湖北省部分重点高中高三（上）期中数学试卷含答案.pdf

1、第 1 页，共 24 页 高三（上）期中数学试卷 高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.设集合 = |1 2， = | ， 若 ， 则 a 的取值范围是()A. 1 2C. 1D. 12.定义运算= ，则符合条件11zi= 4 + 2的复数 z 为()A. 3 B. 1 + 3C. 3 + D. 1 33.已知1，2是不共线向量，AB = 21+ 2，BC = 1+32，CD = 12，且 A，B，D 三点共线，则实数等于()A. 3B. 4C. 5D. 64.如图， 点 A 为单位圆上一点， =3， 点 A 沿单位圆逆时针方向旋转角

2、到点(35,45)，则 = ()A. 43 310B. 43+ 310C. 4 3310D. 4 + 3310第 2 页，共 24 页5.我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在律学新说中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上， 一个八度音程从一个 c 键到下一个1键的 8个白键与 5 个黑键(如图)的音频恰成一个公比为122的等比数列的原理，也即高音 c 的频率正好是中音1的 2 倍已知标准音1的频率为 440Hz，那么频率为220 2的音名是() A. dB. fC. eD. #6.已知为数列的前 n 项和，()A. 若 + 1= ，则是等差数列B. 若2 + 1= + 2，则是等比数列

3、C. 若=(1+ )2，则是等差数列D. 若= ( 0且 1)，则是等比数列7.下列四个命题中真命题是()1： (0,1),12 1)，则 = (1)的图象是()A. B. C. D. 第 3 页，共 24 页9.已知函数() = cos4 + sin2，下列结论中错误的是()A. ()是偶函数B. 函()最小值为34C. 2是函()的一个周期D. 函()在(0,2)内是减函数10.定义在0, + )上的函数()满足：当0 2时，() = 22；当 2时，() = 3(2).记函数()的极大值点从小到大依次记为1，2，并记相应的极大值为1，2，则11+22+ +2020的值为( )A. 19

4、320+1B. 19 319+1C. 20 319+1D. 20 320+111.设函数() = sin(6)， 若对于任意 56,2， 在区间0,上总存在唯一确定的，使得() + () = 0，则 m 的最小值为()A. 6B. 2C. 76D. 12.函数() = 1|21|在(0,1)内有两个零点，则实数 b 的取值范围是()A. ( ,1 ) ( 1, )B. (1,0) (0,1)C. (1 ,0) (0, 1)D. (1, ) ( ,1)二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.设函数() = ( + 1)(2 + 3)为偶函数，则 = _ 14. 内角,的对边分别为

5、,，若 = 5， =3，则 的面积 = _15.如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上，边GD上有 10 个不同的点1,2,310，则AF (1+ 2+ 3+ + 10) = _第 4 页，共 24 页16.已知函数() = 2cosx2， 数列中，= () + ( + 1)( )， 则数列的前 100 项之和100= _三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17.已知是数列的前 n 项之和，1= 1，2= + 1， (1)求数列的通项公式；(2)设= (1)2 + 1 + 1，数列的前 n 项和，若|+1| 0)上的点(,1)到焦点 F 的距离为 2， (1)求

6、抛物线的方程；(2)如图，点 E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点 E 处的切线与 x 轴相交于点P，直线 PF 与抛物线相交于 A，B 两点，求 面积的最小值第 6 页，共 24 页21.已知函数() =mxlnx， 曲线 = ()在点(2,(2)处的切线与直线2 + = 0垂直(其中 e 为自然对数的底数)()求()的解析式及单调减区间；()若函数() = () 2 1无零点，求 k 的取值范围.22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 = + = (其中 t 为参数)，在以 O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，直线 l 的极坐标

7、方程为 (1)求曲线 C 的极坐标方程； (2)求直线 l 与曲线 C 的公共点 P 的极坐标第 7 页，共 24 页23. 已知函数() = 2 + 1，且 a，b， ()若 + + = 1，求() + () + ()的最小值；()若| 1，求证：|()()| 2(| + 1)第 8 页，共 24 页答案和解析答案和解析1.【答案】D【解析】解： ， ，B 有公共元素 集合 = |1 2， = | 1 故选 D根据 ，可知 A，B 有公共元素，利用集合 A，B 即可确定 a 的取值范围本题考查了集合的运算，考查求参数问题，属于基础题2.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的代数运算，属于基

8、础题利用所给的定义将已知转化为(1 + ) = 4 + 2， 再利用复数的除法运算法则求出复数z即可【解答】解：根据定义，可知1 (1) = 4 + 2，即(1 + ) = 4 + 2， =4 + 21 + =(4 + 2)(1)(1 + )(1)=622= 3故选 A3.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量运算法则、共线向量的性质，属于基础题由 A，B，D 三点共线，得 = ，(为实数)，由此能求出实数【解答】解： ，B，D 三点共线， = ，(为实数)，第 9 页，共 24 页 = 21+ 2， = 1+32， = 12， = + = (1)1+22， 21+ 2= (1)1+22，

9、解得 =12， = 5故选 C4.【答案】A【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式的应用，属于基础题利用任意角的三角函数的定义，根据 B 的坐标求得cos(3+)和sin(3+)的值，再利用两角差的余弦公式求得 = cos(3+)3的值【解答】解 ： 点 A 为单位圆上一点， =3，点 A 沿单位圆逆时针方向旋转角到点(35,45)， cos(3+) = 35，sin(3+) =45则 = cos(3+)3= cos(3+ ) cos3+ sin(3+ ) sin3= 3512+4532=43310，故选：A5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式及

10、其性质，考查了推理能力与指数幂的计算能力，属于中档题220 2的音比1的频率低，故可将1的频率记为第一项，220 2的音设为第 n 项，则这个数列是以 440Hz 为第一项，以 =2112为公比的等比数列，代入等比数列的通项第 10 页，共 24 页公式可得【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比2112.故从 g 起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为 =2112由220 2 = 440 (2112)1，解得 = 7，频率为220 2的音名是(#)，故选：D6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列和等比数列的定义及其应用直接利用数列的定义和性质求

11、出结果【解答】解：利用排除法：对于 A： 若 + 1= (常数)，则是等差数列，而 + 1= ，这里的 n 不是定值，故 A 错误对于 B： 当 + 1= + 2= 0，满足2 + 1= + 2，但不是等比数列，故 B错误对于 D：当= 3，满足= ( 0且 1)，但1= 3，2= 6，3= 18显然不是等比数列，故 D 错误故选 C7.【答案】B【解析】解：在同一个坐标系中画出 = 13， = 12， = (12)， = (13)的图象，由图象可知：1： (0,1),12 1，则 = (1)的图象是由 = ()的图象，沿 y 轴对折，得到 = ()的图象，再向右平移一个单位得到的，故选：C根

12、据图象的平移和对称即可求出答案本题考查了图象的平移和对称，属于基础题9.【答案】D【解析】解：对于 A，函数() = cos4 + sin2，其定义域为 R，对任意的 ，有() = cos4() + sin2() = cos4 + sin2 = ()，所以()是偶函数，故 A 正确；对于 B，() = cos4cos2 + 1 = (cos212)2+34，当 =22时()取得最小值34，故 B 正确；对于 C，() = (cos212)2+34 = (1 + 2212)2+34 =cos224+34 =1 + 48+34 第 12 页，共 24 页=48+78，它的最小正周期为 =24=2，

13、故 C 正确；对于 D，() =184 +78，当 (0,2)时，4 (0,2)，()先单调递减后单调递增，故 D 错误故选：D根据奇偶性的定义，判断函数()是偶函数；化简函数()，求出它的最小值为34；化简()，求出它的最小正周期为2；判断()在 (0,2)上无单调性本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目10.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的极值的求法，以及数列的错位相减法求和，考查等比数列的求和公式，考查化简运算能力，属于中档题由二次函数的最值求法，可得()的最小极大值点和极大值，再讨论 x 的范围，可得其余的极大值点和极大值，再由

14、数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：当0 2时，() = 22= 1(1)2，可得()的极大值点1= 1，1= 1，当2 4，即有0 2 2，可得() = 3(2) = 31(3)2，可得2= 3，2= 3，当4 6，即有0 4 2，可得() = 9(4) = 91(5)2，可得3= 5，3= 9，即有20= 39，3= 319，则20=11+22+ +2020= 1 1 + 3 3 + 5 9 + + 39 319，第 13 页，共 24 页320= 1 3 + 3 9 + 5 27 + + 39 320，相减可得220= 1 + 2(3 + 9 + 27 +

15、 + 319)39 320= 1 + 2 3(1319)1339 320，化简可得20= 1 + 19 320，故选 A11.【答案】B【解析】解：因为() = sin(6)， 56,2，所以6 ,23，所以() 32,0，即() 32,0，由在区间0,上总存在唯一确定的，使得() + () = 0，则在区间0,上总存在唯一确定的，使得() 0,32，由函数()在0,23为增函数，值域为：12,1，又(2) = sin3=32，即 2，故 m 的最小值为：2，故选：B由三角函数图象的单调性得 ： 因为() = sin(6)， 56,2，所以6 ,23，所以() 32,0，即() 32,0，由三

16、角函数的最值得：在区间0,上总存在唯一确定的，使得() + () = 0，则在区间0,上总存在唯一确定的，使得() 0,32，由函数()在0,23为增函数，值域为：12,1，又(2) = sin3=32，即 2，故 m 的最小值为：2，得解本题考查了三角函数图象的单调性，三角函数的最值，属中档题12.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象问题是解决本题的关键综合性较强，难度较大利用换元法设 = 12，则函数等价为 = +12122|，条件转化为 +1212第 14 页，共 24 页= 2|，研究函数的单调性结合绝对值的应用，进行求解即可【解答】解：(

17、) = 12|12|，设 = 12，则 = +12， 0 1， 12 12，则函数()等价为 = +12122|，即等价为 = +12122|在12 0，即函数()在(12,12)上是增函数，(0) = 0，(12) = 1，(12) = 1，若 = 0，则函数()只有一个零点，不满足条件令() = 2|，当 0时，() = 2，设过原点的直线 = 2与()相切，切点为(, +1212)，() = +12+12，即() = +12+12，则切线方程为( +1212) = ( +12+12)()，切线过原点，则( +1212) = ( +12+12)，即 +12+12= +1212，则( + 1

18、)12= ( + 1) +12，得 = 0，即切点为(0,0)，第 15 页，共 24 页此时切线斜率 = (0) =12+12= 212若212= 2，则 =12=，此时切线 = 2 与()相切，只有一个交点，不满足条件当直线过点(12,1)时，1 = 2 12= ，此时() = 2(1)，故要使()与()有两个交点，则 1，当 0时，根据对称性，要使()与()有两个交点，则1 ，综上1 或 1，即实数 b 的取值范围是(1, ) ( ,1)，故选：D13.【答案】23【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性，属于基础题，利用偶函数的定义计算得结论【解答】解：因为函数() = ( + 1)(2

19、 + 3) = 22+ (3 + 2) + 3，要函数()为偶函数，有() = ()，所以22(3 + 2) + 3 = 22+ (3 + 2) + 3对 成立，因此3 + 2 = 0，解得 = 23故答案为2314.【答案】10 3【解析】【分析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题第 16 页，共 24 页由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，由正弦定理可得 b 的值，由余弦定理可得：49 = 25 + 25，解得 c 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解析】解： 中， =1114，可得 =1cos2

20、=5314， 由正弦定理可得： = =5 325314= 7， 由余弦定理2= 2+ 22，可得：49 = 25 + 25，解得： = 8或3(舍去)， =12 =12 5 8 32= 10 3故答案为10 315.【答案】180【解析】【分析】本题考查向量在图形中的应用，向量的加法法则，数量积的运算律，数量积的求值，属于中档题可用特殊位置法处理此题， 假定这 10 个点是 DG 的等分点， 且 M 为 DG 中点， 则1+2+ 3+ + 10= 10，建立坐标系，向量坐标法处理数量积或是根据分析图形所反应出来的几何性质解题【解答】解法一：特殊位置法令这 10 个点是 DG 的等分点，且 M

21、为 DG 中点，则1+ 2+ 3+ + 10= 10，以 A 为原点，AD 方向为 x 轴建立坐标系，故 F(3, 3)，(112,32) = (3, 3)， = (112,32) 原式 = 10 = 180故答案为：180解法二：(几何法)由图知， 中， = 60， = 2 = 2 3，第 17 页，共 24 页知， 为以 = 90的直角三角形 ， = 30又 /， 又点1，2，10在线段 GD 上， ( = 1,2，3，10) 原式 = ( + 1+ + + 10)= (10 + 1+ 2+ + 10)= 10 + 1+ + 10= 10 = 10 23 6 30= 180故答案为：180

22、16.【答案】10200【解析】【分析】本题考查数列“分组求和”方法、分类讨论方法、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题() = 2cos2，可得= () + ( + 1) = 2cos2+( + 1)2cos( + 1)2，分别求出43，42，41，4，再利用“分组求和”方法即可得出【解答】解： () = 2cos2，= () + ( + 1) = 2cos2+( + 1)2cos( + 1)2，43= (43)2cos432 + (42)2cos422 = (42)2，同理可得：42= (42)2，41= (4)2，4= (4)243+42+41+4= 2(42)2+2(

23、4)2= 8(41) 数列的前 100 项之和100= 8 (3 + 7 + + 99) = 10200故答案为：1020017.【答案】解：(1)因为2= + 1，所以 2时，21= (1)，第 18 页，共 24 页得：2= + 1(1)， 2，所以 + 1 + 1=，则为常数列，又2= 21= 2，=22= 1，= ( 2)，当 = 1时也满足，所以= ， ；(2)= (1)2 + 1 + 1= (1)2 + 1( + 1)= (1)(1+1 + 1)，当 n 为偶数时，= (1 +12) + (12+13)(13+14) + + (1+1 + 1)= + 1，当 n 为奇数时，= (1

24、 +12) + (12+13)(13+14) + (1+1 + 1)= + 2 + 1，综上，1 +=1 + 1, 为偶数1 + 1, 为奇数，则|1 +| =1 + 1 2019， 2018，n 的最小值为 2019【解析】此题考查了数列的递推关系式知识，还考查了数列求和的知识，对不等式也有涉及，属于中档题(1)由已知递推关系式和=1可推出 + 1 + 1=，则为常数列，继而可算出；(2)先把表示出来，用裂项法求比较容易，然后代入不等式可推出 n18.【答案】()证明：连结 BD、1， 点1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上，即1 平面 ABC，又 平面 ABC，1 ，又1= 60，

25、 = 1， 1是等边三角形，D 是 AC 的中点，第 19 页，共 24 页又 = ， = 60， 是等边三角形，即 ，1 = ，1， 平面1， 平面1，又1 平面1， 1，又四边形11是平行四边形， = 1， 11， 1= ，AC，1 平面1，1 平面1，又1 平面1，1 1B.()解：由()知 AC、DB、1两两垂直，故以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，(0,1,0)，( 3,0，0)，(0,1，0)，1(0,0， 3)， 1= (0,1， 3)，设1(0,0,0)，则1= (0 3,0,0)， 1= 1，0 3 = 0,0= 1,0=3，1( 3,1， 3)， 1= (

26、3,2， 3)， = (0,2，0)，设平面1的一个法向量 = (,y，)，则 1=3 + 2 +3 = 0 = 2 = 0，取 = 1，得 = (1,0，1)，设平面1的一个法向量为，同理得 = (1, 3,1)，第 20 页，共 24 页 cos = | |=105， 二面角1的平面角的余弦值为105【解析】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，属于中档题()连结 BD、1推出 D 是 AC 的中点， ，从而 平面1，进而 1，再求出11，由此能证明1 平面1，从而可证1 1B.()由 AC、DB、1两两垂直，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角1的余弦

27、值19.【答案】解：(1)方案一：设此扇形所在的圆的半径为 r，则 = 2， =21=12 2=24(2)设 = ， = ，则2= 2+ 222 222，可得： 242，当且仅当 = 时取等号 养殖区的最大面积2=12242 2 =24；(3) 12=，令() = ，则() = sec21 = tan2 0， ()在(0,2)上单调递增 (0) = 012当 (0,2)时，选取方案一【解析】(1)方案一：设此扇形所在的圆的半径为 r，则 = 2，可得 =2.利用扇形面积计算公式可得1(2)设 = ， = ，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：2= 2+ 222 222，可得： 242，即可得出

28、(3)由于12=，令() = ，求导，可得()在(0,2)上单调递增即可得出结论第 21 页，共 24 页本题考查了扇形的面积计算公式、 余弦定理、 基本不等式的性质， 考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题20.【答案】解：(1)抛物线2= 2( 0)的准线方程为 = 2，因为(,1)，由抛物线定义，知| = 1 +2，所以1 +2= 2，即 = 2，所以抛物线的方程为2= 4(2)因为 =142，所以 =12设点(,24), 0，则抛物线在点 E 处的切线方程为24=12()令 = 0，则 =2，即点(2,0)因为(2,0)，(0,1)，所以直线 PF 的方程为 = 2(2)，

29、即2 + = 0则点(,24)到直线 PF 的距离为 =|2 +34|4 + 2=| 4 + 24联立方程 =242 + = 0消元，得22(22+16) + 2= 0因为 = (22+16)244= 64(2+4) 0，所以1=22+ 16 +64(2+ 4)22，2=22+ 16 64(2+ 4)22，所以| =1+1 +2+1 =1+2+2 =22+ 162+2 =4(2+ 4)2. 所以 的面积为 =124(2+ 4)2| 4 + 24=12(2+ 4)32|不妨设() =(2+ 4)32( 0)，则() =(2+ 4)122(224)因为 (0, 2)时，() 0，所以()在( 2,

30、 + )上单调递增所以当 =2时，()=(2 + 4)322= 6 3所以 面积的最小值为3 3【解析】本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，函数的导数与函数的最值的求法，考查转化思想以及构造法的应用，属于难题(1)求出抛物线2= 2( 0)的准线方程为 = 2，由抛物线定义，得到 = 2，即可求解抛物线的方程第 22 页，共 24 页(2)求出 =12.设点(,24), 0， 得到抛物线在点 E 处的切线方程为24=12().求出(2,0).推出直线 PF 的方程，点(,24)到直线 PF 的距离，联立 =242 + = 0求出 AB，表示出 的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最

31、值即可21.【答案】解：()函数() =的导数为() =(1)()2，又由题意有：(2) =1224=12 = 2，故() =2此时() =2(1)()2，由() 00 1或1 ，所以函数()的单调减区间为(0,1)和(1,() () = ()21() = (21)，且定义域为(0,1) (1, + )，要函数()无零点，即要2=1在 (0,1) (1, + )内无解，亦即要2(1)= 0在 (0,1) (1, + )内无解构造函数() = 2(1)() =22当 0时，() 0时，() =22() =(2)2，(1)若0 2，则函数()在(0,1)内单调递减，在(1,2)内也单调递减，在(2

32、, + )内单调递增又(1) = 0，所以在(0,1)内无零点；易知(2) 0，故在(2, + )内有一个零点，所以不满足条件；(2)若 = 2，则函数()在(0,1)内单调递减，在(1, + )内单调递增又(1) = 0，所以 (0,1) (1, + )时，() 0恒成立，故无零点，满足条件；(3)若 2，则函数()在(0,2)内单调递减，在(2,1)内单调递增，在(1, + )内也单调递增又(1) = 0，所以在(2,1)及(1, + )内均无零点第 23 页，共 24 页又易知(2) 2时，() 0，所以函数()在(0,2)内有一零点，故不满足条件综上可得：k 的取值范围为： 0或 =

33、2【解析】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数方程的转化思想的运用，分类讨论的思想方法，以及函数零点存在定理的运用，属于难题()求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得 = 2，求得()的解析式，可得导数，令导数小于 0，可得减区间；()可得()，函数()无零点，即要2=1在 (0,1) (1, + )内无解，亦即要2(1)= 0在 (0,1) (1, + )内无解构造函数() = 2(1)() =22.对 k 讨论，运用单调性和函数零点存在定理，即可得到 k 的范围22.【答案】解 ：() 平面直角坐标系 xOy 中曲线 C 的参数方程为 = + = (其中

34、t为参数)， 曲线 C 的直角坐标方程为22= 4，( 2)，将 = ， = 代入22= 4，得2(cos2sin2) = 4， 曲线 C 的极坐标方程为22 = 4()将 l 与 C 的极坐标方程联立，消去，得，展开得， 0， 解得 =33，即 =6，代入(3) =2，得 = 2 2， 直线 l 与曲线 C 的公共点 P 的极坐标为(2 2,6).【解析】 本题考查曲线的极坐标方程的求法， 考查直线与曲线的公共点的极坐标的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题第 24 页，共 24 页()由曲线 C 的参数方程求出曲线 C 的直角坐标方程，由

35、此能求出曲线 C 的极坐标方程()将 l 与 C 的极坐标方程联立，得，从而，可得 =6，由此能求出直线 l 与曲线 C 的公共点 P的极坐标23.【答案】解：()由柯西不等式可得(2+ 2+ 2)(12+ 12+ 12) ( + + )2= 1，当且仅当 = = =13时取等号，即2+ 2+ 213； () + () + () = (2+ 2+ 2)( + + ) + 3 131 + 2 =73，即() + () + ()的最小值为73证明：() | 1， |()()| = |(22)()| = | | + 1| | + 1|= |() + (21)| | + |21| 1 + (2| + 1) = 2(| + 1)，故结论成立【解析】()根据柯西不等式即可求出最小值，()根据绝对值三角不等式即可证明本题考查了柯西不等式和绝对值三角形不等式，考查了转化和化归的思想，属于中档题