浙教版数学九上复习阶梯训练:二次函数 (优生集训)1(教师用卷).pdf
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1、 二次函数二次函数 (优生集训)(优生集训)1 1 一、综合题一、综合题 1如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 与 轴交于 , 两点,与 轴交于点 ,已知 ,直线 的解析式为 . (1)求抛物线的解析式; (2)在线段 上有一动点 ,过点 作 交抛物线于点 ,过点 作 轴的平行线交 于点 .求 的最大值,以及此时点 的坐标; (3)如图 2,将该抛物线沿 轴向下平移 5 个单位长度,平移后的抛物线与坐标轴的交点分别为 , , 在平面内找一点 ,使得以 , , , 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出点 的坐标. 【答案】(1)解:直线 y=x-3, B(3,0),C(0,3), A(-1,0
2、), , 解得 , 抛物线的解析式为 . (2)解:直线 y=x-3, B(3,0),C(0,3), OB=OC , OCB=OBC=45, ,EFy轴, DEF=DFE=45, DE=DF= , , 设点 E(x, ),则点 F(x,x-3), EF= =(x-3)-( ) = , DE= , , , 有最大值, 当 x= 时,取得最大值,且最大值为 , 当 x= 时,y= = , 故 的最大值为 ,此时点 的坐标为( , ). (3)解:点 M 的坐标为(6,-8)或(-6,-8)或(2,8). 【解析】【解答】解: (3)抛物线沿 轴向下平移 5 个单位长度的到的解析式为 y= , =0
3、, 解得 x=-2 或 x=4, , , , 当 AB 是平行四边形的一边时, 则 x轴,过点 作 x轴,垂足为 E, 故 M 的纵坐标一定是-8, 当 时, = , , , = =2, OE=6, (6,-8), 同理可求得 (-6,-8), 当 AB 是平行四边形的对角线时,过点 作 Gx轴,垂足为 G, 设对角线的交点为 H,则 H(1,0) , , , , = =1, ,OH=2, (2,8), 综上所述,点 M 的坐标为(6,-8)或(-6,-8)或(2,8). 【分析】 (1)易得 B(3,0) 、C(0,3) ,将 A、B、C 代入 y=ax2+bx+c 中可求出 a、b、c 的
4、值,据此可得抛物线的解析式; (2)根据点 B、C 的坐标可得 OB=OC,则OCB=OBC=45,DEF=DFE=45,表示出 DE、EF,设 E(x,x2-2x-3) ,则 F(x,x-3) ,表示出 EF,进而可得 DE,推出 EF-DE=DE,然后结合二次函数的性质进行解答; (3)抛物线沿 y 轴向下平移 5 个单位长度的到的解析式为 y=x2-2x-8,令 y=0,求出 x 的值,可得点A1、B1的坐标,当 AB 是平行四边形的一边时,C1M1x轴,过点 M1作 M1Ex轴于点 E,故 M 的纵坐标一定是-8,当 B1M1C1A1 时,证明B1M1E A1C1O,得到 OE 的值,
5、进而可得点 M1的坐标;当 AB 是平行四边形的对角线时,过点 M3作 M3Gx轴,垂足为 G,证明HM3GHC1O,得到点 M 的坐标. 2在平面直角坐标系中,将一点(横坐标与纵坐标不相等)横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“H 点”,如(2,-3)与(-3,2)是一对“H 点”. (1)点 和它的“H 点”均在直线 上,求 k 的值; (2)若直线 经过的 A,B 两点恰好是一对“H 点”,其中点 A 还在反比例函数 的图象上,一条抛物线 也经过 A,B 两点,求该抛物线的解析式; (3)已知 ,B 为抛物线 上的一对“H 点”,且满足: , ,点 P 为抛物线上一动点,若该抛物线上有
6、且仅存在 3 个点 P 满足PAB的面积为 16,求 的值. 【答案】(1)解:由题意知,点 和点 均在直线 上, 则 两式相减得 , . (2)解:设 点坐标为 , 点 在反比例函数 的图象上, . 又 , 是一对“H 点”,且都在直线 上, 由(1)知 , ,即 . 由 解得 或 这一对“H 点”的坐标为(1,2)和(2,1). 抛物线 也经过 A,B 两点, 则 解得 抛物线的解析式为 (3)解: , , , , , 点 A 的坐标为(-1,3) ,点 B 的坐标为(3,-1) , A,B 在抛物线 上, 解得 二次函数关系式为 . 过点 作 交 轴于点 , 该抛物线上有且仅存在 3 个
7、点 满足 的面积为 16, 直线 PQ 与抛物线有且只有一个交点, 设直线 AB 的函数关系式为 , 把 和 代入得 解得 直线 AB 的函数关系式为 . 设直线 AB 与 y 轴的交点为 D,则 . 由 ,设直线 PQ 的函数关系式为 , , , . 当 时,如图 1,在 AB 下方有一个点 P,上方必有两个点 满足条件, 点 Q 的坐标为 . 直线 PQ 的函数关系式为 , 联立方程组 消元得 , ,解得 , , , ; 当 时,如图 2,在 AB 上方有一个点 P,下方必有两个点 满足条件, 点 Q 的坐标为 . 直线 PQ 的函数关系式为 , 联立方程组 消元得 , ,解得 , , ,
8、 , 综上所述, 或 9. 【解析】【分析】 (1)将(m,n) 、 (n,m)代入 y=kx+a 中,并将两式相减可得 k(m-n)=(n-m),据此可得 k 的值; (2)设 A(m,n) ,则 mn=2,结合题意可得 m+n=3,联立求解可得 m、n 的值,据此可得这一对“H点”的坐标,然后代入 y=x2+bx+c 中求出 b、c,据此可得抛物线的解析式; (3)根据 m+n=2、mn=-3、m0 时,在 AB 下方有一个点 P,上方必有两个点 满足条件,求出直线 PQ 的解析式,联立二次函数解析式并结合判别式可得 a 的值,进而可得 b、c 的值;当 a0,据此求解; (3)易得 A(
9、3,0) ,设 AM 所在直线为 y=k1(x-3),则 AN 所在直线为 y=- (x-3),联立二次函数与直线 AM 的解析式求出 x、y,可得点 M 的坐标,同理求出点 N 的坐标,表示出直线 MN 的解析式,将点 M 的坐标代入表示出 k,进而用含 k1的式子表示出直线 MN 的解析式,令 x=3,求出 y 的值,据此判断. 12在平面直角坐标系中,若直线 与函数 G 的图象有且只有一个交点 P.则称该直线 l 是函数 G 关于点 P 的“联络直线”,点 P 称为“联络点”. (1)直线 是函数 的“联络直线”吗?请说明理由; (2)已知函数 ,求该函数关于“联络点” 的“联络直线”的
10、解析式; (3)若关于 x 的函数 图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点C,点 P 是 y 轴上一点,分别过点 P 作函数 关于点 M,N 的“联络直线”PM、PN.若直线 恰好经过 M、N 两点,请用含 a 的式子表示线段 PC 的长. 【答案】(1)解:由题意得 ,整理得 , 0, 直线 与函数 没有交点, 直线 不是函数 的“联络直线” (2)解:设“联络直线”的解析式为 , ,整理可得 , 直线 与函数 G 的图象有且只有一个交点 P , ; 把“联络点” 代入 得 , 解得 ,进而可得 , “联络直线”的解析式为 ; (3)解:由 ,令 x = 0,可得 , 点 C 为
11、 ; 点 M,N 在函数 ,直线 恰好经过 M、N 两点 , , ; 设 P , , 则 , , , 即 , 即 , , , , , 整理可得 , . 【解析】【分析】 (1)联立反比例函数与直线解析式并消去 y 可得 x2-x+1=0,则=b2-4ac0)个单位得点 P,再向左平移 2n 个单位得点2,若点P1,P2均在该二次函数图象上,求 n 的值. 【答案】(1)解:把点 A(2,4) ,B(4,0)代入抛物线 yax2bx 得: 解得 这个抛物线的函数表达式为 . (2)解: 抛物线的对称轴为直线 ,点 均在抛物线上, . ,解得 . 【解析】【分析】 (1)由 二次函数 y=ax2+
12、bx (a0)的图象经过点 A(2,4),B(4,0) ,利用待定系数法求出二次函数表达式; (2)设点 P(a,0) ,由平移规律表示出 P1(a,3n) ,P2(a+2n,3n) ;由(1)得二次函数解析式,并分别将 P1、P2代入解析式中联立方程组求出 a 值,在代入求出 n 值,由 n0 筛选出符合题意 n 值即可. 19已知抛物线有最高点 (1)m 0(填“、=、 (2)解:y=-mx2+2mx-3=-m(x-1)2+m-3,抛物线有最大值, 二次函数 y=mx2+2mx3 的最大值 m-3; (3)解:抛物线 G:y=-m(x-1)2+m-3, 平移后的抛物线 G1:y=-m(x-
13、1-m)2+m-3, 抛物线 G1顶点坐标为(m+1, m-3), x=m+1,y=m-3, x-y=m+1-m+3=4. 即 x-y=4,变形得 y=x-4. m0,m=x-1. x-10, x1, y 与 x 的函数关系式为 y=x-4(x1). (4)解:如图, 函数 H:y=x-4(x1)图象为射线, x=1 时,y=1-4=-3;x=2 时,y=2-4=-2, 函数 H 的图象恒过点 B(2,-2), 抛物线 G:y=-m(x-1)2+m-3, x=1 时,y=m-3;x=2 时,y=-m+m-3=-3. 抛物线 G 恒过点 A(2,-3), 由图象可知,若抛物线与函数 H 的图象有
14、交点 P,则 yAyPyB 点 P 纵坐标的取值范围为-3yP-2. 【解析】【解答】解: (1)y=mx2+2mx3 有最高点, m0, 故答案为; 【分析】 (1)由于抛物线有最高点,可知开口向下,据此解答即可; (2)将解析式化为顶点式,即得最大值; (3)写出抛物线 G 的顶点式,根据平移规律得出平移后的抛物线 G1:y=-m(x-1-m)2+m-3,可得 G1顶点为(m+1, m-3),即得 x=m+1,y=m-3, 两式消去 m 即得 y 与 x 的关系式,再由 m0,求出 x 的范围即可; (4)先画出两函数图象,可确定函数 H 的图象恒过点 B(2,-2),抛物线 G 恒过点
15、A(2,-3),由图象可知,若抛物线与函数 H 的图象有交点 P,则 yAyPyB ,据此即可求解. 20如图,抛物线 yax2+bx+3(a,b 是常数,且 a0)与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点C,A、B 两点的坐标分别是 A(1,0) 、B(3,0) ,抛物线顶点为 D (1)求出抛物线的解析式 (2)请直接写出顶点 D 的坐标为 ;直线 BD 的解析式为 (3)若 E 为线段 BD 上的一个动点,其横坐标为 m,过点 E 作 EFx轴于点 F,求当 m 为何值时,四边形 EFOC 的面积最大? (4)若点 P 在抛物线的对称轴上,且线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90后
16、,点 A 的对应点 A恰好也落在此抛物线上,请直接写出点 P 的坐标 【答案】(1)解:把 A(1,0) ,B(3,0)代入 yax2+bx+3,得 解得 yx22x+3 (2) (1,4) ;y2x+6 (3)解:当 x0 时,y0+0+33 C(0,3) 点 E 的横坐标为 m 点 E 的纵坐标为 2m+6 由题意可知:OC3,OFm,EF2m+6 SOF(OC+EF)(2m+6+3) (m)(m+)2+ 当 m时, (4) (1,1)或(1,2) 【解析】【解答】解: (2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 顶点 D 的坐标是(-1,4) ; 设直线 BD 的解析式为 y=kx
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