21只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵称为列矩阵( (或列向量或列向量) )3、方阵、方阵(Square Matrix): 302234163是是 3 阶方阵阶方阵. .行数与列数都等于行数与列数都等于n 的矩阵，的矩阵，称为称为 n 阶方阵阶方阵(或或 n 阶矩阵阶矩阵), 记作记作An4、对角阵、对角阵(Diagonal M

4、atrix):主对角线以外的元素都为零的方阵。主对角线以外的元素都为零的方阵。nn 2121),(diag5、数量矩阵、数量矩阵(Scalar Matrix):nnnkkkEk 主对角元素全为常数主对角元素全为常数 k，其余元素全为零的方，其余元素全为零的方阵阵 。6 6、单位矩阵、单位矩阵(Identity Matrix):)(jinnnE 111主对角元素全为主对角元素全为1 1，其余元素都为零的方阵。，其余元素都为零的方阵。记作记作: :EEn 或或 jijiji01 定义：定义：111 11221221 122221 122nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xa xy

5、a xa xa x 从变量从变量nxxx,21到变量到变量myyy,21的的线性变换线性变换.其中其中ija为常数为常数.称称为为系系数数矩矩阵阵nmijaA )(2 矩阵的基本运算一、一、 矩阵的加法矩阵的加法 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 A与与B 的和记作的和记作A+B，规定为，规定为nm ijijAaBb(),(), 定义定义2注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时， 才能进行加法运算才能进行加法运算. 12345698186309

6、15312 1826334059619583112.98644741113 负矩阵：负矩阵：)( BABA mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211 ija ),(jiaA 设设称为矩阵称为矩阵 A的负矩阵。的负矩阵。矩阵加法满足的运算规律矩阵加法满足的运算规律: .1ABBA 交换律：交换律： . 2CBACBA 结合律：结合律： .4OAA 3 AOA二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘.112222111211mnmmnnaaaaaaaaaAA 规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数, AAA定义定义31101013213131303)1(30313332313

7、330303963 ;1AA ;2AAA .3BABA 数乘矩阵满足的运算规律：数乘矩阵满足的运算规律：矩阵相加与数乘矩阵运算合起来矩阵相加与数乘矩阵运算合起来, ,又称为矩阵的又称为矩阵的线性运算线性运算. .设设 A, ,B为为mn 矩阵，矩阵， , , 为数为数 AAA114定义定义4 4 skjkkijssijijijibabababac12211),;,(njmi2121 并把此乘积记作并把此乘积记作 C = = AB三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 ms 矩阵，矩阵， 是是ijAa() ijBb() 一个一个 sn 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 A与矩

8、阵与矩阵 BijCc () 的乘积是一个的乘积是一个 mn 矩阵矩阵 ，其中，其中ss1331654321635241321 33 1124563 3 345681012121518例：例：222263422142 22 1632 816433120031121014210211124132101321nnnnnnbbbaaa 2121nnnnbababa 22111. 矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律.BAAB注意：注意：11111111AB1111A1111B000011111111BA2222设A 左乘左乘 BB 右乘右乘 A2. 矩阵乘法不满足消去律矩阵乘法不满足消去律OAAC

9、AB,1111A1111B设0000C11111111AB000000001111AC0000CB 但注意：注意：nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211线性变换的矩阵表示：nnyyyYxxxX2121,AXY 记则：矩阵乘法满足的运算规律：矩阵乘法满足的运算规律： ; :1BCACAB 结合律结合律 , :2ACABCBA 分配律分配律 ;CABAACB BABAAB 3 ;4AEAAE 若若 A是是 n 阶方阵，阶方阵， 则则 为为A的的 次幂，即次幂，即 kAk 个个kk

10、AAAA ,klklAAA.klklAA方阵的幂：方阵的幂：并且并且, 时时但当但当BAAB .BAABkkk 方阵的多项式：方阵的多项式：0111)(axaxaxaxkkkk EaAaAaAaAkkkk0111)( 1011A52)(3xxx 10015101121011)(3A 4014四四. . 矩阵的转置矩阵的转置定义定义: : 把矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . . A例例: :,854321A;835241A转置矩阵满足的运算规律：转置矩阵满足的运算规律：;)()1(TTAA;)()

11、2(TTTBABA;)()3(TTAA .)()4(TTTABAB解解1： 102324171231102AB,1013173140 .1031314170T AB例：已知例：已知 ， 201132A171423201B求求 。TAB解解2：TTTABAB 213012131027241.1031314170 对称阵的元素以主对角线为对称轴。对称阵的元素以主对角线为对称轴。对称阵对称阵: 设设 A 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 A 称为对称阵称为对称阵.njiaai jj i, 2 , 1,AA T304021411A五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义：由定义

12、：由 n 阶方阵阶方阵 A 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式， 叫做方阵叫做方阵 A 的行列式，记作的行列式，记作| |A| |或或 det A110101321: A例例110101321A则则2运算规律：运算规律： ;1TAA ;2AAn BAAB 3.ABBA 注：虽然注：虽然 ,ABBA 但但定义：定义：行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵称为矩阵 A 的伴随矩阵的伴随矩阵. .T)(j iAAA故EAninjijijAaAaAaAA2211同理E

13、A性质：性质：EAAAAA,jiaA 设设,i jAABb记jninjijijiAaAaAab 2211则则jijiA,0, |分析：分析：定义：定义：设设 A是是 n 阶矩阵，若存在阶矩阵，若存在 n 阶矩阵阶矩阵 B 使使AB = BA = E则称则称 A是是 可逆的可逆的，并称，并称 B 是是 A的逆矩阵，的逆矩阵， 111121,1111BA容易算得AB=BA=E，故B就是A的逆.3 逆 矩 阵定理定理1:证明：证明：n 阶方阵阶方阵 A可逆充要条件是可逆充要条件是| |A| | 0 , 且且当当 A可逆时可逆时, , AAA|11 A可逆可逆, , 存在存在B, , 使得使得 AB

14、= = E 于是于是 | |A|B| | = = | |E|=1, |=1, 即即| |A| | 0 |A| 0,111()()|1|AAAAEAAAAAA于是可逆，并且,AAA AA E由可知：若若| |A| | 0, 则称则称 A为为奇异矩阵奇异矩阵 (退化矩阵退化矩阵) 若若| |A| | 0, 则称则称 A为为非奇异矩阵非奇异矩阵 (非退化矩阵非退化矩阵) 推论：推论：ABBABAEABBA 11，都可逆，且都可逆，且和和则则，为同阶方阵，若为同阶方阵，若、设设1111)()(,01 BABAABABAABAABAABEAB可逆，且可逆，且同理，同理，且且可逆可逆即即，故，故，则，则若

15、若证明：证明：可逆矩阵的运算规律可逆矩阵的运算规律: :且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,)3(ABBA.)()1(111AAAA 且且也可逆，也可逆，则则可逆，可逆，若若111)(, 0)2( AAAA 且且也可逆，也可逆，则则数数可逆，可逆，若若 1)(AB1 B1 A.)()()4(T11TT AAAA且且也可逆，也可逆，则则可逆，可逆，若若例：例：设设解方程解方程2AXAX310220004A 解：解：2AXAX22()AXXAAE XA12()XAEA41031012102202001004510200002 1110310240220002004X ,

16、022 EAA由由 EEAA2 得得EEAA 2.,2,:, 022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例例：1 A 11.2AAE 所以所以 A可逆，且可逆，且证：证：4 Cramer 法则Cramer法则：法则： 如果线性方程组如果线性方程组) 1 (22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，的系数行列式不等于零，nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 即即.,DDxDDxDDxnn2211则线性方程组则线性方程组(1(1) )

17、有唯一解，有唯一解，其中其中nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD11111111111 ,),(njAbAbAbDjnnjjj2122115 矩阵的分块法 矩阵的分块法是讨论矩阵时一种有效的矩阵的分块法是讨论矩阵时一种有效的手段。手段。 具体做法是：将矩阵具体做法是：将矩阵 A 用若干条纵线和横用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的一个子块，以子块为元素的矩阵称为分的一个子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵块矩阵.例：例： A 001a1Aba1100002Ab1103AA1a1A002A10010a3Abb11004A 有有

18、相相同同的的分分块块法法并并采采用用列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与设设矩矩阵阵,1BA则则列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与其其中中,ijijBA srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则.11111111 srsrssrrBABABABABA 那末那末为数为数设设,21111 srsrAAAAA.1111 srsrAAAAA 分分块块成成矩矩阵阵为为矩矩阵阵为为设设,3nlBlmA ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那那末末的的行行数数的的列列数数分分别别等等于于其其中中,2121jtjjt iiiBBB

19、AAA srsrCCCCAB1111 11221, ;1,.ijijiji tt jCABABABis jr 其其中中 ,411 rsAAA设设rA11sATsA1TrA1.11 TsrTTAAA则则 5,21 sAAAA 为为分分块块对对角角矩矩阵阵则则称称是是方方阵阵其其中中AsiAi, 2 , 1 .21sAAAA (1) 分块对角矩阵的行列式具有下述性质:并有则若, 0, 2 , 10)2(AsiAi.21 sAAAA1 1 1 1 ssBBBAAA2121.2211 ssBABABA(3)例：例：设设,120130005 A.1 A求求解：解： 120130005A,21 AOOA,

20、 51 A,12132 A;321112 A 12111AOOAA;5111 A.3201100051 (1) 加法加法:采采用用相相同同的的分分块块法法同同型型矩矩阵阵 ,(2) 数乘数乘:的每个子块的每个子块乘乘需需乘矩阵乘矩阵数数AkAk,(3) 乘法乘法:划划分分相相一一致致的的行行的的的的列列的的划划分分与与需需相相乘乘与与若若BABA,分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。)(22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxx21mbbbb21记记bAx 则则bAx bxxxnn2211),(nA 21 记记则则由由