旋转体的体积优质PPT课件.ppt
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1、旋转体的体旋转体的体积积 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台一、旋转体的体积一、旋转体的体积一一般般地地,如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体,体体积积为为多多少少?取取积积分分变变量量为为x,,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ,取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄
2、片片的的体体积积为为体体积积元元素素,dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy y例例 1 1 连接坐标原点连接坐标原点O及点及点),(rhP的直线、直线的直线、直线hx 及及x轴围成一个直角三角形将它绕轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋轴旋转构成一个底半径为转构成一个底半径为r、高为、高为h的圆锥体,计算的圆锥体,计算圆锥体的体积圆锥体的体积r解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x,, 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dxxx ,xo直线直线 方程为方程为OP以以dx为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的
3、轴旋转而成的薄片的体积为体积为dxxhrdV2 圆锥体的体积圆锥体的体积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoa aoyx例例 2 2 求星形线求星形线323232ayx )0( a绕绕x轴旋转轴旋转构成旋转体的体积构成旋转体的体积.解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋转转体体的的体体积积dxxaVaa33232 .105323a 及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体旋转体(旋转椭球体)的体积体积元素为于是所求旋转椭球体的体积为abxyOdV y 2dx , 例3 计算由椭圆 所成的图形绕x轴旋转而成的12222byax 解 这个旋转椭球体也可
4、以看作是由半个椭圆22xaabyV y 2dxaa (a 2x 2)dxaa22ab a 2x x 322ab31aa a b 234ab22xaaby 类似地,如果旋转体是由连续曲线类似地,如果旋转体是由连续曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,轴旋转一周而成的立体,体积为体积为xyo)(yx cddyy2)( dcV解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy绕绕y轴
5、轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差轴旋转构成旋转体的体积之差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 补充补充 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直线直线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,体积为轴旋转一周而成的立体,体积为dxxfxVbay| )(|2 利用
6、这个公式,可知上例中利用这个公式,可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 例例 4 4 求由曲线求由曲线24xy 及及0 y所围成的图形所围成的图形绕直线绕直线3 x旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQMxoab二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不
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