复变函数与积分变换第四五章课件..ppt

1、表示。一般项用则依次排列的列数：复数序列：按一定法nnnnZZZZZZZ,321是发散的。否则称。记作：收敛于成立。则称时，不等式，使当，总存在着正数若对任意给定的定义nnnnnZZZZZZZNnNlim01 . 4 CH4 级数级数4.1 收敛序列和收敛级数收敛序列和收敛级数 4.1.1收敛序列收敛序列证：（显然）的充要条件是：，定理)(limlimlim1 .4iyxZyyxxZZZnnnnnnn222222214.1( )11(1)(1)12111112limlim11nnnnnnia ZnininininnZininnnnnZinn例是否收敛，如收敛，极限是什么？解：10i lim(1

2、)lim3nnninnibe0 lim22nnncCosiSin发散构成一个复数序列。称部分和。称无穷级数。构成的用定义NNNnnNnnnSZZZZSZZZZ2112112 . 4。否则称级数发散。称为级数和：。收敛于，则称收敛于若定义113 . 4nnnnNZSSSZSS)(2 . 4111显然同时成立。的充要条件是：定理nnnnnnyyxxiyxSZ4.1.2 收敛数项收敛数项级数级数。收敛尽管发散而发散，因收敛而收敛。收敛，因例：)21(1)211(11) 1(11) 1(11112112nnnnnnnnnnninnnnin必收敛。收敛，则级数若级数定理113 . 4nnnnZZ收敛。所

3、以必收敛。收敛，必收敛；收敛，而必收敛。、收敛，或证：1111111122nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnZyyxxyxZyxyxZ条件收敛。非绝对收敛的收敛称为绝对收敛，收敛，则称原级数若定义114 . 4nnnnZZ0000(65 )4.2( )8(65 )362561888nnnnnnnnnniai例：收敛。所以该级数绝对收敛。1000cos1( )22222nnnnnnnnnnnineeeeb发散。2211111111cossin22( )cossin221nininnnnnnnnnnnneiiecnnnnnninninn收敛。但发散，所以级数条件收敛。4.1.3函数项级数函

4、数项级数和。）为函数项级数的部分（称为函数项级数。称ZUzuzuNnnnn11)()(4.2 幂级数幂级数4.2.1 幂函数的概念幂函数的概念)()()()()()(5 . 40010000上定义在收敛和函数项部分和幂级数为：定义DZZCZSNSZZCZZCnnnNNnnnnnn)(4 . 400110收敛绝对收敛。区域，上收敛，则对于在若定理nnnnnnnnnZCZCZZZZC。有界，设为即收敛，上，证：在MZCZCZCZZZCZCZZnnnnnnnnnnnnn1111110lim110011nnnnnnnnnnnnZC ZC ZMZMMC Z于是有：而，收敛。)1(10002020用上推论

5、，还原即可。，对作区域上收敛。上收敛，则其在在点收敛域是个圆盘。幂级数的区域上发散。在上发散，则在点推论：ZZZZZCZZZCZZCnnnnnnnnn4.2.2 收敛半径收敛半径为收敛半径。上才收敛，称在圆盘若RRZZCnnn0831101limlim1)0()()0(01limlim5.4PCCClRllllRlClCCZCnnnnnnnnnnnnnnn证：或即则收敛半径为如下列条件之一成立：对定理21114.3( )( )( )!nnnnnnZanZbncn Z例！211limlim ()1nnnnCnRCn(1)limnnRn ！lim0(!)nnRn！CZCndZZCdZZfZnCZC

6、Zfnnnnnnnnnnnn01001011)()()(6 . 4数，可逐项积分。即：析的收敛圆内可逐项导幂级数的和函数在解定理4.2.3 幂级数和函数的性质幂级数和函数的性质01(1)1nnZZZ例：ln(1)Z？21(1)Z？120011()()(1)1nnnnZnZZZ于是：1000011ln(1)11ZZnnnnZdZZ dZZZn 的泰勒展开。的泰勒级数，或在称为！内，可展开成：在其解析圆盘：函数定理0000200 0000)()(1)(2)()(1)()()()(7 . 4ZZfZZZfnZZZfZZZfZfZfRZZZfnnn4.3 泰勒级数泰勒级数 0000000( )( )(

7、 )0()( )()!nnnZZZf ZggZZfZf ZZZn对于非 点，即点展开，做，对作点展开。再还原：可得： 点展开。在！用证：0)()(!2)11()(1211)(121)(21)(00100nnnnnnnnnnZnofZdfinnttdZfidZfidZfiZf麦克劳林级数 点展开在！点展开在！：例如01)(1)()(14 . 40000000000nnZnnZnZZnnZZZnZZZenZZene 02012)2() 1(cos) 1() 12(1sin122) 1(0)2sin()0(sinKKKKKKknZKZZKZknknn！同理！偶数 nZZZZnZnnnZn2sinsi

8、nsin1sin5 .400而！：例求导，找规律，总结出通项。 000014.6(1)111()( 1)(1)11()11 111 Z11nnnnnnnnnZZZZZZZZZZZ 例： 01(1),1nntttt为任意函数形式1?11ZZ 0114.7(1)2ln(1)1 21 2( 1)2( 1)(1)(4.11)nnnnnnLnZkiZkidzZkiz dzZkiZn 例例： 例例00111( 1)1Z1111nnnnnZZZZ = 4.4 罗朗级数罗朗级数2222111111(1)kZZZZZZZZZn 引例：含负 项。不是泰勒级数。，发散。上收敛。否则无收敛域，则级数在环域如区域。的收

9、敛域为而圆盘；，其收敛域为于收敛区域：对称为主要部分。其中称为解析部分；其中的级数称为罗郎级数。形如：定义122121010010000)()()()()(6 . 4RZRRRRZZZCRZZZCZZCZZCZZCnnnnnnnnnnnnn4.4.1 罗朗级数的概念罗朗级数的概念4.4.2 解析函数的罗朗展开解析函数的罗朗展开 920100201)()()(21)()()(9 . 4PnZfCdZZZZfiCZZCZfDRZZRDZfnnnnNnn证：见！注意：内上解析，则在：在环域：设函数定理利用利用“幂级数展式幂级数展式”展开的罗朗展开方法展开的罗朗展开方法内，展开成解：在展开成罗朗级数。

10、内与在圆环：将例nnniZCiZiZiZiZZZf)(10110)(1)(12. 42230212011201022)(2()()(1)()1(1)()() 1(11)(111)(1111)(1)(1kkknnnnnnnnnnnniZkiiZniiZZiZniZZiZiiiZiiiZiiZiiZiiiZZZiZiZZ注：01310032203392301()11111( 1) ()111( 1)()()111()(1)()11(1)()()nnnnnnn nnnnnnnnnnknnZiC ZiiiiZZiiZiZiZiZiZiiiiZiZiinZZZiinikZZiZi 在内，展开成注：331

11、2)()(2)()kkkkkZiikZi罗朗展开是唯一的。定理3 . 4200200111( )1110 |1|2( )111111111( )()()(1)(1)211211211111111()( 1) () )1212212212111( 1) ()2(1)42nnnnnf zzf zzf zzzzzzzzzzzzzzzzzz 例：在的邻域（即解析区域）上将展为罗朗级数。解：在的邻域上即的奇点为201(1)( 1)2(1)2nnnnzz作业：4.1.14.1.8（a）（b）4.2.2 （a）（b）(d)4.3.1 (b)4.4.5 (b)4.4.6 CH5 留数留数5.1 解析函数的孤立

12、奇点解析函数的孤立奇点 5.1.1 孤立奇点的定义及分类孤立奇点的定义及分类0000010( )0( )1( )( )()2()nnnnnCf ZZDZZRZZf ZDf Z dZf ZCZZCiZZ 孤立奇点：在的一个去心邻域 ：内解析，而在上不解析。则称为的一个孤立奇点。这时在 内有罗朗展开：sinZZ例：0 点为孤立奇点，1ze0 点为孤立奇点，1(1)(2)ZZ1212ZZ为孤立奇点。( )()f Z 如仅有有限个奇点，则必是孤立奇点。 如果奇点不孤立，必有不可数的无穷多奇点21200001sin1( 1)( 1)(21)(21)sinsinlim1nnnnnnZZnZZZZZnnZZ

13、ZZ奇点的分类： ，可去奇点：以奇点为中心的罗朗展式中没有- 项的，则奇点称为可去奇点。例：！特例：若定义，则奇点消失。101011001002()( )()()()()( )mmmmmnmnf ZCZZCZZCZZCC ZZZf Zm， 阶极点：若罗朗展式中，最低次 是次 。则为的 阶极点。0111111( 1)(1)(1)0nknkZZZZZZZZZ 是一阶极点；也是一阶极点。01011111(1)(1)1 1(1)1( 1)(1)( 1)(1)nnnknkZZZZZZZZ 例例：的本性奇点。是！，展开：奇点是例：的本性奇点。是项的罗朗展开的奇点。项负，本性奇点：有无限多110001111

14、001) 1()!(1) 1(1111)()()(3zkknnnnzzmnnneZZkZnneeZeZfZZZCZfn。不存在也不是、是：性奇点的充要条件分别的可去奇点、极点、本是则内解析，在函数定理)(lim)(lim)(lim)(0)(1 . 5000000ZfZfCZfZfZRZZZfZZZZZZ阶极点。是例：阶极点，且的是则若极点的阶的确定：201)(cos)()(,)()(lim022000ZZfZZZZfCCmZfZCZfZZZmmZZ5.1.2 零点与极点的关系零点与极点的关系阶零点。的称为。点为在这时称开有：如作泰勒展的零点。为，则称邻域内解析，若在：定义mZfZZZfZZCZ

15、fZfZZfZZfmnnn)(0)()()()(0)()(1 .5000000 000000000005.2( )( )()( )( )()0()( )()()()()( )mnnnnn mmkm kkmf ZZf ZZZZZZZZRZfZf ZCZZCnZZCZZZmZZ定理：不恒为零的解析函数以充要条件为：其中在点的邻域内解析，且证：必要性：（唯一）！为 阶零点的0000000000( )()()( )()( )()()()()()km kkmmkkkkmnkn mkn mnnn mZCZZf ZZZZZZaZZaZZaZZCZZ收敛 就解析充分性：（唯一） 0)() 1(0)()()(0

16、000ZfmnZfmZfZZZfmn，阶零点的充要条件是：的为解析，那么在推论：如果，点。阶的零点。：研究例0)0(0)0(0)0(0)0(03!7! 5! 3! 5! 3)(sin)(2 .5 75353ffffZZZZZZZZfZZZf定理5.3.00( )( )zf zmzmf z1若 是函数的 阶极点，则 就是的 阶零点，反之也成立.2022-5-1536 例（通过零点阶数判断极点阶数） 1sin z函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的阶？解： 1sin0sinzz函数的奇点是使的点：sin0z 由得：221izizizk ieeee 或，22,izk i,0, 1, 2,zkk 即

17、：，,(0, 1, 2,)( )zkkf x 所以是函数的孤立奇点.cos( 1)0kk (sin ) |cos |z kz kzzsinzkz是的一阶零点，1sinzkz即：是的一阶极点.2022-5-15375.1.35.1.3、函数在无穷远点的性态、函数在无穷远点的性态 ( )f zz前面讨论函数解析性及孤立奇点时，均假设 为复平面上有限点，那么函数在无穷远点的性态又如何呢？1.定义( )f zzRz 若函数在的去心邻域内解析，( )f z则称点 为函数的孤立奇点.分析： 1tz令，111( ),( )( ),0.tzf z Rzg tfttR (0(zt扩充 平面上）扩充 平面上）0(

18、 )ttm若是函数的可去奇点、 阶极点或本性奇点，( )zf zm那么就称点是函数的可去奇点、 阶极点或本性奇点.5.2留数的一般理论385.2.15.2.1、留数的定义、留数的定义 1留数概念 0( )f zz如果函数在 的邻域内解析，则有柯西定理：( )0,Cf z dz 0Cz其中 为 邻域内的任意一条简单闭曲线.0000( )0zf zzzzRzC若 为函数的一个孤立奇点，则沿着 的某一个去心邻域内含 的任意一条正向简单闭曲线 的积分：( ),Cf z dz 一般不等于零.因此将函数在0|z-z0|R内展成洛朗级数为00011( )()() ,nnnnnnf zCzzCCzzC对展开式

19、两边沿着 逐项积分得：00011( )()(),nnnnCCCCnnf z dzCzzdzC dzCzzdz001101(),()nnnnCCCnnCdzCdzCzzdzzz101()CCdzzz 12.Ci102,010,0()nCi ndznzz 留数定义： 00( )0zf zzzR设 是函数的孤立奇点，在环形域内，101( )()f zzzC函数的洛朗展开式中项的系数称为0( )f zz函数在 点的留数.0101Re ( ),Re ( ),( ).2Cs f zzCs f zzf z dzi 记作：或说明： 10CCCz的值与 的半径大小无关，只要求 包含 即可.1( )2.Cf z

20、dzCi 上式即：留数计算方法： a:对于本性奇点：利用罗朗展式找出a-1 。 b:对于可去奇点：a-1=0 （主要部分） c:对于极点： （分为一阶（简单）极点，与m阶极点）0011( )() ( )limeszzR f zzzf za：一阶极点：00000100( )( )( )( )( )( )() ( )()( )( )( )( )limlimlimzzzzzzp zf zQ zp zp zp zzzf zzzesQ zzzQ zQ zzzR f za另：1( )sinf zz例：的极点及留数：sin0( )1()()( )( 1)sinsin11()( 1)(sin )cosliml

21、imlimlimlimnesznznznnesznznzznf zznf nznf zzzznf nzzRR 解：此为的极点，或：00(1)0101(1)100011100112:()()( )(1)!()( )().()() .limlimmmesmmmmmmmmzzzzmmR f zzzf zzzmdzzf zzzzzdzzzaaaaaa阶极点：53533232( )44(2)(2 )(2 )0zif zzzzzzzzzi zi例：的奇点及其留数。解：0, 2( )zif z 此为的奇点3321( )2(2 )(2 )(2 )zif zzizzi zizzi 为0,2zi可去奇点为极点，2

22、:zi为一阶极点33211(2 )(2 )*2 28limesziifizizizzizR03z 为 阶极点：3(2)0011111(0)( )()()222228limlimeszzifz f zziziR ！定理5.5留数定理：设f(z)在回路l上处处解析并且在l内部除有限个孤立奇点z1,z2,z3,外处处解析，则nkkesczRfidzzf1)(2)(2| | 12222222| | 12222(01)2112011:| | |:12( )2112(2)1211221zeszdzzzzzzzdzif zizzzzziizzR 例：计算积分解：此为原被积函数的两个一阶极点。但不在积分曲线内

23、部，故 原积分为2022-5-15465.2.35.2.3、函数在无穷远点的留数、函数在无穷远点的留数 无穷远点留数定义：( )f zRz 设函数在圆环域内解析，C为这圆环内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，则称积分：1( ),2Cf z dzi ( )f z为函数在无穷远点的留数，记作：2111Re ( ),( )Res ( ),02Cs f zf z dzfizz RO1C2022-5-1547定理5.6( )f z如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点(包括 )，( )f z则函数在所有各奇点(包括 )的留数的总和一定为零，1Re ( ),Re ( ),0nkks f zzs f z 即

24、：证明： ( )(1,2, )kf zz kn设函数的有限个孤立奇点为，除 外，(1,2, )kCz kn又设 为一条绕原点的并将包含在它内部的正向简单闭曲线，由留数定理及无穷远点留数定义得：1Re ( ),Re ( ),nkks f zzs f z11( )( )0.22CCf z dzf z dzii2022-5-1548 例Re ( ),s f z 计算的值，如果2(1) ( );1zef zz41(2) ( ).(1) (4)f zz zz解： 1(1)Re ( ),Re ( ),0,nkks f zzs f z 2( )11zef zzz 有两个有限孤立奇点，且均为一阶极点；21Re

25、 ( ),1lim(1),12zzees f zzz121Re ( ), 1lim(1)12zzees f zzz Re ( ),Re ( ),1Re ( ), 1s f zs f zs f z 11()sin.222eeeehi 211(2) Re ( ),Re ( ),0s f zs fzz 241Re,011(1) (4)zszzz 44Re,0(1) (1 4 )zszz 0.2022-5-1549 例102.() (1)(3)CdzCzzizz 计算积分，其中 为正向圆周,1,3,zi zzz 函数的奇点有：，Re ( ),Re ( ),1Re ( ),3Re ( ),0s f zi

26、s f zs f zs f z 102Re ( ),Re ( ),1() (1)(3)Cdzis f zis f zzizz 2Re ( ),3Re ( ),is f zs f z 10231112lim(3)Re ( ),0() (1)(3)zizs fzizzz z 10101012Re ,0(3)2(1) (1)(1 3 )zisiizzz 10.(3)ii 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。5.3 留数在定积分计算上的应用0ab1

27、l2l( )baf x dx1l如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 a,b (线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分：21lll2)()()(lbaldzzfdxxfdzzf1. 形如 的积分, 其中R(cos,sin )为 cos与sin 的有理函数. 20(cos ,sin )Rd221111sin(ee),cos(ee).2222iiiizziizz令 z = ei , 则 dz = iei d , 而从而积分化为沿正向单位圆周的积分2022| | 1| | 1(cos ,si

28、n )d11 d,( )d22zzRzzzRf zzziziz02011ii其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有 其中zk (k=1,2,.,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点.nkkzzzfizzf11|),(Res2d)(201112| | 1| | 122(01)1coscos()21222( )2121242 11ixeszzdxIxzzdzxdxzeizdzdzIif zzzizizziR例：计算解：做代换：2. 形如( )dR xx的积分 当被积函数 R(x)是 x 的有理函数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次,

29、并且 R(x)在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的. 取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCRRROx不失一般性, 设1111( ),2nnnmmmza zaR zmnzb zb为一已约分式.0( )d( )2Res ( ),Rm kRkRCI zR xxR z dziR z z此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.|( )| |( )|( )| max |( )|max |( )|0(2.|( )|0limCRCRCRRdzdzRf z dzzf zzf z

30、zf zzzRzf zmnzf zCRzzf z 即有理式的分母比分子仍高一次，当上的时， （ ）00( ),1( )d( )dRes ( ),2m kkI zR xR xxR xxiR z z如果为偶函数0Res ( ),( )d2m kkI zR xRxziz因此22012()2(,)1112|2mkeskesI Zz idxiR f ZiRzixziz例：220112(,)(1)(1)mkesnnI ZiRzixz例：112112()(1)!(1)limnnnnzizdizindz112121222112()|(1)!()()(1)( 22)2(2 )(1)!(1)(2)(22)(22)

31、!2(1)!2(1)!) 2nz innznnndindzinnniinnnnnniinn 3. 形如 的积分( )e d(0)aixR xxa 当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次, 且R(z)在实数轴上没有奇点时, 积分是存在的. 象2中处理的一样, z1z2z3yCRRROx0( )e d( )e2Res ( )e,Rm kRaixaixaizkRCI zR xxR zdziR zz此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.( )0limiazCRRzf zaf z e dz约旦引理：设当点 在闭上半平面趋于无穷时，（ ）一致地趋于零。则对于一切正数 ，有0Res(

32、 )e,)e d2m kaizixIakzRR xxizz因此得也可写为0( )cosd( )sind2Res ( )e ,m kaizkI zR xax xiR xax xiR zz例 计算 的值.220sin(0)xxIdx axa22( )zR zza解 这里m=2,n=1,mn=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai,22e d2 Res ( )e ,ixizxxiR zaixae2lim2.2izaaziazeiiiezia2222022sin1sind211 =Im().22ixaxxxxxdxxaxaxe dxexa因此( ), (

33、),( )( )0()f x dxf xzaf zzazf zz四：实轴上有奇点：积分在实轴上有奇点 如图做辅助线且将在展成洛朗级数：只要当( )( )( )( )cRclf x dxf z dzf z dzf z dz xyoRCCarRarR a01100( )( )( )( )2()( )2()()2()m kmkm kkeslcRccI zkkesesccIzI zf x dxf z dzf z dzf z dzif zf z dzaaif zP za dzif zdzzazaRRRxyoRCCarRarR a01100012()2()2()( )m km km kikkiI zI z

34、kesesI zif zaie dif ziaeif zif aRR0sinxdxx例：计算1Im(,0)022 12izizeseeizzzR0000sin1sin11Im()Im (2,)222m km kizizizizkkesesI zI zezzxxeeedzizizxxzzzRR解：将被积函数改为复变函数 其奇点为00( )2()()m km kkkesesI zI znf x dxif zif zRR若有 个单极点在实轴上：作业：5.1.1 a,c,d,j,l5.2.1 a,b,c,g,j5.2.5 a,b,d5.2.6 a,c5.3.1 a,c,f第五章重点：1.奇点的分类和判定方法。2.留数的定义和留数定理（重点为有限平面的孤立奇点，不包含无穷远点）3.留数在定积分计算上的应用。四种形式的实数积分利用留数定理求解。