北京师大实验中学高一（上）期中数学试卷含答案.pdf

1、第 1 页，共 18 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 得分1.已知集合 = 1,0，1，2， = |2 1，则 = ()A. 1,0，1B. 0,1C. 1,1D. 0,1，22.如果 0，那么下列不等式成立的是()A. 11B. 2C. 2D. 1 13.下列函数中，值域为(0, + )的是()A. =1B. =11C. =2+ 1D. =114.已知() = 3+4，若(2) = 6，则(2) = ()A. 14B. 14C. 6D. 105.设 ，则“|2| 1”是“26 0”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

2、6.函数() = 212在区间(1,3)内的零点个数是()A. 0B. 1C. 2D. 37.已知命题“ ，22+(1) +12 0是假命题，则实数 a 的取值范围是()A. (,1)B. (1,3)C. (3, + )D. (3,1)8.设函数()的定义域为 R，满足( + 1) = 2()，且当 (0,1时，() = (1).若对任意 (,，都有() 89，则 m 的取值范围是()第 2 页，共 18 页A. (,94B. (,73C. (,52D. (,839.已知2 = 6，3 = 4，则25 + 62的值为_10.已知，是方程2+27 = 0的两个根，则22 + 2= _11.某公司

3、一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_12.已知函数() =2+ 1( 0)2( 0)，若() = 10，则 = _ 13.若二元一次方程3 = 7，2 + 3 = 1， = 9有公共解，求实数 =_14.已知，函数() =4,24 + 3, ，当 = 2时，不等式() 0的解集是_.若函数()恰有 2 个零点，则的取值范围是_15.已知集合 = |4 + 2的解集为 A，且3 ()求实数 a 的取值范围；()求集合 A18.函数 = + 1 +3的定义域是_19.已知函数()

4、=11 + 2，则(1) + (2) + (3) + (4) + (12) + (13) + (14) =_20.设 0, 0, + 2 = 5，则( + 1)(2 + 1)的最小值为_21.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当 = 10时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价

5、的七折，则 x 的最大值为_22.设函数()的定义域 D，如果存在正实数 m，使得对任意 ，都有( + ) ()，则称()为 D 上的“m 型增函数”.已知函数()是定义在 R 上第 4 页，共 18 页的奇函数， 且当 0时，() = |( ).若()为 R 上的 “20 型增函数” ，则实数 a 的取值范围是_23.已知关于 x 的一元二次方程24 + 2 = 0(1)若方程有实数根，求实数 k 的取值范围；(2)如果 k 是满足(1)的最大整数，且方程24 + 2 = 0的根是一元二次方程22 + 31 = 0的一个根，求 m 的值及这个方程的另一个根24.已知函数() = (2)( +

6、 )，其中 ()若()的图象关于直线 = 1对称，求 a 的值；()求()在区间0,1上的最小值25.对于区间,( )， 若函数 = ()同时满足 ：()在,上是单调函数 ；函数 = ()， ,的值域是,，则称区间,为函数()的“保值”区间(1)求函数 = 2的所有“保值”区间；(2)函数 = 2+( 0)是否存在“保值”区间？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由第 5 页，共 18 页第 6 页，共 18 页答案和解析答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了两个集合的交集和一元二次不等式的解法，属基础题求出 B 中的不等式，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：因为

7、= 1,0，1，2， = |2 1 = |1 1，所以 = 1,0，1，故选：A2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查不等式与不等关系， 利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题由于 0，不妨令 = 2， = 1，代入各个选项检验，只有 D 正确，从而得出结论【解答】解：由于 1，故 A 不正确；可得 = 2，2= 1， 2，故 B 不正确；可得 = 2，2= 4， 2，故 C 不正确故选 D3.【答案】D第 7 页，共 18 页【解析】解：. =1 0，故 A 不符合；B. =11 (,0) (0, + )，故 B 不符合；C. =2+ 1 1

8、，故 C 不符合；D. =11的定义域为| 1，当 1时，11 0， =11 0，故 D 符合故选：D根据各选项函数的解析式，求出值域即可得到正确选项本题考查了函数值域的求法和函数的图象与性质，属基础题4.【答案】A【解析】解： () = 3+4 () + () = 3+4 + ()3+ ()4 = 8 () + () = 8 (2) = 6 (2) = 14 故选 A根据() = 3+4，可得() + () = 8，从而根据(2) = 6，可求(2)的值本题以函数为载体，考查函数的奇偶性，解题的关键是判断() + () = 8，以此题解题方法解答此类题，比构造一个奇函数简捷，此法可以推广5.

9、【答案】A【解析】解：由|2| 1得1 2 1，得1 3 由26 0得2 3，即“|2| 1”是“26 0”的充分不必要条件，故选：A根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件， 结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断， 结合不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键第 8 页，共 18 页6.【答案】B【解析】【分析】求导，根据函数()在(1,3)上的单调性，结合函数零点的存在性定理即可得到所求本题考查了函数单调性，函数的零点的存在性定理考查分析和解决问题的能力，属于基础题【解答】解： 22和1在区间(1,3)上都为增函数， ()在

10、(1,3)上单调递增，又(1) = 2 0， ()在(1,3)上有 1 个零点故选：B7.【答案】B【解析】 解 ： “ ，22+(1) +12 0” 的否定为 “ ，22+(1) +12 0“ “ ，22+(1) +12 0”为假命题 “ ，22+(1) +12 0“为真命题即22+(1) +12 0恒成立 (1)24 2 12 0解得1 0恒成立，令判别式小于 0，求出 a 的范围本题考查含量词的命题的否定形式：将量词”与“”互换，同时结论否定、考查命题与其否定真假相反、考查二次不等式恒成立从开口方向及判别式两方面考虑8.【答案】B第 9 页，共 18 页【解析】【分析】本题考查了函数与方

11、程的综合运用，属中档题由( + 1) = 2()，得() = 2(1)，分段求解析式，结合图象可得【解答】解：因为( + 1) = 2()， () = 2(1)， (0,1时，() = (1) 14,0， (1,2时，1 (0,1，() = 2(1) = 2(1)(2) 12,0； (2,3时，1 (1,2，() = 2(1) = 4(2)(3) 1,0，当 (2,3时，由4(2)(3) = 89解得 =73或 =83，若对任意 (,，都有() 89，则 73故选 B9.【答案】24【解析】解： 2 = 6，3 = 4， 25 + 62= (2)(3) = 6 4 = 24故答案为：24把25

12、 + 62进行因式分解，代入已知条件得答案本题考查函数零点与方程根的关系，训练了利用因式分解法求值，是基础题10.【答案】32第 10 页，共 18 页【解析】解： ，是方程2+27 = 0的两个根， + = 2， = 7，则22 + 2= ( + )24 = (2)24 (7) = 32故答案为：32利用根与系数的关系求得 + = 2， = 7，再由22 + 2= ( + )24求解本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，是基础的计算题11.【答案】30【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和 =600

13、 6 + 4，利用基本不等式的性即可得出【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和 =600 6 + 4 4 2 900 = 240(万元)当且仅当 = 30时取等号故答案为：3012.【答案】3 或5【解析】解：令2+1 = 10，解得， = 3或 = 3(舍去)；令2 = 10，解得， = 5；故答案为：3 或5由分段函数可知，令2+1 = 10，2 = 10，从而解得本题考查了分段函数的自变量的求法，属于中档题13.【答案】4【解析】解：由3 = 7，2 + 3 = 1得，两直线的交点坐标为(2,1)， 二元一次方程3 = 7，2 + 3 = 1， = 9有公共解，第 11 页

14、，共 18 页 点(2,1)在直线 = 9上， 1 = 29， = 4故答案为：4由3 = 7，2 + 3 = 1求出两直线的交点坐标，然后将交点坐标代入直线 = 9中，解出 k本题考查了两直线的交点坐标，考查了方程组的解法，属基础题14.【答案】|1 4(1,3 (4， +)【解析】【分析】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力，属于中档题利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可【解答】解：当 = 2时函数() =4,224 + 3, 2,显然 2时，不等式4 0的解集：|2 4； 2时，不等式

15、() 0，化为：24 + 3 0，解得1 2，综上，不等式的解集为：|1 4函数()恰有 2 个零点，函数() =4,24 + 3, 的草图如图：函数()恰有 2 个零点，则1 4故答案为：|1 5，第 12 页，共 18 页若 = 1，则 = |3 5， = |3 5， = ，4 + 14 + 5，解得1 5，解得1 2 0，则(1)(2) =411+ 4422+ 4，=16(12)12+ 4(1+ 2) + 16，又12 0，所以12 0，12 0，1+2 0，所以16(12)12+ 4(1+ 2) + 16 0则(1)(2) 0，即(1) (2)，故函数() =4 + 4在0, + )上

16、单调递增；(2)由于当 0时有() =4 + 4，而当 0，则() =4 + 4=44= ()，即() =44( 0)则() =4 + 4( 0)44( 0)【解析】本题考查函数的单调性的判断和证明，函数的解析式的求法，考查运算能力，属于基础题第 13 页，共 18 页(1)运用函数的单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；(2)运用偶函数的定义，求出 2， (1)(2)2 0， 2(2 + 1) 0，(4分)当 = 0时，集合 = | 0；(5分)当 12时，集合 = |0 2 +1；(6分)当 = 12时，原不等式的解集 A 为空集；(7分)当12 0时，集合 = |2

17、+1 0；(8分)当0 1时，集合 = | 2 +1.(9分)【解析】()根据题意，把 = 3代入(1)(2) 2中，求出 a 的取值范围；()根据(1)(2) 2，讨论 a 的取值，求出对应不等式的解集本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目18.【答案】1,3【解析】解：要使函数 = + 1 +3的解析式有意义，自变量 x 须满足：的解：要要 + 1 03 0即 0， 0， + 2 = 5，则( + 1)(2 + 1)=2 + + 2 + 1=2 + 6= 2 +6；由基本不等式有：2 +6 2 26= 4 3；当且仅当2 =6时，即： = 3， +

18、2 = 5时，即： = 3 = 1或 = 2 =32时，等号成立，故( + 1)(2 + 1)的最小值为4 3；故答案为：4 3第 15 页，共 18 页21.【答案】130；15【解析】【分析】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题由题意可得顾客一次购买的总金额，减去 x，可得所求值；在促销活动中，设订单总金额为 m 元，讨论 m 的范围，可得() 80% 70%，解不等式，结合恒成立思想，可得 x 的最大值【解答】解：当 = 10时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，可得60 + 80 = 140(元)，即有顾客需要支付14010 = 130(元)；在促销活动中，设订

19、单总金额为 m 元，当0 0时，() = |( )，得() =|, 00, = 0| + , ()， ()为 R 上的“20 型增函数”， ( + 20) ()，当 0时，|20 + | |，式子| + 20| |的几何意义为数轴上到点 a 的距离小于到点20的距离，又 0， + 20 0，解得 10； 当 0 | + | + ， 即| + 20| + | + | 2恒成立，第 16 页，共 18 页 根据几何意义得|220| 2，即 5；当 + 20 | + | + ，即| + 20 + | 0，即 10 实数 a 的取值范围是 00, = 0| + , ()， 由此能求出实数a的取值范围本

20、题考查奇函数的性质、 新定义、 分类讨论和绝对值的意义等基础知识与基本技能方法，属中档题23.【答案】解：(1)由题意 0， 168 0， 2(2)由题意 = 2，方程24 + 2 = 0的根，1=2= 2， 方程22 + 31 = 0的一个根为 2， 44 + 31 = 0， = 3，方程为26 + 8 = 0， = 2或 4， 方程22 + 31 = 0的另一个根为 4【解析】(1)由题意 0，构建不等式即可解决问题；(2)先求出第一个方程的根，再求出 m 的值即可解决问题；本题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型24.

21、【答案】()解法一：因为() = (2)( + ) = 2+(2)2，所以，()的图象的对称轴方程为 =22由22= 1，得 = 0解法二：因为函数()的图象关于直线 = 1对称，所以必有(0) = (2)成立，所以2 = 0，得 = 0第 17 页，共 18 页()解：函数()的图象的对称轴方程为 =22当22 0，即 2时，因为()在区间(0,1)上单调递增，所以()在区间0,1上的最小值为(0) = 2当0 22 1，即 0 2时，因为()在区间(0,22)上单调递减，在区间(22,1)上单调递增，所以()在区间0,1上的最小值为(22) = (2 + 2)2当22 1，即 0时，因为(

22、)在区间(0,1)上单调递减，所以()在区间0,1上的最小值为(1) = (1 + )【解析】()先求出函数的对称轴，得到22= 1，解出即可 ；()先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，从而得到答案本题考查了二次函数的性质，考查了函数的最值问题，是一道中档题25.【答案】解：(1)因为函数 = 2的值域是0, + )，且 = 2在,的值域是,，所以, 0, + )，所以 0，从而函数 = 2在区间,上单调递增，故有2= 2= .解得 = 0,或 = 1 = 0,或 = 1.又 ，所以 = 0 = 1.所以函数 = 2的“保值”区间为0,1.(3分)(2)若函数 = 2+( 0)存在“保值

23、”区间，则有：若 0，此时函数 = 2+在区间,上单调递减，所以 2+ = 2+ = .消去 m 得22= ，整理得()( + + 1) = 0因为 ，所以 + + 1 = 0，即 = 1.又 01 所以 12 0因为 = 2+ = 21 = ( +12)234(12 0)， 所以 1 0，此时函数 = 2+在区间,上单调递增，所以 2+ = 2+ = .消去 m 得22= ，整理得()( + 1) = 0因为 ，所以 + 1 = 0，即 = 1.又 0 1所以 0 12因为 = 2+ = (12)2+14(0 12)，所以 0 14第 18 页，共 18 页因为 0，所以 0 14.(9分)

24、综合 、得， 函数 = 2+( 0)存在 “保值” 区间， 此时 m 的取值范围是1,34) (0,14).(10分)【解析】(1)由已知中保值”区间的定义，结合函数 = 2的值域是0, + )，我们可得, 0, + )，从而函数 = 2在区间,上单调递增，则2= 2= .，结合 即可得到函数 = 2的“保值”区间(2)根据已知中保值”区间的定义，我们分函数 = 2+在区间,上单调递减，和函数 = 2+在区间,上单调递增，两种情况分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案本题考查的知识点是函数单调性，函数的值，其中正确理解新定义的含义，并根据新定义构造出满足条件的方程(组)或不等式(组)将新定义转化为数学熟悉的数学模型是解答本题的关键