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1、 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 3.4 圆轴扭转时的应力与强度条件圆轴扭转时的应力与强度条件 3.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件圆轴扭转时的变形与刚度条件3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 3.3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 纯剪切纯剪切第三章第三章 扭转与剪切扭转与剪切3.7 薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件的自由扭转 3.6 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念 3.8 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算和变形和变形3.9 密圈圆柱螺旋弹簧的应力密圈圆柱螺旋弹簧的应力 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例一一. 工程实例工程实例主要承受扭转

2、力矩的轴类零件主要承受扭转力矩的轴类零件FFFF二二. 受力特点受力特点:力偶矩作用面垂直轴线力偶矩作用面垂直轴线,即作用在横截面内即作用在横截面内四四. 变形特点变形特点任意两横截面产生相对转动任意两横截面产生相对转动五五. 主要研究对象主要研究对象以圆轴为主以圆轴为主(等直轴等直轴,阶梯轴阶梯轴,空心轴空心轴)三三. 受力简图受力简图圆轴扭转三维动画实例圆轴扭转三维动画实例:3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图一. 外力偶矩的计算外力偶矩的计算2. 给出功率给出功率, 转速转速Me=9549 Pn(N m)(kW)(r/min).3. 传动机构传动机构可根据传动比

3、进行计算可根据传动比进行计算1. 直接给出直接给出 Me(Nm) (Nm/m)m二二.横截面上的内力横截面上的内力MeMexMeMxMx截面法求内力：截面法求内力：切，取，代，平切，取，代，平Mx=MeMx为截面上的扭矩为截面上的扭矩按右手螺旋法：按右手螺旋法：指离截面为正，指离截面为正，Mx 指向截面为负。指向截面为负。三三. 内力图内力图(扭矩图扭矩图)如同轴力图一样如同轴力图一样,将将扭矩用图形表示称扭矩用图形表示称扭矩图扭矩图MxX Mx=0 Mx-Me=0 例例3-1 已知已知n PA PB PC PD, 作内力图。(1)计算外力偶矩计算外力偶矩MeA = 9549 PA/n =15

4、91.5 NmMeB =477.5 NmMeC =477.5 NmMeD =636.5 Nm(2) 采用正向假定采用正向假定内力的方法可省去内力的方法可省去切取代平的过程切取代平的过程Mx=-MeB=-477.5 NmMx=-MeB-MeC=-955 NmMx= MeD= 636.5 NmMx/Nm477.5955636.5MeBMeCMeAMeDMx图特点：图特点：1.有有Me作用处作用处,Mx图有突变图有突变,突变值突变值=Me2.无力偶作用段无力偶作用段,Mx图为水平线图为水平线3. 有均布力偶作用段有均布力偶作用段,Mx图为斜直线图为斜直线 向上方的向上方的Me产生正的产生正的Mx向下

5、方的向下方的Me产生负的产生负的Mx反之反之Mx(x) = m x列扭矩方程的简便方法列扭矩方程的简便方法:Mxmlx在正向假定内力的前提下在正向假定内力的前提下xlm 3.3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转纯剪切纯剪切一一. 薄壁筒扭转实验薄壁筒扭转实验MexdxMexdx实验观察实验观察dxdx没变没变D没变没变分析变形分析变形 x=0 =0 x=0 =0 由于取的为薄壁由于取的为薄壁,所以认为内壁与外壁变形相所以认为内壁与外壁变形相同同, 沿沿t均布用平衡方程可求得均布用平衡方程可求得: AxrdAM trMx22 二二. 切应力互等定理切应力互等定理取出微块取出微块由微块的平衡条件可知由

6、微块的平衡条件可知: 在受力构在受力构 中取出互相垂中取出互相垂直的两个平面直的两个平面,要有切应力要有切应力,必大小相等必大小相等,方向同时指向或方向同时指向或指离两个面的交线。这一现指离两个面的交线。这一现象称为切应力互等定理。象称为切应力互等定理。tdydx dytdxdxtdy 方向垂直于交线，方向垂直于交线，头对头或尾对尾。头对头或尾对尾。相互垂直两平面，相互垂直两平面，有切应力必成对有切应力必成对,切应力互等定理口诀切应力互等定理口诀三三. 纯剪切纯剪切四四. 剪切胡克定律剪切胡克定律Me 当六面体只有四个面上有应当六面体只有四个面上有应力且只有切应力的情况称纯剪力且只有切应力的情

7、况称纯剪切切,这种状态称纯剪切状态。这种状态称纯剪切状态。这是一种非常特殊也非常重要这是一种非常特殊也非常重要的状态，以后将经常遇到。的状态，以后将经常遇到。 Me P实验表明：实验表明： PGG 剪切胡克定律剪切胡克定律切变模量切变模量对各向同性材料对各向同性材料可以证明：可以证明：E,G, 三者关系三者关系: 12EG3-4 圆轴扭转时的应力与强度条件圆轴扭转时的应力与强度条件一一. 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力Me完全同薄壁筒扭转完全同薄壁筒扭转 dx推理：推理：外外 里里假设：假设：刚性平面刚性平面实验观察实验观察:d/2 d dxr rr r 1. 几何方程几何方

8、程 dddx2表面处表面处dxdddx r r r r r rr rr r处处2. 物理方程物理方程r r GdxdGG r r r rr r Mx三三. 静力方程静力方程dAMx r rr rr rAdMAx r rr r r r A2ddxdGAdAdxdGA2 r r PxGIMdxd 横截面对圆心横截面对圆心的极惯性矩的极惯性矩PGI抗扭刚度抗扭刚度PxIMr r r r pmaxWMx 令令抗扭截面模量抗扭截面模量maxppIWr r pmaxxmaxIMr r dAIA2P r r 令令pxIdxdGM 1. 实心圆截面实心圆截面直径直径ddAIA2P r r r rrd r r

9、r rr r 2d02d2 r rr r 2d03d232d2d4 16d3 maxPpIWr r 32d4 四四. IP Wp 计算计算2. 空心圆截面空心圆截面外径外径D内径内径ddAIA2P r r r rrrr r 2d22D2dr rr rd32d32D44 = d/D)1(32D44a a )1 (16D43a a 2D/132DIW44maxppa a r r 三三. 圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力由于圆轴扭转横截面上的由于圆轴扭转横截面上的应力分布是线性的，这时应力分布是线性的，这时不能象拉伸那样沿斜截面不能象拉伸那样沿斜截面切开，可以取微体来研究。切开，可以

10、取微体来研究。 a axy在表面处取出单元体为纯切在表面处取出单元体为纯切应力状态。求应力状态。求a a面上的应力面上的应力时可应用截面法：时可应用截面法： n a at a a a aa a 0na a a a2sin0t a aa aCOS2 a aa aCOS2a a a a2sin1. a a=f(a a), a a=g(a a)2. a a a a 有极值存在有极值存在3. 比较极值比较极值,求求 max max-0 45o - 0 90o 0 - 45o 0 0o a a a aa a)(90 mino ) (0 maxo )(45 - mino )(-45 maxo min ma

11、x 讨讨 论论 :四四. 圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件对等直轴对等直轴:危险截面为危险截面为Mxmax截面截面, 危险点为圆轴周边各点危险点为圆轴周边各点强度条件为强度条件为 为材料的许用切应力为材料的许用切应力WMpmaxxmax 对变截面轴对变截面轴:要各段分别计算，找要各段分别计算，找出出 max当当Mx=C，显然发生在，显然发生在dmin（Wpmin）处）处例例 3.2 已知已知: D=76mm,t=2.5mm, =100MPa 求求:(1)校核扭转强度校核扭转强度 (2)改为强度相同实改为强度相同实 心轴心轴,求求W空空/W实实安全安全 max=97.5mm9 .46D

12、105 .97198016D1631 max=97.5Wp1MPa5 .97 .max MxmaxWp.2 令实心轴令实心轴MPa597max =Mxmax.97105 W 6p Mxmax 3340 3.实空实空比较AAWW 显然显然,空心轴比实心轴的重空心轴比实心轴的重量轻量轻,节省了材料节省了材料. 在扭轴设计在扭轴设计中中,选用空心轴是一种合理的设选用空心轴是一种合理的设计计.3.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件圆轴扭转时的变形与刚度条件一一. 两横截面间绕轴线的相对扭转角两横截面间绕轴线的相对扭转角 由前节由前节PxGIMdxd dxGIMdPx dxGIMdL0PxL dLPxGIL

13、M 2. 当当Mx GIP在在分段内不变化分段内不变化时时1. 当当L段内段内Mx GIP均不变化时均不变化时 PiiiixIGLM 3. 当当Mx d沿沿x轴轴连续变化时连续变化时mdx)x(GI)x(ML0Px (rad/m) GIMxdxdP )m/(180GIMPmaxxmaxo 二二. 刚度条件刚度条件工程中的某些构件工程中的某些构件(车床主轴车床主轴凸轮轴凸轮轴)对刚度对刚度要求比较高要求比较高,衡量刚度衡量刚度(变形变形)的程度用单位长度的程度用单位长度工程中习惯采用工程中习惯采用 （/m）故刚度条件故刚度条件: 对于等直圆轴：对于等直圆轴：的扭转角的扭转角 。对圆轴扭转对圆轴扭

14、转刚度条件刚度条件: max对于等直圆轴对于等直圆轴maxmax pxWM180GIMPmaxxmax )/(mo强度条件强度条件: max 强度强度1.校核校核2.设计设计3.确载确载刚度刚度条件解决三类问题条件解决三类问题强度强度刚度刚度结构结构校核校核 满足满足 满足满足 满足满足设计设计 d1 d2 d1、d2max确载确载 Me1 Me2 Me1、Me2min强调强调:对扭转的轴来说对扭转的轴来说,一般情况下一般情况下,不论是校不论是校核、确载、设计三方面的问题必须要同时满核、确载、设计三方面的问题必须要同时满足强度、刚度条件。足强度、刚度条件。例例3.3 已知已知: PA=6kW、

15、PB=4kW、PC=2kW =30MPa 、= m、G=80GPa、n=208转转/min,求：求：d=？MeA MeBMeC计算外力矩计算外力矩:解解:(1) MeB=183.6Nm MeC=91.8Nm(2) 绘制扭矩图绘制扭矩图nP9549MAe Mx/Nm183.691.8(+)(-) MeA=275.4Nm 183.691.8Mx/Nm(+)(-)mN6 .183Mmaxx (3)由强度条件由强度条件WMpmaxxmax m105 .31Mx16d33max1 180GIMPmaxxmax mm34d,ddmax21 m1034GMx32d342max2 由刚度条件由刚度条件(4)四

16、四. 圆轴扭转时弹性变形能圆轴扭转时弹性变形能MeMe Me eM21WU1. 当当Mx沿沿x为连续函数为连续函数Mx（x）mU=W= Me 21 GIdx)x(MPx dxGI2)x(MU P2x 2. 当当Mx、GIP在分段内不变化在分段内不变化Pii iiIGMx L3. 当当L段内段内Mx、GIP不变化不变化 PGIMxL P2GI2LMxU Pii n1i2IG2UiiMx L4.比能比能若取单元体属纯剪切状态若取单元体属纯剪切状态 p G 比能比能222G 2G 21u 可以看出可以看出:变形能仍为载荷变形能仍为载荷(扭矩扭矩)的二次函数的二次函数.3.6 非圆截面杆扭转的概念非圆

17、截面杆扭转的概念一一. 非圆截面杆和圆截面杆扭转时的区别非圆截面杆和圆截面杆扭转时的区别变形特点变形特点: 刚性平面刚性平面横截面不再为平面横截面不再为平面. 前面的公式前面的公式均不适用均不适用.非圆截面用材料力学非圆截面用材料力学的理论方法求解不了的理论方法求解不了.书中结论书中结论均为弹性理论得到的结论均为弹性理论得到的结论.二二. 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转由切应力互等定理可证得由切应力互等定理可证得横截面上切应力分布特点横截面上切应力分布特点:1.周边的周边的 必与周边相切必与周边相切b hmax 12.外尖角处外尖角处1 .3 查表查表 b ba ahb I3tb b GIM

18、xLhbGMxLt3 b b max1 hbMx2maxa a 3.7 薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件的自由扭转本节只讨论薄壁杆件自由扭转时应力的分本节只讨论薄壁杆件自由扭转时应力的分布规律及开口、闭口薄壁杆件扭转时的区别布规律及开口、闭口薄壁杆件扭转时的区别及承载能力比较。及承载能力比较。一一. 开口开口tGIMxL tiiIMxd d 3in1iith31Id dh h h h修正系数修正系数Mx当壁厚变化时当壁厚变化时 发生在发生在 处处max maxd dh31MxIMx3iimaxtmaxmaxn1i d dd d d d 与边界相切与边界相切,形成顺流形成顺流二二. 闭闭 口口 Mxt

19、Mxtct2minminmax4GMxLs 2 t w w wdwdd d dd 称为剪力流称为剪力流max发生在发生在 处处mindbh tMx-中线所围面积中线所围面积w wS-中线长中线长例例3.5 已知已知:相同尺寸的有缝、无缝钢管相同尺寸的有缝、无缝钢管,截截面上扭矩面上扭矩Mx相同相同 , 比较抗扭强度、刚度比较抗扭强度、刚度.解解:设中径为设中径为d,壁厚为壁厚为tdt2 t21Mx2Mx w w dGt3MxL41 L42GMxsL w w 232dtMx3dt3/1Mxt 3332dtGMxL3td3/GMxL 设设20td 30td23 12 300)td(43212 可见

20、开口比闭口的强度和刚度都大大下降可见开口比闭口的强度和刚度都大大下降3.8 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算一一. 剪切构件的受力和变形特点剪切构件的受力和变形特点FF受力特点受力特点: 作用在构件两侧上外力的合力大小作用在构件两侧上外力的合力大小相等、方向相反，且作用线相距很近相等、方向相反，且作用线相距很近变形特点变形特点: 位于两个力间的截面位于两个力间的截面(剪切面剪切面)发生发生相相 对对 错动错动工程实例工程实例: 钉钉销钉销钉螺栓螺栓键（花键键（花键平键）平键）动动 画画 实实 例例 演演 示示内力分析内力分析: 比较复杂比较复杂实用计算方法实用计算方法: 根据剪切破坏的

21、实际情况根据剪切破坏的实际情况,作作出反映实际的假设出反映实际的假设,简化计算简化计算二二. 剪切的实用计算剪切的实用计算FF1. 认为受剪面上只有剪力认为受剪面上只有剪力FQ3. 切应力在受剪面上均匀分布切应力在受剪面上均匀分布2. 平行平行FQ,方向同方向同FQFFQF 剪切强度条件剪切强度条件 AFQ 单剪单剪 FQ=FFF双剪双剪 FQ=F/2FF应应用用破坏计算破坏计算 （安全销、安全阀、（安全销、安全阀、安全计算安全计算 (联接的钉、键要满足联接的钉、键要满足 剪切强度条件剪切强度条件)冲剪板冲剪板)三三. 挤压的实用计算挤压的实用计算联接件与被联接件之间接触联接件与被联接件之间接

22、触-挤压力挤压力 Fbs、挤压面、挤压面积挤压面、挤压面积Abs1.假定在挤压面上挤压应力是均匀分布的假定在挤压面上挤压应力是均匀分布的2.当接触面为圆柱形当接触面为圆柱形,用直径平面作为挤压面用直径平面作为挤压面挤压强度条件挤压强度条件AFbsbsbsbs dtbs tdtdAbs 3.9 密圈圆柱螺旋弹簧的应力和变形密圈圆柱螺旋弹簧的应力和变形a aFFd结构特点及主要尺寸结构特点及主要尺寸1. 实体圆截面弹簧实体圆截面弹簧2. dD=2R3. 54. 有效圈数有效圈数n一一.簧杆横截面上的内力簧杆横截面上的内力FRMx=FRFQ=F应用截面法应用截面法切切 取取 代代 平平FQ=FMx=

23、FR二二.簧杆横截面上的应力簧杆横截面上的应力FRMx=FRFQ=FFQA1 2Q1dF4AF Amax2 MxO3pxmax2dFR16wM )D2d1(dFR163max21max 讨讨 论论 :)D2d1(dFR163max 当当 时时, 10dD 05. 0D2d 33maxdFD8dFR16 可不考虑剪切影响可不考虑剪切影响 若考虑簧丝曲率及剪切的影响若考虑簧丝曲率及剪切的影响,引入引入修正系数修正系数dDc 3maxdFD8k 三三 弹簧的变形弹簧的变形FF FF Op2xGI2LMUF21W Rn2L 32dI4p 43GdnFR64 则则CF 令令nR64GdC34 弹簧刚度弹簧刚度例例 3-8已知某弹簧已知某弹簧,R=59.5mm,d=14mm,n=5,=350Mpa,G=80Gpa,=55.试校核试校核该弹簧的强度该弹簧的强度.由由43GdnFR64 得得N2510nR64GdF34 5 . 8dDC 由表由表3-2查出查出k=1.17Mpa325dFD8k3max 故故 符符 合合 要要 求求