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类型不定积分-ppt课件.ppt

  • 上传人(卖家):三亚风情
  • 文档编号:2637216
  • 上传时间:2022-05-13
  • 格式:PPT
  • 页数:54
  • 大小:2.10MB
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    关 键  词:
    不定积分 ppt 课件
    资源描述:

    1、不定积分一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念( )( )Fxf xF (x) 为为 f (x) 的一个原函数的一个原函数. CxFxxf)(d)(。(内容提要)(内容提要)二、二、 基本积分公式基本积分公式(1)dx xCxx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln) 1(4)e dxx Cex(5)dxax Caaxln。Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tanxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cotxxdcos)6(xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxxdtanln cos

    2、xCxxdcotln sinxC。22dxax22dxxaxxdsecCxxtanseclncsc dx xln csccotxxC1ln2axCaax2d1xxCx arctan2d1xxCxarcsin22dxax1arctanxCaa22dxaxarcsinxCa22ln xxaC。)(d1)(d1dbxaaxaaxxxd1)(lndxxxd)(d2x21a21)(d2bax ) 1()(d11d1xxxxxade)e (d1xaa三、三、 常见凑微分常见凑微分。xaxdcos)(sind1axaxaxdsin)(cosd1axasec tan dxx x d(sec ) xxxd112

    3、)(arctandxxxd112)(arcsindx一般地:一般地:xxfd)()(dxfxxdsec2)tan(dx。四、第二类换元法四、第二类换元法令令1. 被积函数含被积函数含令令axbtnaxbndaxbcxndaxbtcxn。2. 被积函数含被积函数含22xa 令令taxsin22xa 令令令令taxtantaxsec22ax cbxax2先配方,再作适当变换先配方,再作适当变换(有时用倒代换有时用倒代换1xt简单)。简单)。)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110五、有理函数真分式的积分五、有理函数真分式的积分: nnnaxaxa110()nm分母在实

    4、数范围内因式分解若分母含因式()kxa若分母含既约因式2()kxpxq,则对应的部分因式为122()()kkAAAxaxaxa,则对应的部分因式为11222222()()kkkB xCB xCB xCxpxqxpxqxpxq。ddu vuvvu六. 分部积分公式分部积分公式duvu v xxxxande.dsinxxaxn.dcosxxaxnxxxndlnxxxdarctanxxxdarcsinxbxexadsinxbxexadcos注:下列题型用分部积分法;。不定积分(典型例题)(典型例题)例1221(sin)cos2()tanfxxx ,求221(sin)cos2()tanfxxx22co

    5、s12sin()sinxxx 2221 sin12sinsinxxx 2212sinsinxx1( )2fxxx1(2 )dxxx2ln |xxC( )f x( )f x解:一、由 求( )f x( )fx例2在( )f x0,)上定义,在(0,)内可导,( )g x在(,) 内定义且可导,(0)(0)1fg0 x 时,( )f x( )32g xx( )fx( )1g x(2 )fx2( 2 )121gxx 求( )f x,( )g x的表达式.解:0 x 时,( )f x( )g x x1C( )fx()gx231x( )f x()gx32xxC1C 02C 2( )f x 21x( )g

    6、 x 1x()gx31xx0 x 时,(2 )fx2( 2 )121gxx 例2在( )f x0,)上定义,在(0,)内可导,( )g x在(,) 内定义且可导,(0)(0)1fg0 x 时,( )f x( )32g xx( )fx( )1g x(2 )fx2( 2 )121gxx 求( )f x,( )g x的表达式。答案:( )21, (0)f xxx31,0( )1,0 xxg xxxx例32min,6dxxx分段函数不定积分的求法:(1) 各段分别积分,常数用不同 C1, C2 等表示;(2) 根据原函数应该在分段点连续确定 C1、 C2 的关系,用同一个常数 C 表示。二、分段函数求

    7、不定积分:例32min,6dxxx232y x6 y x2min,6xx26,2,236,3 xxxxxx解:2min,6dxxx2 x21162xxC23 x3213xC23162xxC3x2min,6dxxx2 x21162xxC23 x3213xC23162xxC3x在 2 x连续, 12 12C283C12223CC在 3x连续, 29C39182C32272 CC2321226,2231,2331276,322xxCxxCxxxCx 2min,6dxxx2()CC自学2max,1dxx2221max,11111xxxxxx 解2max,1dxx由 处连续,得:1x 212231131

    8、1113xCxxCxxCx 123222,33CCCC例4( )f x定义在 R 上,(0)1f1,(0,1(ln ),(1,)xfxx x求( )f x。1,0( )e ,0 xxxf xx( )fx10 xex0 x( ) f x1xC0 x2e xC0 x(0)1f11C在 0 x连续 20C解:三、有理函数的积分:例5222d(1) (1)xaxbxxx的结果中,求常数a,b 的值,使不含反正切函数; 不含对数函数;仅含有理函数。例5222d(1) (1)xaxbxxx求 a, b , 使不含反正切函数;221(1)1xxxdxABExFln |1|Ax1Bx2d1Exxx2d1Fxx

    9、ln |1|Ax1Bx2ln(1)2ExarctanFxC不含反正切函数0F222d(1) (1)xaxbxxx2xaxbA2(1)(1)xxB2(1)x2(1)Ex x解:例5222d(1) (1)xaxbxxx求 a, b , 使不含反正切函数;221(1)1xxxdxABExF222d(1) (1)xaxbxxx不含反正切函数0F2xaxbA2(1)(1)xxB2(1)x2(1)Ex x32()(2 )()()A E xA BE xA E xA B0,21,A EA BEA Ea A Bb0,ab 任意例5222d(1) (1)xaxbxxx的结果中,求常数a,b 的值,使不含反正切函数

    10、; 不含对数函数;仅含有理函数。221(1)1xxxdxABExF222d(1) (1)xaxbxxx 不含对数函数;0,A0,E1b仅含有理函数0,A0,E0,F1b0,a解:四、凑微分法:例6() ()dmaxbpxqx求(0)a 原式=()maxb()paxba pqbadx1()dmpaxbxa()pqba()maxbdx221()2mpaxba m()pqba11()(1)maxba mC(2,1) mm解:() ()dmaxbpxqx1()dmpaxbxa()pqba()maxbdx2 m时,原式=()pqba11a axbC2ln |paxba1 m时,原式=pxa()pqba1

    11、ln |axbaC例7sin222esindexxxxsin222esindexxxxsin221 cos2ed2xxxxsin221e2xx1d(sin2 )2xxsin221ed(sin22 )4xxxxsin221e4xxC 解求例821 lnd(ln )xxxx求21 lnd(ln )xxxxdx1lnx2x2ln(1)xx21 lnxxln xx21ln(1)xxlnd()xx1ln1 Cxx解:例9241d1xxx求241d1xxx22211d1xxxx221d()1xx1xx211d()1()2xxxx22dxax1arctanxCaa11arctan22xxC解1例9241d1

    12、xxx求解2241d1xxx2221d(21)(21)xxxxxx22d2121xxxxxAxBCxD222323()()2424AxBCxDxxdx22dxax1arctanxCaa烦!例10(自学)1lnd(ln )lnxxxxx解1 lnd(ln )lnxxxxx21lndlnln(1)xxxxxxxlnln(1)xxxxlnd()xx11d(1)tt t1d(1)tttt t 五、分部积分法分部积分法(被积函数是两类不同函数的乘积)例11ed1 exxxx原式=d(e )1 exxx2d( 1 e ) xx2() 1 exx1 e dxx1 e xt21 exx222d1tttt21

    13、exx224d1ttt21 exx221 14d1 ttt解:例12arcsinarccos dxx x2arcsinarccos(arccosarcsin ) 12xxxxxxx C原式=arcsin arccosxxxx2arccos1xx2arcsin1xxdxarcsin arccos xxx (arccosarcsin )xx2d( 1)xarcsin arccosxxx(arccosarcsin )xx21x21x221111xxdx解:例13( )df xxln(1)(ln )xfxx,求eln(1 e )ln(1 e ) xxxxC( ) f xln(1e )exx( )df

    14、xxln(1e )dexxxeln(1e )dxxxln(1e )d(e) xxeln(1e ) xx1d1exxeln(1 e )xx (1 e )ed1 exxxx解:例14lnd,()nx xnZ12lnln(1) lnnnnxxnxxn nxx1( 1)(1)2 lnnn nxx 0( 1)!nn IClnd nx xlnnxx1lndnnx xnI1nnIlnnxx递推公式lnnxxn1lnnxx2(1) nnIlnnxx n1lnnxx2(1)nn nI0Ix解:六:三角代换 例15222(1)arcsind1xxxxx原式sinxt2sin t cost2(1 sin )ttco

    15、stdt2ddsinttt tt21d(cot )2 ttt21cotcot d2 ttt tt21cotln |sin |2 ttttCtsinxtx121 x2211arcsinln|(arcsin )2 xxxxCx解:223d(2)xxx 例16原式2tanxt2(2tan2)t22tan t22secdtt32262tan2sec d8sectt tt242tand4secttt222sincos d4tt t22sin 2 d16t t2 1 cos4d162ttt2tanxtx222x解:七、倒代换:例1782d(1)xxx 1xt分母含x的因子,分母x的最高次幂m与分子x的最高

    16、次幂n满足:2mn原式1xt81t21dtt21(1)t82d1 ttt821 1d1 ttt4221(1)(1)d1 tttt解:例182d221xxxx22dxxa22ln xxaC原式1xt1t21dtt2221tt0t2d22ttt2d(1)1 tt2ln1(1)1 ttC211ln11(1)Cxx (0)x解:2d0 ,221xxxxx211ln11 (1)Cxx 八、sincosdmnxx x型(m,n为正负整数)化为 m,n中至少一个奇数:(sin )d(sin )Rxxm,n均为偶数:降次(cos )d(cos )Rxxm,n均为负偶数(负奇数):化为(tan )d(tan )

    17、Rxx(cot )d(cot )Rxx或或sincosdmnxx x化为m,n中至少一个奇数:(sin )d(sin )Rxx(cos )d(cos )Rxx或例194sindcosxxx答案:3111 sinsinsinln321 sinxxxCx4sindcosxxx42sincosdcosxxxx42sind(sin )1 sinxxx42sin1 1d(sin )1 sin xxx解:sincosdmnxx x m,n均为偶数:降次例2024sincosdxx x1311(sin2sin4sin6 )164412xxxxC221sin 2 cosd4xx x1 1 cos4 1 cos

    18、2d422xxx1(1 cos2cos4cos4 cos2 )d16xxxxx原式1cos coscos() cos()2积化和差公式:解:sincosdmnxx xm,n均为负偶数(负奇数):化为(tan )d(tan )Rxx(cot )d(cot )Rxx或例2124dsin 2 cos 2xxx3111(2tan2tan 2 )2tan23xxCx24dsin 2 cos 2xxx242dtan 2 cos 2 cos 2xxxx421sec 2d(tan2 )2tan 2xxx2221(1+tan 2 )d(tan2 )2tan 2xxx解:九、sincosdsincospxqxxa

    19、xbx型(a,b,p,q为常数)解题方法: 求待定常数A,B,使sincossincospxqxaxbxsincosaxbx()A分母()B分母例224sin7cosd2sin3cosxxxxx2ln |2sin3cos | xxxC原式=2sin3cosxx(2sin3cos )xx2 ( 1)(2sin3cos )xxdx12d(2sin3cos )2sin3cosxxxxdx解:例23sin2d3sin2cos2xxxx(课外练习)十、两项都难积分2ln1dlnxxx例24lnxCx一项用分部积分,产生另一项的相反项2ln1dlnxxx211ddlnlnxxxx1lnxx21lnxdx2

    20、1dlnxx解:例2522e (tan1) dxxx2etanxxC22e (tan1) dxxx22e (tan2tan1)dxxxx22e (sec2tan )dxxxx222esecd2 etan dxxx xx x22ed(tan )2 etan dxxxx x2etanxx22etan dxx x22 etan dxx x解:例26221e () d1xxxx2e1xCx221e () d1xxxx22212ed(1)xxxxx22212eded1(1)xxxxxxx22212d(e )ed1(1)xxxxxx22222122ee ded1(1)(1)xxxxxxxxxx解:十一、含

    21、抽象函数的积分含抽象函数的积分例273( )dx fxx( )f x设的原函数是sinxx,求( )d f xxsinxxC或( )f xsin()xx3( )dx fxx3d ( )xf x32( )3( )dx f xx f xx2cossinxxxx3x2cossinxxxx23xsin()xxdx()x23x dsin()xx( cossin )x xxx3(2sinxxxsin2xxxd )x解:例2823( )( )( )d( )( )f xfx fxxfxfx求221( )2( )fxCfx原式=23( )( )( )dd( )( )f xfx fxxxfxfxdfxf23d()

    22、 fffdfxf2211d()2ffdfxf22112ff122 f f21 fdx解:例2823( )( )( )d( )( )f xfx fxxfxfx求221( )2( )fxCfx原式=( )( )d()( )( )f xf xfxfx另解2( )( )( )1d( )( )f xf x fxxfxfx22( )( )( )( )d( )( )f xfxf x fxxfxfx化为参数方程十二、例29d3xxy,其中2()xy xy解题思路:把积分中变量 x、y 换为参变量 t2()xy xy把转化为( )( )xtyt解令:xyt则:2xytd3xxy21tyt321txt32322d()1311tttttt2d1ttt21ln |1|2tC21ln|()1|2xyC

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