浙教版数学复习阶梯训练:二次函数及答案(优生集训)5.pdf
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1、 二次函数二次函数 (优生集训)(优生集训) 一、综合题一、综合题 1公司经销某种商品,经研究发现,这种商品在未来 40 天的销售单价 (元/千克)和成本价 (元/千克)关于时间 的函数关系式分别为 ( ,且 为整数) ; ,他们的图象如图 1 所示,未来 40 天的销售量 (千克)关于时间 的函数关系如图 2 的点列所示. (1)求 关于 的函数关系式; (2)哪一天的销售利润最大,最大利润是多少? (3)若在最后 10 天,公司决定每销售 1 千克产品就捐赠 元给“环保公益项目”,且希望扣除捐赠后每日的利润不低于 3600 元以维持各种开支,求 的最大值(精确到 0.01 元). 2某商店
2、销售一种商品,经市场调查发现:该商品的周销售量 y(件)是售价 x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润 w(元)的三组对应值如表: 售价 x(元/件) 60 70 80 周销售量 y(件) 100 80 60 周销售利润 w(元) 2000 2400 2400 注:周销售利润周销售量(售价进价) (1)求 y 关于 x 的函数解析式 (不要求写出自变量的取值范围) 该商品进价是 元/件;当售价是 元/件时,周销售利润最大,最大利润是 元 (2)由于某种原因,该商品进价提高了 m 元/件(m0) ,物价部门规定该商品售价不得超过 70元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然
3、满足(1)中的函数关系若周销售最大利润是1600 元,求 m 的值 3某宾馆共有 80 间客房.宾馆负责人根据经验作出预测:今年 5 月份,每天的房间空闲数 y(间)与定价 x(元/间)之间满足 y x42(x168).若宾馆每天的日常运营成本为 4000 元,有客人入住的房间,宾馆每天每间另外还需支出 36 元的各种费用,宾馆想要获得最大利润,同时也想让客人得到实惠. (1)求入住房间 z(间)与定价 x(元/间)之间关系式; (2)应将房间定价确定为多少元时,获得利润最大?求出最大利润? 4我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了 35 次线上销售,该种水果的成本价为每吨 4 万元,销售结
4、束后,经过统计得到了如下信息; 信息 1:设第 次线上销售水果 (吨) ,且第一次线上销售水果为 39 吨,然后每一次总比前一次销售减少 1 吨, 信息 2:该水果的销售单价 (万元/吨)与销售场次 之间的函数关系式为 ,且当 时, ;当 时, . 请根据以上信息,解决下列问题. (1) 与 之间的函数表达式为 ; (2)若 (万元/吨) ,求 的值; (3)在这 35 次线上销售中,哪一次线上销售获得利润最大?最大利润是多少? 5某公司经营杨梅业务,以 3 万元/吨的价格向农户收购杨梅后,分拣成 A、B 两类;B 类杨梅深加工后再销售,A 类杨梅的包装成本为 1 万元/吨,根据市场调查,平均
5、销售价格 y(单位:万元/吨)与销售数量 x(x2)之间的函数关系如图,B 类杨梅深加工总费用 s(单位:万元)与加工数量 t(单位:吨)之间的函数关系是 s12+3t,平均销售价格为 9 万元/吨, (1)直接写出 A 类杨梅平均销售价格 y 与销售量 x 之间的函数关系式; (2)第一次,该公司收购了 20 吨杨梅,其中 A 类杨梅有 x 吨,经营这批杨梅所获得的总利润为w 万元,求 w 关于 x 的函数关系式; (3)第二次,该公司准备投入 132 万元资金,请设计一种经营方案,使公司获得最大利润,并求出最大利润. 6如图,已知抛物线 与 轴交于 , 两点(点 在点 的左侧) ,与 轴交
6、于点 ,且 . (1)求抛物线的解析式: (2)如图,证明:对于 轴上任意一点 ,都存在过点 的直线交抛物线于 , 两点,使得 ; (3)将该抛物线在 之间的部分图象记为 ,将图象 在直线 下方的部分沿 翻折,其余部分保持不变,得到一个新的函数的图象,记这个函数的最大值为 ,最小值为 ,若 ,求 的取值范围. 7在平面直角坐标系中,O 为原点,A 为 x 轴正半轴上的动点,经过点 A(t,0)作垂直于 x 轴的直线 l,在直线 l 上取点 B,点 B 在第一象限,AB=4,直线 OB:y1=kx(k 为常数). (1)当 t=2 时,求 k 的值; (2)经过 O,A 两点作抛物线 y2=ax
7、(xt) (a 为常数,a0) ,直线 OB 与抛物线的另一个交点为 C. 用含 a,t 的式子表示点 C 的横坐标; 当 txt+4 时,|y1y2|的值随 x 的增大而减小;当 xt+4 时,|y1y2|的值随 x 的增大而增大,求 a 与 t 的关系式并直接写出 t 的取值范围. 8在平面直角坐标系中,A,B 分别是直线 ,抛物线 上的动点,其横坐标分别为 , . (1)点 B 的纵坐标用含有 n 的式子可表示为 . (2)连接 AB,当 轴,A 在 B 的右侧且 时,求 m 的值; (3)当 , 时,作直线 AB 交 y 轴于点 C,请直接写出 C 点纵坐标 y 的取值范围. 9如图,
8、在平面直角坐标系中,点 P 从原点 O 出发,沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动 t(t0)秒,抛物线 y=x2bxc 经过点 O 和点 P.已知矩形 ABCD 的三个顶点为 A(1,0) 、B(1,5) 、D(4,0). (1)求 c、b(用含 t 的代数式表示) ; (2)当 4t5 时,设抛物线分别与线段 AB、CD 交于点 M、N. 在点 P 的运动过程中,你认为AMP的大小是否会变化?若变化,说明理由;若不变,求出AMP的值; 求MPN的面积 S 与 t 的函数关系式,并求 t 为何值时,S= ; 在矩形 ABCD 的内部(不含边界) ,把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”
9、.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分,请直接写出 t 的取值范围. 10汈汊湖素有鱼米之乡的美誉,某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势,一次性收购了 淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售.若每天放养的费用均为 400 元,收购成本为 300000元.设这批淡水鱼放养 t 天后的质量为 m( ) ,销售单价为 y 元/ .根据以往经验可知:m 与 t的函数关系为 ;y 与 t 的函数关系如图所示. (1)分别求出当 和 时,y 与 t 的函数关系式; (2)设将这批淡水鱼放养 t 天后一次性出售所得利润为 w 元,求当 t 为何值时,w 最大?并求出最大值.(利润=销售总额-总成本) 11小
10、亮在学习完一次函数,反比例函数,二次函数后,从中心对称的角度思考函数图象上的点,发现所有的反比例函数图象上都存在不同的两点关于原点对称,经过探究,小亮发现一些一次函数、二次函数图象上也存在不同的两点关于原点对称. (1)下列给出的一次函数中,其图象上存在不同的两点关于原点对称的是 ; ; ; ; (2)已知二次函数 的图象上存在不同的两点 与 B 关于原点对称,其中 . 求 m 及 b 的值; 点 C 是该二次函数图象上点 A,B 之间的一个动点(含端点 A,B) ,若点 C 的纵坐标 t 最小值为 ,求此二次函数解析式. 12材料:对抛物线 ,定义:点 叫做该抛物线的焦点,直线 叫做该抛物线
11、的准线,且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决如下问题: 如图所示,已知抛物线 C: 的图象与 x 轴交于 O、A 两点,且过点 , (1)求抛物线 C 的解析式和点 A 的坐标; (2)若将抛物线 C 的图象先向左平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位得到抛物线 的图象. 求抛物线 的焦点坐标和准线方程. 设 M 为抛物线 位于第一象限内图象上的任意一点,MNx轴于点 N,求 MN+MA 的最小值,并求出取得这个最小值时点 M 的坐标. 13如果某封闭图形内部存在一个点.过该点的水平直线和沿垂直线交该图形的四个点到每个点的距离相等,我们称该图形叫做中心等距图
12、形、这个点叫做该图形的等距中心.如正方形就是中心等距图形,请根据该定义探究以下回题: (1)请写出两个常见几何图形是中心等距图形; (2)如图,在平面直角坐标系中,点 A(2,2) ,B(4,2) ,D(2,0) ,请判断四边形OABD 是否为中心等距图形,若是,求出等距中心的坐标;若不是,请说明理由. (3)如图,在平面直角坐标系中,点 A(1,1) ,函数 y (x0)的图象经过点 A,点C 在 x 轴上,过点 C 作 x 轴垂线交函数 y (x0)的图象于点 B(B 在 A 右侧) ,若以线段OA、OC、BC 和曲线 AB 所构成的封闭图形是中心等距图形,求点 C 横坐标的范围. (4)
13、如图,在平面直角坐标系中,点 A(0,2).B(4,2) ,C(4,0) ,若抛物线 y(xm)2及其内部与矩形 OABC 重叠部分所构成的图形是中心等距图形,请直接写出 m 的取值范围. 14如图,边长为 5 的正方形 的两边在坐标轴上,以点 为顶点的抛物线经过点 ,点 是抛物线上第一象限内一点,过 点作 于点 ,点 的坐标为 .连接 . (1)求抛物线的解析式; (2)求 的值; (3)在点 运动过程中,当 时,点 的坐标为; 连接 ,在的条件下,把 沿 轴平移(限定点 在射线 上) ,并使抛物线与 的边始终有两个交点,探究 点纵坐标 的取值范围是多少? 15如图,已知抛物线与 x 轴交于
14、点和两点,与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的解析式; (2)如图,点 M 为抛物线第二象限上一点,连接交线段于点 D,与的面积比为. 求点 M 的坐标; 过点 D 作直线轴,点 E 是直线 l 上的点,点 F 是抛物线上一动点,是否存在这样的 E、F,使得以 A,C,E,F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点 E,F 的坐标:若不存在,请说明理由. 16如图,在平面直角坐标系中,抛物线()与轴交于点,与轴交于,两点(点在点的右侧) ,且点的坐标为,连接,过点作交轴于点,. (1)求抛物线的解析式; (2)如图 1,点为射线上一点,点为第二象限内抛物线上一点,求四边形面积的最大值及
15、此时点的坐标; (3)如图 2,将原抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线,经过点,平移后点的对应点为点,点为线段的中点,点为新抛物线的对称轴上一点,在新抛物线上存在一点,使以点,为顶点的四边形为平行四边形,请直接写出点的坐标,并选择一个你喜欢的点写出求解过程. 17如图,抛物线 ,与 轴的正半轴交于点 ,与 轴的负半轴交于点 ,与 轴的负半轴交于点 ,且 . (1)求抛物线的解析式及顶点坐标; (2)将其图象在 , 之间的部分(含 , 两点)记为 ,若二次函数 的图象与 只有一个公共点,求 的取值范围. 18在平面直角坐标系中,已知抛物线 过点 , ,与 y轴的交点为 C. (1)求抛物线的解析式
16、; (2)若点 C 关于 x 轴的对称点为点 D,该抛物线上是否存在点 P,使得以点 A,B,D,P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)试画出函数 的大致图象,并直接写出方程 的根的个数. 19已知抛物线 yax2+bx. (1)若抛物线与一次函数 yx1 有且只有一个公共点,求 a、b 满足的关系式; (2)设点 Q 为抛物线上的顶点,点 P 为平面内一点,若点 P 坐标为(2,2), 3,且OPOQ,抛物线经过点 A(m,n)和点 B(4m,n),直线 PB 与抛物线的另一交点为 C. 求抛物线的解析式; 证明:对于任意实数 m,直线
17、AC 必过一定点. 20已知抛物线 的对称轴为直线 x=1. (1)求 a 的值; (2)若点 M( , ),N( , )都在此抛物线上,且-1 0,1 2.比较 和 的大小,并说明理由; (3)设直线 y=m(m0)与抛物线 交于 A、B,与抛物线 交于C、D,求线段 AB 与线段 CD 的长度之比. 21如图 1,在平面直角坐标系 中,已知抛物线 : ( ) (1)若抛物线过点 ,求出抛物线的解析式; (2)当 时, 的最小值是 ,求 时, 的最大值; (3)已知直线 与抛物线 ( )存在两个交点,若两交点到 轴的距离相等,求 的值; (4)如图 2,作与抛物线 关于 轴对称且对称轴相同的
18、抛物线 ,当抛物线 与抛物线 围成的封闭区域内(不包括边界)共有 11 个横、纵坐标均为整数的点时,直接写出 的取值范围 22定义:如果二次函数 ya1x2+b1x+c1(a10,a1,b1,c1是常数)与 ya2x2+b2x+c2(a20,a2,b2,c2是常数)满足 a1+a20,b1b2,c1+c20,则这两个函数互为“N”函数. (1)写出 yx2+x1 的“N”函数的表达式; (2)若题(1)中的两个“N”函数与正比例函数 ykx(k0)的图象只有两个交点,求 k 的值; (3)如图,二次函数 y1与 y2互为“N”函数,A、B 分别是“N”函数 y1与 y2图象的顶点,C 是“N”
19、函数 y2与 y 轴正半轴的交点,连接 AB、AC、BC,若点 A(2,1)且ABC为直角三角形,求点 C 的坐标. 23如图,抛物线 与 轴交于点 和点 ,交 轴于点 ,连接 , ,已知 ,且 的面积为 . (1)求抛物线的解析式; (2)点 是直线 上方抛物线上一动点,过点 作 轴,交直线 于点 .抛物线上是否存在点 ,使以 , , , 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由. 24在平面直角坐标系中,已知抛物线和直线 l:y=kx+b,点 A(-3,-3),B(1,-1)均在直线 l 上. (1)若抛物线 C 与直线 l 有交点,求 a 的取值范围;
20、(2)当 a=-1,二次函数的自变量 x 满足 mxm+2 时,函数 y 的最大值为-4,求m 的值; (3)若抛物线 C 与线段 AB 有两个不同的交点,请直接写出 a 的取值范围. 25如图,抛物线 经过点 ,与 轴交于点 和点 (点 在点 的右边) ,且 . (1)求抛物线的解析式和顶点坐标; (2)如图 1,点 、 在直线 上的两个动点,且 ,点 在点 的上方,求四边形 的周长的最小值; (3)如图 2,点 为抛物线上一点,连接 ,直线 把四边形 的面积分为 3:5 两部分,求点 的坐标. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【分析】 (1)设 0t30 时的解析式为 m=k1t+b1,
21、将点(0,120) , (30,180)代入可得 k1,b1,据此可得函数解析式;同理可得 30t40 时对应的函数解析式; (2)设销售利润为 w,根据 w=(y1-y2)m 表示出 w,结合二次函数的性质可得 w 的最大值; (3)由题意可得:w=(y1-y2-a)(4t+60),对其进行化简,然后结合二次函数的性质进行求解. 【解析】【解答】解: (1)该商品进价是 60200010040(元/件) ; 由题意得: wy(x40) (2x+220) (x40) 2x2+300 x8800 2(x75)2+2450, 二次项系数20,抛物线开口向下, 当售价是 75 元/件时,周销售利润最
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