线性代数PPT课件：矩阵-第4节-分块矩阵.ppt

1、对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵 A, 运算时常采用运算时常采用, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 我们我们将矩阵将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵, 每一个小矩阵称为每一个小矩阵称为 A 的的,以子块为元素的形式以子块为元素的形式上的矩阵称为上的矩阵称为. 例如将例如将 34 矩阵矩阵343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA分成子块的分法很多分成子块的分法很多, 下面举出三种分块形式下面举出三种分块形式:,(1)343332312423222114131211aaa

2、aaaaaaaaa,(2)343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa.(3)343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa 分法分法 (1) 可记为可记为,22211211AAAAA其中其中,aaA,aaA,aaaaA,aaaaA34332232312124231413122221121111即即 A11, A12, A21, A22 为为 A 的子块的子块,而而 A 形式上成为形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵以这些子块为元素的分块矩阵. 分块矩阵可类似写出分块矩阵可类似写出, 这里略这里略.分法分法 (2) 及及 (3) 的的分块矩

3、阵的运算规则与普通矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似相类似, 分别说明如下分别说明如下:,BBBBB,AAAAAsrsrsrsr11111111设矩阵设矩阵 A 与与 B 的行数相同、列数相同的行数相同、列数相同, 采用采用相同的分块法相同的分块法, 有有其中其中 Aij 与与 Bij 的行数相同、列数相同的行数相同、列数相同, 那么那么.BABABABABAsrsrssrr11111111,AAAAAsrsr1111 为常数为常数,那么那么 设设.1111srsrAAAAA,BBBBB,AAAAAtrtrstst11111111 设设 A 为为 ml 矩阵矩阵, B为

4、为 ln 矩阵矩阵, 分块成分块成,CCCCABsrsr1111其中其中tkkjikij.,r,j,s;,iBAC111其中其中 Ai1 , Ai2 , , Ait 的列数分别等于的列数分别等于 B1j , B2j , , Btj 的行数的行数,那么那么 设设,B,A02111401102101011011012100100001求求 AB.设设,AAAAAsrsr1111则则.TT1T1T11TsrrsAAAAA,21sAAAA设设 A 为为 n 阶矩阵阶矩阵,若若 A 的分块矩阵只有在主对的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵其余子块都为零矩阵, 且非零

5、且非零子块都是方阵子块都是方阵,即即其中其中 Ai ( i = 1, 2, , s ) 都是方阵都是方阵,那么称那么称 A 为为. 2) 若若 | |Ai| | 0 ( i = 1, 2, , s) , 则则 | |A| | 0, 且且 .AAAAs112111 1) | |A| | = | |A1| | |A2| | | |As| | ; 3) 设设 k 为正整数，有为正整数，有 .AAAAkskkk21 设设,120130005A求求 A-1 . 设设,8500210000230012A求求 A-1 .对于对于 m n 矩阵矩阵 A 可以进行如下分块：可以进行如下分块：mnmmnnaaaa

6、aaaaaA212222111211.TT2T1m对于对于 m n 矩阵矩阵 A 可以进行如下分块：可以进行如下分块：mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211).,(21naaa对于线性方程组对于线性方程组) 1 (,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa记记mmnmmnnmnijbaaabaaabaaaBbbbbxxxxaA212222211112112121, )(其中其中 A 称为系数矩阵，称为系数矩阵，x 称为未知向量，称为未知向量，b 称为常称为常数项向量，数项向量，B 称为增广矩阵称为增广矩阵.按分块矩

7、阵的记法，按分块矩阵的记法，可记可记B = ( A b ) ,或或 B = ( A , b ) = ( a1 , a2 , , an , b ) .利用矩阵的乘法，此方程组可记作利用矩阵的乘法，此方程组可记作Ax = b . (2)方程（方程（2）以向量）以向量 x 为未知量，它的解称为方程组为未知量，它的解称为方程组(1) 的的.如果把系数矩阵如果把系数矩阵 A 按行分成按行分成 m 块，则线性方块，则线性方程组程组 Ax = b 可记作可记作mmbbbx21TT2T1或或)3(,T2T21T1mmbxbxbx这就相当于把每个方程这就相当于把每个方程ai1x1 + ai2x2 + + ain

8、xn = bi记作记作. ), 2, 1(Tmibxii如果把系数矩阵如果把系数矩阵 A 按列分成按列分成 n 块，则与块，则与 A 相相乘的乘的 x 应对应地按行分成应对应地按行分成 n 块，从而记作块，从而记作,),(2121bxxxaaann即即 x1a1 + x2a2 + + xnan = b . （4）（2）、（）、（3）、（）、（4）是线性方程组（）是线性方程组（1）的）的各种变形各种变形.今后，它们与（今后，它们与（1）将混同使用而不加）将混同使用而不加区分，并都称为线性方程组或线性方程区分，并都称为线性方程组或线性方程.) 1 (,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaAx = b . (2),21TT2T1mmbbbx或或)3(,T2T21T1mmbxbxbxx1a1 + x2a2 + + xnan = b . （4）