2018年杭州师范大学考研专业课试题817高等代数.doc

1、杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命 题 纸杭 州 师 范 大 学 2018 年招收攻读硕士研究生入学考试题 考试科目代码： 817 考试科目名称： 高等代数 说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。每题15分，共150分1. 将多项式分别在实数域与复数域上分解成不可约多项式的乘积。2. 设与的最大公因式是一个二次多项式，求的值。3. 求下列行列式的值：。4. 讨论：当取何值时，二次型是正定二次型。5. 已知，都是线性方程组 的解向量。（1） 求的一个极大无关组。（2） 判断（1）中所求得的极大无关组是否是方程组的一个基础解系；若不是，将其扩充成方程组的一

2、个基础解系。6. 设A是n阶方阵，证明：（其中表示A的伴随矩阵）。7. 设是n个实数，A是n阶方阵。（1） 若是A的特征根，试证是属于的特征向量；（2） 若已知A有n个两两互异的特征根，求可逆阵P，使得是对角阵。8. 设为有限维欧氏空间V上的正交变换。令。证明：（1）和都是V的线性子空间；（2）。9. 设为实数域上次数小于4的多项式构成的向量空间，定义上二元运算如下，证明：（1）上述二元运算是上的内积；（2）求在上述内积下，欧氏空间的一组规范正交基。10. 设V是全体2阶实方阵构成的向量空间，定义V到V的映射：，其中。（1） 证明：是V上的线性变换；（2） 当时，分别求的核和像的基和维数。 2018 年 考试科目代码 817 考试科目名称 高等代数 （本考试科目共 3页，第3 页）