计量经济学第11章1-时间序列课件11.1-课件.ppt

1、第第11章章 时间序列分析时间序列分析 学习目标学习目标 知识目标知识目标：掌握时间序列相关概念、时间序列数据模型、掌握时间序列相关概念、时间序列数据模型、时间序列数据模型常见分类、时间序列数据的识别、估计时间序列数据模型常见分类、时间序列数据的识别、估计和检验；熟练掌握单位根检验与协整分析的原理。和检验；熟练掌握单位根检验与协整分析的原理。技能目标技能目标：通过本章的学习，通过本章的学习，熟练运用熟练运用Eviews软件建立时软件建立时间序列模型；熟练运用间序列模型；熟练运用Eviews软件进行的平稳时间序列与软件进行的平稳时间序列与非平稳时间序列的识别非平稳时间序列的识别、估计与检验；熟练

2、运用估计与检验；熟练运用Eviews软软件进行时间序列的协整分析。件进行时间序列的协整分析。能力目标能力目标：通过本章的学习，学会运用时间序列数据分析通过本章的学习，学会运用时间序列数据分析问题、解决问题，进而从中发现、提炼新的实际问题，最问题、解决问题，进而从中发现、提炼新的实际问题，最终培养学生独立的学习能力、思考能力以及创新能力；通终培养学生独立的学习能力、思考能力以及创新能力；通过时间序列数据的识别与估计，培养学生洞察经济问题的过时间序列数据的识别与估计，培养学生洞察经济问题的敏锐性、以及挖掘数据背后深层次经济规律的能力。敏锐性、以及挖掘数据背后深层次经济规律的能力。第第11章章 时间

3、序列分析时间序列分析 11.1 简介简介 11.2 平稳时间序列平稳时间序列 11.3 单位根检验单位根检验 11.4 协整分析协整分析 11.1 简介简介 时间序列是一个有序的观测值序列。通常是时间序列是一个有序的观测值序列。通常是按照时间观测到的，特别是按照等间隔时间区间按照时间观测到的，特别是按照等间隔时间区间观测。但也可以按照其他度量来观测，如空间。观测。但也可以按照其他度量来观测，如空间。时间广泛存在于各个研究领域。在农业领域，我时间广泛存在于各个研究领域。在农业领域，我们观测农作物的年度产量和价格等。在商业和经们观测农作物的年度产量和价格等。在商业和经济领域，我们观测股票的日收盘价

4、、周利息率、济领域，我们观测股票的日收盘价、周利息率、月价格指数等、季销售额和年利润等。在工程领月价格指数等、季销售额和年利润等。在工程领域，我们观测声音、电流信号和电压等。在社会域，我们观测声音、电流信号和电压等。在社会学领域，我们研究年度出生率、死亡率、各种犯学领域，我们研究年度出生率、死亡率、各种犯罪率等罪率等。 研究时间序列有各种各样的目的。它们包括研究时间序列有各种各样的目的。它们包括对数据生成机制的理解和描述，对未来值的预报，对数据生成机制的理解和描述，对未来值的预报，以及实现系统的最优化控制。时间序列的本质特以及实现系统的最优化控制。时间序列的本质特征主要表现为：观测值之间是相互

5、依赖或相关的；征主要表现为：观测值之间是相互依赖或相关的；观测值是有序的。因此，建立在独立性假设基础观测值是有序的。因此，建立在独立性假设基础上统计分析方法和技术不再能满足分析的需要，上统计分析方法和技术不再能满足分析的需要，必须建立不同于传统的统计方法，即时间序列分必须建立不同于传统的统计方法，即时间序列分析方法。析方法。 11.2 平稳时间序列平稳时间序列 非确定型过程即不能用一个（或几个）关于非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间时间t t的确定性函数描述的过程。例如，对尼罗河的确定性函数描述的过程。例如，对尼罗河河流水位的测量。其中每一时刻的水位值都是变河流水位的测量。其中每一时刻

6、的水位值都是变化的，不确定的，因此是一个随机变量。如果以化的，不确定的，因此是一个随机变量。如果以一年的水位纪录作为实验结果，便得到一个水位一年的水位纪录作为实验结果，便得到一个水位关于时间的函数关于时间的函数 。这个水位函数是预先不可确知。这个水位函数是预先不可确知的。只有通过测量才能得到。而在每年中同一时的。只有通过测量才能得到。而在每年中同一时刻的水位纪录是不相同的。不确定性过程通常采刻的水位纪录是不相同的。不确定性过程通常采用随机过程来描述。用随机过程来描述。随机过程定义：随机过程定义：由随机变量组成的一个有序序列称为由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为随机过程，记为 。其中

7、。其中S S表示样本表示样本空间，空间，T T表示序数集。对于每一个表示序数集。对于每一个t t， ， 是样本是样本空间空间S S中的一个随机变量。对于每一个中的一个随机变量。对于每一个 s, , s, , 过程在序数集过程在序数集T T中的一次实现。中的一次实现。,),(TtSstsXTtSs,.)( sX随机过程一般分为两类。随机过程一般分为两类。一类是离散型的，一类是连续一类是离散型的，一类是连续型的。如果一个随机过程型的。如果一个随机过程 对任意的对任意的 都是一个都是一个连续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过程。连续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过程。如果一个随机过程如

8、果一个随机过程 对任意的对任意的 都是一个离散型随都是一个离散型随机变量，则称此随机过程为离散型随机过程。机变量，则称此随机过程为离散型随机过程。)(.,tXtxTttxTt 严严( (强强) )平稳过程：平稳过程：一个随机过程中若随机变量的一个随机过程中若随机变量的任意子集的联合分布函数与时间无关，即无论对任意子集的联合分布函数与时间无关，即无论对T T的任何时间子集的任何时间子集 以及任何实数以及任何实数k, (ti + k) , ，i = 1, 2, , n 都有都有 (11.2.1)成立，其中成立，其中F F() () 表示表示n个随机变量的联个随机变量的联合分布函数，则称其为严平稳过

9、程。合分布函数，则称其为严平稳过程。,.,21nttt)(),.,(),()(),.,(),(2121ktXktXktXFtXtXtXFnn 如果一个随机过程如果一个随机过程m m阶矩以下的矩的取值全部阶矩以下的矩的取值全部与时间无关，则称该过程为与时间无关，则称该过程为m m阶平稳过程。比阶平稳过程。比如如 ，(11.2.2) ，(11.2.3) ， (11.2.4) 其中其中 , , 和和 为常数，不随为常数，不随 t t，k k变化而变化而变化，则称该随机过程变化，则称该随机过程 为二阶平稳过程为二阶平稳过程( (协方差平稳过程协方差平稳过程) )。该过程属于宽平稳过程。该过程属于宽平稳

10、过程。)()(ktXEtXEjj2)(var)(varktXtXii2)(),(cov)(),(covijjijiktXktXtXtX22ijtX时间序列：时间序列：随机过程的一次实现称为时间序列，随机过程的一次实现称为时间序列，也用也用 或或 表示。表示。 时间序列分析，一般来说不同于其它计量经时间序列分析，一般来说不同于其它计量经济学分支，其主要特征在于时间序列的顺序性，济学分支，其主要特征在于时间序列的顺序性，连续观测到的数据通常不再是独立，而是同其所连续观测到的数据通常不再是独立，而是同其所在位置相互相关，这点明显不同于经典的回归分在位置相互相关，这点明显不同于经典的回归分析，后者通常

11、可以假设数据是独立同分布。析，后者通常可以假设数据是独立同分布。tXtX 其均值为其均值为0 0，序列之间互不相关，方差为常数，序列之间互不相关，方差为常数，但一般不能保证其服从正态分布。白噪声在经济研但一般不能保证其服从正态分布。白噪声在经济研究、工程研究中都具有重要的作用，我们前面介绍究、工程研究中都具有重要的作用，我们前面介绍的单方程模型，通常要对误差进行假设，一般要求的单方程模型，通常要对误差进行假设，一般要求至少要保证其服从白噪声过程，否则就必须对重新至少要保证其服从白噪声过程，否则就必须对重新设定模型。如何分析误差是一个白噪声，一般采用设定模型。如何分析误差是一个白噪声，一般采用回

12、归后相应的残差分析，我们在后面将介绍相应的回归后相应的残差分析，我们在后面将介绍相应的检验统计量。检验统计量。【例例11-1】最简单的时间序列过程为白噪声最简单的时间序列过程为白噪声(white noise)，即，即 (11.2.5) ), 0(iiX2dt 为了陈述方面，我们先介绍时间序列中常用为了陈述方面，我们先介绍时间序列中常用一个表示概念：一个表示概念： L L称为滞后算子，其定义是称为滞后算子，其定义是 ，也就是把变量向前移动一个位置。实际上称前移也就是把变量向前移动一个位置。实际上称前移算子可能更合适，不过人们已经习惯称之为滞后算子可能更合适，不过人们已经习惯称之为滞后算子，也就没

13、有更改的必要。算子，也就没有更改的必要。11.2.1 平稳时间序列的分类平稳时间序列的分类nttnXXL 11.2.1.1 自回归过程自回归过程 如果一个剔出均值和确定性成分的线性过程可如果一个剔出均值和确定性成分的线性过程可表达为表达为tptptttXXXX.2211其中其中 ， 是自回归参数，是自回归参数， 是白噪声过程，则是白噪声过程，则称称 为为p p阶自回归过程，用阶自回归过程，用AR(AR(p p) )表示。表示。 是由它的是由它的p p个滞个滞后变量的加权和以及后变量的加权和以及 相加而成。相加而成。ipi，.21tttXtX引入引入滞后算子（滞后算子（lag operatorl

14、ag operator）L L： LXLXt t=X=Xt-1t-1, L, L2 2X Xt t=X=Xt-2t-2, , , , L Lp pX Xt t= =X Xt-pt-p( (* *) )式变换为式变换为 (1-(1- 1 1L- L- 2 2L L2 2- - - p pL Lp p)X)Xt t= = t t 记记 (L)=(L)=(1-1- 1 1L- L- 2 2L L2 2- - - p pL Lp p) ), ,则称多项式方程则称多项式方程 (z)= (z)= (1-1- 1 1z- z- 2 2z z2 2- - - p pz zp p)=0)=0为为AR(pAR(p

15、) )的的特征方程特征方程(characteristic equation)(characteristic equation)。 可以证明，可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于（根的模大于1 1），则），则AR(pAR(p) )模型是平稳的。模型是平稳的。 AR(1)AR(1)模型的平稳性条件模型的平稳性条件对对1 1阶自回归模型阶自回归模型AR(1)AR(1)tttXX1方程两边平方再求数学期望，得到方程两边平方再求数学期望，得到XtXt的方差的方差)(2)()()(122122tttttXEEXEXE由于由于X Xt t仅与仅与 t t相关

16、，因此，相关，因此，E(XE(Xt-1t-1 t t)=0)=0。如果该模型稳。如果该模型稳定，则有定，则有E(XE(Xt t2 2)=E(X)=E(Xt-1t-12 2) )，从而上式可变换为：，从而上式可变换为：22201X在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有 | | | |11。 而而AR(1)AR(1)的特征方程的特征方程01)(zz的根为的根为 z=1/z=1/ AR(1)AR(1)稳定，即稳定，即 | | | | 1 1，意味着特征根大于，意味着特征根大于1 1。 AR(2) AR(2)模型的平稳性模型的平稳性ttttXXX2211方

17、程两边同乘以方程两边同乘以XtXt，再取期望得：，再取期望得： )(22110ttXE对对AR(2)AR(2)模型模型 又由于又由于222211)()()()(tttttttEXEXEXE于是于是 222110同样地，由原式还可得到同样地，由原式还可得到0211212011于是方差为于是方差为 )1)(1)(1 ()1 (21212220由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有 1+1+ 21, 21, 2-2- 11, |11, | 2|12|1这就是这就是AR(2)AR(2)的平稳性条件的平稳性条件，或称为，或称为平稳域平稳域。它是一

18、顶点。它是一顶点分别为（分别为（-2,-1-2,-1），（），（2,-12,-1），（），（0,10,1）的三角形。）的三角形。 2 (0,1) 1 (-2, -1) (2, -1) 图图 11.2.1 AR(2)模型的平稳域模型的平稳域 对应的特征方程对应的特征方程1-1- 1 1z-z- 2 2z z2 2=0=0 的两个根的两个根z z1 1、z z2 2满足：满足： z z1 1z z2 2=-1/=-1/ 2 2 , , z z1 1+z+z2 2 =-=- 1 1/ / 2 2 ttttXXX2211AR(2)AR(2)模型模型解出解出 1 1， 2 22121zz21211zzz

19、z 由由AR(2)AR(2)的平稳性，的平稳性，| | 2 2|=1/|=1/|z z1 1|z|z2 2|1|11，有，有1)11)(11 (112121212121zzzzzzzz0)11)(11 (21zz于是于是| | z z2 2 |1 |1。由。由 2 2 - - 1 1 11可推出同样的结果。可推出同样的结果。 对高阶自回模型对高阶自回模型AR(pAR(p) )来说来说，多数情况下没有必要直，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性来检验高阶自回归模型的稳定性： (1)AR(p

20、) (1)AR(p)模型稳定的必要条件是模型稳定的必要条件是： 1 1+ + 2 2+ + + p p11 (2)(2)由于由于 i i(i(i=1,2,=1,2,p)p)可正可负，可正可负，AR(pAR(p) )模型稳定模型稳定的充分条件是：的充分条件是： | | 1 1|+|+| 2 2|+|+|+| p p|1|1 对于移动平均模型对于移动平均模型MR(qMR(q) )： X Xt t= = t t - - 1 1 t-1 t-1 - - 2 2 t-2 t-2 - - - - q q t-qt-q 其中其中 t t是一个白噪声，于是是一个白噪声，于是11.2.1.2 移动平均过程移动平

21、均过程MA(qMA(q) )模型的平稳性模型的平稳性 0)()()()(11qqtttEEEXE22111121322111122210),cov()(),cov()(),cov()1 (varqqttqqqqttqqqttqtXXXXXXX 当滞后期大于当滞后期大于q q时，时，XtXt的自协方差系数为的自协方差系数为0 0。因此因此: :有限阶移动平均模型总是平稳的有限阶移动平均模型总是平稳的。 由于由于ARMA (ARMA (p,qp,q) )模型是模型是AR(pAR(p) )模型与模型与MA(qMA(q) )模型模型的组合：的组合： X Xt t= = 1 1X Xt-1t-1+ +

22、2 2X Xt-2t-2 + + + + p pX Xt-pt-p + + t t - - 1 1 t-1 t-1 - - 2 2 t-2 t-2 - - - - q q t-qt-q11.2.1.3 ARMA(p,qARMA(p,q) )模型的平稳性模型的平稳性 而而MA(qMA(q) )模型总是平稳的，因此模型总是平稳的，因此ARMA (ARMA (p,qp,q) )模型的平稳性取决于模型的平稳性取决于AR(pAR(p) )部分的平稳性。部分的平稳性。 当当AR(pAR(p) )部分平稳时，则该部分平稳时，则该ARMA(p,qARMA(p,q) )模型是模型是平稳的，否则，不是平稳的。平稳

23、的，否则，不是平稳的。 最后，最后， （1 1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随）一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型；机过程或模型； （2 2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方）一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。应的平稳随机过程或模型。 因此，因此，如果我们将一个非平稳时间序列通过如果我们将一个非平稳时间序列通过d d次差分，次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的将它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q

24、ARMA(p,q) )模型作为它模型作为它的生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个的生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整自回归单整移动平均（移动平均（autoregressive integrated moving averageautoregressive integrated moving average）时间序列，记为时间序列，记为ARIMA(p,d,qARIMA(p,d,q) )。 例如，例如，一个一个ARIMA(2,1,2)ARIMA(2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之时间序列在它成为平稳序列之前先得差分一次，然后用一个前先得差分一次，然后用一个ARMA(2,2)

25、ARMA(2,2)模型作为它的生成模型作为它的生成模型的。模型的。 当然，当然，一个一个ARIMA(p,0,0)ARIMA(p,0,0)过程表示了一个纯过程表示了一个纯AR(pAR(p) )平稳平稳过程；一个过程；一个ARIMA(0,0,q)ARIMA(0,0,q)表示一个纯表示一个纯MA(qMA(q) )平稳过程。平稳过程。 一般来说平稳过程都可以由上述移动平均过程来加一般来说平稳过程都可以由上述移动平均过程来加以表示，这可以由以表示，这可以由WoldWold定理保证。定理保证。 WoldWold分解定理：分解定理：任何协方差平稳过程任何协方差平稳过程x xt t，都可以被表示，都可以被表示

26、为为 其中其中 表示表示 的期望。的期望。 表示表示 的线性确定性成分的线性确定性成分，如周期性成分、时间，如周期性成分、时间t t的多项式和指数形式等，可以直的多项式和指数形式等，可以直接用接用 滞后值预测。滞后值预测。 ， 。 为白噪为白噪声过程。声过程。 表示用表示用 的滞后项预测的滞后项预测t t时的误差时的误差 称为称为 的线性非确定性成分。当的线性非确定性成分。当 = 0 = 0时，称时，称 为纯线性非确定性过程为纯线性非确定性过程。02211.jjtjtttttdXtXtd1002jjtt,.),|(21tttttXXXEX0jjtjtXtdtXtXtXtX 11.2.2 平稳时

27、间序列建模的步骤平稳时间序列建模的步骤 所谓随机时间序列模型的识别所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一个平稳就是对于一个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随机过程或模型的随机时间序列，找出生成它的合适的随机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯即判断该时间序列是遵循一纯ARAR过程、还是遵循一纯过程、还是遵循一纯MAMA过程或过程或ARMAARMA过程。过程。 所 使 用 的 工 具所 使 用 的 工 具 主 要 是主 要 是 时 间 序 列 的时 间 序 列 的 自 相 关 函 数自 相 关 函 数（autocorrelation functionautocorrelation fun

28、ction，ACFACF）及）及偏自相关函数偏自相关函数（partial autocorrelation functionpartial autocorrelation function， PACFPACF ）。）。 11.2.2.1 识别识别(1)(1)自相关函数自相关函数ACFACF【例例11-211-2】，考查平稳，考查平稳AR(1)AR(1)过程的理论自相关函数关系过程的理论自相关函数关系 X Xt t= = X Xt-1t-1+ + t t 的的k k阶滞后阶滞后自协方差自协方差为：为：011)(kkttktkXXE =1,=1,2,2,因此，因此，AR(1)AR(1)模型的模型的自

29、相关函数自相关函数为为 kkk0 =1,=1,2,2, 由由AR(1)AR(1)的稳定性知的稳定性知| | | |11，因此，因此，k k时，呈指数时，呈指数形衰减，直到零形衰减，直到零。这种现象称为。这种现象称为拖尾拖尾或称或称AR(1)AR(1)有无穷记有无穷记忆忆（infinite memoryinfinite memory）。）。 注意注意， 00时，呈振荡衰减状。时，呈振荡衰减状。 11.2.2.2 自相关函数及其常见过程的特征自相关函数及其常见过程的特征 X Xt t= = 1 1X Xt-1t-1+ + 2 2X Xt-2 t-2 + + t t该模型该模型的方差的方差 0 0以

30、及滞后以及滞后1 1期与期与2 2期的自协方差期的自协方差 1 1, , 2 2分别为分别为 (2)(2)阶自回归模型阶自回归模型AR(2)AR(2) 2221100211212011类似地类似地, ,可写出一般的可写出一般的k k期滞后自协方差期滞后自协方差： 22112211)(kktttktkrXXXE(K=2,3(K=2,3) )于是于是, ,AR(2)AR(2)的的k k 阶自相关函数阶自相关函数为：为： 2211kkk(K=2,3(K=2,3) )其中其中 : : 1 1= = 1 1/(1-/(1- 2 2), ), 0 0=1=1 如果如果AR(2)AR(2)稳定，则由稳定，则

31、由 1 1+ + 2 21pkp，X Xt t与与X Xt-kt-k间的间的偏自相关系数偏自相关系数为零。为零。 AR(pAR(p) )的一个主要特征是的一个主要特征是: :kpkp时，时， k k* *= =Corr(Corr(X Xt t,X,Xt-kt-k)=0)=0 即即 k k* *在在p p以后是截尾的。以后是截尾的。一随机时间序列的识别原则：一随机时间序列的识别原则： 若若XtXt的偏自相关函数在的偏自相关函数在p p以后截尾，即以后截尾，即kpkp时，时， k k* *=0=0，而它的自相关函数而它的自相关函数 k k是拖尾的，则此序列是自回归是拖尾的，则此序列是自回归AR(p

32、AR(p) )序序列。列。1 1、AR(qAR(q) )过程过程 在实际识别时，由于样本偏自相关函数在实际识别时，由于样本偏自相关函数r rk k* *是总体偏自是总体偏自相关函数相关函数 k k* *的一个估计，由于样本的随机性，当的一个估计，由于样本的随机性，当kpkp时，时，r rk k* *不会全为不会全为0 0，而是在，而是在0 0的上下波动。但可以证明，当的上下波动。但可以证明，当kpkp时，时，r rk k* *服从如下渐近正态分布服从如下渐近正态分布: : r rk k* *N(0,1/n)N(0,1/n)式中式中n n表示样本容量。表示样本容量。 因此，如果计算的因此，如果计

33、算的r rk k* *满足满足 需指出的是，需指出的是，我们就有我们就有95.5%95.5%的把握判断原时间序列在的把握判断原时间序列在p p之后截尾。之后截尾。nrk2|* 对对MA(1)MA(1)过程过程 2 2、MA(qMA(q) )过程过程 1tttX可容易地写出它的可容易地写出它的自协方差系数自协方差系数： 0)1 (3221220于是，于是，MA(1)MA(1)过程的过程的自相关函数自相关函数为：为：0)1 (3221可见，当可见，当k1k1时，时， k k00，即，即X Xt t与与X Xt-kt-k不相关，不相关，MA(1)MA(1)自自相关函数是截尾的。相关函数是截尾的。 M

34、A(1) MA(1)过程可以等价地写成过程可以等价地写成 t t关于无穷序列关于无穷序列X Xt t，X Xt-1t-1，的线性组合的形式：的线性组合的形式：221ttttXXX 或或ttttXXX221（*） ( (* *) )是一个是一个AR(AR( ) )过程，它的偏自相关函数非截尾但过程，它的偏自相关函数非截尾但却趋于零，因此却趋于零，因此MA(1)MA(1)的偏自相关函数是非截尾但却趋于的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的。零的。 注意注意: : ( (* *) )式只有当式只有当| | |1|1时才有意义，否则意味着距时才有意义，否则意味着距XtXt越远越远的的X X值，对值，对Xt

35、Xt的影响越大，显然不符合常理。的影响越大，显然不符合常理。 因此，我们因此，我们把把| | |1|qkq时，时， X Xt t与与X Xt-kt-k不相关，即存在截尾现象，不相关，即存在截尾现象，因此，因此，当当kqkq时，时， k k=0=0是是MA(qMA(q) )的一个特征的一个特征。 于是：于是：可以根据自相关系数是否从某一点开始一直可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为为0 0来判断来判断MA(qMA(q) )模型的阶。模型的阶。 与与MA(1)MA(1)相仿，可以验证相仿，可以验证MA(qMA(q) )过程的偏自相关函数是过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。非截尾但趋于零的。

36、 MA(qMA(q) )模型的识别规则：模型的识别规则：若随机序列的自相关函数若随机序列的自相关函数截尾，即自截尾，即自q q以后，以后， k k=0=0（ kqkq）；而它的偏自相关函数是）；而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是滑动平均拖尾的，则此序列是滑动平均MA(qMA(q) )序列。序列。 同样需要注意的是同样需要注意的是：在实际识别时，由于样本自相关：在实际识别时，由于样本自相关函数函数r rk k是总体自相关函数是总体自相关函数 k k的一个估计，由于样本的随机性，的一个估计，由于样本的随机性，当当kqkq时，时，r rk k不会全为不会全为0 0，而是在，而是在0 0的上下波动

37、。但可以证明，的上下波动。但可以证明，当当kqkq时，时，r rk k服从如下渐近正态分布服从如下渐近正态分布: : r rk k N(0,1/n)N(0,1/n)式中式中n n表示样本容量。表示样本容量。 因此，因此，如果计算的如果计算的r rk k满足：满足：nrk2|我们我们就有就有95.5%95.5%的把握判断原时间序列在的把握判断原时间序列在q q之后截尾之后截尾。 ARMA(p,qARMA(p,q) )的自相关函数的自相关函数，可以看作，可以看作MA(qMA(q) )的自相关函数的自相关函数和和AR(pAR(p) )的自相关函数的混合物。的自相关函数的混合物。 当当p=0p=0时，

38、它具有截尾性质时，它具有截尾性质； 当当q=0q=0时，它具有拖尾性质；时，它具有拖尾性质； 当当p p、q q都不为都不为0 0时，它具有拖尾性质时，它具有拖尾性质 从识别上看，通常：从识别上看，通常： ARMA(pARMA(p，q)q)过程的偏自相关函数（过程的偏自相关函数（PACFPACF）可能在可能在p p阶滞阶滞后前有几项明显的尖柱（后前有几项明显的尖柱（spikesspikes），但从），但从p p阶滞后项开始逐渐阶滞后项开始逐渐趋向于零；趋向于零； 而而它的自相关函数（它的自相关函数（ACFACF）则是在则是在q q阶滞后前有几项明显的阶滞后前有几项明显的尖柱，从尖柱，从q q阶

39、滞后项开始逐渐趋向于零。阶滞后项开始逐渐趋向于零。 3 3、ARMA(pARMA(p, q), q)过程过程 表表 11.2.1 ARMA(p,q)模型的模型的 ACF与与 PACF理论模式理论模式 模型 ACF PACF 白噪声 0k 0*k AR(p) 衰减趋于零（几何型或振荡型） P 阶后截尾：0*k，kp MA(q) q 阶后截尾：，0k，kq 衰减趋于零（几何型或振荡型） ARMA(p,q) q 阶后衰减趋于零（几何型或振荡型） p阶后衰减趋于零（几何型或振荡型） 图图11.2.2 ARMA(p,q)模型的模型的ACF与与PACF理论模式理论模式 ACF PACF 模型模型1： tt

40、tXX17 . 00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1 模型 2： tttXX17 . 0 模型 3： 17 . 0tttX-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF2-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF2-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678ACF3-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678PACF3 模型 4：ttttXXX2149. 07 . 0 模型 5：117 . 07 . 0ttttXX-0.4-0.20

41、.00.20.40.612345678ACF4-0.4-0.20.00.20.40.612345678PACF4-1.2-0.8-0.40.00.40.812345678ACF5-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF5【例例11-9】 出口、进口对数差分数据偏自相关图，出口、进口对数差分数据偏自相关图，数据见表数据见表1。进口偏自相关图。进口偏自相关图 AR(pAR(p) )、MA(qMA(q) )、ARMA(p,qARMA(p,q) )模型的估计方法较多，模型的估计方法较多，大体大体上分为上分为3 3类：类： （1 1）最小二乘估计；）最小二乘估计； （2 2

42、）矩估计；）矩估计； （3 3）利用自相关函数的直接估计）利用自相关函数的直接估计。 下面有选择地加以介绍。下面有选择地加以介绍。结构阶数模型识别确定估计参数 11.2.2.4 平稳过程估计平稳过程估计1 1、AR(pAR(p) )模型的模型的Yule WalkerYule Walker方程估计方程估计 在在AR(pAR(p) )模型的识别中，曾得到模型的识别中，曾得到 pkpkkk2211利用利用 k k= = -k-k，得到如下方程组：，得到如下方程组： kppppppppp12112211211211 此方程组被称为此方程组被称为Yule WalkerYule Walker方程组方程组。

43、该方程组建该方程组建立了立了AR(pAR(p) )模型的模型参数模型的模型参数 1 1, , 2 2, , , p p与自相关函数与自相关函数 1 1, , 2 2, , , p p的关系，的关系， 利用实际时间序列提供的信息，利用实际时间序列提供的信息，首先首先求得自相关函数求得自相关函数的估计值的估计值 然后然后利用利用Yule WalkerYule Walker方程组，求解模型参数的估计方程组，求解模型参数的估计值值, 12p, 12p12011102120112pppppp由于由于 ptptttXXX11于是于是 pjiijjitE1,022从而可得从而可得 2 2的估计值的估计值 p

44、jiijji1,02在具体计算时，在具体计算时，k可用样本自相关函数可用样本自相关函数r rk k替代。替代。 MA(qMA(q) )模型的矩估计模型的矩估计 将将MA(qMA(q) )模型的自协方差函数中的各个量用估计量代模型的自协方差函数中的各个量用估计量代替，得到：替，得到： qkqkkqkqkkqk当当当01)(0)1 (112222212 首先首先求得自协方差函数的估计值，求得自协方差函数的估计值，( (* *) )是一个包含是一个包含(q+1)(q+1)个待估参数个待估参数 ( (* *) )221,q的非线性方程组，可以用的非线性方程组，可以用直接法直接法或或迭代法迭代法求解。求

45、解。 常用的迭代方法有常用的迭代方法有线性迭代法线性迭代法和和Newton-Newton-RaphsanRaphsan迭代法迭代法。问题的提出问题的提出 至今我们讨论的都是平稳时间序列，但是许多应用时间序至今我们讨论的都是平稳时间序列，但是许多应用时间序列过程是非平稳的，尤其是那些来自经济和商业领域的数列过程是非平稳的，尤其是那些来自经济和商业领域的数据。这些非平稳时间序列包括随时间变化的均值，时变的据。这些非平稳时间序列包括随时间变化的均值，时变的二阶矩，或者两者都有。二阶矩，或者两者都有。 一般来说，一个非平稳的时间序列往往可以通过差分化为一般来说，一个非平稳的时间序列往往可以通过差分化为

46、平稳过程，一个平稳过程再差分也同样是平稳的，不过过平稳过程，一个平稳过程再差分也同样是平稳的，不过过度差分则容易丢失数据中有用的信息。度差分则容易丢失数据中有用的信息。 因此，对数据进行平稳性检验很重要。我们这里主要介绍因此，对数据进行平稳性检验很重要。我们这里主要介绍非平稳的一种常见情况非平稳的一种常见情况-单位根及其检验。单位根及其检验。 11.3 单位根检验单位根检验 如果如果 其中其中 , , 为一平稳过程，且为一平稳过程，且 则称随机过程则称随机过程 是一单位根过程。是一单位根过程。11.3.1 单位根过程定义单位根过程定义tttXX11t.2 , 1 , 0,),cov(, 0)(

47、sEssttt 我们知道当数据平稳的时候，一般的我们知道当数据平稳的时候，一般的OLSOLS估计方法得到估计方法得到的估计结果通常具有良好的特性。如果时间序列是一的估计结果通常具有良好的特性。如果时间序列是一单位根过程，那么可以采用一次差的形式来处理数据。单位根过程，那么可以采用一次差的形式来处理数据。但是很多数据可能不是只含一个单位根，也可能包含但是很多数据可能不是只含一个单位根，也可能包含更多的单位根。通常我们把这些情况称为单整性更多的单位根。通常我们把这些情况称为单整性 。 单整性：单整性：若一个随机过程若一个随机过程 必须经过必须经过 次差分次差分之后才能变换成一个平稳的可逆的之后才能

48、变换成一个平稳的可逆的ARMAARMA过程，而当进过程，而当进行行 次差分还是一个非平稳过程，则称次差分还是一个非平稳过程，则称 是是 阶单整过程。用阶单整过程。用 表示。表示。 这样，前面定义的单位根过程就可以表示为这样，前面定义的单位根过程就可以表示为 ，平，平稳过程表示为稳过程表示为 。tX)(dIXt)1 (I)0(Id1dtXd存在单位根对回归分析的影响存在单位根对回归分析的影响 通常，如果两组或多组数据存在单整关系时候，回通常，如果两组或多组数据存在单整关系时候，回归分析会失效，归分析会失效，GrangerGranger和和NewboldNewbold（19741974）通过模拟得

49、）通过模拟得到的结论是，传统到的结论是，传统OLSOLS下的检验统计量如下的检验统计量如 统计量、统计量、DWDW、F F统计量，都表现出异常。统计量，都表现出异常。 比如比如t t统计量，其分布不再满足统计量，其分布不再满足t t分布，而是整体向分布，而是整体向左移动，也就是说传统的左移动，也就是说传统的 统计量，我们通常认为小于统计量，我们通常认为小于- -1.961.96，我们就要拒绝原假设成立，根据，我们就要拒绝原假设成立，根据GrangerGranger等的模拟等的模拟显示这个临界值要选择显示这个临界值要选择-3.41-3.41。 （1 1）不包含常数项）不包含常数项 （2 2）包含

50、常数项）包含常数项 （3 3）包含时间趋势项）包含时间趋势项11.3.2 AR(1) AR(1)过程中的单位根检验过程中的单位根检验tttYY 1), 0(, 0,2010iidyYYtttt), 0(, 0,2010iidyYatYtttt（1 1）不包含常数项）不包含常数项（2 2）包含常数项，常见的）包含常数项，常见的t t统计量统计量（3 3）包含时间趋势项）包含时间趋势项其中其中11.3.3 单位根检验的检验统计量及其分布单位根检验的检验统计量及其分布)(1sDF2/11022) r () 1) 1 ()(2/1 (drWW)(12)()(24) 1) 1 ()() 1 (12)()