浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三（上）期中数学试卷.pdf

1、第 1 页，共 18 页 高三（上）期中数学试卷高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）1.复数 = (1 + )(2)(为虚数单位)，则| = ()A. 2B. 1C. 5D. 102.双曲线222= 2的焦点坐标为()A. ( 1,0)B. ( 3,0)C. (0, 1)D. (0, 3)3.若变量 x，y 满足约束条件 3, + 3 0, + 1 0,则2的最小值是()A. 3B. 5C. 3D. 54.设 a， ，命题 p： ，命题 q：| |，则 p 是 q 的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既

2、不充分也不必要条件5.已知函数() = |2| + |，() = 32，下列描述正确的是()A. ()是奇函数B. ()是偶函数C. ()既是奇函数又是偶函数D. ()既不是奇函数也不是偶函数6.某锥体的三视图如图所示(单位：)，则该锥体的体积(单位：3)是()第 2 页，共 18 页A. 13B. 12C. 16D. 17.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有 1 个红球，乙盒子里有 3 个红球和 3 个黑球，现从乙盒子里随机取出(1 6, )个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着(1 6, )的增加，下列说法正确的是()A. 增加，增加B. 增加，减小C. 减小，增

3、加D. 减小，减小8.已知函数() = lg(2| + 1)，若函数()在开区间(, + 1)( )上恒有最小值，则实数 t 的取值范围为()A. (32,12) (12,12)B. (32,12)C. (12,12)D. 32,129.如图 1， 是以 B 为直角顶点的等腰 ，T 为线段 AC 的中点，G 是 BC 的中点， 与 分别是以 AB、BC 为底边的等边三角形，现将 与 分别沿 AB 与 BC 向上折起(如图2)， 则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为()(1)直线 直线 BC(2)直线 直线 AE(3)平面/平面 FGT(4)直线/直线 AE第 3 页，共 18 页A. 1

4、个B. 2 个C. 3 个D. 4 个10.已知二次函数() = 2+ + 2019图象上有三点(1,(1)，(,()，( + 1,( + 1)( )，则当 m 在实数范围内逐渐增加时， 面积的变化情况是()A. 逐渐增加B. 先减小后增加C. 先增加后减小D. 保持不变二、填空题（本大题共 7 小题，共 34.0 分）11.设集合 = |0 2， = | 1，且2+4=20，3=8第 5 页，共 18 页(1)求数列，的通项公式；(2)若数列满足= 4，且数列的前 n 项和为，求证 ： 数列的前 n项和 0，2 2即有| |；若 0 ，显然有| |；若0 ，则2 |，故 可以推出| |若|

5、|，当 ；如果 2，因而 ；当 0时， 0，此时有2 2，因而 ，故| |可以推出 故选：C根据充分、必要条件的定义以及不等式的性质即可判断本题主要考查充分条件、必要条件的判断，涉及到分类讨论思想的应用，属于中档题5.【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析()、()的奇偶性，进而可得() = ()，由函数奇偶性的定义分析可得答案本题考查函数的奇偶性的判定，注意函数奇偶性的定义，属于基础题【解答】解：根据题意，函数() = |2| + |，() = |2| + |= |2| +|= ()，即函数()为偶函数，() = 32，() = 3() = 3 = ()，即函数()为奇函数，对于函数()，

6、有() = ()，即函数()为偶函数，故选：B6.【答案】A【解析】解：由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：1312 2 1 1 =13第 9 页，共 18 页故选：A根据三视图知该几何体是底面为俯视图三角形，高为 1 的直三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题7.【答案】C【解析】解：依题意，从乙盒子里随机取出 n 个球，含有红球个数 X 服从超几何分布，即(6,3，)，其中( = ) =336，其中 ， 3且 ， =36=2，故从甲盒中取球， 相当于从含有2+1个红球的 + 1个球中取一球， 取到红球个数为个，故( = 1) =2

7、+ 1 + 1=12+12 + 2，随机变量服从两点分布，所以 = ( = 1) =12+12 + 2，随着 n 的增大，减小； = 1( = 1) =1212 + 2，随着 n 的增大，增大；故选：C依题意，从乙盒子里随机取出 n 个球，含有红球个数 X 服从超几何分布，即(6,3，)，故 E =2，再从乙盒子里随机取出 n 个球，含有红球个数 X 服从超几何分布，即(6,3，)，服从两点分布，所以 = ( = 1) =12+12 + 2，随着 n 的增大，减小； = 1( = 1) =1212 + 2，随着 n 的增大，增大；本题考查了超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查了推理能力

8、计算能力，属于难题8.【答案】A【解析】解： = 在(0, + )单调递增，函数() = lg(2| + 1)在开区间(, + 1)( )上恒有最小值，等价于() = 2| + 1在开区间(, + 1)( )上恒有最小值，第 10 页，共 18 页 () =2 + 1, 02+ + 1, 12 12 12，解得12 t 12或32 12，故选：A = 在(0, + )单调递增， 函数() = lg(2| + 1)在开区间(, + 1)( )上恒有最小值，等价于() = 2| + 1在开区间(, + 1)( )上恒有最小值，进而求解考查复合函数的单调性，含有绝对值的二次函数的最小值，在不定区间上

9、的最小值的确定9.【答案】C【解析】解：(1)正确；在将 沿着 AB 向上折起时，能使得 ，又因为 ，此时有 面 ABE，则直线 直线 BC (2)正确；在将 与 分别沿 AB 与 BC 向上折起时，使得 BE 与 BF 重合，则2+2= 2+2，又 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，所以2+2= 2，所以2+2= 2 直线 直线 AE (3)正确；因为 T，G 分别是线段 AC，BC 中点，所以连接 TG，得/ 又因为 ，所以 又因为 是等边三角形，所以 所以在折叠过程中 面 FTG，在将 沿着 AB 向上折起时，能使得 ，又因为 ，此时有 面ABE，垂直于同一条直线的两个平面/面 FG

10、T (4)错误；当直线 BC 与直线 AE 在同一平面时， = 90，而 = 60，第 11 页，共 18 页 ，此时不会平行若在折起过程中直线 BC 与直线 AE 异面，此时也不会平行故选：C(1)在将 沿着 AB 向上折起时，能使得 ，又因为 ，此时有 面 ABE，则直线 直线 BC(2)在将 与 分别沿 AB 与 BC 向上折起时，使得 BE 与 BF 重合，直线 直线 AE(3)因为 T，G 分别是线段 AC，BC 中点，所以连接 TG，得/，所以在折叠过程中 面 FTG在将 沿着 AB 向上折起时，能使得 ，又因为 ，此时有 面ABE，垂直于同一条直线的两个平面/面 FGT(4)当直

11、线 BC 与直线 AE 在同一平面时，此时不会平行；若在折起过程中直线 BC 与直线 AE 异面，此时也不会平行本题注重考查的是线面位置关系的判定，需要熟悉定理的前提下才能完成，属于中档题10.【答案】D【解析】解：如图所示，当 m 在实数范围内逐渐增加时， 面积 = 梯形11梯形11 梯形11=( + 1) + (1)2 2(1) + ()2 1() + ( + 1)2 1=( + 1) + (1)2()2=( + 1)2+ ( + 1) + 2019 + (1)2+ (1) + 20192(2+ + 2019)2= 1保持不变故选：D如图所示，当 m 在实数范围内逐渐增加时， 面积 = 梯

12、形11梯形11 梯形11，代入计算即可得出结论本题考查了二次函数的性质、 三角形与梯形面积计算公式， 考查了推理能力与计算能力，第 12 页，共 18 页属于中档题11.【答案】|0 1 |1 0【解析】解： = |0 2， = |1 1， = |0 1， = | 0或 2， () = |1 0故答案为：|0 1，|1 0可以求出集合 B，然后进行交集、补集的运算即可考查描述法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集和补集的运算12.【答案】23 10【解析】解：( +1)(2 + 1)5中，令 = 1，得( + 1) 35= 81，解得 = 23；所以(23 +1) (2 + 1)5= (23

13、+1) (1 + 10 + )，其展开式中的常数项为1 10 = 10故答案为：10在( +1)(2 + 1)5中令 = 1求得 a 的值，再根据多项式乘积的特点求出展开式中的常数项本题考查了二项式展开式定理的应用问题，是基础题13.【答案】(3,0) 3913【解析】解： 直线 l 的方程为 + 3 = 0，得(3) + = 0；3 = 0 = 0， = 3， = 0； 直线 l 恒过定点(3,0)圆 C：2+ 22 = 0的圆心(1,0)，半径 = 1，圆心(1,0)到直线 l： + 3 = 0的距离 =|3|2+ 1， 直线 l 与圆 C：2+ 24 = 0交于 A，B 两点， 为等边三

14、角形， | = 1 = ， =32；故32=|2|2+ 1；解得 = 3913第 13 页，共 18 页故答案为：(3,0)， 3913令参数的系数等于零，求得 x、y 的值，可得定点的坐标由圆 C：2+ 22 = 0知，圆心(1,0)，半径 = 1，圆心(1,0)到直线 l 的距离 =32，由 为等边三角形，得| = 1，由此能求出的值本题主要考查经过定点的直线，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题14.【答案】32 ( + 1)(9 + 20)2【解析】解：数列满足1= 1， + 1= 3( )， 是首项为 1，公差为 3 的等差数列，= 1 + (1) 3 = 32， 3 +

15、1是首项为 10，公差为 9 的等差数列，4+7+10+ +3 + 4= 10( + 1) +( + 1)2 9 =( + 1)(9 + 20)2故答案为：32，( + 1)(9 + 20)2推导出是首项为 1，公差为 3 的等差数列，由此能求出，推导出3 + 1是首项为10，公差为 9 的等差数列，由此能求出4+7+10+ +3 + 4本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15.【答案】5【解析】解：设 = (,0)， = (0,)， = (,)，满足2+ 2= 1 = 2， = 3， = 2， = 3则| =2+ 2=42+

16、92=(42+92)(2+ 2) =13 +422+92213 + 236=25 = 5，故答案为：5设 = (,0)， = (0,)， = (,)， 满足2+ 2= 1.可得 = 2， = 3， 则| =2+ 2=42+92=(42+92)(2+ 2) =13 +422+922， 利用均值不等式即可求解本题考查了向量的数量积、模的计算，属于中档题16.【答案】40第 14 页，共 18 页【解析】解：根据题意，分 2 种情况讨论：，六名学生按男女男女男女排列，若男生甲在最左边的位置时，女生乙只能在其右侧，有 1 种情况，剩下的 2 名男生和女生都有22= 2种情况，此时有1 2 2 = 4种

17、安排方法，若男生甲不在最左边的位置时，女生乙可以在其左侧与右侧，有 2 种情况，剩下的 2 名男生和女生都有22= 2种情况，此时有2 2 2 2 = 16种安排方法；则此时有4 + 16 = 20种安排方法；，六名学生按女男女男女男排列，同理，也有 20 种安排方法，则符合条件的安排方法有20 + 20 = 40种；故答案为：40根据题意，分 2 种情况讨论：，六名学生按男女男女男女排列，六名学生按女男女男女男排列，由加法原理计算可得答案本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题17.【答案】9【解析】解：设2 + = ， 2 +2+ +110 = 0，2+1= 10 (2

18、 + )(2+1) = 5 + 2(+) 5 + 2 2= 9.当且仅当 = = 3或13时取等号 (10) 9，化为：210 + 9 0，解得1 9 2 + 的最大值为 9故答案为：9设2 + = ，根据2 +2+ +110 = 0，可得2+1= 10.利用基本不等式的性质可得(2 + )(2+1)的最小值进而得出2 + 的最大值本题考查了基本不等式的性质、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.【答案】解：(1)由题意得() = 2(6)，第 15 页，共 18 页 2,，可得：3 656， sin(6) 12,1， () 1,2(2) 由( +76) = ( +6)83，化简得

19、 + =43，=43=431，而13 1， 13,3【解析】本题主要考查了两角差的正弦函数公式，正弦函数的性质，诱导公式，正弦定理在解三角形中的应用，求得范围13 1是解题的关键，属于中档题(1)由已知利用两角差的正弦函数公式可得() = 2(6)，结合范围3 656，利用正弦函数的性质可求其值域(2)由已知利用诱导公式可得 + =43，可得13 1，利用正弦定理可得=431，即可求解其取值范围19.【答案】(1)证明：分别取线段 AC、 AB 的中点记为 O、D，连接 SO、OD，因为 为等边三角形，则 ，又/，则 ， = ，则 平面 SOD，所以 (2)解：延长 SO，过 D 做 SO 延

20、长线的垂线，垂足记为 H，易知 平面 SAC，所以为直线 SD 与平面 SAC 所成角，在 中， = 2 22，因为 cos + cos = 0，求得 = 6，又 =12 = 2 3，且 = 2 3，则 =6，第 16 页，共 18 页故直线 SD 与平面 SAC 所成的角为6【解析】(1)分别取线段 AC、AB 的中点记为 O、D，连接 SO、OD，说明 ， ，推出 平面 SOD，得到 (2)延长 SO，过 D 做 SO 延长线的垂线，垂足记为 H，说明为直线 SD 与平面 SAC所成角，通过求解三角形，求解直线 SD 与平面 SAC 所成的角本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平

21、面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20.【答案】解：(1) 1+3+5= 9，2+4+6= 123= 3，4= 4， = 1，可得= 2+4= 20，3= 8， 1 + 13= 2012= 8由得 = 2或 =12(舍)1= 2， = 2(2)= 42，= (4 + 42+ + 4)(2 + 22+ + 2) =43 42 + 1+23，=223(2 + 11)(21)=32(12112 + 11)，=32(1113+1317+ +12112 + 11)，=32(112 + 11) 0)，联立方程2= (2)2= 424 + 842= 01+2 = 4,1 2 = 842， | =1

22、 + 2|12| = 4 1 + 2|，同理可得 | = 4 1 +12|1+|，由| = |得 =312+ ，故： =12| = 8( 1 + 2)2|2= 8(1 + 2)(1 + 2)22( + 1)2 8(2)22( + 1)22( + 1)2= 16，当且仅当 = 1时取等号，所以 面积最小值为 16【解析】(1)直线 AB 方程： = + 1，设(1,1)，(2,2)联立方程 = + 12= 4244 = 0利用韦达定理求解斜率乘积化简即可(2)设(1,1)，(2,2)，(2,2)， 设直线BP斜率为K， 设直线BP方程2= (2)不妨( 0)，联立方程2= (2)2= 424 +

23、 842= 0，利用韦达定理以及弦长公式，求解三角形的面积求解最值即可本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力22.【答案】解：(1) () = +22=2+ 22 0，又 0， ()增区间为(,0)，(0, + )(2)由题得(2) =2有三个实根，所以2(2) = 有三个非零实根即(2) = 有三个非零实根令 = () = ( 0)，() = ( + 1) ( 0) ()在(,1)单调递减，(1, + )单调递增， 22 = 0一个根在(1,0)，另一个根在(0, + )；或者一个根等于1，另一个根第 18 页，共 18 页在(1,0)内(舍)令() = 22，由(1) 0(2) = (0) 00 0， 0，即可得出单调区间(2)由题得(2) =2有三个实根， 可得2(2) = 有三个非零实根 即(2) = 有三个非零实根令 = () = ( 0)，() = ( + 1) ( 0)，可得其单调性可得22 = 0的根的情况进而得出实数 m 的取值范围本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题