2016年华侨大学考研专业课试题823高等代数.pdf

1、 华侨大学 2016 年硕士研究生入学考试专业课试卷 （答案必须写在答题纸上） 招生专业 基 础 数 学 科目名称 高等代数 科目代码 823 一、 （本题满分一、 （本题满分 2020 分）分） 计算n阶行列式123naaaaaaaaDaaaaaaana，其中a是常数 二、 （本二、 （本题满分题满分 2020 分）分） 讨论, a b取什么值时，方程组1231231234224axxxxbxxxbxx 有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时，求出它的一般解。 三、 （本题满分三、 （本题满分 2020 分）分） 设我们有以下四个四维的实向量12(1,2,1,0) ,( 1,1,1,1

2、) ,TT 1(2, 1,0,1) ,T 2(1, 1,3,7)T。令112(,)VL 是由12, 生成的子空间，212(,)VL 是由12, 生成的子空间。求1V与2V的和12VV以及交12VV的基与维数。 四、 （本题满分四、 （本题满分 1515 分）分） 设是欧氏空间V上的一个变换，若对任意的向量,V ，都有( ( ), ( )( , ) ，其中( , ) 是V上的内积。求证：是V上的线性变换。 共 页 第 页 招生专业 基 础 数 学 科目名称 高等代数 科目代码 823 五、 （本题满分五、 （本题满分 2020 分）分） 设A是n阶正定矩阵。 证明：(1) 1A和kA都是正定的，

3、其中k是任意正整数。 （2）对任意的正实数, ,a b c，矩阵32naAbAcE也是正定的，其中nE是n阶单位矩阵。 六、 （本题满分六、 （本题满分 1515 分）分）设100101110A。 （1） 求A的特征多项式。 （2） 证明A在复数域上可对角化，但是A在有理数域上不可对角化。 七七、 （本题满分、 （本题满分 2020 分）分）设2( )12!nxxf xxn 。 （1） 证明：( )f x没有重因式。 （2） 证明：当n是素数时，( )f x在有理数域上是不可约的。 八八、 （本题满分、 （本题满分 2 20 0 分）分） 设, 是数域F上n维线性空间V的线性变换。 （1）证明：对非零向量V，存在正整数kn，使得由, ( ),( )k 生成的子空间W是的不变子空间，并求|W在一组基下的矩阵。 （2）证明：max的零度，的零度的零度的零度+的零度。 （注意：的零度是其核空间Ker的维数） 共 页 第 页