(VIP专享)高等数学课件D8-4多元函数的复合.ppt
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1、2022-5-13多元函数第四节一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第八章 2022-5-13多元函数)(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数证证:
2、设 t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量且有链式法则vutt机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v ,2022-5-13多元函数,0t令,0,0vu则有to)( 全导数公式全导数公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,dd机动 目录 上页 下页 返回 结束 tvvztuuztzdddddd2022-5-13多元函数若定理中 说明说明: ),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但复合函
3、数),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0 , 0()0 , 0(vfvz偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.2022-5-13多元函数推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如, ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuz
4、yvvz机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, )(twtvtu2022-5-13多元函数又如,),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 这里xzxfxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导口诀口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导xfxvvfyvvf与不同,v机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-5-13多元函数例例1. 设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveu
5、sinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-5-13多元函数例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-5-13多元函数例例3. 设 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtt
6、tetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu ,costv 解解:tusintcos注意:多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.2022-5-13多元函数为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211
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