（新教材）高中数学人教A版选择性必修第三册-第七章-随机变量及其分布-全章课件.pptx

1、-1-7.1.1条件概率7.1.2全概率公式课前篇自主预习激趣诱思知识点拨春节期间,妈妈带着达娜去她的一个朋友家做客,闲谈时正巧碰到她的女儿回家,这时主人介绍说:“这是我的一个女儿,我还有一个孩子呢.”在回家的路上妈妈告诉达娜:“这个家庭有两个孩子,只知道有一个是女孩,另一个不太清楚.”于是达娜在想,另一个孩子也是女孩的可能性有多大呢?是50%的概率吗?你能帮达娜分析一下吗?课前篇自主预习激趣诱思知识点拨一、条件概率1.定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)0,我们称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.2.概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,

2、若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A).我们称该式为概率的乘法公式.名师点析对于条件概率需注意的问题(1)利用条件概率公式求P(B|A)时一定要注意P(A)0.(2)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条件发生的概率一般是不相同的.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考(1)P(B|A)与P(AB)有何区别?(2)若事件A,B互斥,则P(B|A)是多少?提示:(1)P(B|A)的值是事件AB发生相对于事件A发生的概率的大小;而P(AB)是事件AB发生相对于原来的总空间而言,一般P(B|A)P(AB).(2)A与B互斥,即A,B不同时发生,则P(AB)=0,故P

3、(B|A)=0. 课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习 解析:设A=“下雨”,B=“刮风”,AB=“既刮风又下雨”,则答案:C 课前篇自主预习激趣诱思知识点拨二、条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)0,则(1)P(|A)=1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A);课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习某人一周晚上值班2次,在已知他周日晚上一定值班的条件下,他在周六晚上或周五晚上值班的概率为.解析:设事件A=“周日晚上值班”,事件B=“周五晚上值班”,事件C=“周六晚上值班”,课前篇自主预习激趣诱思知识点拨三、

4、全概率公式1.定义:一般地,设A1,A2,An是一组两两互斥的事件,A1A2An=,且P(Ai)0,i=1,2,n,则对任意的事件B,有 ,我们称此公式为全概率公式.*2.贝叶斯公式:设A1,A2,An是一组两两互斥的事件,A1A2An=,且P(Ai)0,i=1,2,n,则对任意的事件B,P(B)0,有课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习设1 000件产品中有200件是不合格品,依次不放回地抽取两件产品,则第二次抽到的是不合格品的概率为.解析:设事件A=“第一次抽到的是不合格品”,事件B=“第一次抽到的是合格品”,事件C=“第二次抽到的是不合格品”,则AB=,且A与B互斥.由题意知答案:0.2

5、 课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用条件概率公式求条件概率利用条件概率公式求条件概率例1集合A=1,2,3,4,5,6,甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 1.在本例条件下,求乙抽到偶数的概率.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.若甲先取(放回),乙后取,设事件M为“甲抽到的数大于4”,事件N为“甲、乙抽到的两数之和等于7”,求P(N|M).课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形

6、成当堂检测变式训练1某校高三(1)班有学生40人,其中共青团员15人,全班分成4个小组,第一小组有学生10人,其中共青团员4人.从该班任选一人作为学生代表.(1)求选到的是共青团员的概率;(2)求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率;(3)已知选到的是共青团员,求他是第一小组学生的概率.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:设“选到的是共青团员”为事件A,“选到的是第一小组学生”为事件B,则“选到的既是共青团员又是第一小组学生”为事件AB.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测求互斥事件的条件概率求互斥事件的条件概率例2在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球,

7、其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球,从中依次不放回地摸2个球,求在摸出的第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:设“摸出的第一个球为红球”为事件A,“摸出的第二个球为黄球”为事件B,“摸出的第二个球为黑球”为事件C.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 当所求事件的概率相对较复杂时,往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和,求出这些较简单事件的概率,再利用P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)便可求得所求事件的概率.但应注意这个公式在“B与C互斥”这一前提下才成立.课堂篇探究学习探究一

8、探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从09中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:(1)任意按最后一位数字,不超过3次就按对的概率;(2)如果他记得密码的最后一位的数字不大于4,不超过3次就按对的概率.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测全概率公式的应用全概率公式的应用例3袋中装有编号为1,2,10的10个球,先从袋中任取一个球,如果该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回袋中,再摸一次,求取到2号球的概率.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测反

9、思感悟 利用全概率公式求概率为了求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事件,然后利用条件概率和概率的乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后将概率相加,得到最终结果,这一方法实质就是全概率公式的应用.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练31号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,求从2号箱取出的球是红球的概率.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测有放回条件概率与无放回条件概率的区别有放回条件概率与无放回条件概率的区别典

10、例一个口袋内装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球,下列两个问题的结果一样吗?(1)先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率是多少?(2)先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率是多少?课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:不一样.记“先摸出1个白球”为事件A,“再摸出1个白球”为事件B,则“先后两次都摸出白球”为事件AB.(1)先摸出1个球不放回,再摸出1个球共有43种结果,课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛 1.在计算条件概率时,首先把问题涉及的事件用A,B表示,然后根据已知条件求出P(A),P(B)

11、,P(AB),最后根据条件概率公式求出P(B|A)或P(A|B).2.在有放回和无放回两种前提下求得的概率是不相同的.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:B 课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.盒中有10只同一型号的螺丝钉,其中3只是坏的,现在从盒中不放回地依次抽取两只,则在第一只是好的的条件下,第二只是坏的概率为()解析:设事件A为“抽取的第一只是好的”,事件B为“抽取的第二只是坏的”,答案:B 课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.假定生男、生女是等可能的,一个家庭中有两个小孩,已知有一个是女孩,则另一个小孩是男孩的概率是.解析:一个家庭的两

12、个小孩只有4种可能:(男,男),(男,女),(女,男),(女,女).由题意可知,所求概率课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.5个乒乓球,其中3个新的,2个旧的,每次取一个,不放回地取两次,则在第一次取到新球的条件下,第二次取到新球的概率为.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.从1100共100个正整数中,任取一个数,已知取出的一个数不大于50,求此数是2或3的倍数的概率.解:设事件A为“取出的数不大于50”,事件B为“取出的数是2或3的倍数”,-35-7.2离散型随机变量及其分布列-36-第1课时课前篇自主预习激趣诱思知识点拨在射击运动中,运动员射击一次,可能出

13、现不中靶,命中1环,命中10环等结果,若用变量X表示他一次射击所命中的环数,则变量X取值情况如何?(变量X的结果可由0,1,10这11个数表示).课前篇自主预习激趣诱思知识点拨一、随机变量1.定义:一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点,都有唯一的实数X()与之对应,我们称X为随机变量.2.表示:通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析1.所谓随机变量,就是随机试验的试验结果与实数之间的一种对应关系,这种对应关系是人为建立起来,但又是客观存在的.2.随机试验的结果可用数量来表示,有些随机试验的结

14、果虽然不是数量,但可以将它数量化,如抛一枚硬币,所有可能的结果是“正面向上”“反面向上”,在数学中可以用“1”代表正面向上,用“0”代表反面向上.3.随机变量的每一种取值结果(即数)在随机试验前是无法预先确定的,在不同的试验中,结果也可能不相同.4.随机变量不仅具有取值的随机性,而且具有取值的统计规律性,即随机变量取某一个值或某些值的概率是完全确定的.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考随机变量和函数有类似的地方吗?提示:随机变量和函数都是一种对应关系,随机变量把样本点与实数对应,函数把实数与实数对应,由随机变量的定义知,样本点相当于函数定义中的自变量,样本空间相当于函数的定义域.课前篇自主预

15、习激趣诱思知识点拨微练习将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次,则可以作为随机变量的是()A.第一次出现的点数B.第二次出现的点数C.两次出现的点数之和D.两次出现相同点的种数答案:C课前篇自主预习激趣诱思知识点拨二、离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称之为离散型随机变量.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考下列随机变量中,不是离散型随机变量的是()A.某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数XB.某水位监测站所测水位在(0,18这一范围内变化,该水位监测站所测水位HC.从装有1红、3黄共4个球的口袋中,取出2个球,其中黄球的个数YD.将一个骰子连续抛掷3次,3次出现的点数和Z答

16、案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测随机变量的概念随机变量的概念例1判断下列各量是否为随机变量.(1)从编号为1到10的卡片中任取一张,抽出卡片的号数;(2)某辆动车到达某站的时间;(3)体积为1 000 cm3的球的半径.解:(1)抽出卡片的号数可能为1,2,10,出现哪种结果是随机的,因此是随机变量.(2)某辆动车到达某站的时间是在某一区间内的任意一值,是随机的,因此是随机变量.(3)当球的体积为1 000 cm3时,半径为定值,不是随机变量.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 对随机变量的理解(1)随机变量的取值是将随机试验的结果数量化;(2)随机

17、变量的取值对应于某随机试验的某一次随机结果;(3)有些随机试验的结果不具有数量关系,但我们仍可以用数量表示它;(4)对随机变量的所有可能取值都要明确,不能重复也不能遗漏.在一次随机试验中,随机变量的取值实质上是随机试验的结果所对应的数,且这个数所有可能的取值是预先知道的,但不知道究竟会出现哪一个.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1下列变量中,不是随机变量的是()A.一位射击手射击一次命中的环数B.在标准状态下,水沸腾时的温度C.某景点7月份每天接待的游客数量D.高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测离散型随机变

18、量的判定离散型随机变量的判定例2下列变量是离散型随机变量的是.(1)下期某闯关节目中过关的人数;(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差;(3)在郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50 m有一电线铁塔,从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号,其中某一电线铁塔的编号;(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29这一范围内变化,该水位站所测水位.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:(1)是离散型随机变量.因为过关人数可以一一列出.(2)不是离散型随机变量.因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出.(3)是离散型随机变量.因为电线铁塔为有限个,其编

19、号可以一一列出.(4)不是离散型随机变量.因为水位在(0,29这一范围内变化,对水位值不能按一定次序一一列出.答案:(1)(3)课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 将本例的(4)改为:若用X=0表示监测站所测水位没有超过警戒线,X=1表示监测站所测水位超过警戒线,x表示所测水位(警戒水位是29 m),X是离散型随机变量吗?课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 “三步法”判定离散型随机变量(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量.(2)由条件求解随机变量的值域.(3)判断变量的取值是否为有限个或能否一一列举出来.若能,则是离散型随机变量;否则,不是离散型

20、随机变量.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数;某网站中某歌曲一天内被点击的次数;射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,该射手在一次射击中的得分.其中,是离散型随机变量的是()A.B.C. D.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测离散型随机变量的取值离散型随机变量的取值例3写出下列随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)袋中有大小相同的红球10个、白球5个,从袋中每次任取1个球,取后不放回,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数;(2)从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中

21、任取2张,所取卡片上的数字之和.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)设所需要的取球次数为X,则X=1,2,3,4,10,11,X=i表示前i-1次取到的均是红球,第i次取到白球,这里i=1,2,3,4,11.(2)设所取卡片上的数字之和为X,则X=3,4,5,11.X=3表示取出标有1,2的两张卡片;X=4表示取出标有1,3的两张卡片;X=5表示取出标有2,3或1,4的两张卡片;X=6表示取出标有2,4或1,5的两张卡片;X=7表示取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片;X=8表示取出标有2,6或3,5的两张卡片;X=9表示取出标有3,6或4,5的两张卡片;X=10表示

22、取出标有4,6的两张卡片;X=11表示取出标有5,6的两张卡片.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 本例(2)的条件不变,设所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量,请问有哪些取值?其中=4表示什么含义?解:的所有可能的取值为1,2,3,4,5,共5个.“=4”表示取到标有1,5或2,6的两张卡片.反思感悟 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值,以及取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉某些试验结果.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取

23、的值表示的随机试验的结果.(1)某学生从学校回家要经过3个红绿灯路口,他可能遇到红灯的次数;(2)从含有10件次品的100件产品中任取4件,取到次品的件数X.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)可能的取值为0,1,2,3,=0表示遇到红灯的次数为0;=1表示遇到红灯的次数为1;=2表示遇到红灯的次数为2;=3表示遇到红灯的次数为3.(2)X可能的取值为0,1,2,3,4.X=0表示取出0件次品;X=1表示取出1件次品;X=2表示取出2件次品;X=3表示取出3件次品;X=4表示取出4件次品.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测列举法求解随机变量的可能取值列举法求

24、解随机变量的可能取值典例抛掷两枚质地均匀的骰子各一次,X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,求X的所有可能的取值.解:设第一枚骰子的点数为x,第二枚骰子的点数为y,则X=x-y.因为x=1,2,3,4,5,6,y=1,2,3,4,5,6,所以X=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5.方法点睛 求随机变量所有可能的取值时,为避免漏掉个别取值,可先用列举法列出随机试验包含的所有样本点,再根据随机变量的含义求出其所有可能的取值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.下列变量中,不是随机变量的是()A.2024年奥运会上中国取得的金牌数B.某网站一天的点击量

25、C.2016年奥运会上中国取得的金牌数D.某人投篮6次投中的次数答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.已知下列随机变量:10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;某道路斑马线一天经过的人数X;某运动员在一次110米跨栏比赛中的成绩X;在体育彩票的抽奖中,下一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是()A.B.C.D.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取3件,记次品的件数为,则2表示的试验结果是.解析:应分=0和=1两类.=0表示取到3件正品;=1表示取到1件次品、2件正品.故0时)的

26、概率.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)依题意,当取到2个白球时,随机变量X=-2;当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1;当取到2个黄球时,随机变量X=0;当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1;当取到1个黑球,1个黄球时,随机变量X=2;当取到2个黑球时,随机变量X=4.所以随机变量X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测所以X的分布列为 课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能的取值xi(i=1,2,n),并确定X=xi的意义;

27、(2)借助概率知识求出随机变量X取每一个值时的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,n);(3)列成表格的形式.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取出的黑球不再放回,第一次取出白球后停止,求取球次数X的分布列.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测离散型随机变量的分布列的性质离散型随机变量的分布列的性质例2设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求2X+1的分布列. 解:由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.当X=0,1,2,3,4时,2X+1=1

28、,3,5,7,9,故2X+1的分布列为2X+113579P0.20.10.10.30.3课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 若例2的条件不变,求随机变量=|X-1|的分布列.解:由例2,知m=0.3.列表为 X01234|X-1|10123故P(=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(=0)=P(X=1)=0.1,P(=2)=P(X=3)=0.3,P(=3)=P(X=4)=0.3.故=|X-1|的分布列为0123P0.10.30.30.3课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意

29、检验,以保证每个概率值均为非负数.2.求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.120.240.180.210.25商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.若表示经销一件该商品的利润,求的分布列.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:由题意得,的可能取值为200,250,300,则P(=

30、200)=P(=1)=0.12,P(=250)=P(=2)+P(=3)=0.24+0.18=0.42,P(=300)=P(=4)+P(=5)=0.21+0.25=0.46,故的分布列为200250300P0.120.420.46课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测两点分布两点分布例3一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球.(1)从中任意摸出1个球,用0表示摸出白球,用1表示摸出红球,即(2)从中任意摸出两个球,用Y=0表示“两个球全是白球”,用Y=1表示“两个球不全是白球”,求Y的分布列.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测故X的分布列为 课堂篇探究学习探究

31、一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 两点分布的特点(1)两点分布中只有两个对应结果,且两个结果是对立的.(2)由对立事件的概率求法可知P(X=0)+P(X=1)=1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测分布列在实际生活中的应用分布列在实际生活中的应用典例某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果.A配方

32、的频数分布表指标值分组 90,94) 94,98)98,102)102,106) 106,110频数82042228课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测B配方的频数分布表 指标值分组 90,94)94,98)98,102)102,106)106,110频数412423210(1)分别估计用A配方、B配方生产的产品的优质品率;(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标从用B配方生产的产品中任取一件,其利润记为X(单位:元),求X的分布列.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检

33、测(2)用B配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间90,94),94,102),102,110的频率分别为0.04,0.54,0.42,因此 P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,故X的分布列为X-224P0.040.540.42课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛 本题已知条件中有表格,有函数关系式,出现的概念、术语较多,是比较综合的一道统计概率问题.解答此类问题的技巧和关键在于理解题意,明确各种术语的联系,利用求频率及分布列的思路和方法,逐步求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.(2020浙江高三专题练习)

34、设随机变量X的概率分布列为 则P(|X-3|=1)=() 答案:D 课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数). X01234P0.10.20.40.2a则下列结论错误的是()A.a=0.1B.P(X2)=0.7C.P(X3)=0.4D.P(X1)=0.3答案:C 课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.设为一个离散型随机变量,其分布列为 则P(0)=. 课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为 ,现有甲、乙两人从

35、袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用表示取球终止所需要的取球次数.(1)求袋中所有的白球的个数.(2)求随机变量的分布列.(3)求甲取到白球的概率.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测故的分布列为 -101-7.3.1离散型随机变量的均值课前篇自主预习激趣诱思知识点拨某城市随机抽样调查了1 000户居民的住房情况,发现户型主要集中于160 m2,100 m2,60 m2三种,对应住房的比例为154,能否说该市的人均住房面积为 106.7(m2)

36、?此种计算显然不合理,忽略了不同住房面积的居民所占的比例,造成了“被平均”现象.那么如何计算人均住房面积更为合理呢?课前篇自主预习激趣诱思知识点拨一、离散型随机变量的均值一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示,Xx1x2xnPp1p2pn则称E(X)=x1p1+x2p2+xnpn= 为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考离散型随机变量的均值与分布列有什么区别?提示:离散型随机变量的分布列和均值虽

37、然都是从整体和全局上刻画随机变量的,但二者有所不同.分布列只给了随机变量取所有可能值的概率,而均值却反映了随机变量取值的平均水平.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习已知X的分布列为X-1012P则X的均值为() 答案:D 课前篇自主预习激趣诱思知识点拨二、两点分布一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=0(1-p)+1p=p.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习已知随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=0)=0.7,则E(X)=.解析:因为随机变量X服从两点分布,所以E(X)=0.3.答案:0.3课前篇自主预习激趣诱思知识点拨三、离散型随机变量均值的性质一般地,下面的结论成立

38、:E(aX+b)=aE(X)+b.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习已知随机变量X的分布列如下.X0123Pa则E(X)=,E(2X-1)=. 课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测求离散型随机变量的均值求离散型随机变量的均值例1某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值.课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测解:X的可能取值为1,2,

39、3,4,则P(X=1)=0.6,P(X=2)=(1-0.6)0.7=0.28,P(X=3)=(1-0.6)(1-0.7)0.8=0.096,P(X=4)=(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)1=0.024.所以在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列为X1234P0.60.280.0960.024E(X)=10.6+20.28+30.096+40.024=1.544. 课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟 求离散型随机变量均值的步骤(1)确定离散型随机变量X的取值;(2)写出分布列,并检查分布列的正确与否;(3)根据公式求出均值.课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测变式

40、训练1盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X的分布列及均值.课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测离散型随机变量的均值的性质离散型随机变量的均值的性质例2已知随机变量X的分布列为若Y=-2X,则E(Y)=. 课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟 若给出的随机变量与X的关系为=aX+b,a,b为实数.一般思路是先求出E(X),再利用公式E()=E(aX+b)=aE(X)+b求出E().课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测变式训练2已知随机变量和,其中=12+7,且E()=34,若的分布列如下表,则

41、m的值为()课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测解析:因为=12+7,所以E()=12E()+7,答案:A 课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测均值的实际应用均值的实际应用典例随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X.(1)求X的分布列.(2)求1件产品的平均利润(即X的均值).(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元

42、,则三等品率最多是多少?课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测故X的分布列为 X621-2P0.630.250.10.02课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测(2)E(X)=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02=4.34.故1件产品的平均利润为4.34万元.(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01=4.76-x(0 x0.29),依题意,E(X)4.73,即4.76-x4.73,解得x0.03,所以三等品率最多为3%.课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测方法点睛 解决与生

43、产实际相关的概率问题时,首先把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的均值.课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测跟踪训练某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 .现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测课堂篇探究学习探

44、究一探究二素养形成当堂检测1.已知随机变量X的分布列为 X123P0.20.5m则X的均值是()A.2B.2.1C.2.3D.随m的变化而变化解析:0.2+0.5+m=1,m=0.3.E(X)=10.2+20.5+30.3=2.1.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测则当a增大时,E()的变化情况是()A.E()增大B.E()减小C.E()先增大后减小D.E()先减小后增大课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测答案:B 课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测3.若X的分布列为 ,Y=2X+5,则E(Y)=. 课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测4.篮球运动员在比赛中

45、每次罚球命中得1分,不命中得0分.已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8,则他罚球一次得分X的均值是.解析:因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=10.8+00.2=0.8.答案:0.8课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测5.袋中有4个红球、3个白球,从袋中随机取出4个球.设取出一个红球得2分,取出一个白球得1分,试求得分X的均值.课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测所以X的分布列为 -134-7.3.2离散型随机变量的方差课前篇自主预习激趣诱思知识点拨学校举行踢毽子大赛,某班要在甲、乙两名同学中选出一名同学参加学校的决赛.若甲、乙两名同学每分钟踢毽子个数X

46、,Y的分布列分别为X90100110P0.10.80.1Y95100105P0.30.40.3那么最好选择哪名同学呢? 课前篇自主预习激趣诱思知识点拨一、离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2xnPp1p2pn考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X)2,(x2-E(X)2,(xn-E(X)2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度,我们称 D(X)=(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xn-E(X)2pn= (xi-E(X)2pi为随机变量X的

47、方差,有时也记为Var(X),并称 为随机变量X的标准差,记为(X).课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考随机变量的方差与样本的方差有何不同?提示:样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个随机变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常量而非变量.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习已知离散型随机变量X的分布列如下表

48、.X-1012Pabc若E(X)=0,D(X)=1,则a=,b=.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨二、离散型随机变量的方差的性质一般地,可以证明下面的结论成立:D(aX+b)=a2D(X).课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习已知X的分布列如下表.X-101P若Y=3X-1,则D(Y)的值为()A.-1B.5C.10 D.20答案:B 课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测求离散型随机变量的方差求离散型随机变量的方差例1袋中有20个大小相同的球,其中标记0的有10个,标记n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、均值和方差;(2)若Y=aX+

49、b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测解:(1)X的分布列为 课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测(2)由D(Y)=a2D(X),得a22.75=11,解得a=2.又E(Y)=aE(X)+b,所以当a=2时,由1=21.5+b,得b=-2;当a=-2时,由1=-21.5+b,得b=4.课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟 1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤: 课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测2.已知随机变量=a+b求D()时,注意D()=D(a+b)=a2D()的应用,这样既避免求随机变量的分布列,又避免繁

50、杂的计算,简化计算过程.课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测变式训练1袋中有除颜色外其他都相同的6个小球,其中红球2个、黄球4个,规定取1个红球得2分,1个黄球得1分.从袋中任取3个小球,记所取3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方差.课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二素养形成当堂检测离散型随机变量的方差的应用离散型随机变量的方差的应用例2甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相同,两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为:甲:X0123P0.30.30.20.2乙:Y012P0.10.