直线、平面平行和垂直的判定及其性质-ppt课件.ppt
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1、本章内容本章内容2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质第二章第二章 小结小结1PPT课件2PPT课件2.3 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定(第一课时第一课时)复习与提高复习与提高2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定(第二课时第二课时)2.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定(第一课时第一课时)2.3.2 平面与平面垂直的判定平面与
2、平面垂直的判定(第二课时第二课时)2.3.3 直线与平面直线与平面2.3.4 平面与平面平面与平面垂直的性质垂直的性质3PPT课件第一课时第一课时直线与平 面垂直的判定2.3.1返回目录返回目录4PPT课件1. 直线和平面垂直是怎样定义的直线和平面垂直是怎样定义的? 2. 用直线和平面垂直的判定定理证明线面用直线和平面垂直的判定定理证明线面垂直需要哪些条件垂直需要哪些条件?5PPT课件 问题问题 1. 在你的感觉中在你的感觉中, 直线和平面垂直是怎样一直线和平面垂直是怎样一种情况种情况? 你能说出我们教室里直线与平面垂直的例子你能说出我们教室里直线与平面垂直的例子吗吗? 你认为怎样定义直线与平
3、面垂直恰当你认为怎样定义直线与平面垂直恰当? 如果直线如果直线 l 与平面与平面 a a 内的任意一条直线都垂直内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线我们就说直线 l 与平面与平面 a a 互相垂直互相垂直, 记作记作 la a, 直线直线 l 叫做平面叫做平面 a a 的垂线的垂线, 平面平面 a a 叫做直线叫做直线 l 的垂面的垂面. 线面垂直是线面相交的一种特殊情况线面垂直是线面相交的一种特殊情况, 线面垂直线面垂直, 有且只有一个公共点有且只有一个公共点, 即交点即交点, 这个交点叫做线面垂直这个交点叫做线面垂直的的垂足垂足. 直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义: 1. 直线与
4、平面垂直的定义直线与平面垂直的定义6PPT课件 画直线和水平平面垂直画直线和水平平面垂直, 要把直线画成和表示平要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直面的平行四边形的横边垂直. 画直线和竖直平面垂直画直线和竖直平面垂直, 要把直线画成和表示平要把直线画成和表示平面的平行四边形的竖直边垂直面的平行四边形的竖直边垂直.a alla ab bmm b b7PPT课件 问题问题2: 已知平面已知平面 a a 和空间任意一点和空间任意一点 P, 过点过点 P 能能作作 a a 的几条垂线的几条垂线? 为什么为什么?a aP 结论结论: 过空间任意一点过空间任意一点, 有且只有一条直线和有且只有一条
5、直线和已知平面垂直已知平面垂直.如果有两条如果有两条, PAa a, PBa a,只有一条只有一条.垂足分别为垂足分别为 A, B.则则 PA, PB 确定的平面确定的平面与与 a a 相交于一直线相交于一直线 AB.AB于是于是 PAAB, PBAB,则在平面则在平面PAB内过一点有两条直线和已知直线垂直内过一点有两条直线和已知直线垂直,根据平面几何知识根据平面几何知识, 这显然不对这显然不对.8PPT课件 问题问题 3. (1) 请同学们用一块三角板的一条直角边请同学们用一块三角板的一条直角边放在桌面内放在桌面内, 另外一条直角边不在桌面内另外一条直角边不在桌面内, 请问这另请问这另一条直
6、角边与桌面垂直吗一条直角边与桌面垂直吗? (2) 用一张有一定硬度的纸将一边对折后又展开用一张有一定硬度的纸将一边对折后又展开,并将所折的边放在桌面上并将所折的边放在桌面上, 看折痕是否垂直桌面看折痕是否垂直桌面? 有不垂直的可能吗有不垂直的可能吗? 用定义判断线面垂直不太方便用定义判断线面垂直不太方便, 怎样有较方便的怎样有较方便的方法判断线面垂直呢方法判断线面垂直呢, 我们先看下面的问题我们先看下面的问题.ABCD当当A、B、C 不共线时不共线时,折痕折痕DC垂直桌面垂直桌面;当当A、B、C 共线时共线时,折痕折痕DC不一定垂直桌面不一定垂直桌面.2. 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的
7、判定9PPT课件 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直垂直, 那么这条直线垂直于这个平面那么这条直线垂直于这个平面.符号表示符号表示:laba ala,lb,a a a,b a a,ab, la a.直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理:由线线垂直得线面垂直由线线垂直得线面垂直.10PPT课件 问题问题 4. 一旗杆高一旗杆高 8 m, 在它的顶端系两条长在它的顶端系两条长10m 的绳子的绳子, 拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点点 ( 与旗杆脚不在同一直线上与旗杆脚不在同一直线上). 如果
8、这两点与旗杆脚如果这两点与旗杆脚相距相距 6m, 那么旗杆就与地面垂直那么旗杆就与地面垂直, 为什么为什么?ABCD如图如图, AB= =8,AC= =AD= =10,BC= =BD= =6,ABC和和ABD的三边的三边满足勾股定理满足勾股定理, ABBC,ABBD,而而 BC、BD在地面内在地面内,C、B、D不在同一直线上不在同一直线上,即即 BC, BD相交相交,由线面垂直的判定定理知旗杆垂直于地面由线面垂直的判定定理知旗杆垂直于地面.11PPT课件a a例例 1. 如图如图, 已知已知 ab, aa a. 求证求证: ba a.am证明证明: 在在 a a 内任作两相交直线内任作两相交直
9、线 m、n, aa a,m a a, am, an, ba, bm, bn,又又 m 与与 n 相交相交, ba a. 结论结论: 两平行线中的一条垂直于一个平面两平行线中的一条垂直于一个平面, 那那么另一条也垂直于这个平面么另一条也垂直于这个平面.bnn a a,12PPT课件 练习练习(补充补充). 已知已知 PQ 是平面是平面 a a 的垂线段的垂线段, PA 是是平面平面 a a 的斜线段的斜线段, 直线直线 l a. 求证求证: (1) 若若 lPA, 则则 lQA; (2) 若若 lQA, 则则 lPA.a alPQA证明证明: (1)PQa, l a.PQl.若若 lPA, l平
10、面平面PQA.QA 平面平面PQA,lQA.13PPT课件 练习练习(补充补充). 已知已知 PQ 是平面是平面 a a 的垂线段的垂线段, PA 是是平面平面 a a 的斜线段的斜线段, 直线直线 l a. 求证求证: (1) 若若 lPA, 则则 lQA; (2) 若若 lQA, 则则 lPA.a alPQA证明证明: (2)PQa, l a.PQl.若若 lQA, l平面平面PQA.PA 平面平面PQA,lPA.14PPT课件 练习练习(补充补充). 已知已知 PQ 是平面是平面 a a 的垂线段的垂线段, PA 是是平面平面 a a 的斜线段的斜线段, 直线直线 l a. 求证求证:
11、(1) 若若 lPA, 则则 lQA; (2) 若若 lQA, 则则 lPA.a alPQAQ 为垂线段为垂线段 PQ 的垂足的垂足.A 为斜线段为斜线段 PA 的斜足的斜足.QA 为斜线为斜线 PA 在平面在平面 a 上的射影上的射影.有三条线有三条线: 平面的斜线平面的斜线, 斜线在平面上的射影斜线在平面上的射影,平面内的一条直线平面内的一条直线 l.结论结论: 如果如果 l 斜线斜线, 则则 l射影射影;如果如果 l射影射影, 则则 l斜线斜线.(三垂线定理三垂线定理)15PPT课件 探究题探究题. 如图如图, 直四棱柱直四棱柱 A B C D -ABCD ( 侧侧棱与底面垂直的棱柱称为
12、直棱柱棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱 ) 中中, 底面四边形底面四边形ABCD 满足什么条件时满足什么条件时, A CB D ?ABCDA B C D 分析分析: 由题中定义知由题中定义知,侧棱侧棱 A A平面平面A B C D ,从而从而 A AB D .又要使又要使 A CB D ,则需则需 B D 平面平面A AC.所以需在平面所以需在平面A AC内另找一条直线内另找一条直线容易考虑的是容易考虑的是AC是否满足是否满足?要使要使ACB D , 四边形四边形ABCD需满足需满足:BA= =BC, 且且DA= =DC.与与B D 垂直且与垂直且与A A相交相交. (改为如下的证明题, 请同学们
13、给出证明)16PPT课件 如图如图, 直四棱柱直四棱柱 A B C D -ABCD ( 侧棱与底面垂侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱直的棱柱称为直棱柱 ) 中中, 已知已知 A B = =B C , A D = =D C , 求证求证: B D A C.ABCDA B C D 证明证明: 连结连结A C ,A B = =B C ,B D A C ,AA 平面平面A B C D AA B D , B D 平面平面AA C C,B D A C.(定义)(判定)(定义)A D = =D C ,AA A C = =A ,A C 平面平面AA C C,17PPT课件练习练习: (课本课本67页页)第第 1
14、、2 题题.练习练习: (课本课本69页页)18PPT课件 1. 如图如图, 在三棱锥在三棱锥 V-ABC中中, VA= =VC, AB= =BC, 求证求证: VBAC.ABCV练习练习: (课本课本67页页)证明证明:D取取 AC 边的中点边的中点 D,连接连接 VD, BD. VA= =VC, VDAC,VB= =BC, BDAC, AC平面平面VDB,而而 VB 平面平面VDB,ACVB.19PPT课件 2. 过过ABC所在平面所在平面 a a 外一点外一点 P, 作作 POa a, 垂足为垂足为 O, 连接连接 PA, PB, PC. (1) 若若 PA= =PB= =PC, C=
15、=90 , 则则 O 是是 AB 边边的的 . (2) 若若 PA= =PB= =PC, 则则 O 是是ABC 的的 心心. (3) 若若 PAPB, PBPC, PCPA, 则则 O 是是ABC的的 心心.ABCPOa a解解: (1) 如图如图, POa a,则则POA= =POB= =POC= =90 ,又又 PA= =PB= =PC,POA POB POC,得得 OA= =OB= =OC, 又又C= =90 ,直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点.中点中点20PPT课件 2. 过过ABC所在平面所在平面 a a 外一点外一点 P, 作
16、作 POa a, 垂足为垂足为 O, 连接连接 PA, PB, PC. (1) 若若 PA= =PB= =PC, C= =90 , 则则 O 是是 AB 边边的的 . (2) 若若 PA= =PB= =PC, 则则 O 是是ABC 的的 心心. (3) 若若 PAPB, PBPC, PCPA, 则则 O 是是ABC的的 心心.Oa a解解: (2) 由由(1)得得 OA= =OB= =OC,中点中点到三角形三顶点的距离相等到三角形三顶点的距离相等外外ABCP的点是三角形的外心的点是三角形的外心.21PPT课件 2. 过过ABC所在平面所在平面 a a 外一点外一点 P, 作作 POa a, 垂
17、足为垂足为 O, 连接连接 PA, PB, PC. (1) 若若 PA= =PB= =PC, C= =90 , 则则 O 是是 AB 边边的的 . (2) 若若 PA= =PB= =PC, 则则 O 是是ABC 的的 心心. (3) 若若 PAPB, PBPC, PCPA, 则则 O 是是ABC的的 心心.Oa a解解: (3)中点中点外外由由 PAPB, PAPC,得得 PA平面平面PBC,PABC.又由又由 POa a 得得 POBC,于是得于是得 BC平面平面POA, BCAO.同理可得同理可得 ABCO,O 为为ABC的垂心的垂心.垂垂ABCP22PPT课件练习练习: (课本课本69页
18、页) 如图如图, 正方形正方形 SG1G2G3中中, E, F 分别是分别是 G1G2, G2G3 的中点的中点, D 是是 EF的中点的中点, 现在沿现在沿 SE, SF 及及 EF 把这个正方形折成一个四面体把这个正方形折成一个四面体, 使使 G1, G2, G3 三点重合三点重合, 重合后的点记为重合后的点记为 G, 则在四面体则在四面体 S-EFG 中必有中必有( ) (A) SGEFG所在平面所在平面 (B) SDEFG所在平面所在平面 (C) GFSEF所在平面所在平面 (D) GDSEF所在平面所在平面SEFDG1G2G3GEFDSA23PPT课件【课时小结课时小结】1. 线面垂
19、直的定义线面垂直的定义 若直线若直线 l 垂直平面垂直平面 a a 内的任意一直线内的任意一直线, 则叫则叫 la a.应用应用:若若 la a, 则则 l 垂直平面垂直平面 a a 内的任意一直线内的任意一直线.la a,m a a,lm.24PPT课件【课时小结课时小结】2. 线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个那么这条直线垂直于这个平面平面.la,lb,ab= =P,la a.a a a,b a a,25PPT课件【课时小结课时小结】3. 相关结论相关结论 过空间任意一点过
20、空间任意一点, 有且只有一条直线有且只有一条直线和已知平面垂直和已知平面垂直. 两平行线中的一条垂直于一个平面两平行线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面那么另一条也垂直于这个平面. 如果平面内的一条直线垂直平面的斜如果平面内的一条直线垂直平面的斜线线, 则这条直线垂直斜线在平面上的射影则这条直线垂直斜线在平面上的射影; 如果平面内的一条直线垂直平面的一如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影条斜线在平面上的射影, 则这条直线垂直斜则这条直线垂直斜线线.26PPT课件习题习题 2.3B 组组第第 2、4 题题27PPT课件习题习题 2.3B 组组 2. 如图如图,
21、棱锥棱锥 V-ABC中中, VO平面平面 ABC, O CD, VA= =VB, AD= =BD, 你们能判定你们能判定 CDAB 以及以及 AC= =BC 吗吗?VABCDO答答: 能判定能判定.由由 VA= =VB, AD= =BD 得得, VDAB.又由又由VO平面平面 ABC 得得, VOAB.于是得于是得AB平面平面VOD, O CD, ABOD. ABCD,而而 AD= =BD, 从而得从而得 AC= =BC.28PPT课件 4. 如图如图, AB 是是 O 的直径的直径, 点点 C 是是 O 上的上的动点动点, 过动点过动点 C 的直线的直线 VC 垂直于垂直于 O 所在平面所在
22、平面, D, E 分别是分别是 VA, VC 的中点的中点. 试判断直线试判断直线 DE 与平面与平面 VBC 的位置关系的位置关系, 并说明理由并说明理由.VABCDEO解解: DE平面平面VBC.由直径所对的圆周角是直角得由直径所对的圆周角是直角得ACBC.又由又由 VC 垂直于垂直于 O 所在平面得所在平面得ACVC.而而 D, E 分别是分别是 VA, VC 的中点得的中点得DE/AC, DE平面平面VBC. AC平面平面VBC.29PPT课件第二课时第二课时直线与平 面垂直的判定2.3.1返回目录返回目录30PPT课件1. 什么是斜线在平面上的射影什么是斜线在平面上的射影? 2. 直
23、线和平面所成的角是由哪些元素构成直线和平面所成的角是由哪些元素构成? 其范围是多少其范围是多少? 3. 求直线和平面所成角的大小时求直线和平面所成角的大小时, 应掌握应掌握哪些要点哪些要点?31PPT课件 问题问题5. 如图如图, 直线直线 l 与平面与平面 a a 斜交于一点斜交于一点 A, 过过点点 A 在平面在平面 a a 内作直线内作直线 l1, l2, l3, , 这些直线与直这些直线与直线线 l 的夹角中的夹角中, 你认为哪个角最小你认为哪个角最小? 怎样确定这个最怎样确定这个最小的角小的角?la al4Al3l1l2P过过 l 上任一点上任一点 P 作平面作平面 a a 的的O垂
24、线垂线 PO, 垂足为垂足为 O, 连结连结 AO,则则PAO 就是那个最小的角就是那个最小的角.【直线和平面所成的角直线和平面所成的角】32PPT课件 问题问题5. 如图如图, 直线直线 l 与平面与平面 a a 斜交于一点斜交于一点 A, 过过点点 A 在平面在平面 a a 内作直线内作直线 l1, l2, l3, , 这些直线与直这些直线与直线线 l 的夹角中的夹角中, 你认为哪个角最小你认为哪个角最小? 怎样确定这个最怎样确定这个最小的角小的角?la al4Al3l1l2PO 一条直线一条直线 PA 和一个平和一个平面面 a a 相交相交, 但不垂直但不垂直, 这条这条直线叫做这个平面
25、的直线叫做这个平面的斜线斜线, 其交点其交点 A 叫做叫做斜足斜足. 过斜线过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线上斜足以外的一点向平面引垂线 PO, 过垂足过垂足 O 和和斜足斜足 A 的直线的直线 AO 叫斜线在平面上的叫斜线在平面上的射影射影. 平面的平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这叫做这条条直线和直线和这个这个平面所成的角平面所成的角.【直线和平面所成的角直线和平面所成的角】33PPT课件a aOPQPOa a = = O,PQa a, Q 为垂足为垂足,则则 OQ 是是 PO 在平面在平面 a aPOQ 是斜线是斜线 PQ 与与平面
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