金融数学(全套课件700P).ppt

1、1利息理论2主要内容利息的度量年金计算投资收益债务偿还证券定价：债券、股票、衍生产品（远期、期货、互换、期权）利率风险3利息度量利息度量 (1)(1)（Measurements of interestMeasurements of interest）4在日常生活中：在日常生活中： 如何度量速度？距离/时间 瞬时速度 如何度量死亡率？死亡人数/期初生存人数 死亡力 如何度量利率？利息/本金 利息力（连续复利）51.1 利息的基本函数利息（interest）的定义： 借用他人资金所需支付的成本，或出让资金所获得的报酬。利息存在的合理性 资金的稀缺性 时间偏好 资本生产力6关于利息的几个基本概念本金

2、本金（principal）：初始投资的资本金额。累积值累积值（accumulated value）：过一段时期后收到的总金额。利息利息（interest）累积值与本金之间的差额。7积累函数 (Accumulation function) 累积函数是指期初的1元本金在时刻 t 时的累积值, 通常被记为a (t) 。 性质： a (0) = 1； a (t) 通常是时间的递增函数； 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。当利息是跳跃产生时， a (t) 是间断函数。 注：一般假设利息是连续产生的。8例：考察下面常见的积累函数（1）常数：a (t) = 1（2）线性：a (t) = 1

3、+ 0.1 t（3）指数：a (t) = (1+0.1) t 上述3个函数是否满足积累函数的性质？9对应哪些生活中的实例？对应哪些生活中的实例？1010ta(t)累积函数？对应哪些生活中的实例？对应哪些生活中的实例？11金额函数（Amount function）当原始投资不是1个单位的本金，而是 k 个单位时，则把 k 个单位本金的原始投资在时刻 t 的积累值记为A (t) ,称为金额函数金额函数。性质 A (0) = k； A (t) = ka(t), k 0, t 012利息（interest）的数学定义从投资之日算起，在第n个时期所获得的利息金额记为 I(n) ，则 利息金额 I(n)

4、在整个时期内产生，但在最后时刻实现（支付、得到）。金额函数 A(t) 在时间段 t1 , t2 内所获得的利息金额为( )( )(1), 1I nA nA nn1221( , )( )( )I t tA tA t131.2 实际利率（effective rate of interest）实际利率 i 等于某一时期开始时投资1单位本金，在此期间末应获得的利息：实际利率i是某个时期获得的利息金额与期初本金之比：(1)(0)iaa(1)(0)(1)(0)(1)(0)(0)(0)aaAAIiaAA当期利息期初本金14 实际利率经常简称为利率，用百分比来表示，如8% ； 利息是在期末支付的； 本金在整个

5、时期视为常数； 通常的计息期为标准时间单位，如年、月、日。若无特别说明，实际利率是指年利率。 实际利率可对任何时期来计算。第 n 个时期的实际利率为( )(1)( )(1)(1)nA nA nI niA nA n附注：附注：15例：例： 把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年末存款余额为1050元，求第一年和第二年的实际利率分别是多少？16解： (0)1000, (1)1020, (2)1050(1)(1)(0)20 (2)(2)(1)30AAAIAAIAA2(2)302.94%(1)1020IiA1(1)202%(0)1000IiA171.3 单利 (simple int

6、erest)假设在期初投资1单位，在每个时期末得到完全相同的利息金i ，即只有本金产生利息，而利息不会产生新的利息，这种计息方式称为单利单利，i 称为单利率。单利的积累函数满足下述性质： 上述单利的积累函数对 t 0 的整数值才有定义。(0)1(1)1( )1aaia tit 18考虑单利的一个直观性质： 从时间 t 开始到时间 ts 所产生的利息等于从时间 0 开始到时间 s 所产生的利息。即相同的时期产生相同的利息。()( )( ) 1, 0,0a tsa ta sts当当 t 为非整数时，单利的累积函数（为非整数时，单利的累积函数（了解了解）：）：0stt+ s19假设 a(t) 可导，

7、由导数的定义有0()( )( )lima ta ta t在上式中，用 s 代替 t，并在等式两端从0到 t 积分，即得00( )(0)tta s dsads0( ) 1lima0( )(0)limaa(0)a( )(0)(0)a tat a ( )(0)(0)a tat a 20)0(1)0()0()(atatata现在只需求出)0(a，即可求得单利条件下的累积函数 若令t = 1，则由上式有 )0(1) 1 (aa而由前面可知，a(1) = 1 + iia)0(因此a(t) = 1 + it 上述推导过程没有限制 t 为正整数，因此对一切大于零的时间 t 都是成立的。21单利的累积函数单利的

8、累积函数 22常数的单利并不意味着实际利率(effective rate)(effective rate)是常数！1 (1)ini问题问题: 为什么在每个时期所获的利息金额相等，而实际利率却越来越小呢？因此，实际利率是 n 的递减函数。( )(1)(1)na na nia n(1)1(1) 1(1)ini ni n单利与实际利率的关系：单利与实际利率的关系：23例若每年单利为8，求投资2000元在4年后的积累值和利息。累积值为：所得利息的金额为(4)2000(14 8%)2640A 264020006402000 8% 4利息金额本金 利率 时期24单利的应用: t 的确定, t = 投资天数

9、/每年的天数（1）精确单利，记为“实际/实际”（actual/ actual），即投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按365天计算。 （2）银行家规则 ( bankers rule ) ，记为“实际/360”，即投资天数按两个日期之间的实际天数计算，而每年按360天计算。 （3）“30/360”规则，即在计算投资天数时，每月按30天计算, 每年按360天计算。两个给定日期之间的天数按下述公式计算：212121360()30()()YYMMDD其中支取日为Y2年M2月D2日，存入日为Y1年M1月D1日。25例： 若在1999年6月17日存入1000元，到2000年9月10日取款，年单利利

10、率为8，试分别按下列规则计算利息金额： （1）“实际/实际”规则 （2）“30/360”规则 （3）“实际/360”规则26（1）从1999年6月17日到2000年9月10日的精确天数为451（应用EXCEL），因此利息金额为（2）根据 “30/360”规则，投资天数为 因此利息金额为（3）根据 “实际/360”规则计算的利息金额为4511000 0.0898.8365360 1 30 (96)(10 17)443 4431000 0.0898.443604511000 0.08100.236027单利的缺陷：不满足一致性 令 t = t 1 + t2 则含义：分两段投资将产生更多利息。问题：

11、分段越来越多，产生的利息是否会越来越多？最多是多少？连续利率计息。121221 2( ) ( )(1)(1)1(1)( )a t a titititi t tita t 281.4 复利 (compound interest)在单利情形下，前面时期所获得的利息并没有在后面的时期获取利息。假设年初存入1000元，每年的利率为5，则每年末可获利50元，因此在年末有1050元可以用来投资。如果按照1050元来计算，将在明年末获得利息为52.5元，比只按照1000元投资要多获得利息2.5元。复利的基本思想：利息收入被再次计入下一期的本金，即所谓的“利滚利利滚利”。29复利的积累函数考虑期初投资1，它在

12、第一年末的积累值为1i;余额1i可以在第二期初再投资，在第二期末积累值将达到 (1+i) + (1+i)i = (1+i)2 ;在第三期末将达到 (1+i)2 + (1+i)2 i = (1+i)3一直持续下去，对于整数时期 t，积累函数为( )(1)ta ti30对于非整数对于非整数t t， 复利的累积函数复利的累积函数（了解了解）()( )( ), 0,0a tsa ta sts设a(t)可导，则由导数的定义得0()( )( )limsa tsa ta ts0( ) ( )( )limsa t a sa ts0( ) 1( )limsa sa ts( ) (0)a t a如何求出a(t)的

13、表达式？( )(0)( )a taa t31因此，( )ln ( )(0)( )a tda taa tdt将 t 换成 r，并将等式从0到 t 积分，有00ln ( )(0)ttda r dradrdrln ( )ln (0)(0)a tataln ( )(0)a tta注：a(0)=1求出 即可！(0)a32ln (1)(0)aa( )(1)ta ti可见，对于非整数 t，同样有ln ( )ln(1) a tti(1)1ai 若取 t =1, 则有又因为故(0)ln (1)ln(1)aai因此由ln ( )(0)a tta可以求得33复利的累积函数复利的累积函数 34常数的复利率意味着实际利

14、率也为常数(1) 11ii( )(1)(1)na na nia n11(1)(1)(1)nnniii复利与实际利率的关系复利与实际利率的关系35单利与复利之间的关系（下图）单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。当 0 t 1时，复利比单利产生更大的积累值。当 t = 1 或 0 时，单利和复利产生相同的累积值。00.511.511.522.533.544.555.5复利单利36 单利累积函数：是一条直线 复利累积函数：一阶导数大于0，二阶导数也大于0。下凸曲线。 两个交点：0和1。00.511.511.522.533.544.555.5复利单利37383900.20.40.60.81

15、1.21.41.61.8211.21.41.61.822.22.42.6xa(x)单 利 和 复 利 的 累 积 函 数 的 比 较 （ i=60%)复 利单 利40例按复利和单利分别计算，当年利率为11时，开始应投资多少元钱才能使第5年的本金和利息总和积累到1000元?(0) (1 5 11%)1000(0)645.16AA 5(0) (1 11%)1000(0)593.47AA411.5 贴现（discount）思考思考：在期初开始时应投资多少，才能使得年末的本金和利息总额恰好为1?这是一个求现值的过程，即贴现过程，与累积过程互逆。时刻 t 的1个货币单位在时刻0的价值称为贴现函数。用 a

16、 -1(t)表示。0t1a(t)a -1(t)142贴现函数(discount function) 单利的贴现函数复利的贴现函数11( )(1)atit1( )(1)tati43 单利和复利的现值比较：金额为单利和复利的现值比较：金额为1 00.20.40.60.811.21.41.61.8200.10.20.30.40.50.60.70.80.91t1/a(t)i=10% compound interestsimple interest4400.20.40.60.811.21.41.61.8200.10.20.30.40.50.60.70.80.91t1/a(t)i=40% compound

17、 interestsimple interest 单利和复利的现值比较：金额为单利和复利的现值比较：金额为1 45注：除非特别申明，今后一概用复利计算现值。(1+i) t 称为1在 t 时期末的累积值，而 v t= (1+i)-t 称为 t 时期末支付1元的现值。46iv11ti)1 ( (1+ i) 累积因子： accumulation factor t年累积因子：t-year accumulation factor贴现因子： discount factorvt t年贴现因子： t-year discount factor几个术语：几个术语：47 实际贴现率：d (effective rat

18、e of discount with compound interest)实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末期末累积值之比：利息按期初余额计算，在期末支付。贴现按期末余额计算，在期初支付。例：例：A向银行借100，为期1年，银行预收6的利息，而仅给A支付94，一年后A还给银行100。贴现率为6。利率是多少？当期利息实际贴现率期末累积值48第 n 个时期的实际贴现率等于当单利率为 i，单贴现率 是 n 的递减函数。当复利率为 i 时，复贴现率( )(1)( )( )nnIA nA ndA nA n( )(1)(1)(1(1)( )11na na ni ni nida ni ni n 1( )

19、(1)(1)(1)( )(1)1nnnna na niiida nii是常数。49利率 i 与贴现率 d 的关系（1）1did1idi11+ i01当期利息：i根据贴现率的定义50利率 i 与贴现率 d 的关系（2）1-d101当期利息：d期末的1元在期初的现值为：1(1) i 此现值用 贴现率d 表示即为：111(1)11ddid 故有下图：1did根据利率的定义，有51viiiiid111div证明：注注：把期末支付的利息 i 贴现到期初，即得 iv，等于在期初支付的 d。换言之，期末的 i 相当于期初的 d。利率利率 i 与贴现率与贴现率 d 的关系（的关系（3）52v = 1 dvii

20、id11111解释解释：期末的1在期初的现值既可以表示为 v，也可以表示为1 d。 ttd)1 ( ttd)1 (贴现函数可表示为 a1(t) = 累积函数可表示为 a(t) = 011v（1d）利率利率 i 与贴现率与贴现率 d 的关系（的关系（4）证明：53i d = idididivid)1 (解释解释：1元本金在期末时可以赚取 i 元利息，(1 d)元本金在期末时可以赚取d元利息。产生(i d)元利息差额的原因就在于原始本金存在d元差额。而这d元本金差额在本期可以赚取的利息正好是id。本金（Principal ）利息（interest）累积值（Accumulated value）1i1

21、 + i1 - dd1 本金之差: d 利息之差 di 利息之差: i d 利率利率 i 与贴现率与贴现率 d 的关系（的关系（5）证明：54111ndni 例例: i = 5% = 1/20, d = 1/211idi1/11 1/1nnn证明：证明：利率利率 i 与贴现率与贴现率 d 的关系（的关系（6）551idi0246810121416182000.10.20.30.40.50.60.70.80.91id利率贴现率利率利率 i 和贴现率和贴现率d 的关系的关系561did00.10.20.30.40.50.60.70.80.9102468101214161820di贴现率利率贴现率贴

22、现率 d 和利率和利率 i 的关系的关系57例若现有面额为100元的零息债券在到期前一年的价格为95元，同时，一年期储蓄的利率为5.25，如何进行投资选择? 存款还是购买债券？58解：从贴现的角度看， 零息债券的贴现率 d 5% 而储蓄的贴现率 d i / (1 + i) = 4.988 5% 因此投资债券合算。从利息的角度看， 零息债券的利率 而储蓄的利率为 5.25 1）定义定义：d (m) 是指每 1/m 时期的实际贴现率为d (m) / m 。由等价的定义重新整理得()11mmddm()11mmddm 11()1 (1)1mmmdmdmv82ExampleExample：Find th

23、e present value of $1000 to be paid at the end of six year at 6% per annum payable in advance and convertible semiannually.（名义贴现率为6，每半年复利一次，第6年末的值为$1000，求其现值）解解：这相当于按3的年贴现率计算在12年末支付$1000的现值。 (2)6%d2 6126%1000 11000 (1 3%)693.84283名义利率与名义贴现率的关系（1）一般情况（2）mp（3）把 i (m)/m 和 d (m)/m 看作 1/m 年内的实际利率和实际贴现率，则

24、()()1(1)11(1)(1)mpmpididimp()()11mmmmidmm()()()()mmmmididmmmm84例例：确定每季度复利一次的名义利率，使它等价于每月复利一次的6的名义贴现率。解解： ，(12)6%d412(4)0.0611412i(4)310.9954i(4)340.99516.06%i85例例：已知 i (12) = 5.58%。求 i、d、 d (12)解解：(12)121(1)12ii 5.72%5.41%11 5.72%idi121.0046515.72%i (12)(12)1212(1) (1)11212id(12)112(1 1.00465 )5.55%

25、d()()mmddii86问题：一般性规律？(2)(3)(4)(4)(3)(2).iiiidddd87nominal annual rate of discount is 10%Compounding times per yearEffective annual rate of discount1(每年)0.100002(每半年)0.097504(每季)0.0963112(每月)0.0955452(每周)0.09525365(每天)0.095171- e-0.1= 0.09516()()()()lim 11lim111mmmdmmdmmmmdddmdme 88小结：()( )11(1)11(1

26、)mpmpididvmp期初的1元在期末的累积值（等价度量工具之间的关系）：i(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年末获得i(m)/m利息d(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年初获得d(m)/m利息89思考题某人2006年1月1日在银行存入10000元，期限为1年，年利率为3%。1月末，银行的1年期存款利率上调了100个基点。请分析此人是否有必要对该笔存款转存？假设活期存款利率不变，为0.72%。 1年按360天计算，每月按30天计算。假设情景： 2007年1月末需要使用这笔存款。注： 定期存款若提前支取，按活期计息。 一个基点为0.01%。 利率调整幅度通常能被9整除。因为一年

27、按360天计息。901年零1月后的累积值：30100000.72% 1 (14%)10406.2436030 10000 (1 3%)0.72% 110306.18360转存： 不转存：91回顾：年实际利率度量了资金在一年内的增长强度（年平均）。名义利率度量了资金在一个小区间内（如一个月）的增长强度（月平均）。问题： 哪一个更能准确度量资金的增值速度？名义利率还是实际利率？ 如何度量资金在每一个时点上的增长强度？在名义利率中，如果时间区间无穷小，名义利率就度量了资金在一个时点上的增长强度。921.8 利息力(force of interest)定义定义：利息力度量了资金在每一时点（也就是在无穷

28、小的时间区间内）增长的强度。 在时间区间 t, t + h 的实际利率为 年名义利率为（1年包含1/h个小区间）()( )( )a tha ta t()( )( )a tha th a t93 为在时刻 t 的利息增长强度（即 利息力）。定义：设积累函数连续可导，则时刻 t 的利息力为0()( )( )lim( )( )ha tha ta th a ta t( )( )ta ta t问题：为什么不用a (t)直接度量利息的增长强度？94例：例： 已知金额函数为 求 t1 / 2 时的利息力。解：解：1/21/2( )( )tA tA t21/21628210010103tttt2( )8210

29、0A ttt95累积函数和贴现函数的另一种表达式：累积函数和贴现函数的另一种表达式： 用 r 代替 t ，并将此式两边在0到 t 积分，得 从而有 ( )ln ( )( )ta ta ta t00ln ( )ln ( ) ttrdra rdra t0( )etrdra t01( )etrdrat因为96单利在 t 时刻的利息力（了解）因为所以时刻 t 的利息力为单利的利息力是时间的递减函数。( )1a tit ( )a ti( )( )1ta tia tit97 单贴现的利息力是时间的递增函数。21( )(1)() ( )(1)ta tdtda tdt , 1ddt 01/td 单贴现在单贴现

30、在 t 时刻的利息力时刻的利息力（了解）（了解）1 ( )(1)a tdt98复利在时刻 t 的利息力因为 所以时刻 t 的利息力为复利的利息力是常数常数！与时间无关。 称为复利的利息力。故累积函数可以表示为( )(1)ta ti( )(1) ln(1)ta tii( )ln(1)( )ta tia tln(1) i( )(1)etta ti99问题：复贴现在时刻 t 的利息力？因为 所以时刻 t 的利息力为复贴现的利息力是常数常数！与时间无关。问题：与复利条件下的利息力有何关系？( )(1)ta td1( )(1)ln (1)ta tdd( )ln(1)( )ta tda t 100对利息力

31、的另一个解释：在复利条件下，当 m 趋于无穷时的名义利率就是利息力：()1/limlim(1)1mmmmimi0(1)1limxxix0lim (1) ln(1)xxiiln(1) i101问题问题：当 p 趋于无穷时的名义贴现率d(p)与利息力有何关系？1( )1 (1)ppdpd1( )01 (1)limlim1 (1)limln(1)ln(1)xppppxddpdxdi 102 与与 i, d, i( (m) ), , d( (m) ) 的关系的关系()()111e1(1)mpmpididmp ()( )limlimmpmpid()()mmddiidi（证明略）( )nin(2)2d(2

32、)2i( )ndnd1031.9 贴现力 (force of discount)用贴现函数a -1 (t) 代替积累函数，在 t 时刻的贴现力为 增加一个负号使得贴现力为正。利息力与贴现力相等： 。因为：11( )( )tdatdtat tt111( )( )tdatatdt 21( )( )( ) atda tatdt21( ) ( )( )ttat a tat1041.10 利率概念辨析实际利率和名义利率实际利率和名义利率：在经济学文献中，所谓的实际利率是指扣除了通货膨胀因素以后的利率；而名义利率是指没有扣除通货膨胀因素的利率。如果用 i 表示名义利率，用 r 表示实际利率，用 表示通货膨

33、胀率，则有 (1 + i) = (1 + r)(1 + ) i = r + + r 可近似表示为 i r + 或 r i 即实际利率近似等于名义利率减去通货膨胀率。105利率和贴现率：利率和贴现率：在需要计算现值的场合，利率常常被误被称为贴现率。计算现值既可以应用利率，也可以应用贴现率，还可以应用利息力： 1( )(1)(1)etttatidd-=+=-=106小结 度量工具度量工具时刻时刻 t 的积累值的积累值时刻时刻0的现值的现值i(1+ i ) t v t = (1+ i) -ti (m)e te- td (p)d(1 d ) -t(1 d ) t()1m tmim()1mtmim()1

34、ptpdp()1ptpdp(2)(3)(4)(4)(3)(2).iiiidddd107Excel 应用由每年复利 m 次的年名义利率 j 计算年实际利率，可以使用EXCEL命令“EFFECT（j，m）”；由年实际利率 i 计算每年复利m次的年名义利率，可以使用EXCEL的命令“NOMINAL（i, m）”。108例：例：在2000年1月1日, A在银行账户存入 X，按单利10%计息；在同一天，B在另一个银行账户也存入X，按利息力 计息。从第四年末到第八年末，两个账户赚取的利息相等，请计算 k。22()tttkd=+109(4)14(0.10)1.4(8)18(0.10)1.8AXXAXX=+=

35、+= (8)(4)0.4AAX解：解：令2000年1月1日为零时刻，对A的账户有：从第四年末到第八年末，该账户赚取的利息为1104080dd16(4)e64(8)ettttkAXXkkAXXkdd+=+=48(8)(4)XAAk-=对B的账户有：从第四年末到第八年末，该账户赚取的利息为22()tttkd=+111由题意可知，这两个利息金额相等，即480.4XXk=故有 k =120 。112例：例： 基金A以利息力函数 累积； 基金B以利息力函数 累积。 分别用 和 表示它们的累积函数。 令 ，计算使 达到最大的时刻T。1(0)1ttt24(0)12tttt( )Aat( )Bat( )( )

36、( )ABh tatat( )h t113解解：由题设条件有因此根据 h (t) 的定义得 h (t) = t 2t2， h (t) = 1 4t，因此当t 1/4 时，h (t) 达到最大。01( )exp()11tAatdsts 2204( )exp()1212tBsatdsts 114等额年金(I)（Level Annuity）孟生旺中国人民大学统计学院115年金（annuity）最初的涵义：一年付款一次，每次支付相等金额的一系列款项。现在的含义：一系列的付款（或收款）。116年金的类型按照年金的支付时间和支付金额是否确定，分为确定年金(Annuity-certain)和风险年金(con

37、tingent annuity)。 按照年金的支付期限长短，分为定期年金（period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity） 。 按照年金在每期的支付时点不同，分为期初付年金（annuity-due）和期末付年金（Annuity-immediate） 。 按照年金开始支付的时间不同，分为即期年金和延期年金（deferred annuity） 。 按照每次付款的金额是否相等，分为等额年金(level annuity)和变额年金(varying annuity)。 117本节主要内容（等额年金）期末付年金（Annuity-immediate） 期初付年金（Annuit

38、y-due） 期初付与期末付年金的关系延期年金（deferred annuity） 永续年金（Perpetuity） 1181、 期末付年金（Annuity-immediate） 期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。101123n-1n111119的表达式的表达式 n期期末付年金的现值记为 ，a表示annuity，i表示每期的实际利率（可省略）。 在第1个时期末付款1的现值为 ，在第二个时期末付款1的现值为 ，这样继续下期，直到第n个时期末付款1的现值为 ，故na| n iav2vnv(1)1nvvv2nnavvv1nvi期末付年金的现值na120 期末付定期年金的现值期末付

39、定期年金的现值 1nnvai121的表达式的表达式 n期期末付年金在 n时的积累值之和记为 ， i 表示每期的实际利率（可省略）。 在第1个时期末付款1的积累值是 ，在第二个时期末付款1的积累值为 ，第n个时期末付款1的积累值为1。ns| n is1(1)ni2(1)ni11 (1)(1)nnsii 1 (1) 1 (1)nii(1)1nii期末付年金的累积值（终值）ns122期末付定期年金的终值期末付定期年金的终值 (1)1nnisi123一些等价关系式：（1） 含义：含义：初始投资1，历时n个时期。在每个时期，此投资1将产生在期末支付的利息i，这些利息的现值为 。在第n个时期末，收回本金1

40、，其现值为 。（2） 含义含义：积累值等于现值乘以积累因子。 1nniav(1)nnnsainianv1iii10124（3） 证明：证明：(1)(1)1nniiiii11nnias1(1)1nniiisi 11nniva(参见下页图示）参见下页图示）1251na0n11na1na1naiiiii+111ns1ns1ns1ns126例例 ：有一笔1000万元的贷款，为期10年，若年实际利率为9，试对下面三种还款方式比较其利息总量。 本金和利息在第10年末一次还清； 每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。 在10年期内，每年末偿还相同的金额。 问题：请先推测大小？127解：解：（1）

41、贷款在10年末的累积值为 利息总额为2367.3610001367.36（2）每年的利息为90万元，利息总额为 1090900101000 1.092367.36128（3）设每年的偿还额为R，则 解得 故利息总额为155.82101000558.2 结论：结论：偿还越迟，利息总量越高。101000Ra155.82R 1292、 期初付年金（annuity-due） 期初付年金的含义期初付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期期初付款1。 1 1 1 1 1 0 1 2 3 n-1 n 130期初付定期年金的现值期初付定期年金的现值 131期初付定期年金的终值期初付定期年金的终值132记号 表

42、示期初付年金的现值，i 可省略记号 表示期初付年金的积累值，i可省略| nia 11nnavv 111nnvvvd(1)1(1)(1)1niii1(1)1(1)nii(1)(1)nnsii(1)1nid| nis 133 和 的关系 （1） （2）| na | ns |(1)nnnsai11nndas（显然）（证明见下页）134证明：证明：1(1)1nndddsi1nndvdv11nndva（参见下图解释）1351na 0n11na 1na 1na dddd111ns 1ns 1ns d1363、期初付年金和期末付年金的比较 期末付年金 期初付年金1(1)1nnnnvaiisi1(1)1nnn

43、nvadisd137期末付年金与期初付年金的关系期末付年金与期初付年金的关系（1 1）（2 2） |(1)nnai a1211()(1)nnnnavvvvvi av |(1)nnsi s1(1)(1)(1)1(1)(1)nnnnsiiiii s138|1|1nnaa 1211|11 ()1nnnnavvvvva （3）（下页图示）（下页图示）说明说明: 的 n 次付款可以分解为第1次付款再加上后面的 (n 1) 次付款。第1次付款的现值为1元，而后 (n 1) 次付款的现值为 。na 1na1391Present value1nia+140|1|1nnss1|11 (1)(1)1(1)(1)n

44、nnnsiiiis （4）1111n期11414、延期年金（deferred annuity） 延期年金的含义延期年金的含义：推迟若干时期后才开始付款的年金。推迟m个时期，且随后有n个时期的期末付年金可看作一个mn期期末付年金扣除一个m期的年金。延期年金现值为|mmnnm nmav aaa142例：例： 某年金共有7次付款1，分别在第3期末到第9期末依次支付。求此年金的现值和在第12期末的积累值。143年金的现值等于27|9|2|v aaa也等于37|10|3|v aaa144此年金在第12期的积累值等于37|10|3|(1)siss也等于27|9|2|(1)siss1455、永续年金（Per

45、petuity） 永续年金永续年金：可以持续支付下去的年金，没有结束日期。记号记号 表示期末付永续年金的现值。永续年金可看作将本金 按利率 i 投资，每期支付利息 ，本金持续进行投资。23|avvv|a1i11ii11vvi|11limlimnnnnvaii146记号 表示期初付永续年金的现值。|a2|1avv |limnna111 vd1limnnvd1d147n 年的期末付年金可看作下述两个永续年金之 差： 第一个是每年末付款1，现值为 ；第二个是推迟 n 年，从 n + 1年开始每年支付1，现值为 ，因此 n 年的期末付年金的现值等于1invi11nnnvvaiii（参见下图）148现金

46、流时间图11nnnvvaiii149年金公式比较年金年金定期年金定期年金永续年金永续年金现值现值积累值积累值期末付期末付期初付期初付1nnvai(1)1nnisi1ai1nnvad(1)1nnisd1ad150例：例： 某人留下遗产10万元。第一个10年将每年的利息付给受益人A，第二个10年将每年的利息付给受益人B，二十年后将每年的利息付给慈善机构C。若此项财产的年实际收益率为7，确定三个受益者的相对受益比例。151解解：10万元每年产生的利息是7000元。A所占的份额是 B所占的份额是 C所占的份额是 10|70007000(7.0236)49165a20|10|7000()7000(10.

47、59407.0236)24993aa|2017000()7000(10.5940)258420.07aa152从现值的角度看，A、B、C受益比例近似为49，25和26。注：注：C的受益也可以看作在20年末一次性得到10万元，其现值等于201100000258421.071536、可变利率年金问题：问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到时刻 k 这段时间的利率， 分别表示第1，2，t 期的利率。如何计算年金的现值和累积值？tiii，21012n-1ni1i2in154例：例：第一年初的1元，计算它在第二年末的终值时，它在第2年的利率按什么计算？以它投资时的利率i1计算以第二年

48、的利率i2计算012i1i21?155期末付年金的现值期末付年金的现值111112|(1)(1) (1)naiii解决途径：1、每笔款项以经历时期的利率计算11112(1) (1)(1)niii012n-1ni1i2in1111156期初付年金的现值期初付年金的现值111112|1 (1)(1) (1)naiii 111121(1) (1)(1)niii012n-1ni1i2in1111157期末付年金的累积值期末付年金的累积值1|1(1)(1)(1)nnnnsiii 12(1)(1)(1)nniii012n-1ni1i2in1111158期初付年金的累积值（请大家写出）期初付年金的累积值（请

49、大家写出）1|(1)(1)(1)nnnnsiii11(1)(1)(1)nniii012n-1ni1i2in11111592、每笔款项都以其支付时的利率 ik 计算（了解）期末付年金的现值期末付年金的现值期末付年金的累积值期末付年金的累积值nnniiia)1 ()1 ()1 (2211|012n-1ni1i2in111121121|1 (1)(1)(1)nnnnsiii 160期初付年金的现值期初付年金的现值期初付年金的累积值期初付年金的累积值nnnniiis)1 ()1 ()1 (121| )1(12211|)1()1()1(1nnniiia 012n-1ni1i2in1111161注：注：1

50、 1、在可变利率条件下，下式仍然成立（请验证）： 2 2、在实践中，利率常常是几个时期才改变一次。此时，可以利用基本年金的公式。|1|1nnaa 162年金基本年金永续年金的现值现值累积值期末付期初付1nnvai1nnvad(1)1nnisi(1)1nnisd1ai1ad小结小结163Excel 应用应用1643 3 某人每年年初存进银行1000元，前4年的年实际利率为6%，后6年由于通货膨胀率，年实际利率升到10%，计算第10年年末时存款的累积值。0410100010006%10%1000accumulated value1000165孟生旺中国人民大学统计学院等额年金（II）：每年支付 m