重庆市高三（上）期中数学试卷.pdf

1、第 1 页，共 16 页 高三（上）期中数学试卷 高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 = 1,2，3，4， = |2 0，0 0，0 20B. 0， 0， 25.已知tan() = 12，则 = ()A. 25B. 25C. 45D. 256.设 = 0.20.3， =log30.2， = 30.2，则()A. B. C. D. 7.已知实数 x，y 满足321 0 + 2 04 + 13 0，则 = 2的最小值为()A. 5B. 1C. 2D. 3第 2 页，共 16 页8.执行如图所示的程序框图，输出结果为()A. 9

2、B. 11C. 13D. 369.函数() =2的图象大致是()A. B. C. D. 10.函数() = 2的导函数为()，则函数() = 2 3() + ()在 0,内的单调递增区间是()A. 0,2B. 2,C. 512,1112D. 512,11.已知在锐角 中， =3，| = 2，则 的取值范围是()A. 14, + )B. 14,0)C. (0, + )D. (0,12)第 3 页，共 16 页12.若函数() =,0 1,( + 1), 0.是增函数，则实数 a 的取值范围是()A. (0,1)B. (0,1C. 1,1)D. (0,1)二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.

3、0 分）13.已知向量,满足：| = 1, = (1,2), ，则|2 + | = _14.曲线() = 22在点(1,(1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为_15.已知 p：log2( + 1) 2， q：0 1,2，22001 ( + 1)21，则1的取值范围是_三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17.已知数列的前 n 项和为，= 23(1)求；(2)设=log2 + 13，求数列1 + 1的前 n 项和18.已知函数() = (1)2( )(1)当 = 1时，求()的单调区间；(2)若 = 0是()的极大值点，求 a 的取值范围第 4 页，共 16 页19.已知函数(

4、) = sin( + )( 0, (0,)满足：(6) = ()，(6) = 0，且()在(6,12)上单调(1)求()的解析式；(2)若 (6,12)，() =13，求420.如图， 半圆 O 的直径 = 2， 点 C， P 均在半圆周上运动，点 P 位于 C，B 两点之间，且 =6(1)当 =12时，求 的面积(2)求四边形 ABPC 的面积的最大值21.已知函数() = + 24存在两个极值点1，2，且1 2第 5 页，共 16 页22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 =3+ = 23(为参数)，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方

5、程为 = 2(1)求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程：(2)若射线 = (0 3)与直线 l 交于点 A，与曲线 C 交于 O，B 两点，求| |的取值范围23.已知函数() = |2| + 2| + 1|(1)求不等式() 9的解集；(2)若对任意 ，不等式() | + 恒成立，求 + 的最小值第 6 页，共 16 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】解： 集合 = 1,2，3，4， = |2 6 = | 6 0， 2，故选：D根据含有量词的命题的否定即可得到结论第 7 页，共 16 页本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础5.【答案】B【解析】解：由tan() =

6、 12，得tan = 12，即tan =12 =sin2 + cos2=tan2 + 1=1214+ 1=25故选：B由已知求得，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题6.【答案】D【解析】解： = 0.20.3 (0,1)， =log30.2 1，则 故选：D利用对数函数和指数函数的性质求解本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用7.【答案】A【解析】解：由约束条件321 0 + 2 04 + 13 0作出可行域如图，联立4 + 13 = 0 + 2 = 0，

7、解得 = 1 = 3，即(1,3)，化 = 2为 = 2，由图可知，当直线 = 2过 A 时，直线在 y 轴上的截距最第 8 页，共 16 页大，z 有最小值为5故选：A由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题8.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得 = 1， = 0 = 1 不满足退出循环的条件， = 3， = 4 不满足退出循环的条件， = 5， = 9 不满足退出循环的条件， = 7， = 16 不满足退出循环的条件， = 9， = 25 不满足退出循环的条件

8、， = 11， = 36 此时，满足退出循环的条件，输出 i 值为 11，故选：B由已知中的程序语句可知 ： 该程序的功能是利用循环结构计算 S 的值并输出变量 i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9.【答案】A【解析】解：根据题意，函数() =2，其定义域为| 0，有() =()2cos()= 2= ()，函数()为奇函数，其图象关于原点对称，排除 CD，在区间(0,2)上， 0，2 0， 1 ，则() 0，排除 B，故选：A根据题意，分析函数的奇偶性排除 CD，在分析区

9、间(0,2)上()的符号，排除 B，即可得答案第 9 页，共 16 页本题考查函数图象的分析，注意用排除法分析，属于基础题10.【答案】C【解析】解：() = 22， () = 2 3222 = 4(32)，解2+2 32 32+2得，712 12， ，令 = 1得，512 1112， ()在 0,内的单调递增区间是512,1112故选：C根据条件即可得出() = 4(32)， 然后解2+2 32 32+2即可得出()的单调递增区间 ：712 12+， ， 然后令 = 1即可得出()在0,的单调递增区间本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，两角差的正弦公式，正弦函数的单调区间，函数 =

10、( + )的单调区间的求法，考查了计算能力，属于中档题11.【答案】D【解析】解： | = 2， | = = 2，由余弦定理可得：2= 2+42，又锐角 中，2+ 2 4且2+4 2，联立可解得：1 4， = =2+ 242= 2，由1 4可得2 (0,12)故选：D先由题设求得 c，然后由余弦定理及 为锐角三角形解得 b 的取值范围，最后利用b 的范围求得结果本题主要考查余弦定理的应用、 锐角三角形的限制条件的应用及向量的数量积的取值范围的确定，属于中档题12.【答案】B第 10 页，共 16 页【解析】解：当 (0,1时，函数是增函数，最大值为：e，最小值大于 1，函数() =,0 1,(

11、 + 1), 0.是增函数， 0时，() = ( + 1)，可得0 并且(1) (0)，可得0 1故选：B求出函数在 (0,1的最大值与最小值，判断函数的单调性，利用函数的图象的变换，推出结果即可本题考查函数的单调性以及分段函数的应用，考查分析问题解决问题的能力13.【答案】3【解析】解：| =5,| = 1； ； = 0； (2 + )2= 42+4 +2= 4 + 0 + 5 = 9； |2 + | = 3故答案为：3根据条件可得出| =5， = 0， 并且| = 1， 进行数量积的运算即可求出(2 + )2的值，从而得出|2 + |的值考查根据向量坐标求向量长度的方法，向量垂直的充要条件

12、，以及向量数量积的运算14.【答案】16【解析】解：由() = 22，得() =14， (1) = 14 = 3，又(1) = 12 12= 2， 曲线() = 22在点(1,(1)处的切线方程为 + 2 = 3(1)，即3 + 1 = 0取 = 0，得 =13，取 = 0，得 = 1 围成的三角形的面积为1213 1 =16故答案为：16求出函数的导数，计算(1)，(1)的值，求出切线方程，再求出切线在两坐标轴上的截距，从而求出三角形的面积第 11 页，共 16 页本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角形面积的求法，是中档题15.【答案】【解析】解：已知 p：log2( +

13、1) 2，所以2( + 1) 0，解得1 3q：0 1,2，22001 0，整理得 0，所以函数()在1,2上单调递增，故 (2010)，当 = 2时， (2010)=72故 72q 为假命题，则 72，由于() 为假命题，则 p 真 q 假，所以1 ( + 1)21，第 12 页，共 16 页 1+ 2 ( + 1)21，即21 211+1，令() = 21，易知()单调递增， 只需(1) = 121 211+1，解得：0 1 211+1，令() = 21，利用()的单调性解出1的范围即可本题主要考查等差数列的定义、前 n 项和公式及利用函数的单调性求参数的范围，属于中档题17.【答案】解：

14、(1)由题设知：= 23，1= 213，两式相减得= 221，即= 21， 为公比为 2 的等比数列，1=1= 213,1= 3,= 3 21；(2) = 23 23= ， + 1=1( + 1)=11 + 1，= (112) + (1213) + + (11 + 1) = 11 + 1= + 1【解析】(1)由题设条件与1的关系式，再求出首项1，即可求得；(2)先求得，再利用裂项相消法求数列1 + 1的前 n 项和本题主要考查等比数列的定义、通项公式的求法及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题18.【答案】解：(1)当 = 1时，() = (1)2，则() = (2)，当 (,0)和(2

15、, + )，() 0， (0,2)，() 0，故() 0 0， ()在(,0)上单减，在(0, + )上函数()是单调增函数， = 0为极小值点，不合题意；第 13 页，共 16 页当 0时，由() = 0得 = 0或 = 2，因为 = 0是极大值点， 2 0，即 12，故 (12, + )【解析】(1)求出函数的导数，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可(2)求出导函数，利用函数的单调性以及函数的极值，转化求解 a 的范围即可本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题19.【答案】解：(1)由(6) = ()知 =12是对称轴，又(6)

16、= 0，且()在(6,12)上单调，14 =12(6) =4，即 =2= ， = 2，由 =12是对称轴得，故 =3， () = sin(2 +3)，(2)() = sin(2 +3) =13， cos(4 +23) = 122(2 +3) =79， (6,12)， 4 +23 (0,)， sin(4 +23) =429，4 = sin(4 +23)cos23cos(4 +23)sin23= 42+ 7318【解析】(1)由已知结合正弦函数的对称性及单调性可求函数的周期， 进而可求， 然后由五点作图法可求，进而可求函数解析式；(2)由已知结合二倍角公式及辅助角公式进行化简即可求解本题主要考查了

17、由正弦函数的部分图象及性质求解函数解析式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题20.【答案】解：(1)由题知 =4， = =2，第 14 页，共 16 页 = 12= 2(34) =2+62， =12 sin6=1 +34，(2)由题知 =3，设半径 = 1， = 0，则 =23，= + + =122 + sin(23) + sin3，=12( +32 +12 +32) =34+32sin( +6) 334，当 = =3时等号成立【解析】(1)由已知结合和差角公式及三角形的面积公式即可求解；(2)由已知结合三角形的面积公式及和差角公式，辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质即可求解本

18、题主要考查和差角公式，辅助角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题21.【答案】解：(1)() =1+24 =224 + 1(2分) 方程224 + 1 = 0有两个正根，即= 168 0 0 (0,2)；(4分)(2)不妨设 0，原不等式等价于()() 2 + 2，等价于() + 2 () + 2，(7分)设() = () + 2 = + 22，() =222 + 1，由 12知() 22 + 1=(1)2 0， ()在(0, + )上单增，(10分) () ()，即() + 2 () + 2，原不等式得证(12分)【解析】(1)求出函数的导数，结合二次函数的性质求出 a 的范围即可；(2

19、)问题等价于() + 2 () + 2，设() = () + 2 = + 22，根据函数的单调性证明即可本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题22.【答案】解：(1)直线 l 的参数方程为 =3+ = 23(为参数)，转换为直角坐标方程为： = 3 + 1曲线 C：2+ 22 = 0第 15 页，共 16 页曲线 C 的极坐标方程为 = 2，根据 = = ，转化为普通方程为2+ 22 = 0(2)直线 l： = 3 + 1的极坐标方程为 =13 + ，由题知=13 + ，= 2 | | =23 + =23+ 0 3，则0 3， 3 3 +

20、13+ 123， | | (33,233)【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和普通方程之间进行转换(2)利用极径的应用和三角函数的关系式的变换及正弦型函数的性质应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和普通方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题23.【答案】解：(1)() =3,2 + 4,1 2,3,1， 当 2时，3 9，解得2 3，当-1 2时，4 + 9，解得1 2，当 -1 时，3 9，解得3 1，综上，不等式解集为3,3；(2)由题知，当 = 0时，(0) = 4 ，当 2时，() = 3 + 恒成立，则 3，而当 = 3， = 4时，() = |2| + 2| + 1| | + 2 + 2| + 2 3| + 4，故 + 的最小值为 7【解析】(1)利用零点分段去绝对值，即可求解不等式() 9的解集；(2)根据题意可知| + 是偶函数且 = 0时取最小值 b，可得 b 的范围，再当 2时得到 a 的范围，可得出 a，b 各自的最小值，再验证即可第 16 页，共 16 页本题主要考查的是绝对值不等式的解法以及恒成立的问题，分类讨论思想的应用，考查学生的分析问题和解决问题的能力以及计算能力，是中档题