3.1.1《方程的根与函数的零点》.ppt

1、化隆一中化隆一中 马正虎马正虎 思考：一元二次方程思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？的图象有什么关系？ 问题问题1 :求出表中一元二次方程的实数根，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与函数的图象与x轴的交点坐标轴的交点坐标探究探究 方程方程x2-2x+1=0 x2-2x+3=0y= x2-2x-3y= x2-2x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(-1,0)、(

2、3,0)(1,0)无交点无交点x2-2x-3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x2-2x+3函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点 问题问题2 : 若将上面特殊的一元二次方程推广若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？然成立？探究探究方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函数函数y= ax2 +bx+c(a0)的图象的图象 判别式判别式 =b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交

3、点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫叫做函数做函数y=f(x)的零点。的零点。注意：注意：零点指的是一个实数零点指的是一个实数. .零点是一个点吗零点是一个点吗? ?(零点就是方程的根零点就是方程的根) 方程方程x2-2x+1=0 x2-2x+3=0y= x2-2x-3y= x2-2x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数

4、根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x2-2x-3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x2-2x+3函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)y=f(x)有零点有零点-x-x2 2-x+20-x+20； (2)y=2(2)y=2x x-1; -1; 例例1：求下列函数的零点求下列函数的零点.求函数零点的步骤：求函数零点的步骤： (1)令令f(x)=0;

5、 (2)解方程解方程f(x)=0； (3)写出零点写出零点解：令解：令y=0,即即-x2-x+20=0 得得x1=4,x2=-5 故函数故函数-x2-x+20的零点的零点是是-5,4.解：令解：令y=0,即即2x-1=0 得得x=0 故函数故函数2x-1的零点是的零点是0.对零点的理解：对零点的理解：数数的角度：的角度：形形的角度：的角度：即是使即是使f(x)=0的实数的实数x的值的值即是函数即是函数f(x)的图象与的图象与x轴轴的交点的横坐标的交点的横坐标求函数零点的方法：求函数零点的方法：(1) 方程法：方程法：(2) 图象法：图象法：解方程解方程f(x)=0, 得到得到y=f(x)的零点

6、的零点画出函数画出函数y=f(x)的图象的图象, 其图象其图象与与x轴交点的横坐标是函数轴交点的横坐标是函数y=f(x)的零点的零点自主探究 观察二次函数观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象的图象(如图如图),我们发现函数我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间在区间-2, 1上有上有零点零点, 计算计算f(-2)与与f(1)的乘积的乘积, 你能发现这你能发现这个乘积有什么特点个乘积有什么特点?在区间在区间2, 4上是否上是否也具有这种特点呢也具有这种特点呢?432112O 124321 xy结论结论abxy0ab0yxab0yxab0yx函数零点的存在性定理函数零点的存在性定理 12

7、3456789由表和图可知由表和图可知f(2)0，即即f(2)f(3)0，在在(2,3)内有零点。内有零点。由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是增函数，内是增函数，所以它仅有一个零点。所以它仅有一个零点。解：用计算器作出解：用计算器作出x、f(x)的对应值表和图象：的对应值表和图象：4 1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.945912.079414.1972例例2 求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。的零点个数。x0246105y24108612148764321962ln)(xxxf所以所以练习：练习：1在二次函数在二次函数

8、 中，中，ac0,则其则其零点的个数为（）零点的个数为（）.不存在不存在2yaxbxc2已知函数已知函数 是定义域为的奇函数，且是定义域为的奇函数，且在上有一个零点，则在上有一个零点，则 的零点个数为的零点个数为( ). . . .不确定不确定( )f x( )f x(0,)( )f xBA课堂小结：、函数零点的定义；2、函数的零点与方程的根的关系；3、确定函数的零点的方法。1 1、求下列函数的零点：、求下列函数的零点：(1)y=-x(1)y=-x2 2+6x+7+6x+7； (2)y=x(2)y=x3 3-4x.-4x.2 2、若函数、若函数f(x)=xf(x)=x2 2-ax-b-ax-b

9、的两个零点是的两个零点是2 2和和3 3，求，求logloga a25 + b25 + b2 2。作业：作业：课堂练习课堂练习1：利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）x23x50；（2）2x(x2)3；（3） x2 4x4；（4）5 x2 2x3 x2 5.x23x5, 作出函数作出函数的图象，如下：的图象，如下：.xy01321486224 它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以方程方程x23x50有两个有两个不不相等的实数根。相等的实数根。1(1) x23x50课堂练习课堂练习 1(2)解：解：2x(x2)3可化为可化为2x

10、24x30，令，令f(x)= 2x24x3 , 作出函数作出函数的图象的图象,如下：如下：xy0132112543. 它与它与x轴没有交点，所以方程轴没有交点，所以方程2x(x2)3无实数根无实数根。1(2) 2x(x2)3课堂练习课堂练习1(3)解：解：x2 4x4可化为可化为x24x40，令，令f(x)= x24x4，作出，作出函数函数的图象，如下：的图象，如下：. 它与它与x轴只有一个交点，所以轴只有一个交点，所以方程方程x2 4x4有两个相等的实有两个相等的实数根数根。xy0132112543641(3) x2 4x4课堂练习课堂练习1(4)解：解：5x2 +2x3x2 +5可化为可化为2x2 2x50，x22x5 , 作出函数作出函数的图象，的图象，如下：如下：xy013211213343654422. 它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以方程方程5x2 +2x3x2 +5有两个不有两个不相等的实数根相等的实数根。1(4) 5 x2 2x3 x2 5课堂练习课堂练习