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1、9-4 李雅普诺夫稳定性分析2. 李雅普诺夫第一法(间接法)4. 线性定常系统的李雅普诺夫3. 李雅普诺夫第二法(直接法)1. 李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性分析稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作1.李雅普诺夫意义下的稳定性设 n 维系统的状态方程为具体为 n 个一阶微分方程，)x,(xtf李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的；nitxxxfxnii, 2, 1),(21假定方程的解为，；),xx(x00tt。；),xx(x0000tt的必要条件。稳定性表现为系统的零输入响应，即在输入恒为零时，系统的状态演变的趋势。更一般性的理论，不仅适用于线性定常系统，而且适用于非线性、时变系统。如果

2、对于任意给定的 ，总存在 ，只00要系统初始状态位于以平衡状态 xe 为球心、 为半径的闭球域 内，即)(S(1) 平衡状态(2) 李雅普诺夫意义下的稳定性对于所有t，满足0),x(xtfee若已知系统的状态方程， 令 所求得的0 x e，00 xxtte的状态 xe 称为平衡状态。mequilibriu解 x，就是平衡状态。 的闭球域 内，即)(S，；000 x),xx(tttte则称系统的平衡状态 xe 在李雅普诺夫意义下是稳实数 与 有关，通常与 也有关；若 与0t无关，则称平衡状态xe是一致稳定的。0t)(Sxex0 x1x2)(Sxex0 x1x2xex0 x1x2xe 稳定xe 渐

3、近稳定xe 不稳定定的。就能使系统状态始终处于以xe 为球心、半径为如果对于任意初始状态，都能保证(3) 渐近稳定性(4) 大范围(全局)渐近稳定性若平衡状态xe是李雅普诺夫稳定的，而且则称平衡状态xe是渐近稳定的。，；0 x),xx(lim00ettt，0 x)x(limett则称平衡状态xe是大范围渐近稳定的。线性系统的稳定性与初始状态无关，对于严范围渐近稳定的。格线性的系统，若它是渐近稳定的，必定是大范(5) 不稳定性的某x0出发的轨线超出 ， 则称xe是不稳定。)(S若对某个 ，无论 如何小，从 内00)(Sxex0 x1x2xe 稳定xex0 x1x2xe 渐近稳定xex0 x1x2

4、xe 全局渐近稳定)(S)(Sxex0 x1x2xe 不稳定(1) 系统的每一个平衡状态是李雅普诺夫稳定定理9-9 对于线性定常系统 有 ，0 xxtA间接法利用状态方程解的特性来判断系统的2. 李雅普诺夫第一法(间接法)(2) 系统的唯一平衡状态 xe=0 是渐近稳定的充稳定性；对于线性定常系统，可使用其特征值来判断系统稳定性。的充要条件为， A 的所有特征值均具有非正( 0 )实部， 且实部为零的特征值是 A 的最小多项式的单根。要条件是， A的所有特征值均具有负实部。 对于初始状态 x0 xe，有 证明 (1)设 xe 是系统的平衡态，对于t0，有；0 x e；0 x eA；etAexe

5、x ；0 xextA；，0)x(xexxx0tetAe(9-391)对于任意给定的 ，当且仅当0时，存在与初始时刻无关的 ，使得由任k/)()(xx0ektAe出发的运动轨线都满足，00 xxexttkketA(9-390)意初始状态进一步证明(9-391)成立的的元素在0,)上有界，0i数。式中 是矩阵A的特征值， 是 的重iiijii得知，| eAt |有界等价于| eAt|有界， 即在(9-391)条件下，系统的每一个平衡态均为李；1PPAAtjiiit)(1e|eAt |=|P-1|eAt |P |；只有当 (单根)时，才能在0,)上有界；1i充要条件。将系统变换成约当标准形至此，得证

6、：当且仅当命题(1)的条件成立时，系雅普诺夫意义下稳定。形的每一个元素都具有如下形式统每一个平衡态均为李雅普诺夫意义下稳定。0i的元素而且约当标准 由(9-390)式得知，当|eAt |对于一切t0有界， 定理9-9命题(2)证明如下：如命题(1)所证， |eAt |的元素都具有tjiiit)(1e形式，当且仅当t时 0，则保证tjiiit)(1e且当t时|eAt | 0，零平衡状态xe=0是渐近稳定的。 t时|eAt | 0。等价于A的特征值均具有负实部。命题(2)证毕。例例9-B-1 判断下述线性时不变系统的稳定性；u100 x6116100010 x 解：；06116)(det23sss

7、AIs；321321间接法所有特征值都具有负实部，系统是渐近稳定的。原点( x = 0 )是系统的唯一平衡状态。；u100 x560100010 x 例例9-B-2 判断下述线性时不变系统的稳定性解：；065)I(det23sssAs；320321间接法所有特征值都具有非正实部，且实部为零的特征直线( x2 = 0，x3= 0 )都是系统的平衡状态。是最小多项式的单根，系统是稳定的。正定函数：李雅普诺夫函数是状态变量 x 及时间 t 的正定直接法根据能否为系统构造李雅普诺夫函数3. 李雅普诺夫第二法(直接法)标量函数V(x)对S 域中的非零状态x有V(x) 0若不显含时间变量t，李雅普诺夫函数

8、记为 。) x(V标量函数，具有以下性质：；，0), x(0 x0), x(tVtV及其性质来判断系统稳定性。且V(0) = 0，则称 V(x)在S 域内是正定的。性；李雅普诺夫函数，稳定V(x,t)是正定函数，必存在正定函数W(x)保证负定函数如果-V(x)是正定函数，则V(x)为负定函数。正半定函数不定函数：不论 S 域多么小，在S 域内V(x)可能是负值也可能为正值。0), 0 (),x(), x(tVWtV标量函数V(x)除了在原点及某些状态处值为零外，在S 域内的其它状态x处值大于零，则V(x)为正半定函数。负半定函数如果-V(x)是正半定函数，则V(x)为负半定函数。(非线性时变系

9、统，略）定理定理9-10 (大范围一致渐近稳定判别定理)例例9-B-3 判断系统在零平衡态的稳定性解：原点(x1=0, x2=0)是系统的唯一平衡状态。则沿任意轨线，V(x) 对时间的导数为；)(22212212xxxxxx2211) x(xxxxV选取正标量函数；)(22211211xxxxxx)(2221212121xxxxxx)(2221222221xxxxxx；)( 5 . 0) x(2221xxV判断系统在零平衡态的稳定性例例9-B-4解：原点(x1=0, x2=0)是系统的一个平衡状态。；)( 5 . 0) x(2221xxV则沿任意轨线，V(x) 对时间的导数为；32212xxx

10、x2211) x(xxxxV选取正标量函数；31211xxxx412121xxxx422221xxxx；)1 ()1 (22222121xxxx在 零平衡态是不稳定的。，0) x(V，1)(2221xx；) 1)(22212221xxxx在 零平衡态是渐近稳定的。，0) x(V，1)(2221xx定理定理9-11 (定常系统大范围渐近稳定判别定理1)(1) V(x)为正定；(2) V(x)为负定；) x(V对于定常系统 ，其平衡状态为0)x(xtf，则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。(3) 当|x|时，V(x) 。性；李雅普诺夫函数，稳定稳定域；xe = 0，如果存在一个具有连续一阶导数

11、的标量函数V(x), V(0) = 0，并且对于状态空间X中的一切非零 x 满足如下条件：例例9-39 设系统状态方程为V(x)是系统的一个李雅普诺夫函数。)(2222212221xxxxx解：显然, 原点(x1=0, x2=0)是系统唯一平衡状态。2221) x(xxV试确定系统的稳定性。)(2221121xxxxx是负定的。则沿任意轨线，V(x) 对时间的导数为)(2221212xxxxx221122) x(xxxxV22221)( 2xx )(2222212121xxxxx选取正标量函数(定常系统大范围渐近稳定判别定理2)而且，|x|时V(x) ，所以系统在原点(平定理定理9-12(1)

12、 V(x)为正定；(2) 为半负定；) x(V则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。(4) 当|x|时，V(x) 。对于定常系统 ，其平衡状态为0)x(xtf， x = 0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x), V(0) = 0，并且对于状态空间X中的一切非零x满足如下条件：(3) 对任意 xX，；0),0)x(0 xtV衡状态)是大范围渐近稳定的。例例9-40 设系统状态方程为解 原点( x1 = 0, x2 = 0 )是系统唯一平衡状态。；)(5 . 0) x(2221xxV试确定系统的稳定性。则沿任意轨线，V(x) 对时间的导数为，21xx ，22212)1 (xxxx选取

13、正标量函数2211) x(xxxxV；2222)1 (xx仅当 x2 = 0 或 x2 = -1 时0) x(V即V(x 是半负定的。) x(V (a) x2=-1： ；11x ；02 x ；12 x；0) x( V(b) x2=0，x10： ；02x ；02 x；0) x( V(c) x2=0，x1=0：；01x ；02x 系统达到达到平衡状态。 讨论 的三种情况：0) x(V；01 x分析表明，原点是系统的稳定平衡状态。|x|时V(x)，所以系统在原点(平衡状态)是大范围渐近稳定的。而且，参考参考9-1 设系统状态方程为解：(1) 系统有两个平衡状态： ( 0, 0 )； ( -2, 0

14、)；试确定 (1)系统的平衡态；，21xx ，21125 . 0 xxx，21xx ，21125 . 0 xxx平衡点( -2, 0 )处的扰动方程为 (z1=x1+2 , z2= x2 )，21zz ；21125 . 0 zzz(2)各平衡态的扰动方程；(3)讨论各平衡态的稳定性。(2) 原点( 0, 0 )处的扰动方程仍为 原点( 0, 0 )处的线性扰动方程为，21xx ；12xx平衡点( -2, 0 )处的线性扰动方程为，21zz (3) 平衡态处的扰动方程是非线性的，先作线性化处理，再讨论稳定性。得到线性扰动方程后，就能按下一小节的方法判断系统是否有李雅普诺夫函数。该系统在两个平衡态

15、都是不稳定的。；12zz 若采用间接法：原点( 0, 0 )邻域两个特征值为j，平衡点( -2, 0 )邻域两个特征值为1。参考参考9-2 设系统状态方程为解 (1) 系统有两个平衡状态： ( 0, 2 )； ( 1, 0 )；试确定 (1)系统的平衡态；(2) 点( 0, 2 )处的扰动方程为点( 1, 0 )处的扰动方程为；22211xxx ；212xxx ；2112xxx；21122xxxx；2112xxx；2212xxxx(2)各平衡态的扰动方程；(3)讨论各平衡态的稳定性。 点( 0, 2 )处的线性扰动方程为点( 1, 0 )处的线性扰动方程为 (3) 平衡态处的扰动方程是非线性的

16、，先作线性化处理，再讨论稳定性。得到线性扰动方程后，就能按下一小节的方法判断系统是否有李雅普诺夫函数。平衡态( 0, 2 )是稳定的；平衡态( 1, 0 )是不稳；2112xxx；122xx ；2112xxx；22xx 定的。间接法：点( 0, 2 )邻域两个特征值为 -1 j，点( 1, 0 )邻域两个特征值为-2、1。可选取正定二次型函数4. 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析(1) 线性定常连续系统渐近稳定的判据显然，状态空间的原点是系统的唯一平衡状作为可能的李雅普诺夫函数。设线性定常系统为，0 x) 0 ( xxx0tAA为非奇异矩阵(所有特征值均不为零)。 ，xxx)(TPV态。下面

17、推导V(x)对时间导数满足要求的条件：线性定常系统的唯一平衡状态xe=0，x)(xTTPAPA定理9-14欲使V(x)是负定函数，即要求矩阵A和P0满足根据定常系统大范围渐近稳定判别定理1，式中 Q是任意正定矩阵。有正定解P，系统就是大范围渐近稳定的。xxxxx)(TTPPV，QPAPAT，xxx)(TQV，QPAPAT只要给定一个正定矩阵Q，李雅普诺夫方程为渐近稳定的充分必要条件是，对于任意给定的正定矩阵Q ，李雅普诺夫方程有唯一正定解P。因此，只需求解下述李雅普诺定理9-14中指出 Q是任意正定矩阵，但是，定理9-14-1 若半正定矩阵Q，在A,Q完全可观定常系统大范围渐近稳定判别定理 1

18、 只需要一个。ITPAPA系统为渐近稳定的充分必要条件是，李雅普诺夫方程有唯一正定解P。李雅普诺夫函数。夫方程测的条件下，即；nAQAQQn1rank，22122212111222pppppp例例9-41 设系统为解：李雅普诺夫方程为试用李雅普诺夫方程判断系统的稳定性。，x1210 x，ITQPAPA121022121211ppppPA得到；221222121122121112T22224pppppppppAPPA 得到3个线性方程；1220214221222121112pppppp；25. 025. 075. 0221211ppp即矩阵P是不定矩阵(不满足P0或-P0)，则系李雅普诺夫间接法

19、：，25. 025. 025. 075. 0P解得： 有一个特征值具有正实部，2121，02)I(det2ssAs统是不稳定的。系统不稳定。例例9-42 设系统为试用李雅普诺夫方程确定系统渐近稳定的k值。解：根据图中定义的状态变量，得到状态方程 ，ukk00 x10120010 x 1sk21ss1 x1 x2 x3 u-因 det A=-k0，原点是系统的唯一平衡状态。 李雅普诺夫方程，QPAPAT10120010332313232212131211kpppppppppPA，332323133323222212231312121113222pppppkpppppkpppppk 得到以下6个线

20、性方程：；1313123312221123111322qpppkqpppkqpk；3333232323221322221222342qppqpppqpp为计算方便及保证Q0，设k 0，Q=diag 0, 0, 1; 完全可观测；检查A,Q的可观性，；101001000kkkV；3rank V；1rankQ；110100kkkV；3rankrankVV 将qi j代入李雅普诺夫方程解中，即得；0020213123322112313pppkpppkpk；1220304233232322132212ppppppp；03)6 (331233pkppk；)6/(333kpP为正定矩阵的必要条件是pii

21、0，得到 0 k 0，系统是大范围渐近稳定的。02323ksss据劳斯判据，得保证系统渐近稳定的k值范围：；0)6 ( 2)12(det1kkkP；0)6 (23det32kkP；02det33kP显然，间接法要方便得多：0 k 0，该系统是渐近稳定的。；211xxx；21232xxx；16202414222122212111211ppppppp；375. 0625. 075. 1221211ppp习题习题9-35 已知系统状态方程为阵Q，Q=? 对应P=? 判断系统稳定性。；u012021x15 . 0001035 . 02x求解李雅普诺夫方程ATP+P A=-I；解：系统稳定性与选取的Q0

22、无关，可以选取特殊形式的Q0，便于求解李雅普诺夫方程。；15 . 0001035 . 02332313232212131211pppppppppPA若选正半定矩 ；33133323131323122322121213111312111135 . 05 . 0235 . 05 . 0235 . 05 . 02ppppppppppppppppppPA；0305 . 05 . 014131123121111pppppp；12605 . 025 . 0312331333231312232212ppppppppp 在保证A,Q可观测前提下，选择最简单的Q0,选取Q=diag 1, 0, 0；31435

23、. 02001V；3rankrankVV；22106107464281P据p110知，矩阵P不是正定矩阵，系统不稳定。 ；93331131141P据p110知，矩阵P不是正定矩阵，系统不稳定。；02605 . 025 . 0302331333231312232212ppppppppp；0305 . 05 . 014131123121111pppppp(2) 线性定常离散系统渐近稳定的判据设线性定常离散系统，210 x) 0 ( x)x() 1x(0kkk选取正定二次型函数V x(k)=xT(k)P x(k)，作 为非奇异矩阵，原点是系统的唯一平衡状态。；)x()1x()x(kVkVkV下面推导

24、差分V(x) 满足要求的条件：)x()(x) 1x() 1(x)x(TTkPkkPkkV)x()(xTTkPPk；)x()(xTkQk欲使V(x) 0，则要求Q是正定矩阵。为可能的李雅普诺夫函数。,00)(x002/100010) 1(xakkak，若V x(k)沿任意解(的序列)不恒为零，则Q定理9-15 线性定常离散系统渐近稳定的充分必习题9-36 已知线性离散系统为试确定使系统渐近稳定a值范围。诺夫方程 有唯一正定解P。，QPPT要条件是，对于任意给定的正定矩阵Q ，李雅普可取为半正定矩阵。；02/)I(det3azz 选取P=I，解，QPPT解一：离散系统渐近稳定的充要条件是所有特征得

25、到 0 a 0，则要求0 a 2。 检查A,Q的可观测性，记m =1 -a2/4,，QaPP000000004/12T；mmmV000000；3rankrankVV要保证V(x)是李雅普诺夫函数，要求0 a 2。 ，ITPP002/1000100100012/00332313232212131211TapppppppppaP解三：解李雅普诺夫方程；22122312111323133322/2/2/2/4/pppapppapapapa 解得 即矩阵P = diag p11, p22, p33 。 )4/(12)4/()8 (0)4/()24(23322222313122211apaappppaa

26、pPPT；33222312132323122211121313231213113322/2/2/2/4/ppppppappppppappappappa要保证(对角线)矩阵P为正定，则要求0 a 0、| P |0，即P 0，该离散系统；04 . 03 . 0)I(det2zzz；8 . 05 . 021；191. 02 . 0012. 06 . 0116. 022121122121122ppppppp；9174. 13883. 03068. 1221211ppp是大范围渐近稳定的。采用间接法：离散系统的两个特征值都在单位圆内，该系统是大范围渐近稳定的。习题习题9-36-1 已知线性定常离散系统状

27、态方程为；，0)x(00100010) 1x(akak试求使系统渐近稳定的a值范围。解 (同习题9-36，Q0)离散的李雅普诺夫方程；QPPT；2212231211132313332TpppapppapapapaP选取Q = I； ；101332223122211pppppp；0011323121311332ppappappa；300020002111222aaaP使系统渐近稳定的a值范围：| a |1。第九章结束第九章结束返回返回结束结束矩阵多项式与最小多项式凯莱哈密顿定理：任一方阵A都是它的特征方程矩阵多项式，I)(0111aAaAaAaAfnnnn若 ，称A是多项式的根(零点)。0)(A

28、f式中 AR nn；ai是常系数； 的根。0)(0111asasasasfnnnn以矩阵A为根的非零多项式 中，存在首)(sf项系数为1，次数最低的多项式 ，它就是矩)(s换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A) 1中阵A的最小多项式。所有元素的最小公分母。最小多项式例 例如系统x3=0所在的平面x1-x2都是稳定平衡状态；理由为，0ax00000000 xa；，a32 , 10。)()(asssf；asssA000000sI。sasasassA000000)(1)(sI1特征值最小多项式特征多项式；)()(s2ass定义：特征值都小于零的实对称矩阵。负定矩阵, 8, 6, 4, 20, 7, 5, 3 , 10iiAi充分必要条件：所有主子式满足下列条件，25. 025. 025. 075. 0P；075. 0det1P；01) 13(25. 025. 025. 025. 075. 0det2P矩阵P是不定矩阵。)21(21，