现代控制理论基础课件.ppt

1、第二章 线性控制系统的状态空间描述第二章 线性控制系统的状态空间描述2.1 状态变量及状态空间表达式2.2 状态空间表达式的模拟结构图2.3 状态表达式的建立（一）2.4 状态表达式的建立（二）2.5 状态向量的线性变换（坐标变换）2.6 从状态空间表达式求传递函数2.7 时变系统和非线性系统的状态空间表达式2.1 状态变量及状态空间表达式系统方块图1upu2u1y2yqynxxx,21一、状态变量系统的状态变量状态变量是系统中足以描述系统时域行为的最小一组变量。当它在tt0时刻的值已知时，则在给定tt0时间的输入作用下，便能完全地确定系统在任何tt0时间的系统行为。状态变量的确定和个数 n阶

2、微分方程要唯一确定其解，必须已知n个独立的初始条件 n阶系统的n个独立变量 取决于系统中的独立储能元件的个数2.1二、状态向量如果n个状态变量用x1(t), x2(t), xn(t)表示，并把这些状态变量看作矢量X(t)的分量，则X(t)称为状态向量。记作 txtxtxtXtxtxtxtXnTn.)(.)(2121或2.1三、状态空间状态空间状态空间：以状态变量x1(t), x2(t), xn(t)为坐标轴所构成的n维空间状态空间。状态轨迹状态轨迹：X(t0)对应状态空间中的一个初始点，随着时间的推移， X(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹。2.1四、状态方程状态方程状态方程：由系统状态变量构

3、成的一阶微分方程组。例：R-L-C网络的状态方程建立2.1R-L-C网络的状态方程建立此系统有两个独立储能元件，即电容C和电感L，所以应有两个状态变量。状态变量的选取原则上是任意的，考虑到系统的物理特性，可选取流经电感的电流i和电容两端的电压uc为系统的两个状态变量。2.1R-L-C网络的状态方程建立根据基尔霍夫定理，可得含有状态变量的一阶微分方程组uuRidtdiLidtduCcc2.1R-L-C网络的状态方程建立经整理得R-L-C网络的状态方程为uuRidtdiLidtduCccuL1iLRuL1iiC1ucc2.1R-L-C网络的状态方程建立用一般符号表示，令x1=uc， x2=i并写成

4、向量矩阵形式，则状态方程为uLxxLRLCxx1011021212.1R-L-C网络的状态方程建立或LbLRLCAxxXbuAXX1011021式中2.1五、输出方程输出方程输出方程：系统输出与状态变量间的函数关系式。上述R-L-C网络系统中，若指定x1=uc作为输出，输出一般用y表示，则有 y=uc 或 y=x1它的矩阵表达式为 010121TTcXcyxxy式中2.1六、状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式：状态方程和输出方程一起构成的对系统的完整的动态描述。R-L-C网络系统的状态空间表达式(x1=uc， x2=i)01,10110,21TTcLbLRLCAxxXXcybuAXX式

5、中2.1在经典控制理论中， R-L-C网络系统的动态过程描述采用两阶微分方程，若以uc为输出，由上述的状态方程中消去i得uLCuLCuLRuccc11 LCsLRsLCsUsUsGc11)()()(2传递函数为：2.1R-L-C网络系统的另一种状态变量的选取R-L-C网络系统，若取 作为状态变量，则状态方程为ccuxux21,uLCXLRLCXuLCxLRxLCxxx101101121221即2.1从高阶微分方程或从传递函数变为状态方程，即多个一阶微分方程，则此时的状态方程可以有无穷多种，因为状态变量的选取可以有无穷多种。状态变量的非唯一性与传递函数并未描述系统的结构即系统结构不确定有关2.1

6、同一系统，状态变量的选取不同，状态方程也不同。理论上，状态变量的选取可以没有任何物理意义；工程实际中，状态变量的选取以可以测量的物理量为宜。2.1系统的状态空间描述 系统的状态空间描述系统的状态空间描述：建立系统的输入、状态和输出之间关系的数学表达式 。2.1系 统1upu2u1y2yqy系 统uy输入输出描述的系统方块图 1upu2u1y2yqynxxx,21引入系统状态后的系统方块图 系统的状态空间描述系统的各变量之间的相互关系可以描述为：系统的输入引起状态的变化，再进而引起输出的变化。相应的，系统的运动也由如下两组方程分别描述 2.1),(),()(ttttuxhx),(),()(ttt

7、tuxgy（2.11）（2.12）（2.11）式状态方程，）式状态方程， （2.12）式输出方程，）式输出方程，T xnxxx21T yqyyy21T upuuu21上面两个方程也可细写成2.1 ),(,),(),(),(,),(),()(),(,),(),(),(,),(),()(),(,),(),(),(,),(),()(2121212122212111ttutututxtxtxhtxttutututxtxtxhtxttutututxtxtxhtxpnnnpnpn ),(,),(),(),(,),(),()(),(,),(),(),(,),(),()(),(,),(),(),(,),(),

8、()(2121212122212111ttutututxtxtxgtyttutututxtxtxgtyttutututxtxtxgtypnqqpnpn线性系统的状态空间表达式2.1)()()()()(tttttuBxAx :)()()()()(tttttuDxCy)()()(tttBuAxx :f 线性定常系统的状态空间表达式)()()(tttDuCxy七、状态空间表达式的系统方块图2.12.2 状态空间表达式的模拟结构图模拟结构图反映了状态变量间的信息传递关系绘制状态空间表达式的模拟结构图例1：212121 1 0 010213xxyuxxxx3uy2x 2x1x1x 12212121 1

9、0 010213xxyuxxxx2.2例2：二输入、二输出系统的模拟结构图2.22221212221212212111212111122212122212122121112121111ududxcxcyududxcxcyububxaxaxububxaxax11a12a21a22b22a21b12b11b11c12c21c22c11d12d21d22d1y2y2u1u1x2x2x 1x 2.22.3 状态空间表达式的建立(一)状态空间表达式的建立途径：由系统方块图建立从系统的物理或化学机理出发进行推导由高阶微分方程或传递函数变换获得一、由系统方块图建立状态空间表达式直流电动机在电枢控制时的方块图

10、描述2.32.3选状态变量 x1=ia , x2=,输入u= ua ,输出 y =，得该系统的状态空间描述：212121 1 0 01 xxyuLxxJbJKLKLRxxaiaeaa二、从系统的机理出发建立状态空间表达式例：倒立摆系统2.3mgym lMmuz小车沿水平方向的力平衡方程是 2.3ulzdtdmdtzdM)sin(2222sincos22222mgldtdmldtzdml考虑到对所研究的对象，0，两式可线性化为 或2.3udtdmldtzdmM2222)(gdtdldtzd2222uMMmgdtzd122uMlMlgMmdtd1)(22设状态变量 输入u , 输出 y=z，则状态

11、空间描述为2.3dtdxxdtdzxzx4321,uMlMxxxxMlgmMMmgxxxx10100)(00100000000104321432143210001xxxxy2.4 状态空间表达式的建立（二）实现问题实现问题：由描述系统输入输出动态关系的运动方程式或传递函数建立系统的状态空间表达式。考虑一个单输入、单输出的线性定常系统： 式中u为输入，y为输出 ububububyayayaynnnnonnnn111111)()()()(写成传递函数形式为 ：2.4nnnnnnnnasasasbsbsbsbsUsYsG1111110)()()( 系统状态空间表达式系统状态空间表达式能控标准型能控标

12、准型nnnnnnasasbabsbabbsG11010110)()()()()()()()(11010110sUasasbabsbabsUbsYnnnnnn2.4)(1)(11sUasassZnnn设 )1(21nnzzzxxxx2.4uxxxaaaaxxxnnnnn100010000102112121ubxxxbabbabbabynoonnonn0211111能控标准型实现：2.4能观标准型实现：ubabbabbabxxxaaaxxxoonnonnnnnn1111211121100001000ubxxxyon211002.4例：系统输入输出微分方程为uuyyyy64016064019218.

13、试求其状态空间表达式。解：321321321016064010018192640100010 xxxyuxxxxxx例：试求下列系统的状态空间表达式。233)()(2ssssUsY解： )()( 13)()(10)()(3210)()(212121txtxtytutxtxtxtx2.42.5 状态向量的线性变换（坐标变换）一、系统状态空间表达式的非唯一性00)(XtX)(Bu)(AX)(X ttt)(Du)(CX)(yttt对给定的线性定常系统： 总可以找到任意一个非奇异的矩阵T，对X作线性变换，得到另一个状态向量Z。 设 X=TZ 即 Z=T-1X则可得以Z为状态向量的状态空间表达式0101

14、011)()()()()()(Bu)(ATZ)(Z XTtXTtZtDutCTZtytTtTt2.5称为相似变换称为变换矩阵，ATTAT1例：某系统的状态空间表达式为11)0()()( 30)()(02)()(3120)()(212121XtxtxtytutxtxtxtxXXTZTT311021311021,022611111量为经坐标变换后的状态向取2.5解：1）2.51111111( )( )( )010262012111313201302201123062( )( )03602010111(0)(0)2131211 ZAT ZButTtTtZuZuy tCTZ tZZZT X 2.5解：

15、2）XXTZTT21112111,111212122量为经坐标变换后的状态向取10112111)0()0(33111230)()(222001022111111231202111)(Bu)(AT)(Z 12212212XTZZZtZCTtyuZuZtTtZTt经变换后的状态空间表达式为二、系统特征值的不变性1、系统的特征值系统的特征值：系统矩阵A的特征值 2.50 AI即特征方程的根2、系统特征值的不变性、系统特征值的不变性需证明AI 和 ATTI1的特征多项式相同。|111ATTTTATTI|)(|1TAIT| | |1TAIT| | |1AITTAITT1AI 证明：2.53、特征向量、特

16、征向量n,21为系统的特征值， 对应于不同特征值的特征向量为nqqq,21 而0qAIii)(，或iiiqAq，ni , , 2, 1。 例：例：的特征向量。试求110020103A0) 1)(2)(3( 110020103det|AI |A的特征值是1、2、3 对应于1的特征向量1q是下列方程的非零解0qqAI11010010102)(2.5201 q12.50qqAI22110000101)2(对应于2的特征向量2q是下列方程的非零解111 q2对应于3的特征向量3q是下列方程的非零解0qqAI33210010100)3(001 q32.5三、状态空间描述变换为约旦标准型三、状态空间描述变

17、换为约旦标准型。可写出约旦标准型矩阵量，求其特征值、特征向根据系统矩阵变换为将JtCTZtytTtZtZtCXtytttA)()()(Bu)(J)()()()(Bu)(AX)(X1nqn111121111JJq）个重根有重根（无重根A阵非规范形式时1）A特征值无重根时 ni21ni21ni21iii000000 qq qq qq qq An21iqAq),.,(ni211ii21000000ATTJ , qq qq T 2.52.5u231110020103xx 解： A的特征值是1、2、3 201 q1111 q2001 q32121101021210T012010111 q q q T13

18、21则取2.5300020001ATTJ1213321bTb12.5不失一般性，设A为一44矩阵，特征值为4重根。为将A变成约旦标准型，则求(IA)qi=0 的解qi ， qi的线性独立解的维数为4rank(IA )431，即A对应的独立特征向量维数为1。显然这时无法将A相似变换成对角线形式。为此，引入广义特征向量的概念，使能获得接近于对角线形式的J。比较简单的一种形式是 000100010001J2.5000100010001 v v v vJ v v v vAv Av Av Av 4321432143214343321211v vAvv vAv,v vAvv Av,2由此引出广义特征向量的

19、定义即：2.5k4时的广义特征向量链v1、v2 、v3 、v4，满足 :(A I )v1=0(A I )v2= v1(A I )v3= v2(A I )v4= v3这里，v1仍为A对应的特征向量， v2 、v3 、v4 为广义特征向量。即变换矩阵的选取 Tv1 v2 v3 v4则 J= T-1AT设A的特征根1有q重，其余n-q个根互异，变换矩阵T Tv1 v2 vq pq+1 pnpq+1， pn对应于n-q个单根的特征向量，对应于q个重根的广义特征向量v1 v2 vq 的求法如下：2.5(A I )v1=0(A I )v2= v1 (A I )vq= vq-12.5广义特征向量：广义特征向

20、量：向量V V如满足以下条件，则称为k k阶广 义特征向量 0vI A0vI A1kk)()(如果k=1k=1，它就简化成(A I )V=0及V0，V就是特征向量。对于k4的广义特征向量链，由定义 vI AvI AvvI AvI AvvI AvI Avvv213243234)()()()()()(又：2.50vI A0,vI A212)()(0vI A0,vI A4343)()( 即:例：试将下列状态空间表达式化为约旦标准型X001yu100X032100010X2.531 2311111110010233201211100110231111AIIAvA vvv，解：求出的特征值即 得 的特征

21、向量可按下式求取 2.5421pAppp2101v111v132110011vvAIv13333332212121解得的特征向量对应解得的另一个广义特征向量再求对应于)(2.5111CT913192BT200010011ATTJ12133625291T411201111pvvT111321/则变换后系统各矩阵为计算得于是变换矩阵211121112111000000000000A 000000000001A 000000010001A例：如果A具有两个或两个以上特征值，例如有13重根，2没有重根，则可能具有以下之一的形式 2.52、A阵为规范形式时2.512n1nnaaaa10000100001

22、0A1） A的特征值 1，2，互异，变换阵T为范德蒙矩阵 1nn1n21n1n21111T2.5ATT1n21002） A的特征值有重根时，与1)有所不同例：123100010aaaA有特征值1 、 1、 3 ，作非奇异线性变换 2.5231213121101T3111000001ATT2.5例：考虑下列系统的状态空间表达式： u600 xxx6116100010 xxx321321解：矩阵A的特征值为112233作变换 321321zzz941321111xxx2.5941321111Pu363zzz300020001zzz321321变换矩阵为变换后得：2.53、系统的并联型实现)()()

23、()(n21n1n1n1nopspspsbsbsbsbsUsY1) 考虑分母多项式中只含相异根的情况 设nnopscpscpscb221111)(xpssU22)(xpssU,nnxpssU)(得到uxpxiiinnxcxcuby110得系统的状态空间表达式的约旦（对角线）标准形 ：2.5u111xxxp0p0pxxxn21n21n21ubxxxcccyon21n212） 分母多项式中含有重根的情况 2.5假设系统极点除了前3个即 相等外，其余极点 相异 321ppp), 4(nipi)()()()()(54311110nnnnnpspspspsbsbsbsbsUsYnnpscpscpscps

24、cpscbsUsY442123110)()()()()(13系统状态空间表达式 2.511100 xxxxxp0000p0000p001p00001pxxxxxn4321n4111n4321ubxxxcccyon21n212.5 )(11)()(2001)()(2121tutxtxtxtx)()( 12)(21txtxty233)()(2ssssUsY求下列系统的约旦标准型解：2.6 由状态空间表达式求传递函数阵 一、传递函数（阵）对给定的线性定常系统：)(Bu)(AX)(Xttt)(Du)(CX)(yttt00)(XtX)()()(ssssBuAxxx0)()()(sssDuCxy )()(

25、)()(11ssssBuAIxAIx0)()()()()(11sssssDuBuAICxAICy0 0 x 0)()()()()(1sssssuG uDBAICy)()(1DBAICGss)(sG2.6DB)AI(C)AIdet(1sadjs2.6)()()()(1dssusysgbAIc)()( 13)()(10)()(3210)()(212121txtxtytutxtxtxtx2.623310321 13 b)AI( c)()()(211sssssdssusysg2.6)(sG0G)()(sGD DG，)()(sG2.62.621SS 与 2,1 uBxAx : iiiiiiiiiiiiu

26、DxCy21uuu，21yyy uDDxCxCy uBxAxuBxAx21221122221111)(2.621xxx组合系统的状态 ，于是得 uBBxxA00Axxx 21212121uDDxx CC y 212121组合系统的传递函数阵)(sG )()()()()()()()()()()()(ssssssssssssuGuGG uGuGyyy21221121所以 )()()(sss21GGG 2.6n个子系统并联连接 )()()()(1ssssiinGGGGn12、串联联结1uu ，12yu以及2yy )uDxC(DxC y)uDxC(BxAxuBxAx11122211122221111系

27、统的状态空间描述 2.6uDDxx CCD y uDBBxxACB0Axxx 122121212121212121经整理得串联连接的组合系统的传递函数阵 )(G)(G)(Gu)(Gu)(G)(Gu)(G)(G)(y)(G)(u)(G)(y)(y121211212222ssssssssssssss3、反馈联结21yuu21uyy2.6， 111112222222212211111111xCyy xCBxAuBxAxuBxCBxAuBxAx系统的状态空间描述 21112121221121xx 0 C y u0BxxACBCBAxxx整理得 2.6 )()()()()()()()()()()()(s

28、sssssssssssyGGuG yuG uGyy21121111)()()()()(sssssuGyGGI121)()(ss21GGI)()()()(1ssss121GGGIG2.6如果)()(ss21GGI与)()(ss12GGI都是非奇异的，则111)()()()()()()()()()()()()()()()()(sssssssssssssssss12121121211121211GGIGGGI GGIGGGG GGIGGIGG11)()()()()()(ssssss121121GGIGGGGI所以反馈连接的组合系统的传递函数阵另一表达式为：1)()()()(ssss121GGIGG

29、: x( )A( )x( )B( )u( )ttttt)()()()()(tttttuDxCy2.7二、非线性系统),(),()(ttttuxhx),(),()(ttttuxgy设非线性系统对应于)(0tx的状态空间描述为),(),()(000ttttuxhx 或 ),(0tuxhx00),(),()(000ttttuxgy 或 ),(000tuxgy 将上式中的),(),(ttt uxh和),(),(ttt uxg在)(u),(x(00tt的邻域内进行泰勒展开，有2.7)()()()()()(00000000ttttttu,x,uugxxg,u,xgu,x,gu,x,uuhxxh,u,xhu

30、,x,hu,xTu,xT00u,xTu,xT00式中， 00uuuxxx,。)(tu,x,和)(tu,x,是泰勒展开的高次项 )(A xh0000u ,x1111u ,xTtxhxhxhxhnnnn)(0000,1111,tuhuhuhuhpnnpB uhuxuxT由向量对向量求导规则，有2.7在略去高次项)()(ttu,x,u,x,和后，就可得到在)(00u,x邻域内线性化的状态空间描述u Bx Au,xhu,x,hx 00)()(),()(ttttu Dx Cu,xgu,x,gy 00)()(),()(tttt)(0000,1111,txgxgxgxgnqqnC xguxuxT)(0000

31、,1111,tugugugugpnnpD uguxuxT2.7例：试求下列非线性系统在X00处的线性化状态空间表达式。22132212212xxyuxxxxxx解：由状态方程和输出方程可知021131110,2,0000000022122221221112212132212122211xxxxxxxxxxgxgxxhxhxhxhxxuxxguxxxuxxhxuxxh2.7XyuXXDCBA01201110001xg20uh1110 xh000000u ,xTu ,xu ,xT达式为线性化后的状态空间表第二章 小结2.1 状态变量及状态空间表达式2.2 状态空间表达式的模拟结构图2.3 状态空间表达式的建立（一）2.4 状态空间表达式的建立（二）2.5 状态向量的线性变换（坐标变换）2.6 从状态空间表达式求传递函数2.7 时变系统和非线性系统的状态空间表达式