等差数列求和公式-4课件.ppt
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1、2.3.1 2.3.1 等差数列的求和公式 (第一课时) 1 1.数列前n项和的定义 一般地,称_ 为数列an的前n项和, 用Sn表示,即Sn _. Sn与通项an之间的关系: a1a2a3an a1a2a3an 新课讲解 知,an? S1,n1,SnSn1,n2. 2 2. 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn_ Sn_ n?a1an?2 na1n?n1?2d 求和公式变形: 2) 1 (1nnaaanaS?中中,?AdBAaBnAnSn2)2(123 等差数列前n项和公式的函数特征 (2)当A0,B0时,Sn0是关于n的常数函数(此时a10,
2、d0); 当A0,B0时,SnBn是关于n的正比例函数(此时a10, d0); 当A0,B0时,SnAn2Bn是关于n的二次函数(此时d0) (1)等差数列的前 n 项和公式 Snna1n?n1?2d 通过变形,可得Snd2n2?a1d2n 的形式我们可以令 Ad2,Ba1d2,则 Snna1n?n1?2d 可改写为 SnAn2Bn. 4 题型一题型一 与等差数列前与等差数列前n项和有关的基本量的计算项和有关的基本量的计算 (2)a14,S8172,求a8和d. (3)已知d2,an11,Sn35,求a1和n. (1)a156,an32,Sn5,求 n 和 d. 【例例1】 在等差数列an中
3、例题讲解 5 解解 (1)由题意,得 Snn?a1an?2n?563225, 解得 n15. 又 a1556(151)d32, d16. (2)由已知,得 S88?a1a8?28?4a8?2,解得 a839, 又a84(81)d39,d5. 6 (3)由? ana1?n1?d,Snna1n?n1?2d, 得? a12?n1?11,na1n?n1?2235,解方程组得? n5,a13或? n7,a11. 7 1. 在等差数列an中; (1)已知a610,S55,求a8和S10; (2)已知a3a1540,求S17. 解 (1)? S55a1542d5,a6a15d10, 解得 a15,d3. a
4、8a62d102316. S1010a11092d10(5)59385. (2)S1717?a1a17?217?a3a15?217402340. 跟踪练习 8 题型二题型二 利用利用Sn与与an的关系求的关系求an 解解 (1)当n1时,a1S1325. 当n2时,Sn132n1, 又Sn32n, anSnSn12n2n12n1. 【例 2】 (1)已知数列 an的前 n 项和 Sn32n,求 an. (2)数列 an的各项都为正数,且满足Sn?an1?24(nN*,求数列的通项公式an. 9 化简得(an1an)(an1an2)0, 因为an0,an1an2, 又4S14a1(a11)2得a
5、11, 故an是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an2n1. 又当又当 n1 时,时, a121115, an? 5 ?n1?,2n1 ?n2?. (2)法一法一 (消消 Sn);由;由 Sn?an1?24(nN*),得,得 4an14(Sn1Sn)(an11)2(an1)2 10 法二 (消 an):由上可知 2 Snan1,2 SnSnSn11(n2), 化简可得( Sn1)2Sn1, ( Sn Sn11)( Sn Sn11)0, 又 S11,an的各项都为正数, 所以 Sn Sn11. 所以 Snn,从而 Snn2, 所以 anSnSn12n1(n2),a11 也适合,故 an2n1
6、. 11 (2)已知一个数列的前 n项和为Snn2n1,求它的通项公式,问它是等差数列吗? 解 (1)a1S15, 当n2时,anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1, 当n1时也适合,an4n1. 1. (1)已知数列an的前n项和Sn2n23n,求an. 跟踪练习 12 (2)当 n2 时,anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n; 当 n1 时,a1S11,an? 1,n1,2n,n2. a2a14132, 数列an中每一项与前一项的差不是同一个常数, an不是等差数列 13 2已知数列an中,a12,nan+1S Sn+n(n+1) 求证:an是等差数列. 4
7、已知数列an中,a11,)2( ,1222?nSSannn, (1)求 an (2)设存在正数 k,使12)1).(1)(1 (21?nkSSSn对一切? Nn都成立,求 k 的最大值。 3 已知数列an中, a12,nnnSaSaSaS?24.24242211 ,求 an. 14 题型三题型三 求数列求数列|an|的前n项和 【例例3】 已知数列 an的前 n 项和 Sn32n22052n,求数列|an|的前 n 项和 Tn. 规范解答规范解答 a1S1321220521101. 当 n2 时, anSnSn1 ?32n22052n ?32?n1?22052?n1? 15 3n104. n1
8、也适合上式, 数列通项公式为an3n104(nN*) 由an3n1040,得n34.7. 即当n34时,an0;当n35时,an0,此时TnSnn210n; 当n5时,an5?. 跟踪练习 18 方法技巧 等差数列中创新型问题的求解策略 关于等差数列的创新型试题,常以图表、数阵、新定义等形式出现 【示例】 下表给出一个“ 等差数阵” : 4 7 ( ) ( ) ( ) a1j 7 12 ( ) ( ) ( ) a2j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a3j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a4j ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 aij 19 其中每行、每列都是等差数列,
9、aij表示位于第i行第j列的数 (1)写出a45的值; (2)写出aij的计算公式 解 (1)通过观察“ 等差数阵” 发现:第一行的首项为4,公差为3;第二行首项为7,公差为5.归纳总结出:第一列(每行的首项)是以4为首项,3为公差的等差数列,即3i1,各行的公差是以3为首项,2为公差的等差数列,即2i1.所以a45在第4行,首项应为13,公差为9,进而得出a4549. 20 (2)该该“ 等差数阵等差数阵” 的第一行是首项为4,公差为3的等差数列:a1j43(j1); 第二行是首项为7,公差为5的等差数列: a2j75(j1); 第i行是首项为43(i1),公差为2i1的等差数列,因此,ai
10、j43(i1)(2i1)(j1)2ijiji(2j1)j. 21 2.3.1 2.3.1 等差数列的求和公式 (第二课时) 22 1. 1. 等差数列前n n项和的性质 (1)Sm,S2m,S3m分别为an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差数列,公差为_. (2) (3)设两个等差数列 an、bn的前 n 项和分别为 Sn,Tn,则 anbnS2n1T2n1. m2d 新课讲解 (3)设两个等差数列 an、bn的前 n 项和分别为 Sn,Tn,则 anbnS2n1T2n1. 23 (3)若S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和,公差为d, 若 ,则S偶
11、S奇 = 若 , 则 kn2?kd12 ?kn?中偶中奇kaSakS) 1(kkSS1?偶奇24 思考:如果数列的前 n项和公式SnAn2Bn,其中A,B为常数,那么这个数列是否一定为等差数列? 提示:由Sna1a2a3an1an 得Sn1a1a2a3an1(n2) 由得anSnSn1(n2),S1a1, 又SnAn2Bn, 当n2时,anSnSn12AnAB. 当n1时,a1S1AB符合上式, an2AnAB(nN*) 数列an是等差数列,首项为AB,公差为2A. an? S1?n1?,SnSn1?n2?, 25 2. 2. 等差数列前n n项和的最值 (1)在等差数列an中 当 a10,d
12、0 时,Sn有_值,使 Sn取到最值的 n 可由不等 式组 确定; 当 a10 时,Sn有_值,使 Sn取到最值的 n 可由不等 式组 确定 (2)因为 Snd2n2?a1d2n,若d0,则从二次函数的角度看:当 d0 时,Sn有_值;当 d0 时,Sn有_值;且 n 取最接近对称轴的自然数时,Sn取到最值 最大 最小 最小 最大 ? an0an10 ? an0an10 26 题型一题型一 等差数列前等差数列前n项和性质的应用项和性质的应用 (2)一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和 (3)两个等差数列ann的前n项和分别为Sn,Tn, 1)若 , 求 ;
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