小升初数学复习.pptx

1、小升初数学复习,数和数的运算,整数与自然数 整 数：自然数和0都是整数。 自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 计数单位 ：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 数位 ：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 数的整除 ：整数a除以整数b(b 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 如果数a能被数b（b 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是

2、相互依存的。 因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。,被2、3、5、 7、 9、11、13整除,被2整除的数：个位上是0、2、4、6、8的数能被2整除。 被5整除的数：个位上是0或者5的数能被5整除。 被3或9整除的数：一个数各位上的数的和，能被3（或9）整除，这个数就能被3（或9）整除。能被3整除的数不一定能被9

3、整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 例如：93、84、12能被3整除；738、153、1242、35685等能被9整除。 被7整除的数： 方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除。 例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13327，所以133是7的倍数； 又例如 判断6139是否7的倍数的过程如下：61392595 ， 595249，所以6139是7的倍数，余类推。 方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数

4、之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除。 如：判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。 如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除 如：判断383357能不能被13整除这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除 方法3

5、、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。 例如，判断456669能不能被7整除，456669-420000=36669，只要32669能被7整除即可。对32669可继续，32669-28000=4669，4669-4200=469，469-420=49，49当然被7整除，所以456669能被7整除。,被2、3、5、 7、 9、11、13整除,被11整除的数：除了前面讲的被7整除的方法二适用于11之外，还可以把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。 例如：判断491678能不能被11整

6、除。 奇位数字的和9+6+8=23 ，偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。 被13整除的数：除了前面讲的被7整除的方法二适用于13之外，还可以把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 例如：判断1284322能不能被13整除。128432+24=128440 ，12844+04=12844，1284+44=1300，130013=100 所以，1284322能被13整除。 倍数与约数 如果数a能被数b（b 0）整除，a就叫做

7、b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 3的倍数有：3、6、9、12其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。,偶数、奇数、质数、合数、约数,自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 偶数：能被2整除的数。 0是偶数。 奇数：不能被2整除的数叫做奇数。 性质：1 奇数偶数 2. 奇数奇数=偶数，偶数偶数=偶数，奇

8、数偶数=奇数 3 .奇数奇数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=偶数 4 .奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数 5. 若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数 6. 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数 7. 如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶 8. 两个整数的和与差的奇偶性相同 9. 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数 质数（或素数）：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数

9、（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。（自然数按其约数的个数的不同分：质数、合数和1。） 合数的质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=35，3和5 叫做15的质因数。,分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数

10、。例如：把28分解质因数 ：28=227 互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。 成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ； 相邻的两个自然数互质； 两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。 如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。 如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。 约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。

11、其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。 公倍数、最小公倍数 定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3的倍数有3、6、9、12、15、18 其中6、12、18是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。,质数性质的应用（一）,质数 合数 分解质因数 例1两个质数的和是33，求这两个质

12、数的积。 解答：两个质数的和是33，而33是奇数，必为一个奇数与一个偶数之和因为偶质数只有2，另一个质数只能为33-2=31，所以2与31的积为62。 例2用1，2，4，5，8中的三个数字组成最大的三位质数。 解答：因为个位数字是2，4，5，8的三位数必能被2或5整除，所以个位数字只能是1将个位数字是1的三位数从大到小逐个试验： 851=2327，851不是质数； 841=2929，841不是质数； 821不能被2至29的任何一个质数整除，所以821是所求的最大的三位质数。 例3有四个人，他们的年龄一个比一个大一岁，他们的年龄的乘积等于43680，求这四个人的年龄。 解答：因为这四个人的年龄的

13、乘积等于43680，所以这四个人的年龄是43680的约数先将43680分解质因数： 43680=2535713 =13（27）（35）24 =13141516 所以这四个人的年龄分别是13，14，15，16,质数性质的应用（二）,4求8400有多少个约数？ 解答：因为8400=243527，所以8400的约数个数为： （41）（1+1）（2+1）（1+1）=60个 5求有18个约数的最小自然数？ 解答：因为18=181=29=36=233，要使所求数最小，这个数为A=a12a22a3，其中a1，a2，a3为互不相同的质数，所以a1=2，a2=3，a3=5，A=22325=180，即有18个约数

14、的最小自然数为180。 6三个质数的乘积恰好等于它们的和的11倍，求这三个质数。 解答：设这三个质数分别为a、b、c，则 abc11（abc） 所以a、b、c中必有一个是11，不妨设是c=11，则上式变为 ab=ab11 变形，得 ab-a-b11 a（b-1）-（b-1）-111 （b-1）（a-1）=12=121=26=34 当b-1=12，a-1=1时，b=13，a=2； 当b-1=2，a-1=6时，b=3，a=7； 当b-1=3，a-1=4时，b=4，a=5 所以这三个质数为2，11，13或3，7，11,质数应用（一）,例1：两个质数的积是46，求这两个质数的和。 分析：两个质数的积是

15、46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数 只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决。 解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一个质数为462=23，所以2与23的和是25。 例2：用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？ 分析：首先考虑个位是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为243，423，253，523，453，543，最后

16、根据质数的判断方法，得到所求的质数。 解:如果组成的三位数的个位数字是2, 4, 5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数。,质数应用（二）,判断100以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数。判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数，为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除

17、，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除，9711=89，9713=76，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7去试除。 判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用20以内的八个质数去试除；判断500以内的质数，只需要2到23的质数去试除，其余可用类似的方法推出，同学们可以思考一下1000以内的质数如何判断？ 例：将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘

18、积相等。 分析：如果采用观察，计算调整的方法是比较麻烦的，要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据质因数的个数，进行适当的搭配，使能找出问题的答案。 解：将八个数分析质因数： 40=235 44=2211 45=325 63=327 65=513 78=2313 99=3211 105=357 这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13。因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45

19、，78，105。,质数应用（三）,一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。用数字式子表示为： 如果A分解质因数为： A=a1r1a2r2anrn 则A的全体约数的个数为： （r1+1）（r2+1）（rn+1） 例：有30个约数的最小自然数是多少？ 分析：设所求的数为A，则A有30个约数，因为30=301=215=310=56=235，要使A最小，一般使A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以A必为下列形式： A=a1a22a34 其中a1，a2，a3为互不相同的质数。 要使A最小， a1，a2，a3应尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=

20、5，这样 A=243251=720 解：因为30=301=152=103=65=532，而且题中要求有30个约数的最小的数，所以这个数是能表示为A=a1a22a34 ，其中a1，a2，a3为互不相等的质数，为了使A最小， a3=2，a2=3，a1=5 ，所以A=243251=720。,小数,小数的意义：把整数1平均分成10份、100份、1000份 得到的十分之几、百分之几、千分之几 可以用小数表示。 一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几 在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。

21、小数的分类 :纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：0.25 、 0.368 都是纯小数。 带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。 有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。 无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如： 4.33 3.1415926 无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如： 循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.

22、555 0.0333 12.109109 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如： 3.99 的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 的循环节是“ 54 ” 。 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 例如： 3.111 0.5656 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 3.1222 0.03333 写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。,分数,分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的

23、一份或者几份的数叫做分数。分母：表示把单位“1”平均分成多少份；分子：表示有这样的多少份。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。 分类：真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。 假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。 带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。 约分和通分：把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。 分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分

24、率 或百分比。百分数通常用“%”来表示。百分号是表示百分数的符号。 数的改写 ： 1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。 2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。 3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍

25、去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。,数的互化,数的互化： 一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。例如: 分母可以化成235 ，其中有2、5以外的质因数，就不可能化成有限小数。而 的分母只能化成225，就可化成有限小数。 小数化成百分数。 百分数化成小数。 分数化成百分数。 百分数化成小数 。,有关数的例题（一）,例1、0，1，54，208，4500都是（ ）数，也都是（ ）数 。 例2

26、、分数的单位是1/8的最大真分数是（ ），它至少再添上（ ）个这样的分数单位就成了假分数。 例3、一个数由三个6和三个0组成，如果这个数只读出两个零，那么这个数是（ ）。 （1）606060 （2）660006 （3）600606 （4）660600 例4、3.3时是（ ） （1）3小时30分 （2）3小时18分 （3）3小时3分 例5、在9.9的末尾添上一个0，原数的计数单位就（ ）。（1）扩大10倍 （2）不变 （3）缩小10倍 例6、找规律填数。 （1）1、2、4、（ ）、16、（ ）、64 （2）有一列数，2、5、8、11、14、问104在这列数中是第（ ）个数。 例7、一个正方形的边

27、长是一个奇数，这个正方形的周长一定是（ ） （1）质数 （2）奇数 （3）偶数,有关数的例题（二）,例8、8和5是（ ） （1）互质数 （2）质数 （3）质因数 例9、6是36和48的（ ） （1）约数 （2）公约数 （3）最大公约数 例10、如果a、b都是自然数，并且ab=4,那么数a和数b的最大公约数是（ ）。 （1）4 （2）a （3）b 例11、如果用a表示自然数，那么偶数可以表示为（ ）（1）a+2 (2)2a (3)a-1 (4)2a-1 例12、一个能被9、12、15整除的最小数是（ ） （1）3 （2）90 （3）180 例13、一个数被6、7、8除都余1，这个数最小是（ ）。

28、 例14、有9、7、2、1、0五个数字，用其中的四个数字，组成能同时被2、3、5整除的最小的四位数是（ ）。 例15、两个奇数的和（ ）（1）是奇数 （2）是偶数 （3）可能是奇数，也可能是偶数 例|16、一个合数至少有（ ）个约数。 （1）1 （2）2 （3）3 一次数学竞赛，结果学生中1/7获得一等奖，1/3获得二等奖，1/2获得三等奖，其余获纪念奖。已知参加这次竞赛的学生不满50人，问获纪念奖的有多少人？,数的整除、约分和通分,1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法。短除法是竖式除法的简化形式。它的计算特征是只写出除数和商，省略除法的一些笔算过程。例如： 2. 求几个数的最大公约数的方

29、法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数 。 3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。 4.约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。 5.通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。,数性质、规律与运算,性质：（一）商不变的规律 ：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的

30、倍，商不变。 （二）小数的性质：1、在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 2、小数点位置的移动引起小数大小的变化 。 （三）分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 四则运算：1、加法： 把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 加数+加数=和 一个加数=和另一个加数 2、减法： 已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 加法和减法互为逆运算。 3、乘法： 求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 在乘法里，0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。 一个因数 一个因数 =积 一个因数=积另一个因数 4、 除法： 已知两

31、个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 乘法和除法互为逆运算。 在除法里，0不能做除数。 被除数除数=商 除数=被除数商 被除数=商除数 乘积是1的两个数叫做互为倒数。 分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。,运算的应用（一）,总价= 单价数量 路程= 速度时间 工作总量=工作时间工效 总产量=单产量数量 （一）平均数问题： 总数量除以总份数。 （二）归一问题 1、 一次归一问题：用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。” 两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。” 正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，

32、再用乘法计算结果的归一问题。 反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。 解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。 2、数量关系式：单一量份数=总数量（正归一）； 总数量单一量=份数（反归一）。例： 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天？ 分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。693 0 （ 477 4 31 ） =45 （天） 归总问题： 例 ： 修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？

33、分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。 80 0 6 4=1200 （米）,运算的应用（二）,行程问题 解题关键及规律：（1）同时同地相背而行：路程=速度和时间。 （2）同时相向而行：相遇路程=速度和时间 （3）同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。 （4）同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差时间。 例 ：甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙？ 分析：甲

34、每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差。已知甲在乙的后面 28 千米 （追击路程）， 28 千米 里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8 （ 16-9 ） =4 （小时） 复杂的行程问题 1.自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发地点9千米处追上了自行车队，然后通讯员立即返回出发点，到后又返回去追上了自行车队，再追上时，恰好离出发点18千米，求自行车队和摩托车的速度？ 分析：比较复杂的行程问题，关键在于找到新的突破口，本题中给出了两次追击的路程，这就是突破口。 解答：从第一次追上到第二次追上

35、的过程中，自行车队进了189=9（千米），而摩托车行进了：18+9=27（千米），由此可知摩托车速度是自行车队的3倍，那么第一次追及开始时，自行车领先距离为：612=0.5(千米/分)，摩托车速度为：0.53=1.5(千米/分)。 评注：在行程问题中，条件与条件之间有密切关系，充分利用所有已知条件及由这些条件推导出的条件非常重要，而要掌握所有条件首先就需要把整个行程的过程弄清楚。,2、某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度前进，一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？ 分析：本题是与排头的追及问题和与排尾的相遇问题的结合。 解答：追排头用时为：450（31.

36、5）=300(秒)，回排尾用时为：450（31.5）=100(秒)，其用时400秒。 评注：队伍行进问题一般都可以归为追及或相遇问题。 3、学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七点回到学校，已知他们步行速度，平路为4千米/小时，上山为3千米/小时，下山为6千米/小时，问他们一共走了多少路？ 分析：往返路程可以分为四段，两段平路，一段上山，一段下山，求路程，我们就需要各段的行进时间。 解答：设同学们下山用时为t，由于上、下山路程相等，下山速度是上山的2倍，因此上山时间为2t，两段平路一共用时（63t）小时，总路程为：t62t3(63t)4=24(千米)

37、，即他们一共走了24千米。 评注：本题从条件的数量上并不足够确定平路及山路的长度，因为上、下山平均速度与平路速度相同，因此才能求得总路程。,植树问题 解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。 解题规律：沿线段植树 棵树=段数+1； 棵树=总路程株距+1；株距=总路程（棵树-1）； 总路程=株距（棵树-1） 例1、 有一条公路全长500米，从头至尾每隔5米种一棵松树。可种松树多少棵？ 解：5005 +1=101棵 例2、在一条长150米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽了102棵。每相邻两棵树之间的距离相等。相

38、邻两棵树之间的距离有多少米？ 解：150(1022-1)=3米 例3、从校门口到街口，一共插有30面红旗，相邻两面红旗相隔6米。从校门口到街口长多少米？ 解：6(30-1)=174米 沿周长植树 棵树=总路程株距；株距=总路程棵树 ；总路程=株距棵树。 例4、 在一个周长为600米的池塘周围植树，每隔10米栽一棵杨树，在相邻两棵杨树之间每隔2米栽1棵柳树。杨树和柳树各栽了多少棵？ 解：杨树：60010=60棵 柳树：(102-1)60=240棵,植树问题应用,例5：大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长。他俩的起点和走的方向完全相同。小明的平均步长54厘米，爸爸平均步长72厘米。由

39、于两人的脚印有重合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只有留下60个脚印。这个花圃的周长是多少米？ 分析：留下的脚印相当于种树。假设这个花圃的长是x米，那么爸爸留下的脚印是x72个，小明留下的脚印是x54个，他们重合的脚印应该是72与54的最小公倍数216处，即有重合的脚印有x216个，从而得解。 解： 例6：一个湖泊周围长1800米，沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽一棵桃树，湖泊周围各栽了多少棵柳树和桃树？ 分析：这是一道周围栽树的问题，根据公式，柳树应该是18003棵，桃树是每两棵柳树中间种一棵，株距应该是3米，所以同上。 解：柳树： 桃树： 例7：在某淡水湖四周筑成周

40、长为8040米的大堤，堤上每隔8米栽柳树一棵，然后在相邻两棵树之间每隔2米栽桃树一棵，应准备桃树多少棵?,x54,x72,x216,=,60,解得x=2160米。,18003=600棵,18003=600棵,分析：这道植树题就把我们所说的线路两端不植树和封闭性植树问题结合在一起。其实这道题你只要拆解开来分析一就很容易做出来。即栽柳树80408 棵，也就是大堤被柳树分成1005段。又在两相邻柳树之间的堤，被分为2米一段，共分为：82=4(段)。在两柳树之间栽桃树，由于两端不需要再栽桃树了，所以，桃树的棵树比段数少1，也就是相邻两棵柳树之间栽桃树4-1=3(棵)。因而，在整个大堤上共准备栽桃树为：

41、3X1005=3015(棵)。 例8：广场上的大钟6时敲6下,15秒敲完,12时敲响12下,需要用多长时间? 分析：这是有植树问题延伸出来的敲钟问题。解决这类题时，我们一定不要掉入陷阱中。 敲6下钟，中间隔了6-1=5个间隔 ，相当于两端植树; 所以，一个间隔需要的秒数为155=3秒 ;那么， 敲12下的间隔 为12-1=11个，所以， 敲12时需要113=33(秒) 解：一个时间间隔所需的时间为：15（6-1）=3秒， 12时12下所用时间应为：3（12-1）=33秒。,分数乘、除法应用（一）,分数乘法应用题： 是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。 特征：已知单位“1”的量和分率，

42、求与分率所对应的实际数量。 分数除法应用题： 甲是乙的几分之几（百分之几）:甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。 甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）。关系式（甲数减乙数）/乙数或（甲数减乙数）/甲数 。 已知一个数的几分之几（或百分之几 ) ,求这个数。特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量。 发芽率=发芽种子数/试验种子数100% 小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量100% 产品的合格率=合格的产品数/产品总数100% 职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数100% 工程问题： 解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就

43、是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。 数量关系式： 工作总量=工作效率工作时间 工作效率=工作总量工作时间 工作时间=工作总量工作效率 工作总量工作效率和=合作时间 缴纳的税款叫应纳税款。 应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ）的比率叫做税率。 存入银行的钱叫做本金。 取款时银行多支付的钱叫做利息。 利息与本金的比值叫做利率。 利息=本金利率时间 本利总额=本金（1+利率 时间）,分数乘、除法应用（二）,例1、春节后，一件大衣降价出售。如果按原价降价10%，仍可盈利60元；如果降价20%，就要亏损80元。这件大衣的进价是多少元？ 分析：按原价降价10%意思是

44、按原价的90%出售，如果降价20%意思是按原价的80%出售。可是利润却从盈利60元到亏损80元，双差140元。这140元不就是从按原价的90%降到80%中的降的10%造成的吗，即原价的10%是140元。所以原价为： （80+60） (1-10%)-(1-20%) =1400.1=1400元 所以进价为：1400*（1-10%）-60=1260-60=1200元 例2、修一段公路，甲队单独修15天完成，甲、乙两队合修要6天完成乙队单独修要多少天完成？ 分析：把工作总量这段路看作单位“1”，甲队每天修这段路的 ，甲、乙两队每天共修这段路的 。从而可以求出乙队的工作效率为（ ）。已知工作量“1”和乙

45、的工作效率就可以求出乙队单独修需要的时间 答：乙队单独修要10天完成,例3、一项工程，甲单独做要8天完成，乙单独做要12天完成如果甲先做了3天后，再由甲、乙两队合做，还要几天完成？ 分析：把这项工程看作单位“1”，甲、乙的工作效率分别是 和 。剩下的工作量是（1一 3），要求剩下的工作量甲乙合作做几天完成，就是用剩下的工作总量除以甲乙两人的工作效率的和。 答：再由甲、乙两队合做，还要3天完成。 练习：1、水结成冰后，体积增加了1/10，当冰融成水后， 体积减少几分之几呢？ 2、某车间原来有男工人数是女工人数的5/4，后来又调来2名女工，现在男工人数是女工人数的6/5。这个车间现在拥有多少名男工

46、人？ 例4、陈大娘在1999年5月1日那天把1000元存入了银行，到2002年5月1日取出时本金和税后利息共1064.8元，该储种的年率利是多少？（当时利息税按利息的20缴纳） 练习：王芳的妈妈3年前买的某种金融债券，其年利率是2.89，到期时共得本金和利息54335元。3年前，王芳的妈妈买了多少元的金融债券？,度量衡,长度：1毫米 1000微米 ； 1厘米 10 毫米 ； 1分米 10 厘米 ；1米 1000 毫米 ； 1千米 1000 米 面积：就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。 1平方厘米 100 平方毫米 ；1平方分米=100平方厘米 ； 1平方米 10

47、0 平方分米 ；1公顷 10000 平方米 ； 1平方公里 100 公顷 体积：就是物体所占空间的大小。 容积：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 体积单位 ：1立方米=1000立方分米; 1立方分米=1000立方厘米 容积单位 : 1升=1000毫升; 1升=1立方米; 1毫升=1立方厘米 质量：就是表示表示物体有多重。 一吨=1000千克 * 1千克=1000克 时间： 1年=365天 平年 ：一年=366天 闰年 ： 一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有31 天 ， 四、六、九、十一是小月 ，小月有30天 ；平年2月有28天，闰年2月有29天 。 1天= 2

48、4小时 ， 1小时=60分 ，一分=60秒； 1元=10角 ，1角=10分,代数初步知识,运算定律和性质 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律:(ab)c=a(bc) 乘法分配律:(a+b)c=ac+bc 例：25（4+8）= 254+ 258 30 5+30=30 (5+1) 减法的性质:a-(b+c) =a-b-c 简易方程 方程：含有未知数的等式叫做方程。注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 解方程 ：求方程的解的过程叫做解方程。,比和比例,比:两个数相除又叫做两个数的比。 “：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数