随机事件及其概率-PPT课件.ppt

1、概率统计是研究随机现象数量规律的数学概率统计是研究随机现象数量规律的数学学科学科, 理论严谨理论严谨, 应用广泛应用广泛, 发展迅速发展迅速. 目前目前, 不不仅高等学校各专业都开设了这门课程仅高等学校各专业都开设了这门课程, 而且从而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又不得不学的重要课程学好这门不易学好又不得不学的重要课程.概率论与数理统计概率论与数理统计前前言言国内有关经典著作国内有关经典著作1.1.概率论基础及其应用概率论基础及其应用 王梓坤著

2、 科学出版社 1976 年版 2.数理统计引论数理统计引论陈希儒著 科学出版社 1981年版国外有关经典著作国外有关经典著作1.概率论的分析理论概率论的分析理论P.- S.拉普拉斯著 1812年版2. 统计学数学方法统计学数学方法H. 克拉默著 1946年版概率论的最早著作概率论的最早著作数理统计最早著作数理统计最早著作 概率统计专业概率统计专业首位中科院院士首位中科院院士本学科的 A B C概率概率(或然率或几率或然率或几率) 随机事件出现随机事件出现的可能性的量度的可能性的量度 其起源与博弈问题有关其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌

3、博中的一些问题；中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B. 帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯惠更斯 基于排列组合的方基于排列组合的方法，研究了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题， 解决了解决了“ 合理合理分配赌注问题分配赌注问题” ( 即得分问题即得分问题 ).概率论是一门概率论是一门研究客观世界随机现象数量研究客观世界随机现象数量规律的规律的 数学分支学科数学分支学科.发展则在发展则在17世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后.基人是瑞士数学家基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速伯努利；而概率论的飞速第二次世界大战军事上的需要以及大

4、工业第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科论、控制论与数理统计学等学科.数理统计学是一门数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的和行动提供依据和建议的 数学分支学科数学分支学科.论；使论；使 概率论概率论 成为成为 数学的一个分支的真正奠数学的一个分支的真正奠 对客观世界中随机现象的分析产生

5、了概率对客观世界中随机现象的分析产生了概率统计方法的数学理论要用到很多近代数学统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说：样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系的数学分支学科，并无从属关系.本学科的应用本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域

6、、工农业生产和国民经济的各个科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中部门中. 例如例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与测都与 概率论概率论 紧密相关；紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在产品的抽样验收，新研制的药品能否在3. 寻求最佳生产方案要进行寻求最佳生产方案要进行 实验设计实验设计 和和数据处理；数据处理；临床中应用，均需要用到临床中应用，均需要用到 假设检验；假设检验；5. 探讨太阳黑子的变化规律时，探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列时间序列7. 在生物学中研究群体的增长问题时在生物学中研究群体的增长问题时 提出提出

7、了生灭型了生灭型 随机模型，随机模型，传染病流行问题要用到多传染病流行问题要用到多过程过程 来描述来描述;6. 研究化学反应的时变率，要以研究化学反应的时变率，要以 马尔可夫马尔可夫 分析分析方法非常有用方法非常有用;变量非线性变量非线性生灭过程；生灭过程；4. 电子系统的设计电子系统的设计, 火箭卫星的研制与发射火箭卫星的研制与发射8. 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、都离不开都离不开 可靠性估计可靠性估计; 购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到模型来描述，其涉及到 的知识就是的知识就是 排队

8、论排队论.目前，概率统计理论目前，概率统计理论 进入其他自然科学领进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展域的趋势还在不断发展. 在社会科学领域在社会科学领域 ，特，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，都大量采用等问题，都大量采用 概率统计方法概率统计方法. 正如法国正如法国数学家数学家 拉普拉斯所说拉普拉斯所说 : “ 生活中最重要的问题，生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、第一章第一章 随机事件及其概率随

9、机事件及其概率1.1 1.1 基本概念基本概念1.1.1 1.1.1 随机现象随机现象1.1.2 1.1.2 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性 1.1.3 1.1.3 样本空间样本空间1.1.4 1.1.4 随机事件及其运算随机事件及其运算 我又转念，见日光之下，快跑的人未必能赢，我又转念，见日光之下，快跑的人未必能赢，力战的未必得胜力战的未必得胜，智慧的未必得粮食，明哲的未智慧的未必得粮食，明哲的未必得资财，灵巧的未必得喜悦，所临到众人的，必得资财，灵巧的未必得喜悦，所临到众人的，是在乎当时的机会是在乎当时的机会. -传道书传道书第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 概率论

10、是研究随机现象的规律性的数学概率论是研究随机现象的规律性的数学分支，为了对随机现象的有关问题作出明确分支，为了对随机现象的有关问题作出明确的数学描述，像其它数学学科一样，概率论的数学描述，像其它数学学科一样，概率论具有自己的严格的体系和结构。本章重点介具有自己的严格的体系和结构。本章重点介绍概率论的两个基本概念：绍概率论的两个基本概念：随机事件和概率随机事件和概率。1.1 基本概念基本概念1.1.1 1.1.1 随机现象随机现象 客观世界中存在着两类现象，一类是在一定的条件客观世界中存在着两类现象，一类是在一定的条件下必然出现的现象，称之为下必然出现的现象，称之为必然现象必然现象：另一类是在一

11、定：另一类是在一定的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为随机现随机现象象。 在重力的作用下，物体的位移随时间变化的函数在重力的作用下，物体的位移随时间变化的函数x(t)x(t)，由二阶微分方程由二阶微分方程 来描述，其中来描述，其中g g为为重力加速度，这是确定的，必然的。重力加速度，这是确定的，必然的。 gtx 随机现象随机现象掷一枚硬币掷一枚硬币, ,观察向上的面观察向上的面; ;下一个交易日观察股市的指数上升情况下一个交易日观察股市的指数上升情况; ;某人射击一次某人射击一次, ,考察命中环数考察命中环数; ;从一批产品中抽取一件从一批产品中

12、抽取一件, ,考察其质量考察其质量; ;确定性现象确定性现象抛一石块抛一石块, ,观察结局观察结局; ;导体通电导体通电, ,考察温度考察温度; ;异性电菏放置一起异性电菏放置一起, ,观察其关系观察其关系; ; 进行一次试验，如果其所得结果不能完全预进行一次试验，如果其所得结果不能完全预知，但其全体可能结果是已知的，则称此试验为知，但其全体可能结果是已知的，则称此试验为随机试验随机试验，一般地，一个随机试验要具有下列特，一般地，一个随机试验要具有下列特点：点：（1 1） 可重复性：可重复性：试验原则上可在相同条件下试验原则上可在相同条件下 重复进行重复进行; ;（2 2） 可观察性可观察性：

13、试验结果是可观察的，所有：试验结果是可观察的，所有 可能的结果是明确的；可能的结果是明确的；（3 3） 随机性随机性：每次试验将要出现的结果是不：每次试验将要出现的结果是不确定的，事先无法准确预知。确定的，事先无法准确预知。1.1.3 1.1.3 样本空间样本空间 随机试验的每一个可能的结果称为随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点一个样本点，因而一个随机试验的所有样本点也是明确的，它们因而一个随机试验的所有样本点也是明确的，它们的全体，称为的全体，称为样本空间样本空间，习惯上分别用，习惯上分别用 与与 表示表示样本点与样本空间。样本点与样本空间。 例例1.1.11.1.1 抛掷两枚硬币观察

14、其正面与反面出现的抛掷两枚硬币观察其正面与反面出现的情况。其样本空间由四个样本点组成。即情况。其样本空间由四个样本点组成。即 =（正，（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）正），（正，反），（反，正），（反，反） 。这里，。这里，比如样本点比如样本点 = =（正，反）表示第一枚硬币抛出正面（正，反）表示第一枚硬币抛出正面而第二枚抛得反面。而第二枚抛得反面。 例例1.1.21.1.2 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有可数无穷多个：次数，其样本点有可数无穷多个：i i次，次，i=0,1,2, ,i=0,1,2, ,样本空间为样本空间为=0

15、=0次，次，1 1次，次，2 2次次, , 例例1.1.31.1.3 连接射击直到命中为止。为了简洁地写连接射击直到命中为止。为了简洁地写出其样本空间，我们约定以出其样本空间，我们约定以“0”0”表示一次射击未中，表示一次射击未中，而以而以“1”1”表示命中。则样本空间表示命中。则样本空间 =1=1，0101，001001， 00010001， 例例1.1.41.1.4 观察一个新灯泡的寿命，其样本点也有观察一个新灯泡的寿命，其样本点也有无穷多个：无穷多个：t t小时，小时， 样本空间为：样本空间为：,0 t tt0|小小时时1.1.4 1.1.4 随机事件及其运算随机事件及其运算 我们时常会

16、关心试验的某一部分可能结果是我们时常会关心试验的某一部分可能结果是否出现。称这种由部分样本点组成的试验结果为否出现。称这种由部分样本点组成的试验结果为随机事件随机事件，简称，简称事件事件。通常用大写的字母。通常用大写的字母 等表示。某事件发生，就是属于该集合的某一样等表示。某事件发生，就是属于该集合的某一样本点在试验中出现。记本点在试验中出现。记 为试验中出现的样本为试验中出现的样本点，那么事件点，那么事件A A发生当且仅当发生当且仅当 时发生。由于时发生。由于样本空间样本空间 包含了全部可能结果，因此在每次包含了全部可能结果，因此在每次,试验中试验中 都会发生，故称都会发生，故称 为为必然事

17、件必然事件。相反，。相反，空集空集 不包含任何样本点，每次试验必定不发生，不包含任何样本点，每次试验必定不发生，故称故称 为为不可能事件不可能事件。 例在投掷一枚骰子的试验中 分别记 “点数是6”为A “点数小于5”为B “点数小于5的偶数”为C 则A B C均为事件 其中事件A为基本事件 事件B和C均不是基本事件 它们分别可以由一些基本事件复合而成 比如事件C可由“点数为2”和“点数为4”两个基本事件复合而成 注：事件可以看成由基本事件复合而成的。而基本事件是最 小的 ，不能分割的事件！基本事件是事件的子集！基本事件：由一个可能结果，即单个样本点构成的事件 1.1.事件的包含事件的包含如果事

18、件如果事件A A发生必然导致发生必然导致B B发生，即属于发生，即属于A A的每一的每一个样本点一定也属于个样本点一定也属于B B，则称，则称事件事件B B包含事件包含事件A A，或，或称称事件事件A A包含于事件包含于事件B B。记作。记作 或或 2. 2.事件相等事件相等如果事件如果事件A A包含事件包含事件B B，事件，事件B B也包含事件也包含事件A A，则，则称称事件事件A A与与B B相等相等。记作。记作 A=BA=B。 3.3.事件的并事件的并“事件事件A A与与B B至少有一个发生至少有一个发生”这一事件称作这一事件称作事事件件A A与与B B的并的并，记作，记作 4. 4.

19、事件的交事件的交 “ “ 事件事件A A与与B B都发生都发生”这一事件称作这一事件称作事件事件A A与与B B的交的交, ,记作记作 或或 。 5. 5. 事件的差事件的差“ “ 事件事件A A发生而发生而B B不发生不发生”这一事件称作这一事件称作事件事件A A与与B B的差的差, , 记作记作 A-B .A-B .事件事件A A与与B B不能同时发生，也就是说不能同时发生，也就是说ABAB是不可是不可能事件能事件, ,即即 ，则称，则称A A与与B B是是互不相容事件互不相容事件. . 6. 6. 互不相容事件互不相容事件 7. 7. 对立事件对立事件 “ “事件事件A A不发生不发生”

20、这一事件称作事件这一事件称作事件A A的的对立事对立事件件，记作，记作 ，易见，易见， . ._ _ 8. 8.完备事件组完备事件组 如果其满足：是有限或可数个事件，设n21 iijijiji2, 2 , 1, ,1则称则称 是一个完备事件组。显然，是一个完备事件组。显然，A A与与 构成一个构成一个完备事件组完备事件组。,21n_ 为了帮组大家理解上述概念，现把集合论的有关结为了帮组大家理解上述概念，现把集合论的有关结论与事件的关系和运算的对应情况列举如下：论与事件的关系和运算的对应情况列举如下：表表1.21.2符号符号集合论集合论概率论概率论全集全集样本空间：必然事件样本空间：必然事件空集

21、空集不可能事件不可能事件 中的点（或称元素）中的点（或称元素） 样本点样本点 单点集单点集 基本事件基本事件 的子集的子集A A事件事件A A集合集合A A包含在集合包含在集合B B中中事件事件A A包含于事件包含于事件B B中中集合集合A A与集合与集合B B相等相等事件事件A A与事件与事件B B相等相等集合集合A A与集合与集合B B的并的并事件事件A A与与B B至少有一个发生至少有一个发生集合集合A A与集合与集合B B的交的交事件事件A A与事件与事件B B同时发生同时发生集合集合A A的余集的余集事件事件A A的对立事件的对立事件集合集合A A与集合与集合B B的差的差事件事件A

22、 A发生而发生而B B不发生不发生集合集合A A与与B B没有公共元素没有公共元素事件事件A A与与B B互不相容（互斥）互不相容（互斥） _随机事件的运算律 1 关于求和运算 (1) ABBA (交换律) (2) (AB)CA(BC)ABC (结合律)2 关于求交运算 (1) ABBA (交换律) (2) (AB)CA(BC)ABC (结合律)3 关于求和与求交运算的混合 (1) A(BC)(AB)(AC) (第一分配律) (2) A(BC)(AB)(AC) (第二分配律) (2)BABA (第二对偶律) (1)BABA (第一对偶律) 4 关于求对立事件的运算 5 关于和及交事件的对立事件

23、 AA )( (自反律) 推广推广:iniiniiniiniAAAA1111,6.ABAB1.1.设事件设事件A=A=甲种产品畅销，乙种产品滞销甲种产品畅销，乙种产品滞销 ， 则则A A的对立事件为（的对立事件为（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销；甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销；甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销。甲种产品滞销或者乙种产品畅销。2.2.设设x x表示一个沿数轴做随机运动的质点位表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关系置，试说明下列各对事件间的关系 A=|x-a|A=|x-a|,B=x-a

24、,B=x-a(0(0） A=xA=x2020，B=x20B=x20 A=xA=x2222，B=xB=x1919课堂练习课堂练习AB A与与B对立对立A与与B互斥互斥思考题思考题: : 设设A A、B B、C C为任意三个事件为任意三个事件, ,试用它们试用它们表示下列事件表示下列事件: : (1) A (1) A、B B出现，出现，C C不出现；不出现； (2) A(2) A、B B、C C中恰有一个出现；中恰有一个出现； (3) A(3) A、B B、C C中至多有一个出现；中至多有一个出现； (4) A(4) A、B B、C C中至少有一个出现中至少有一个出现. .解答解答:.) 1 (C

25、ABCBACBACBA)2(CBACBACBACBA)3(CBACBA)4(1.2 1.2 随机的概率随机的概率1.2.1 1.2.1 概率和频率概率和频率 概率论研究的是随机现象的统计规律性。对概率论研究的是随机现象的统计规律性。对于随机试验，如果仅知道可能出现哪些事件是不于随机试验，如果仅知道可能出现哪些事件是不够的，更重要的是要知道各个事件发生可能性大够的，更重要的是要知道各个事件发生可能性大小的量的描述（即数量化）小的量的描述（即数量化）.这种量的大小我们这种量的大小我们称为称为事件的概率事件的概率。 随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但大

26、量试验中，它的发生具有统计规律性，人们但大量试验中，它的发生具有统计规律性，人们可以确定随机事件发生的可能性大小。可以确定随机事件发生的可能性大小。 若随机事件若随机事件A A在在 n n 次试验中发生了次试验中发生了m m 次，则量次，则量 称为事件称为事件A A在在n n 次试验中次试验中 发生的发生的频率频率，记作，记作 ，即：，即： . . nm 0nm/ nfnmfn 它满足不等式：它满足不等式：10 nm如果如果A A是必然事件是必然事件, ,有有m=n,m=n,则则 ; ; 1 nmAfn如果如果A A是不是不 可能事件，有可能事件，有m=0,m=0,则则 ; ; 0 nmAfn

27、就是说：就是说：必然事件的频率为必然事件的频率为1 1，不可能事件的频率为，不可能事件的频率为0 0。 由于随机现象的结果事先无法预知，初看起由于随机现象的结果事先无法预知，初看起来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试验所证明。验所证明。如如: : Dewey G. Dewey G. 统计了约统计了约

28、438023438023个英语单词个英语单词 中各字母出现的频率中各字母出现的频率, , 发现各字母出现发现各字母出现 的频率不同：的频率不同：A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X:

29、0.0016Y: 0.0202 Z: 0.0006 表表1.11.1抛掷硬币试验抛掷硬币试验试验者试验者抛硬币次数抛硬币次数出现正面次数出现正面次数出现正面频率出现正面频率BuffonDe MorganFellerPearsonPearsonLomanovskii404040921000012000240008064020482048497960191201239699 0.5069 0.50050.49790.50160.50050.4923表表1.11.1列出列出BuffonBuffon等人连续抛掷均匀硬币所得的结等人连续抛掷均匀硬币所得的结果。从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时，果。从

30、表中数据可以看到，当抛掷次数很大时，正面出现的频率非常接近正面出现的频率非常接近0.50.5，就是说，出现正面，就是说，出现正面与出现反面的机会差不多各占一半。与出现反面的机会差不多各占一半。的客观规律性，它是事件的客观规律性，它是事件A在一次随机试验时发生可在一次随机试验时发生可能性大小的度量。能性大小的度量。随机事件随机事件A发生的频率，总是在某个确定值发生的频率，总是在某个确定值p附近徘徊，附近徘徊，而且试验次数越多，事件而且试验次数越多，事件A的频率就越来越接近的频率就越来越接近p,数数p称为频率的稳定中心，频率的稳定性揭示了随机现象称为频率的稳定中心，频率的稳定性揭示了随机现象的频率

31、具有稳定性。一般地，在大量重复试验中，的频率具有稳定性。一般地，在大量重复试验中， 表表1-1可以看出，随着试验次数可以看出，随着试验次数n的增加的增加,A发生的频发生的频率围绕率围绕0.5这个数值摆动的幅度越来越小。即随机事件这个数值摆动的幅度越来越小。即随机事件A发生发生 概率的概率的统计定义：统计定义：在相同条件下重复进行的在相同条件下重复进行的 n 次次试验中试验中, 事件事件 A 发生的频率稳定地在某一发生的频率稳定地在某一常数常数 p 附近摆动附近摆动, 且随且随 n 越大摆动幅度越越大摆动幅度越小小, 则称则称 p 为事件为事件 A 的概率的概率, 记作记作 P(A).对本定义的

32、评价对本定义的评价优点：直优点：直观观 易懂易懂缺点：粗糙缺点：粗糙 模糊模糊不便不便使用使用概率的性质：概率的性质：q 0)(P非负性非负性规范性规范性1Pq q 10P(1)(1)古典概型古典概型 设设为试验为试验E E的样本空间，若的样本空间，若 （有限性）（有限性）只含有限个样本点只含有限个样本点; ; （等概性）（等概性）每个基本事件出现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等; ; 则称则称E E为为古典概型古典概型。(2)(2)古典概型概率的定义古典概型概率的定义 nk中样本点总数样本空间中包含的样本点数事件AP(A)设设E E为古典概型为古典概型,为为E E的样本空间的样本空间

33、,A,A为任意一个为任意一个事件，定义事件，定义事件事件A A的概率的概率为为: :1.2.3 1.2.3 古典概率古典概率(1) (1) 古典概型的判断方法古典概型的判断方法（有限性（有限性 、等概性）；、等概性）；(2) (2) 古典概率的计算步骤：古典概率的计算步骤： 弄清试验与样本点弄清试验与样本点; ; 数清样本空间与随机事件中的样本点数数清样本空间与随机事件中的样本点数; ; 列出比式进行计算。列出比式进行计算。注意注意: :例例1.2.1.2. 将一颗骰子接连掷两次，试求下列事件的概率：将一颗骰子接连掷两次，试求下列事件的概率：（1 1）两次掷得的点数之和为）两次掷得的点数之和为

34、8 8；（；（2 2）第二次掷得）第二次掷得3 3点点. .A表示表示“点数之和为点数之和为8”8”事件，事件，B表示表示“第二次掷得第二次掷得3 3点点”事件事件 )6 , 6(),1 , 6( ,),6 , 2( ,),1 , 2(),6 , 1( ,),2 , 1(),1 , 1( )2 , 6(),3 , 5(),4 , 4(),5 , 3(),6 , 2( A)3 , 6(),3 , 5(),3 , 4(),3 , 3(),3 , 2(),3 , 1( B365)( AP61366)( BP解：解：设设所以所以则则加法原理加法原理：完成一件事情有完成一件事情有n 类方法，第类方法，第

35、 i 类类方法中有方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情种具体的方法，则完成这件事情共有共有 niim1种不同的方法种不同的方法.乘法原理乘法原理：完成一件事情有完成一件事情有n 个步骤，第个步骤，第 i 个个步骤中有步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情种具体的方法，则完成这件事情共有共有 niim1种不同的方法种不同的方法. 组合记数组合记数排列排列: : 从从 n 个不同的元素中取出个不同的元素中取出 m 个个 (不放不放 回地）按一定的次序排成一排不同的回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有排法共有)1()2)(1( mnnnnPmn全排列全排列:!nPnn 可重复排列

36、可重复排列 : 从从 n 个不同的元素中可重复地个不同的元素中可重复地 取出取出 m 个排成一排个排成一排, 不同的排法有不同的排法有mn种种. 组合组合（不放回抽取）（不放回抽取）（二项系数）称为组合，其总数为序，个元素，且不考虑其次个元素中取出、从!rnrnrArnCrnarnrn121121121,1, ,!kkkirrrnn rn rrrkbrrrnnkiriknC CCrr 、若把 个不同元素分成 个部分，第 部分有 个元素，则不同的分法有（多项系数）例如例如: : 两批产品各两批产品各5050件件, ,其中次品各其中次品各5 5件件, ,从这两批产品中各从这两批产品中各抽取抽取1

37、1件件, ,(1)(1)两件都不是次品的选法有多少种两件都不是次品的选法有多少种? ?(2)(2)只有一件次品的选法有多少种只有一件次品的选法有多少种? ?解解 (1) (1) 用乘法原理用乘法原理, ,结果为结果为214514545.CC(2)(2)结合加法原理和乘法原理得选法为结合加法原理和乘法原理得选法为: :4504552C.CC.C1514514515例例1.2.1.2. 箱中有箱中有6 6个灯泡个灯泡, ,其中其中2 2个次品个次品4 4个正品个正品, ,有放回有放回地从中任取两次地从中任取两次, ,每次取一个每次取一个, ,试求下列事件的概率：试求下列事件的概率：（1 1）取到的

38、两个都是次品）取到的两个都是次品; ;（2 2）取到的两个中正、次）取到的两个中正、次品各一个品各一个, ,（3 3）取到的两个中至少有一个正品）取到的两个中至少有一个正品. .解：解： 设设A =A =取到的两个都是次品取到的两个都是次品 ，B=B=取到的两个中取到的两个中正、次品各一个正、次品各一个, C=, C=取到的两个中至少有一个正品取到的两个中至少有一个正品.（1 1）样本点总数为）样本点总数为6 62 2，事件，事件A A包含的样本点数为包含的样本点数为2 22 2，所以所以 P(A)=4/36=1/9P(A)=4/36=1/9（2 2）事件）事件B B包含的样本点数为包含的样本

39、点数为4 42+22+24=164=16，所以所以P P（B B）=16/36=4/9=16/36=4/9（3 3）事件）事件C C包含的样本点数为包含的样本点数为6 62 2-2-22=322=32，所以所以P(C )=32/36=8/9P(C )=32/36=8/9 思考：思考：若改为无放回地抽取两次呢若改为无放回地抽取两次呢? ? 若改为一次抽取两个呢？若改为一次抽取两个呢？1.3.1 1.3.1 概率的公理化定义概率的公理化定义 前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题何概率的定义，它们在解决各自相适应

40、的实际问题中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局限性限性. . 为了克服这些局限性，为了克服这些局限性，19331933年，前苏联数学家年，前苏联数学家柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率论的发展奠定了理论基础论的发展奠定了理论基础. .概率的公理化的定义概率的公理化的定义:(3)(3)可列可加性可列可加性: : 设设 nAAA,21 11)(iiiiAPAP 1 P(2)(2)规范性规范性(1)(1)非负

41、性非负性 P0两两互不相容两两互不相容设设 是给定的实验是给定的实验E的样本空间，对其中的任意一个的样本空间，对其中的任意一个事件事件A，规定一个实数，规定一个实数P(A)，若，若P(A)满足：满足：则则则称则称P(A)P(A)为为事件事件A A的概率的概率. .概率的性质概率的性质 11111. ()0,12.AB,3.,1, , ,1, ,., ,1, ,1.1,()12( )( )( )()5.nniijiiiinnijiiiiPPP ABP AP BA inAAij i jnPAP AAAij i jnAPAPP AP AABP ABP AP BP AP ABA 若则若有推则若且则4.

42、若则对于任意论推两个事件论, ,( + )( )+ ( )- ()BP A BP AP BP AB则得：得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2， 例例1.3.11.3.1 AB= AB=，P(A)=0.6P(A)=0.6，P(A+B)=0.8P(A+B)=0.8， 求求 B B的逆事件的概率。的逆事件的概率。所以，所以，P P（ ）=1-0.2=0.8=1-0.2=0.8B解解: : 由由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)思

43、考思考 在以上条件下，在以上条件下，P P（A-BA-B）= =？1.P(A)=0.41.P(A)=0.4，P(B)=0.3P(B)=0.3，P(A+B)=0.6P(A+B)=0.6求求P(A-B).P(A-B).解答：解答：(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1,(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1, 所以所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3(2)P(-AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)(2)P(-AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B) =1-0.7+0.3=0.

44、6 =1-0.7+0.3=0.62. P(A)=0.72. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3P(A-B)=0.3，求，求P(-AB)P(-AB)3. A3. A、B B都出现的概率与都出现的概率与 A A、B B 都不出现的概率相等，都不出现的概率相等，P(A)=pP(A)=p，求，求P(B).P(B).(3)P(AB)=P( )=P( )(3)P(AB)=P( )=P( ) =1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB), =1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),BABA 所以所以,P(B)=1-P(A)=1-p,P(B)=1-P(A)=1-p例例 设事件设事件

45、A A发生的概率是发生的概率是0.60.6，A A与与B B都发生的概率是都发生的概率是0.10.1，A A与与B B都不发生的概率为都不发生的概率为0.15 ,0.15 ,求求A A发生发生B B不发生的概率；不发生的概率；B B发生发生A A不发生的概率及不发生的概率及P(A+B).P(A+B).解解 由已知得由已知得,P(A)=0.6,P(A)=0.6，P(AB)=0.1, P(AB)=0.1, P( )=0.15P( )=0.15，BA则则 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5 P(B-A)=P(B)-P(

46、AB P(B-A)=P(B)-P(AB）P P（A+BA+B）=1-P=1-P（ ）=1-P=1-P（ ) )=0.85=0.85BABA又因为又因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以，所以，P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35从而，从而，P(B-A)=0.35-0.1=0.25P(B-A)=0.35-0.1=0.251.1. 条件概率条件概率1.4.1 1.4.1 引例引例1.4.2 1.4.2 条件概率的定

47、义条件概率的定义 1.4.3 1.4.3 条件概率的性质条件概率的性质1.4.4 1.4.4 乘法公式乘法公式1.4.5 1.4.5 全概率公式全概率公式1.4.6 1.4.6 贝叶斯贝叶斯(Bayes(Bayes) )公式公式1.4.1 1.4.1 引例引例 引例引例: : 袋中有袋中有7 7只白球只白球, 3, 3只红球只红球, , 白球中有白球中有4 4只木只木球球, 3, 3只塑料球只塑料球; ; 红球中有红球中有2 2只木球只木球,1,1只塑料球只塑料球 现从现从袋中任取袋中任取1 1球球, , 假设每个球被取到的可能性相同假设每个球被取到的可能性相同. . 若若已知取到的球是白球已

48、知取到的球是白球, , 问它是木球的概率是多少？问它是木球的概率是多少？设设 A A 表示任取一球，取得白球；表示任取一球，取得白球； B B 表示任取一球，取得木球表示任取一球，取得木球. .古典概型古典概型所求的概率称为在事件所求的概率称为在事件A A 发生的条件下发生的条件下事件事件B B 发生的发生的条件概率条件概率。记为。记为 ABP解解 列表列表白球白球 红球红球 小计小计木球木球4 42 26 6塑球塑球3 31 14 4小计小计7 73 31010 74 ABP 74 ABPABABkk4AAkn7)()(APABP从而有从而有AABkkABP7410/ 710/ 4nknkA

49、AB设设A A、B B为两事件为两事件, , P P ( ( A A ) 0 , ) 0 , 则则 称称P(AB)/P(A)P(AB)/P(A) 为事件为事件 A A 发生的条件下事件发生的条件下事件 B B 发生的发生的条件概率条件概率，记为，记为定义定义: :1.4.2 1.4.2 条件概率的定义条件概率的定义ABP)()(APABP12求条件概率的方法方法 ：由定理，把一个条件概率转化为两个无条件概率的商方法 ：根据实验所置的条件，直接求。如上例 某厂生产的灯泡能用某厂生产的灯泡能用10001000小时的概率为小时的概率为0.8, 0.8, 能用能用15001500小时的概率为小时的概率

50、为0.4 , 0.4 , 求已用求已用10001000小小时的灯泡能用到时的灯泡能用到15001500小时的概率小时的概率. .解解 令令 A A 灯泡能用到灯泡能用到10001000小时小时 B B 灯泡能用到灯泡能用到15001500小时小时所求概率为所求概率为 )()(APABPABP AB 218 . 04 . 0)()( APBP例例1.4.21.4.2例例1.4.41.4.4 一批产品一批产品100100件件7070件正品件正品3030件次品件次品甲厂生产甲厂生产4040件件乙厂生产乙厂生产3030件件甲厂生产甲厂生产2020件件乙厂生产乙厂生产1010件件从中任取从中任取1 1件