北京师大附中高二（上）期中数学试卷.docx

1、 高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 命题p：“x(,0)，3x4x”的否定p为()A. x(,0)，3x4xB. x(,0)，3x4xC. x0(,0),3x0bc且a+b+c=0，则下列不等式中正确的是()A. abacB. acbcC. a|b|c|b|D. a2b2c24. 设0x1，则a=2x，b=1+x，c=11x中最大的一个是()A. aB. bC. cD. 不能确定5. 在等比数列an中，a1=3，前n项和为Sn，若数列an+1也是等比数列，则Sn等于()A. 2nB. 3nC. 2n+11D. 3n16. 若互不相等的实数

2、a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=()A. 4B. 2C. 2D. 47. 设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积(i=1,2，)，则An为等比数列的充要条件是()A. an是等比数列B. a1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列C. a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列D. a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同8. 设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0x1；a+b=2；a+b2；a2

3、+b22；ab1其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_ .(填序号，只有一个正确选项)12. 已知an是等差数列，a1=1，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=_13. 等比数列an中，若前n项的和为Sn=2n1，则a+a22+an2=_14. 珠海市板樟山森林公园(又称澳门回归公园)的山顶平台上，有一座百子回归碑百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为19991220标示澳门回归日，中央靠下有2350标示澳门面积约为23.50平方公里百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1到100共100个整数

4、填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等请问如图2中对角线上数字(从左上到右下)之和为_ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. 记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=a5(1)若a3=4，求an的通项公式；(2)若a10，求使得Snan的n的取值范围16. 已知命题：“xx|1x1，使等式x2xm=0成立”是真命题，(1)求实数m的取值集合M；(2)设不等式(xa)(x+a2)0恒成立(1)当xR时q成立，求实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围19. 已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，

5、且满足an2=S2n1，nN*.数列bn满足bn=1an1an+1，Tn为数列bn的前n项和(1)求a1、d和Tn；(2)若对任意的nN*，不等式Tnn+8(1)n恒成立，求实数的取值范围20. 已知无穷数列an(anZ)的前n项和为Sn，记S1，S2，Sn中奇数的个数为bn()若an=n，请写出数列bn的前5项；()求证：“a1为奇数，ai(i=2,3，4，)为偶数”是“数列bn是单调递增数列”的充分不必要条件；()若ai=bi，i=1，2，3，求数列an的通项公式答案和解析1.【答案】C【解析】解：命题是全称命题，则p：x0(,0),3x0bc且a+b+c=0，a0c，bRabac，acb

6、c且a+b+c=0，可得a0c，bR.利用不等式的基本性质即可判断出结论本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.【答案】C【解析】解：0x2x=4x2x只需比较1+x与11x的大小1+x11x=1x211x=x21x0，1+x11x故选：C先由基本不等式确定a，b的大小，再对b，c作差比较即可本题主要考查比较几个数的大小问题比较大小一般通过基本不等式、作差、运用函数的单调性等来完成5.【答案】B【解析】解：因数列an为等比，则an=3qn1，因数列an+1也是等比数列，则(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1) an+12+2an+1=anan+2+an+a

7、n+2 an+an+2=2an+1 an(1+q22q)=0 q=1 即an=3，所以sn=3n，故选：B根据数列an为等比可设出an的通项公式，因数列an+1也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出sn本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力6.【答案】D【解析】解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a=bd，c=b+d，由题设得，bd+3b+b+d=10(bd)2=b(b+d)，解方程组得b=2d=6，或b=2d=0，d0，b=2，d=6，a=bd=4，故选：D因为a，b，c成等差数列，且其和已知，故可设这三个数为bd，b，b+d，再根

8、据已知条件寻找关于b，d的两个方程，通过解方程组即可获解此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列的知识建立等式求解，注意三个成等差数列的数的设法：xd，x，x+d7.【答案】D【解析】解：依题意可知Ai=aiai+1，Ai+1=ai+1ai+2，若An为等比数列则Ai+1Ai=ai+2ai=q(q为常数)，则a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比均为q；反之要想An为等比数列则Ai+1Ai=ai+2ai需为常数，即需要a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相等；故An为等比数列的充要条件是a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2

9、n，均是等比数列，且公比相同故选D 根据题意可表示Ai，先看必要性，An为等比数列推断出ai+2ai为常数，可推断出a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要ai+2ai为常数，即a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相等，答案可得本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定考查了学生分析问题和基本的推理能力8.【答案】B【解析】解：由题意，公司原有100人每年创造的产值为100t(万元)，分流后剩余(100x)人每年创造的产值为(100x)(1+1.2x%)t，则由0x100(100x

10、)(1+1.2x%)t100t，解得：0x1，可取a=23，b=23，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；关于，a+b=2，可取a=1，b=1，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；关于，a2+b22，可取a=2，b=2，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；关于，ab1，可取a=2，b=2，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”关于，若a+b2，则a，b中至少有一个大于1，可用反证法证明，它是正确的证明如下：假设a1且b1，则a+b2与已知条件“a+b2”矛盾，故假设不成立即有a，b中至少有一个大于1，故正确故选本题可以利用反证法，“假设a，b两数均小于或等于1，可得结论a+b小于等

11、于2.”，由些推理可得到正确结论本题考查的是不等式的基本性质和反证法，注意在判断其它命题错误时，可以举反例本题计算量不大，但有一定的思维量，属于中档题12.【答案】64【解析】【分析】本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题依题意，a1=1，(a1+d)2=a1(a1+4d)，可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案【解答】解：an是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，(a1+d)2=a1(a1+4d)，又a1=1，d22d=0，公差d0，d=2，其前8项和S8=8a1+872d=8+56=64故答案为：6413.【答案】43(4n1)【解析】解：a1=S1

12、=1，a2=S2S1=31=2，公比q=2又数列an2也是等比数列，首项为a12=1，公比为q2=4，a12+a22+an2=1(142)14=43(4n1)故答案为：43(4n1)由已知可得等比数列an的首项和公比，进而可得数列an2也是等比数列，且首项为a12=1，公比为q2=4，代入等比数列的求和公式可得答案本题考查等比数列的前n项和公式，得出数列为等比数列是解决问题的关键，属基础题14.【答案】505【解析】解：由题意得：82+75+53+54+19+20+98+4+31+69=505，故答案为：505将图中对角线上数字从左上到右下相加即可本题考查了简单的合情推理问题，考查n阶幻方，是

13、一道基础题15.【答案】解：(1)根据题意，等差数列an中，设其公差为d，若S9=a5，则S9=(a1+a9)92=9a5=a5，变形可得a5=0，即a1+4d=0，若a3=4，则d=a5a32=2，则an=a3+(n3)d=2n+10；(2)若Snan，则na1+n(n1)2da1+(n1)d，当n=1时，不等式成立，当n2时，有nd2da1，变形可得(n2)d2a1，又由S9=a5，即S9=(a1+a9)92=9a5=a5，则有a5=0，即a1+4d=0，则有(n2)a142a1，又由a10，则有n10，则有2n10，综合可得：1n10.nN【解析】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n

14、项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于中档题(1)根据题意，等差数列an中，设其公差为d，由S9=a5，即可得S9=(a1+a9)92=9a5=a5，变形可得a5=0，结合a3=4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；(2)若Snan，则na1+n(n1)2da1+(n1)d，分n=1与n2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案16.【答案】解：(1)命题：“xx|1x1，使等式x2xm=0成立”是真命题，等价于xx|1x1，使得m=x2x=(x12)214，1x1，14m2，M=m|14m2a，即a1时，N=x|2axa，则2a1，解得a94；当a2a，即a1时，

15、N=x|ax2a，则a1a142a2，解得a14；当a=2a即a=1时，N=，此时不满足条件，综上可得，a的取值范围是(,14)(94,+)【解析】本题主要考查了二次函数的性质，二次不等式求解，集合之间包含关系的应用，考查了特称命题与必要条件，考查了分类讨论思想，属于中档题(1)利用参数分离法将m用x表示，结合二次函数的性质求出m的取值范围，从而可求集合M；(2)若xN是xM的必要条件，则MN，分类讨论即可求解，17.【答案】解：(1)由题意可得：200(5x+13x)3000，即5x3x14，解得x3，又1x10，3x10(2)设生产1200千克产品的利润为y，则y=100(5x+13x)1

16、200x=120000(3x2+1x+5)=1200003(1x16)2+6112，当1x=16即x=6时，y取得最大值610000故甲厂以6千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为610000元【解析】(1)根据题意列不等式求出x的范围即可；(2)设总利润为y，得出y关于x的函数解析式，配方得出最大值即可本题考查了函数解析式，函数最值的计算，属于中档题18.【答案】解：(1)4m2+4m240，m2+m60，3m0，p是q的充分不必要条件，AB由(1)知，3m0=x|x3，满足题意；m=2时，B=x|x2+4x+40=x|x2，满足题意；m2时，设f(x)=x2+2mxm+6，f(x)对

17、称轴为x=m，由AB得m0或m2f(2)0，m13m+70或m0，1m73或103m2，103m3或2m73综上可知：103m73【解析】(1)由0得含m的不等式，解之得m的取值范围；(2)把p是q的充分不必要条件转化为由AB，在各种情况下找出充要条件不等式组，进而求出实数m的取值范围本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.【答案】解：(1)a12=S1=a1，a10，a1=1.(1分) a22=S3=a1+a2+a3，(1+d)2=3+3d，d=1，2，当d=1时，a2=0不满足条件，舍去因此d=2.(4分) an=2n1，bn=12n112n+1

18、，Tn=2n2n+1.(6分) (2)当n为偶数时，2n2n+1n+8，(2n+1)(n+8)2n=12(2n+8n+17)，2n+8n8，当n=2时等号成立，12(2n+8n+17)最小值为252，因此252.(9分) 当n为奇数时，(2n+1)(n8)2n=12(2n8n15)，2n8n在n1时单调递增，n=1时12(2n8n15)的最小值为212，212.(12分) 综上，212.(14分)【解析】(1)利用an2=S2n1，n取1或2，可求数列的首项与公差，从人体可得数列的通项，进而可求数列的和；(2)分类讨论，分离参数，求出对应函数的最值，即可求得结论本题考查数列的通项与求和，考查恒

19、成立问题，解题的关键是分类讨论，分离参数，属于中档题20.【答案】解：(I)an=n，Sn=n(n+1)2S1=1，S2=3，S3=6，S4=10，S5=15b1=1，b2=2，b3=2，b4=2，b5=3证明：(II)(充分性)a1是奇数，ai(i=2,3，4)为偶数，对于任意iN*，Si都是奇数，bn=n，数列bn是单调递增数列(不必要性)当数列an中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，Si(i=2,3，4)均为奇数，bn=n1，数列bn是单调递增数列，“a1为奇数，ai(i=2,3，4，)为偶数”是“数列bn是单调递增数列”的不必要条件综上，：“a1为奇数，ai(i=2,3，4

20、，)为偶数”是“数列bn是单调递增数列”的充分不必要条件()(1)当ak为奇数时，若Sk为偶数，若ak+1是奇数，则Sk+1为奇数，bk+1=bk+1=ak+1为偶数，与ak+1=bk+1矛盾；若ak+1为偶数，则Sk+1为偶数，bk+1=bk=ak为奇数，与ak+1=bk+1矛盾当ak为奇数时，Sk不能为偶数；(2)当ak为偶数，若Sk为奇数，若ak+1为奇数，则Sk+1为偶数，bk+1=bk=ak为偶数，与ak+1=bk+1矛盾，若ak+1为偶数，则Sk+1为奇数，bk+1=bk+1=ak+1为奇数，与ak+1=bk+1矛盾，当ak为偶数时，Sk不能是奇数综上，ak与Sk同奇偶，a1=b1

21、=S1为偶数，且0b11，b1=a1=0，a2=b2b1+1=1，且b20，b2=a2=0，以此类推，得到an=0【解析】(I)推导出an=n，Sn=n(n+1)2.由此能写出数列bn的前5项(II)先证充分性，推导出bn=n，从而数列bn是单调递增数列；再证不必要性，当数列an中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，Si(i=2,3，4)均为奇数，bn=n1，数列bn是单调递增数列，由此能证明：“a1为奇数，ai(i=2,3，4，)为偶数”是“数列bn是单调递增数列”的充分不必要条件()当ak为奇数时，推导出Sk不能为偶数；当ak为偶数，推导出Sk不能是奇数，从而ak与Sk同奇偶，由此得到an=0本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查推理能力与计算能力，属于中档题第13页，共14页