定积分在几何上的应用-ppt课件.ppt

1、定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 1ppt课件表示为niiixfU10)(lim1) 所求量 U 是与区间a , b上的某函数 f (x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过“分割分割, 近似近似, 求和求和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义一个整体量 ;2ppt课件第一步第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式Uxxfba

2、d)(这种分析方法成为元素法元素法 (或微元法微元法)近似值精确值3ppt课件四、四、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 4ppt课件1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(边梯形面积为 A ,右图所示图形面积为 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd5ppt课件xxy22oy

3、4 xyxy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有yyyd42A6ppt课件abxoyx12222byax解解: 利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxd7ppt课件)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与

4、 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Axyoa28ppt课件,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A 9ppt课件对应 从 0 变解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a到 2 所围图形面积 . 10ppt课件2

5、coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 211ppt课件定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.ni 10lims则称12ppt课件sdyxabo)()(bxaxfy)(xfy

6、弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs13ppt课件)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs14ppt课件)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :15ppt课件ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x416ppt课件)cos1 ()sin(ta

7、yttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa217ppt课件设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,18ppt课件xyoabxyoab)(xfy 2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbxaV 当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一

8、周围成的立体体积时,有2)(yyddycV xxoy)(yxcdy19ppt课件a2柱壳体积xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td0220ppt课件并与底面交成 角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .oRxyx21ppt课件xyoab设平面光滑曲线, ,)(1b

9、aCxfy求上的圆台的侧面积位于d,xxxsySd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abx22ppt课件xyo)(xfy abxsySd2d侧面积元素xyd2sddx2dy x的线性主部 .若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 )(2ttttd)()(22S侧面积为23ppt课件xRyo上绕在,21222RRxxxRyxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解解: 对曲线弧,21

10、22xxxxRy应用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式24RS1x2xozyx24ppt课件一周所得的旋转体的表面积 S .解解: 利用对称性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32绕 x 轴旋转 taytax33sin,cos25ppt课件1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A26ppt课件baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴 :4. 旋转体的侧面积sySd2d侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)yxxA2)(绕 y 轴 :(柱壳法)(xyy ,)(轴旋转绕xxyy 27ppt课件