北京师大二附中高三（上）期中数学试卷.docx

1、 高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 已知全集U=R，集合A=0,1，2，3，4，5，B=xR|x3，则AUB=()A. 4,5B. 3,4，5C. 0,1，2D. 0,1，2，32. 下列命题中的假命题是()A. xR，2x10B. xN*，(x1)20C. xR，lgx1D. xR，tanx=23. 若复数z满足1z=1+i，则z的共轭复数的虚部是()A. iB. 1C. iD. 14. 在ABC中，内角C为钝角，sinC=35，AC=5，AB=35，则BC=()A. 2B. 3C. 5D. 105. 若不等式|xt|1成立的必要条件是

2、10)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_.12. 在ABC中，a=15，b=10，A=60，则cosB= _ 13. 已知抛物线y2=2px的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|MN|=2|NF|，则NMF=_14. 对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)，给出定义：设f(x)是函数y=f(x)的导数，f(x)是函数f(x)的导数，若方程f(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心给定函数f(x)=13x31

3、2x2+3x512，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：函数f(x)=13x312x2+3x512的对称中心坐标为_；计算f(12019)+f(22019)+f(32019)+f(20182019)=_三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. 已知等差数列an满足a3=2，前3项和S3=92()求an的通项公式；()设等比数列bn满足b1=a1，b4=a15，求bn前n项和Tn16. 已知函数f(x)=Asin(x+)(xR,0,02)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)=f(x12)f(x+12)的单调递增区间17. 已知圆O：x2+y2=4(1)直

4、线l1：3x+y23=0与圆O相交于A、B两点，求|AB|；(2)如图，设M(x1,y1)、P(x2,y2)是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1、PM2与y轴分别交于(0,m)和(0,n)，问mn是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由18. 已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2()求a，b，c，d的值；()若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围19. 设椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A

5、，B两点，点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMA=OMB20. 设数列A：a1，a2，aN(N2).如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有aka1，则G(A)；()证明：若数列A满足anan11(n=2,3，N)，则G(A)的元素个数不小于aNa1答案和解析1.【答案】C【解析】解：全集U=R，集合A=0,1，2，3，4，5，B=xR|x3，CUB=x|x3AUB=0,1，2故选：C先求出CUB=x|x0成立，故A项正确；当xN*时，x1N，可得(x1)20，当且仅当x=1时等号存在xN*，使(x1)20不成立，故B项不正确；当x=

6、1时，lgx=01 存在xR，使得lgx1成立，故C项正确；正切函数y=tanx的值域为R 存在锐角x，使得tanx=2成立，故D项正确综上所述，只有B项是假命题故选：B根据指数函数的值域，得到A项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B项不正确；根据对数的定义与运算，得到C项正确；根据正弦函数y=tanx的值域，得D项正确由此可得本题的答案本题给出含有量词的几个命题，要求找出其中的假命题着重考查了基本初等函数的值域、对数的运算和不等式的性质等知识，属于基础题3.【答案】B【解析】解：1z=1+i，z=i，则z=i，z的共轭复数的虚部是1故选：B由已知求得z，进一步得到z，则答案可求本题

7、考查复数的基本概念，是基础题4.【答案】A【解析】解：角C为钝角，sinC=35，可得cosC=1925=45，在ABC中，AC=5，AB=35，由余弦定理可得，AB2=AC2+BC22ACBCcosC，即45=25+BC210BC(45)，即BC2+8BC20=0，解得BC=2，(BC=10舍去)，故选：A本题主要考查余弦定理，属于基础题由同角三角函数关系可得cosC，再由余弦定理求BC即可5.【答案】A【解析】解：不等式|xt|1，则t1xt+1，不等式|xt|1成立的必要条件是1x4，t11t+14，解得2t3，故选：A先求出不等式|xt|1的解集，再根据必要条件的定义，建立关于t的不等

8、式组，解之从而确定t的取值范围本题考查的知识点是必要条件的判断，难度不大，属于基础题6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等比数列的定义和求和公式，属于基础题根据数列an为等比数列可设出an的通项公式，因数列an+1也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出Sn【解答】解：因数列an为等比数列，则an=2qn1，因数列an+1也是等比数列，则(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)，an+12+2an+1=anan+2+an+an+2an+an+2=2an+1an(1+q22q)=0q=1，即an=2，所以Sn=2n，故选C7.【答案】C【解析】解：根据

9、题意，在梯形ABCD中，过点D作DE/BC，且与AB交与点E，又由AB/DC，AB=5，DC=2，则AE=52=3，又由BC=4，AD=5，则ADE为直角三角形，且AED=2，以B为坐标原点，AB为x轴，BC为y轴建立如图的坐标系，则B(0,0)，A(5,0)，C(0,4)，D(2,4)，M为AB边上一点，设M(x,0)(0x5)，则MD=(2x,4)，MC=(x,4)，则MDMC=x(x2)+16=x22x+16=(x1)2+15；又由0x5，则MDMC=(x1)2+1515，MDMC取得最小值15；故选：C根据题意，过点D作DE/BC，且与AB交与点E，分析可得ADE为直角三角形，且AED

10、=2，据此建立坐标系，求出A、B、C、D的坐标，设出M的坐标，由向量数量积的坐标计算公式可得MDMC=(x1)2+15，结合二次函数的性质分析可得答案本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标表示方法，属于基础题8.【答案】D【解析】解：在中，反例：f(x)=(12)x,1x0)经过点(3,4)，3216b2=1，解得b2=2，即b=2又a=1，该双曲线的渐近线方程是y=2x故答案为：y=2x12.【答案】63【解析】解：由正弦定理可得1532=10sinB，sinB=33，再由ba，可得B为锐角，cosB=1sin2B=63，故答案为：63由正弦定理可求得sinB=33，再由ba，可得B为锐角

11、，cosB=1sin2B，运算求得结果本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinB=33，以及B为锐角，是解题的关键13.【答案】3【解析】解：过点N作NP准线，交准线于P，由抛物线定义知|NP|=|NF|，在RtMPN中，MPN=90，|MN|=2|PN|，PMN=30，NMF=3故答案为：3过点N作NP准线，交准线于P，由抛物线定义知|NP|=|NF|，在RtMPN中，MPN=90，|MN|=2|PN|，由此能求出NMF的大小本题考查抛物线的性质和应用，解题时要注意有一个角为30的直角三角形的性质的应用14.【答案】(12,1) 2018【解析】解：f(x)=13x312x

12、2+3x512，故f(x)=x2x+3，f(x)=2x1，令f(x)=0，解得：x=12，而f(12)=1，故函数f(x)的对称中心坐标是(12,1)；由于函数f(x)的对称中心为(12,1)f(1x)+f(x)=2算f(12019)+f(22019)+f(32019)+f(20182019)=12f(12019)+f(20182019)+f(22019)+f(20172019)+f(20182019)+f(12019)=12(22018)=2018故答案为：2018令f(x)=0，解得x=12.计算f(12)即可得出由于函数f(x)的对称中心为(12,1).可得f(1x)+f(x)=2.即可

13、得出本题考查了利用导数研究三次函数的中心对称性，考查了推理能力与计算能力，属于难题15.【答案】解：()设等差数列an的公差为d，a3=2，前3项和S3=92a1+2d=2，3a1+3d=92，解得a1=1，d=12an=1+12(n1)=n+12；()b1=a1=1，b4=a15=8，可得等比数列bn的公比q满足q3=8，解得q=2bn前n项和Tn=2n121=2n1【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题()设等差数列an的公差为d，由题意，可得a1+2d=2，3a1+3d=92，解得a1，d.即可得出;()b1=a1=1，b4=a15

14、=8，可得等比数列bn的公比q，利用求和公式即可得出16.【答案】解：(1)由图可知T2=1112512，可得T=，则2=，则=2，又图象经过(512,0)，故有2512+=+2k，kZ，得=6+2k，又02，取=6过(0,1)点，所以Asin=1，可得A=2得f(x)=2sin(2x+6).(2)g(x)=f(x12)f(x+12)=2sin2(x12)+62sin2(x+12)+6=2sin2x2sin(2x+3)=2sin2x2sin2xcos32cos2xsin3=sin2x3cos2x=2sin(2x3)，由2k22x32k+2，kZ，得k12xk+512，kZ，所以g(x)的单调递

15、增区间为k12,k+512，kZ【解析】本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数单调区间的求解，根据图象确定函数的解析式是解决本题的关键(1)根据三角函数图象确定A，和的值即可求函数f(x)的解析式；(2)化简g(x)，然后根据三角函数的单调性进行求解即可17.【答案】解：(1)由于圆心(0,0)到直线3x+y23=0的距离d=3圆的半径r=2，|AB|=2r2d2=2(2)由于M(x1,y1)、p(x2,y2)是圆O上的两个动点，则可得M1x1,y1，M2x1,y1，且x12+y12=4，x22+y22=4根据PM1的方程为y+y1y2+y1=x+x1x2+x1，令x=0求得y=m=x

16、1y2x2y1x2+x1根据PM2的方程为：y+y1y2+y1=xx1x2x1，令x=0求得y=n=x1y2x2y1x2x1，mn=x22y12x12y22x22x12=x22(4x12)x12(4x22)x22x12=4，显然为定值【解析】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，用两点式求直线的方程、求直线在y轴上的截距，属于中档题(1)先求出圆心(0,0)到直线3x+y23=0的距离，再利用弦长公式求得弦长AB的值(2)先求出M1和点M2的坐标，用两点式求直线PM1和PM2的方程，根据方程求得他们在y轴上的截距m、n的值，计算mn的值，可得结论18.【答案】解：()由题意知f(

17、0)=2，g(0)=2，f(0)=4，g(0)=4，而f(x)=2x+a，g(x)=ex(cx+d+c)，故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；()由(I)知，f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1) 设F(x)=kg(x)f(x)=2kex(x+1)x24x2，则F(x)=2kex(x+2)2x4=2(x+2)(kex1)，由题设得F(0)0，即k1，令F(x)=0，得x1=lnk，x2=2，若1ke2，则2x10，从而当x(2,x1)时，F(x)0，即F(x)在(2,x1)上减，在(x1,+)上是增，故F(x)在2,+)上的最小值为F(x1)

18、，而F(x1)=x1(x1+2)0，x2时F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若k=e2，则F(x)=2e2(x+2)(exe2)，从而当x(2,+)时，F(x)0，即F(x)在(2,+)上是增，而F(2)=0，故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2时，F(x)2e2(x+2)(exe2)，而F(2)=2ke2+22时，f(x)kg(x)不恒成立，综上，k的取值范围是1,e2.【解析】()对f(x)，g(x)进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，从而解出a，b，c，d的值；()由(I)得出f(x)，g(x)的解析式，再求

19、出F(x)及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F(x)的最值，从而判断出f(x)kg(x)恒成立，从而求出k的范围此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题19.【答案】解：(1)c=21=1，F(1,0)，l与x轴垂直，直线l的方程为x=1，由x=1x22+y2=1，解得x=1y=22或x=1y=22,A的坐标为(1,22)或(1,22)，直线AM的方程为y=22x+2或y=22x2；(2)当l与x轴重合时，OMA=OMB=0，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，OMA=OMB，当l与x轴不

20、重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x1)，k0，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x12，x20，x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k222k2+1，2kx1x23k(x1+x2)+4k=12k2+1(4k34k12k3+8k3+4k)=0，从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，OMA=OMB，综上，OMA=OMB【解析】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题(1)先得到F的坐标，再求出点A的坐标，即可得解；(2)分三种情况讨论，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可证明20.【答案】解：()根据题干可得，a1=2，a2=2，a3=1，a4=1，a

21、5=3，a1a3不满足条件，3不满足条件，a2a4不满足条件，4不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5满足条件，因此G(A)=2,5()因为存在ana1，设数列A中第一个大于a1的项为ak，则aka1ai，其中2ik1，所以kG(A)，G(A)；()设A数列的所有“G时刻”为i1i2a1ai(i=2,3，i11)，则ai1a1ai1ai111对于第二个“G时刻”i2，有ai2ai1ai(i=2,3，i21)，则ai2ai1ai2ai211类似的ai3ai21，aikaik11于是，k(aikaik1)+(aik1aik2)+(ai2ai1)+(ai1a1)=aika1若NG(A)，则aik=aN若NG(A)，则aNaik，从而kaika1aNa1则G(A)的元素个数不小于aNa1【解析】本题属于新定义题型，重点在于对“G时刻”定义的把握，难度较大()结合“G时刻”的定义进行分析；()可以采用假设法和递推法进行分析；()可以采用累加法进行分析第15页，共16页