张量分析-初学者必看课件.ppt
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- 张量分析 初学者 课件
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1、1例如例如, , 三维空间任意一点三维空间任意一点P P在笛卡儿坐在笛卡儿坐标系标系321,xxx用指标符用指标符号表示为号表示为3 , 2 , 1,ixi2naaaa,321 niai, 2 , 1, nxxxx,321 nixi, 2 , 1, i取值范围为小于或等于取值范围为小于或等于n n的所有正整数的所有正整数n 3 nnxaxaxaS 2211njjjniiixaxaS11jjiixaxaS求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次指标范围用拉丁字母表示3维,希腊字母表2维43131ijjiijyxA333323321331322322221221311321121111yxAyxA
2、yxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAjiijkjiijkzyxA 5333323213123232221211313212111bxAxAxAbxAxAxAbxAxAxAijijbxA j i在每一项中只出现一次,一个公式中必须相同6013 , 2 , 1,01133132232112332211时,有当当当jijijiijji71100010001333231232221131211ijijmjimiiiijijAAaaaaa3322118ijjijijiiiijijijkjikilkljkijjjiiijijijkjikiieeaaaaaaaaa33221133221133 9
3、 等若有两个或三个指标相若若2, 3 , 1,3 , 1 , 2,1 , 2, 3,2, 1 , 3,1 , 3 , 2,3 , 2, 1,011kjikjieijk011113112111321132213312231123 eeeeeeeee偶次置换奇次置换101001010100131211232221333231321333222111321321321eekjikjikjikkkjjjiiiijk11333222111321321321rqprqprqpkkkjjjiiipqrijkeekijjkiijkkjiikjjikijkeeeeeeeippipipipi1133221112k
4、rkqkpjrjqjpiriqippqrijkeejqirjriqjrjqiriqkqrijkeekp13321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211kjiijkkjiijkaaaeaaaeaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAitjsjtiskstkijee14 321,eeeiieaeaeaeaa332211 ijjiee 15 jjiiijjijjiibababaebeabakijkjieeee16kjkjkikieeee kijktijttjsirrstjjjiiijieeeeeeeeeee3
5、2132132117 jiijkkkjiijkkijkjijijijjiibaeccebaeeebaeebaebeaba18kjiijkkrrjiijkrrkjiijkcbaecbaeecebaecba ijkrkijrkrijrkjieeeeeeee19 jijijjiijjiieebaebeaabebbeaa,333323231313323222221212313121211111eebaeebaeebaeebaeebaeebaeebaeebaeebaab20 cossinsincosyxyyxxcossinsincosyxyyxx21cossinsincos212211xxxxxxcos
6、sinsincos212211xxxxxxii iiii iixxxx),cos(),cos(iii iiii ixxxx 221001iji ii i,i ii iii iiii iieeeeii iii iivvv 23lijkl lkkj ji ilkj i lkjilijkeeee 24jij ijij ij ieeTeeBABAT )(beTaeeTeaTakijjkikjjkii)()( 矢量与张量点乘的结果仍为张量矢量与张量点乘的结果仍为张量, ,新张量新张量b b比原张量比原张量 T T的阶数降低的阶数降低一一阶阶 25 ceaTeaTeaeeTaTijijjkikijkkji
7、ij)()( aTTa26 AeeTaeeeeTaeeTeaTakrjkiijrkrijrjkikjjkii)()( 27BeeaTeeeeaTeaeeTaTrikijjkrrjkrikijkkjiij)()( 28 SeeeeBAeeeeBAeeeBeeeABAtsjitkskijtskrjitrskijtsrtrskjikij )()(两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减原两个张量的阶数之和减 2 2 两个两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量, ,这这相当于矩阵相乘相当于矩阵相乘
8、29 SeeBAeeBAeeeBeeeABAtijktijktiksjrrstijktsrrstkjiijk)(:两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减原两个张量的阶数之和减 4 4 30rstijkksnjrmimnttnmirstijkksnjrmtnksnrstmjrmiijktsrrstkjiijkBAeeSSeeeeBAeeeeeBeeeAeeeBeeeABA)( 31 jiijeeAA 332211AAAAAeeAAiiijijjiij在张量的不变性记法中在张量的不变性记法中, , 将某两个基矢量点乘将某两个基矢量
9、点乘, , 其结果是一个较原张量低二阶的新张量其结果是一个较原张量低二阶的新张量, , 这种运这种运算称为缩并算称为缩并 32 kjiijkeeeAA kjiijkkjijikeeeBeeeA若对该张量的分量中任意两个指标交换次序若对该张量的分量中任意两个指标交换次序, , 得得到一个与原张量同阶的新张量到一个与原张量同阶的新张量 kjiijkkjijikkijijkeeeBeeeAeeeA33 jiijTT jiijWW若张量的任意两个指标经置换后所得的张若张量的任意两个指标经置换后所得的张量与原张量相同量与原张量相同, 则称该张量关于这两个指则称该张量关于这两个指标为对称标为对称, , 若
10、与原张量相差一符号若与原张量相差一符号, , 则称则称该张量关于这两个指标为反称。该张量关于这两个指标为反称。有有6 6个独立分量个独立分量 有有3 3个独立分量个独立分量 34 对已知张量的对已知张量的N N个指标进行个指标进行N!N!次不同的置次不同的置换换, , 并取所得的并取所得的N!N!个新张量的算术平均值的运算个新张量的算术平均值的运算。其结果张量关于参与置换的指标为对称。将指标放其结果张量关于参与置换的指标为对称。将指标放在圆括弧内表示对称化运算。在圆括弧内表示对称化运算。 )(! 31)(! 21ikjjikkjikijjkiijkijkjiijijAAAAAAAAAA35 对
11、已知张量的对已知张量的 N N 个指标进行个指标进行N!N!次不同的次不同的置换置换, ,并将其中指标经过奇次置换的新张量取反号并将其中指标经过奇次置换的新张量取反号, ,再求算术平均值再求算术平均值, , 这种运算称张量的反称化这种运算称张量的反称化, ,其结果其结果张量关于参与置换的指标为反称。将指标放在方括张量关于参与置换的指标为反称。将指标放在方括弧内表示反称运算弧内表示反称运算。 )(! 31)(! 21ikjjikkjikijjkiijkijkjiijijAAAAAAAAAA36若在某坐标系中按某规律给出若在某坐标系中按某规律给出 33=27 个数个数 A(ijk), 且且A(ij
12、k)bk=Cij, 其中其中bk 是与是与A(ijk)无关的任意矢量无关的任意矢量 , , Cij是张量是张量 , , 那么那么 , A(ijk)必为比必为比Cij高一阶的张量。高一阶的张量。 37jiijeeBBuvBiiijijkkjiijeuevBeveeBbBaBbaB)(B B的作用如同一个算子的作用如同一个算子, , 它使空间内每一个向量变换它使空间内每一个向量变换为另一个向量为另一个向量, , 或者说或者说 B B 能把一个向量空间映射为能把一个向量空间映射为另一向量空间。另一向量空间。 38 jiTijjijijiTijTBBeeBeeBBjiijTBBBB, jiijTBBB
13、B, 39 TTTTTTTTTTTTBBBBABBABaaBBABAaBbbBa)()()()()(11 40 jiijeeIIBB,11111111)()(BBBAABII41 对于仿射量对于仿射量B, B, 若存在三个相互垂直的方向若存在三个相互垂直的方向i,ji,j, ,k k, , 其映象其映象 Bi,Bj,BkBi,Bj,Bk也相互垂直也相互垂直, , 则称该三个则称该三个方向为方向为 B B 的主向。对称仿射量的主向。对称仿射量T T 必存在三个主向必存在三个主向和三个相应的主值。主值和三个相应的主值。主值S S 满足如下特征方程。满足如下特征方程。023SISS42 0I23SS
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