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1、1 设刚体绕固定轴设刚体绕固定轴Oz以角速度以角速度 转动转动,各体元的质量各体元的质量分别为分别为 m1 , m2 , , mn ,各体元到转轴各体元到转轴Oz的距离的距离依次是依次是r1 , r2 , , rn。niiivmE12k2121221niiirmimxOiriv n 个体元绕个体元绕Oz轴作圆周运动的轴作圆周运动的动能的总和为动能的总和为 一、刚体的一、刚体的转动动能转动动能 (Rotational kinetic energy )3-2,3 刚体动力学刚体动力学2m riini12式中式中 称为刚体对转轴的称为刚体对转轴的转动惯量转动惯量Jm ri iin21则刚体转动动能的

2、一般表达式则刚体转动动能的一般表达式EJk122若刚体的质量连续分布若刚体的质量连续分布 , 形式变为形式变为JrmrV22ddSI制中，制中，J的单位为的单位为kgm23 二、刚体的转动惯量二、刚体的转动惯量 (Moment of inertia ) 转动惯量转动惯量与质点的运动速度无关与质点的运动速度无关，影响的因素影响的因素有：有：刚体的质量、刚体的形状刚体的质量、刚体的形状(质量分布质量分布)、转轴的、转轴的位置。位置。 只有形状比较简单而密度又有规则地分布的物体只有形状比较简单而密度又有规则地分布的物体才能用才能用数学方法数学方法求出它的转动惯量。对形状复杂而求出它的转动惯量。对形状

3、复杂而密度又不均匀的物体，求转动惯量的最好办法是用密度又不均匀的物体，求转动惯量的最好办法是用实验方法实验方法测定。测定。 4几种常见形状的刚体的转动惯量几种常见形状的刚体的转动惯量56例例1 一根质量为一根质量为m=1.0kg、长为长为l=1.0m 的均匀细棒，的均匀细棒，绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度 =63 rad s-1 旋转，求转动动能。旋转，求转动动能。 解解： 先求细棒对转轴的先求细棒对转轴的转动惯量转动惯量J，然后求转动动然后求转动动能能Ek。 将棒的中点取为坐标原将棒的中点取为坐标原点，建立坐标系点，建立坐标系Oxy，取取y

4、轴为转轴，如图所示。在距离转轴为轴为转轴，如图所示。在距离转轴为x 处取棒元处取棒元dx, 其质量为其质量为xlmmddxdxxyO2l2l方法一：方法一：72223222103812131J22mkg.mlxlmdxlmxl/l/l/l/ 棒的转动动能为棒的转动动能为 J1071J6308302121222k.JE根据式根据式 , , 应有应有 mrJd28xdxxyO22202mkg103 .8121)d()2( mlxlmlxlJ方法二：方法二：9例例 棒绕通过其左端点并与棒相垂直的转轴旋转，棒绕通过其左端点并与棒相垂直的转轴旋转，求转动惯量。求转动惯量。 xdxxyO20231)(ml

5、dxlmxlJ 左10两个定理：两个定理： 2CmdJJ 1. 平行轴定理平行轴定理式中式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚是刚体的质量，体的质量，d是两平行轴之间的距离是两平行轴之间的距离 。2. 垂直轴定理垂直轴定理 yxzJJJ 若若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平平面与板面重合面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯量有如下关系量有如下关系 注意：对于厚度不是无限小的刚体板，注意：对于厚度不是无限小的刚体板， 垂直轴定理不适用。垂直轴定理不适用。 11

6、 解解： 两平行轴的距离两平行轴的距离 , 代入平行轴定理，代入平行轴定理，得得dl12 例例2 在上一例题中在上一例题中, 对于均匀细棒对于均匀细棒, 我们已求得对通我们已求得对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为 2121mlJ 求对通过棒端并与棒垂直的轴的求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。2CmdJJ222312121mllmml)(12ROxy 例例 3 求质量为求质量为m、半径为半径为R 的均质薄圆盘对通过盘心的均质薄圆盘对通过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。并处于盘面内的轴的转动惯量。 解：解： 方法一方法一，盘的质量分布均匀，盘的质量分布均匀, 盘的质

7、量面密度为盘的质量面密度为 mR2 取半径为取半径为r、宽为宽为 dr的圆环的圆环如图所示，其质量为如图所示，其质量为ddmr r2rdr13 根据垂直轴定理根据垂直轴定理 yxzJJJ由于对称性由于对称性, , 所以所以yxJJ 2212mRJJxz解得解得Jm Rx142203030221d2d2dmRrrrrmrJRRRz 圆盘对圆盘对Oz轴轴(过过O点垂直于纸面点垂直于纸面)的转动惯量为的转动惯量为1420220221)(dmRrdrdrmrJRz ROxy drrd 解：解： 方法二，方法二，1520220241)()sin(mRrdrdrdmyJRx 解：解： 方法三，方法三，RO

8、xy drrd2412mRJJJJxyxz 16 只能引起轴的变只能引起轴的变力不在转动平面内力不在转动平面内时，时，FrM形形, , 对对定轴定轴转动无贡献转动无贡献。1Fr转动平面1FrFr2Fr)(21FFr21FrFrr 三、力矩作的功三、力矩作的功17 对定轴转动的刚体起作用的只是力矩沿转轴的分量对定轴转动的刚体起作用的只是力矩沿转轴的分量，即若取转轴为，即若取转轴为z轴，则起作用的只是轴，则起作用的只是MZ。而提供而提供MZ 的只是外力在转动平面内的投影，与的只是外力在转动平面内的投影，与外力沿转轴方向外力沿转轴方向的分量无关的分量无关。所以，在讨论刚体定轴转动时，只需考。所以，在

9、讨论刚体定轴转动时，只需考虑外力在转动平面内的分力即可。虑外力在转动平面内的分力即可。约定：约定：在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩均在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩均指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。18 因为因为dsi = ri d，并且并且cosi = sini，所以所以dddziiiiiMrFAsin 假设作用于以假设作用于以z 轴为转轴的刚体上的多个外力分别轴为转轴的刚体上的多个外力分别是是 。nFFF,21iiiiiisFrF cosdcosd iiirFAdd 在刚体转动中，外力在刚体转动中，外力 所作的元功为所作的元功为 iFiF

10、didsiri i OPMzi 是外力是外力Fi 对转轴对转轴Oz的力矩。的力矩。 19在整个刚体转过在整个刚体转过d 角的过程中，角的过程中，n个外力所作的总功为个外力所作的总功为 式中式中 是作用于刚体的所有外力对是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力轴的力矩的代数和矩的代数和, 也就是作用于刚体的外力对转轴的合外也就是作用于刚体的外力对转轴的合外力矩力矩Mz 。Mziin1ddd11)(niziniiMAAdzM20 如果刚体在力矩如果刚体在力矩Mz 的作用下绕固定轴从位置的作用下绕固定轴从位置 1转转到到 2 , 在此过程中力矩所作的功为在此过程中力矩所作的功为AMz12d力矩的瞬时功率可

11、以表示为力矩的瞬时功率可以表示为 PAtMtMzzdddd式中式中 是刚体绕转轴的角速度。是刚体绕转轴的角速度。 21 四、动能定理四、动能定理 (theorem of kinetic energy ) 根据功能原理根据功能原理, 外力和非保守内力对系统作的总功外力和非保守内力对系统作的总功等于系统机械能的增量。对于刚体等于系统机械能的增量。对于刚体一切内力所作的功一切内力所作的功都为零都为零。对定轴转动的刚体。对定轴转动的刚体 , 外力所作的功即为外力所作的功即为外力外力矩矩所作的功所作的功; 系统的机械能为刚体的系统的机械能为刚体的转动动能转动动能。 将转动动能的具体形式代入上式并积分将转

12、动动能的具体形式代入上式并积分, 得得ddkAEAJJ12122212 定轴转动的刚体定轴转动的刚体, ,外力矩作的功等于刚体转动动能外力矩作的功等于刚体转动动能的增量的增量，即作定轴转动刚体的，即作定轴转动刚体的动能定理动能定理。 2221222121dA21 JJM 或者利用或者利用 21dA M 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量于刚体转动动能的增量。2111ddddJtJ23 五、转动定理五、转动定理 (Theorem of rotation)将力矩作功和转动动能的具体形式代入式子将力矩作功和转动动能的具体形式代入式子 ddkA

13、E得得MJJzddd ()122 一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩（对该轴而言）等于零时，它将保持原有的角速矩（对该轴而言）等于零时，它将保持原有的角速度不变（原来静止的继续静止，原来转动的则作匀度不变（原来静止的继续静止，原来转动的则作匀角速转动），即角速转动），即转动刚体的第一定律转动刚体的第一定律。它反映任何。它反映任何物体都具有转动惯性，这类似于牛顿第一定律。物体都具有转动惯性，这类似于牛顿第一定律。转动刚体第二定律转动刚体第二定律：24 在定轴转动中在定轴转动中, ,刚体相对于某转轴的转动惯量刚体相对于某转轴的转动惯量与角加速度的

14、乘积与角加速度的乘积, ,等于作用于刚体的外力相对等于作用于刚体的外力相对同一转轴的合力矩。同一转轴的合力矩。 转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似的，合外力矩与合外力相对应，转动惯量与质量的，合外力矩与合外力相对应，转动惯量与质量相对应，角加速度与加速度相对应。相对应，角加速度与加速度相对应。 m反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性。反映刚体的转动惯性。进而写为进而写为 JMz 上式就是上式就是转动定理的数学表达式转动定理的数学表达式。25 (1) 从开始制动到停止从开始制动到停止, 飞轮转过的角度；飞轮转过的角度； (2

15、) 闸瓦对飞轮施加的闸瓦对飞轮施加的摩擦力矩所作的功。摩擦力矩所作的功。例例4 一个转动惯量为一个转动惯量为2.5 kg m2 、直径为直径为60cm的飞轮，的飞轮，正以正以130 rad s 1 的角速度旋转。现用闸瓦将其制动，的角速度旋转。现用闸瓦将其制动， 如果闸瓦对飞轮的正压力为如果闸瓦对飞轮的正压力为 500 N，闸瓦与飞轮之间闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为的摩擦系数为0.50。求：。求：d飞轮飞轮闸瓦闸瓦NFfF26N105 . 2N50050. 02NfFFmN75mN30. 0105 . 222fdFMz2-2-srad30srad5275.JMz解解：27 (1) 对于匀变速转动

16、对于匀变速转动, 从开始制动到停止从开始制动到停止, 飞轮转过飞轮转过的角度的角度 可由下式求得可由下式求得: 2202所以所以rad1082rad3021300222202. (2) 摩擦力矩所作的功摩擦力矩所作的功 J101 . 2J108 . 275dM42z A28 (2) 摩擦力矩所作的功摩擦力矩所作的功 J101 . 2J21420 A或利用或利用动能定理：动能定理：29m1m2 例例 5 质量为质量为 m1 的物体置于完全光滑的水平桌面的物体置于完全光滑的水平桌面上上 , 用一根不可伸长的细绳拉着用一根不可伸长的细绳拉着 , 细绳跨过固定于细绳跨过固定于桌子边缘的定滑轮后，在下端

17、悬挂一个质量为桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为 m2 的的物体物体 , 如图所示。已知滑轮是一个质量为如图所示。已知滑轮是一个质量为 m0 ,半径为半径为r 的圆盘的圆盘, 轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与 m1 之间之间的绳子的张力的绳子的张力 、滑轮与滑轮与 m2 之间的绳子的张力之间的绳子的张力 以及物体运动的加速度以及物体运动的加速度 。1TF2TFa30 解：解： 物体物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。和滑轮的受力情况如图所示。 列方程列方程 FT1 =m1 a （1） m2 g FT2 = m2 a （2）对于滑轮对于滑轮 201T2T21

18、rmJrFrF（3）辅助方程辅助方程 r = a （4） 解以上四个联立方程式，解以上四个联立方程式， 可得可得1TFNFgm12TFagm2）2TF1TF31021221mmmgma02121T121mmmgmmF021201T221)21(mmmgmmmF 此题还可以用能量的方法求解。在物体此题还可以用能量的方法求解。在物体m2下落下落了高度了高度h时时, 可以列出下面的可以列出下面的能量守恒能量守恒关系关系 m ghmmvJ212221212()（5）32式中式中v是当是当m2下落了高度下落了高度 h 时两个物体的运动速率时两个物体的运动速率, 是此时滑轮的角速度。是此时滑轮的角速度。

19、因为因为 , , 所以得所以得2021rmJ vr20212)21(21vmmmghm由此解得由此解得hmmmgmv02122212（6）33将将 v 2= 2ah 代入代入 (6) 式式, 可以求得两个物体的加速度可以求得两个物体的加速度 021221mmmgma根据根据 , 立即可以求得张力立即可以求得张力211T21vmhF02121211T21121mmmgmmhvmF34根据根据 或或222T221)(vmhFgmJrFrF1T2T可以立即算出张力可以立即算出张力0212012T2121)(mmmmgmmF 以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法以上两种方法，都是求解这类问题的基本

20、方法, , 都都应该理解和掌握。应该理解和掌握。 35方法三：方法三：系统角动量定理。系统角动量定理。 tLMdd外外 2021212)2()J(rmmmmmdtdgrmvrvr 36例例6 6 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为分别悬有质量为m1和和m2的物体的物体1 1和和2 2，m1m1，物体物体1 1向上运动，物体向上运动，物体2 2向下运动，滑轮以顺向下运动，滑轮以顺时针方向旋转时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程的指向如图所示。可列出下列方程 JMrTrTamTGamGT r12222111式中式中 是滑轮

21、的角加速度是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即从以上各式即可解得从以上各式即可解得 ra 38 mmmrMgmmrJmmrMgmmar21/121221212 mmmrMgmmmagmT21/212121212 mmmrMgmmmagmT21/212122111 而而39 rmmmrMgmmra 21/1212 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0=0、Mr=0=0时，有时，有,2122121gmmmmTT gmmmma1212 上上题题中的装置叫中的装置叫阿特

22、伍德机阿特伍德机，是一种可用来测，是一种可用来测量重力加速度量重力加速度g g的简单装置。因为在已知的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和和J的情况下，能通过实验测出物体的情况下，能通过实验测出物体1 1和和2 2的加速度的加速度a，再通过加速度把再通过加速度把g g算出来。算出来。40方法二：方法二：系统角动量定理。系统角动量定理。 tLMdd外外 2212112)2()J(Mrmmmmmdtdgrmgrmvrvrr 41例例7 7 一半径为一半径为R，质量为质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘

23、最初以令圆盘最初以角速度角速度 0 0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？多少时间才停止转动？rRdr d e解：解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量的质量dm= erd dr，所受到的阻力矩是所受到的阻力矩是r gdm 。42此处此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是22003d

24、dddd23RMrg mgrerrgerrgeR 因因m= e R2，代入得代入得mgRM 32 根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度的角加速度. .43221d32dmgRJmRt设圆盘经过时间设圆盘经过时间t t停止转动，则有停止转动，则有00021dd32tgtR由此求得由此求得043gRt 44cpmghE 即：即：iiiiphmgghmE质心高度为：质心高度为：mhmhiic 对于一个对于一个不太大不太大的质量为的质量为 的物体，它的重的物体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和力势能应是组成刚体的各个质点的重

25、力势能之和m212cEmghJ 常量若只有保守力做功若只有保守力做功45解：解：先对细棒先对细棒OA所受的力作所受的力作一分析；重力一分析；重力 作用在棒作用在棒的中心点的中心点C，方向竖直向下方向竖直向下；轴和棒之间没有摩擦力，；轴和棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支承力轴对棒作用的支承力 垂直垂直于棒和轴的接触面且通过于棒和轴的接触面且通过O点，在棒的下摆过程中，此点，在棒的下摆过程中，此力的方向和大小是随时改变力的方向和大小是随时改变的。的。NG例例8 一根质量为一根质量为m、长为长为 l 的均匀细棒的均匀细棒OA（如图）如图），可绕通过其一端的光滑轴，可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内

26、转动，今在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中点时其中点C和端点和端点A的速度。的速度。 GAA O 46 在棒的下摆过程中，对转轴在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力而言，支撑力N通过通过O点，所以支撑力点，所以支撑力N的力矩等于零，重力的力矩等于零，重力G的力矩则是变的力矩则是变力矩，大小等于力矩，大小等于mg(l/2) cos ，棒转过一极小的角位棒转过一极小的角位移移d d 时，重力矩所作的元功是时，重力矩所作的元功是dcosd2lAmg 在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所在使棒从水平位置下摆

27、到竖直位置过程中，重力矩所作的功是作的功是应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可用重应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角速度力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角速度 00，下摆到竖直位置时的角速度为下摆到竖直位置时的角速度为 ，按力矩的功和转按力矩的功和转动动能增量的关系式得动动能增量的关系式得2cos2AA20lmgdlmgd 472212 Jlmg 由此得由此得Jmgl代入上式得代入上式得因因231mlJ Jg3所以细棒在竖直位置时，端点所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点和中心点C的速度的速度分别为分别为gllvA3gllvC3212（机械能守恒）（机械能守恒）