北京师大实验中学高三（上）期中数学试卷含答案.pdf

1、第 1 页，共 18 页 高三（上）期中数学试卷高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）1.已知全集 = ，集合 = |3 7， = |27 + 10 64，以下有四个命题：数列中的最大项为10；数列的公差 0；11 0其中正确的序号是()A. B. C. D. 第 2 页，共 18 页6.已知函数 = 2( + )( +, )的部分图象如图所示， 则，的值分别是()A. 3，3B. 3，6C. 2，6D. 2，37.设函数() =26 + 6, 03 + 4, 0，若互不相等的实数1，2，3满足(1) = (2) = (3)，则1+2+3的

2、取值范围是()A. (113,6)B. 113,6C. (203,263)D. (203,2638.已知函数() = +2，其中 ，若对于任意的1，2 1, + )，且12，都有2 (1)1 (2) (12)成立，则 a 的取值范围是()A. 1, + )B. 2, + )C. (,1D. (,2二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）9.已知sin( + ) = 13，且是第二象限角，则2 = _ 10.等比数列的前 n 项和为，已知1，22，33成等差数列，则的公比为_11.设的内角,所对边的长分别为,.若 + = 2，3sin = 5sin,则角 = _12.已知函数() =2

3、+ 4, 042, ()，则实数 a 的取值范围为_13.若函数()满足下列性质：(1)定义域为 R，值域为1, + )；(2)图象关于 = 2对称；第 3 页，共 18 页(3)对任意1，2 (,0)，且12，都有(1)(2)12 0，请写出函数()的一个解析式_(只要写出一个即可)14.已知函数() =2 + 12, (,12)ln( + 1), 12, + ).() = 244.设 b 为实数， 若存在实数 a，使() + () = 0，则 b 的取值范围是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）15.已知函数() = ( 3)(1)求()的最小正周期；(2)当 (0,23)

4、时，求()的取值范围16.在 中，a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边，且2= 2+ 2+(1)求 A 的大小；(2)若 + = 1， = 2，试求 的面积17.数列的前 n 项和为， 且是和 1 的等差中项， 等差数列满足1=1，4=3(1)求数列、的通项公式；第 4 页，共 18 页(2)设=1 + 1，数列的前 n 项和为，证明：131218.已知函数() = 1， ()讨论函数()的单调区间；()若函数()在 = 1处取得极值，对 (0, + )，() 2恒成立，求实数 b 的取值范围19.已知函数() = (23 + 3) 的定义域为2,，设(2) = ，() = (1)试确定

5、 t 的取值范围，使得函数()在2,上为单调函数；(2)求证： 2，总存在0 (2,)，满足(0)0=23(1)2；又若方程(0)0=23(1)2；在(2,)上有唯一解，请确定 t 的取值范围第 5 页，共 18 页20.对于无穷数列，若= 1,2,1,2,( = 1，2，3，)，则称是的“收缩数列”.其中，1,2,，1,2,分别表示1，2，中的最大数和最小数已知为无穷数列，其前 n 项和为，数列是的“收缩数列”(1)若= 2 + 1，求的前 n 项和；(2)证明：的“收缩数列”仍是；(3)若1+2+ +=( + 1)21+(1)2( = 1,2,3,)，且1= 1，2=2，求所有满足该条件的

6、.第 6 页，共 18 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了集合的交，补混合运算，属于基础题先计算集合 B，再计算 ，最后计算( )【解答】解： = |27 + 10 0 = |2 5， = |3 64，可得5 0，6 0， 64， 5 0，6 0， 0，11=11(1+ 11)2= 116 0因此只有正确故选 B6.【答案】D【解析】解：由图可得223 ，即23 2，求得32 3，可得 = 2，第 8 页，共 18 页 函数 = 2(2 + )2=2=236，则点(6,)在函数的图象上再根据函数图象的对称性以及五点法作图可得(0 + ) + (2 6+ )2=2

7、，解得 =3，故选：D由图可得223 ，由此求得 = 2，再由函数的周期可得点(6,)在函数的图象上，然后利用对称性以及五点作图法列式求得的值本题考查由函数 = ( + )的部分图象求解析式， 正弦函数的图象的对称性、 正弦函数的周期性，五点法作图，属于中档题7.【答案】A【解析】【分析】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识， 考查运算求解能力， 考查数形结合思想、 化归与转化思想 属于基础题先作出函数() =26 + 6, 03 + 4, 0的图象，如图，不妨设123，则2，3关于直线 = 3对称，得到2+3= 6，且731 0；

8、最后结合求得1+2+3的取值范围即可【解答】解：函数() =26 + 6, 03 + 4, 0的图象，如图，第 9 页，共 18 页若互不相等的实数1，2，3， 满足(1) = (2) = (3)等价于平行于 x 轴的直线与函数()的图像有三个不同的交点，且交点的横坐标分别为1，2，3,不妨设123，则2，3关于直线 = 3对称，故2+3= 6，且1满足731 0；则1+2+3的取值范围是：73+6 1+2+3 0 + 6；即1+2+3 (113,6)故选：A8.【答案】D【解析】【分析】将不等式变形为：(1) + 1(2) + 2恒成立，构造函数() =() + ，转化为()在1, + )单

9、调递增即可本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件将不等式进行转化，多次构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键综合性较强，难度较大【解答】解： 对于任意的1，2 1, + )，且12，都有2 (1)1 (2) (12)成立， 不等式等价为(1) + 1(2) + 2成立，令() =() + ，则不等式等价为当12且1，2 1, + )时，(1) 0； ()在1, + )上为增函数； () (1) = 0；第 10 页，共 18 页 2 0； 2 的取值范围是(,2故选：D9.【答案】429【解析】解：sin( + ) = = 13 =13 =13， 是第二象限角，

10、 0， = 223， 2 = 2 = 429 故答案为：429首先利用诱导公式求出 =13，由角的正弦值为正，判断角在第一和第二象限，又已知为第二象限角，余弦值一定小于零，从而求出余弦值，用二倍角公式得到2的正弦值已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解，熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式是解题的关键10.【答案】13【解析】【分析】本题考查等差数列的性质、等比数列的通项公式属基础题.先根据等差中项可知42=1+33，利用等比数列的求和公式用1和 q 分别表示出1，2和3，代入即可求得 q【解答】解： 等比数列的前 n

11、 项和为，=11，第 11 页，共 18 页1，22，33成等差数列， 42=1+33，即4(1+1) =1+3(1+1 +12)，解得 =13故答案为1311.【答案】23【解析】【分析】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题由3 = 5，根据正弦定理，可得3 = 5，再利用余弦定理，即可求得 C【解答】解： 3 = 5， 由正弦定理，可得3 = 5， =53 + = 2， =73 =2+ 222= 12 (0,)， =23故答案为2312.【答案】(2,1)【解析】 解 ： 函数()， 当 0时，() = 2+4， 由二次函数的性质知， 它在0, + )上是增函数，当

12、 ()，第 12 页，共 18 页 22 解得2 ()转化为一元二次不等式，求出实数 a 的取值范围，属于中档题13.【答案】() = (2)2+1【解析】解：由已知中函数的定义域为 R，值域为1, + )；而函数的图象关于 = 2对称且在区间(,0)上单调递减可得二次型函数() = (2)2+1( 0)满足要求令 = 1可得() = (2)2+1 故答案为：() = (2)2+1由已知中函数()满足下列性质：(1)定义域为 R，值域为1, + )；(2)图象关于 = 2对称；(3)函数在区间(,0)上单调递减，可得二次型函数() = (2)2+1( 0)满足要求，任取 a 值可得答案本题考查

13、的知识点是函数解析式的求解及常用方法， 其中熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键14.【答案】1,5【解析】解：当 (,12)时，() = (1+1)21 1,0)，当 12, + )时，() = ln( + 1) 2, + )，所以() 1, + )，所以只要() (,1即可，即(2)28 (,1，解得 1,5故答案为：1,5由分段函数的定义分别求各部分的函数值的取值范围，从而得到函数()的值域，从而第 13 页，共 18 页化为最值问题即可本题考查了分段函数的应用及配方法求最值的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题15.【答案】解：()因为函数() = ( 3) =3si

14、n2=322122=322 +12212= sin(2 +6)12，所以，()的最小正周期 =22= () 因为0 23，所以，6 2 +632， 1 sin(2 +6) 1，32 sin(2 +6)1212，所以，()的取值范围是(32,12.【解析】()利用三角函数的恒等变换化简函数()的解析式为sin(2 +6)12， 由此求得()的最小正周期()因为0 23，根据正弦函数的定义域和值域，求得()的取值范围本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题16.【答案】解：(1) 2= 2+ 2+，由余弦定理得2= 2+ 22 = 12，

15、 (0,)， =23-(4分) (2) + = 1， + sin(3) = 1，-(6分) + sin3cos3 = 1， sin3 + cos3 = 1， sin( +3) = 1-(8分) 又 为三角形内角，故 B = = 30所以 = = 2-(10分) 所以 =12 =3-(12分)第 14 页，共 18 页【解析】(1)利用条件结合余弦定理，可求 A 的大小；(2)利用和差的三角函数求出 = = 2，再利用三角形的面积公式可得结论本题考查余弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题17.【答案】解：(1) 是和 1 的等差中项， = 21(1分) 当 = 1时，

16、1=1= 211， 1= 1(2分) 当 2时，=1= (21)(211) = 221，= 21，即 1= 2(3分) 数列是以1= 1为首项，2 为公比的等比数列，= 21，= 21(5分) 设的公差为 d，1=1= 1，4= 1 + 3 = 7， = 2(7分) = 1 + (1) 2 = 21(8分) (2)=1 + 1=1(21)(2 + 1)=12(12112 + 1)(9分) =12(113+1315+ +12112 + 1) =12(112 + 1) =2 + 1(10分) ， =12(112 + 1) 0 数列是一个递增数列 (12分) 1=13.(13分) 综上所述，1312

17、(14分)【解析】(1)由题意可知，= 21，结合递推公式1=1， 2时，=1，可得1= 2，结合等比数列的通项公式可求由1=1= 1，4= 1 + 3 = 7，可求公差d，进而可求，(2)由=1 + 1=1(21)(2 + 1)=12(12112 + 1)，利用裂项求和可求，然后结合数列的单调性可证本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用， 数列的递推公式的应用及数列的裂项求和及数列的单调性在数列的最值求解中的应用18.【答案】解：()在区间(0, + )上，() = 1=1若 0，则() 0，令() = 0得 =1第 15 页，共 18 页在区间(0,1)上，() 0，函数()是增

18、函数；综上所述，当 0时，()的递减区间是(0, + )，无递增区间；当 0时，()的递增区间是(1, + )，递减区间是(0,1)()因为函数()在 = 1处取得极值，所以(1) = 0解得 = 1，经检验满足题意由已知() 2，则 + 1 令() = + 1= 1 +1，则() = 1212=2易得()在(0,2上递减，在2, + )上递增，所以()= (2) = 112，即 112【解析】对函数进行求导， 然后令导函数大于 0 求出 x 的范围， 令导函数小于 0 求出x 的范围，即可得到答案；由函数()在 = 1处取得极值求出 a 的值，再依据不等式恒成立时所取的条件，求出实数 b 的

19、取值范围即可本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系， 即当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值 掌握不等式恒成立时所取的条件19.【答案】解：(1) () = (23) +(23 + 3) = (1)，由() 0可得， 1或 0可得，0 1； ()在(,0)，(1, + )上递增，在(0,1)上递减，欲()在2,上为单调函数，则2 0； 的取值范围为(2,0(2)证明： ()在(,0)，(1, + )上递增，在(0,1)上递减， ()在 = 1处取得极小值 e，又 (2) = =132 2

20、时，(2) ()，即 4或2 1时，(2) () 0，则方程223(1)2= 0在(2,)上有且只有一解；当1 0，且() 0，又 (0) = 23(1)2 2，总存在0 (2,)，满足(0)0=23(1)2；当方程(0)0=23(1)2在(2,)上有唯一解时，t 的取值范围为(2,1 4, + )【解析】(1)求导得() = (23) +(23 + 3) = (1)， 从而可得()在(,0)，(1, + )上递增，在(0,1)上递减，从而确定 t 的取值范围；(2)借助(1)可知，()在 = 1处取得极小值 e，求出(2) = =132 ，则()在2, + )上的最小值为(2)，从而得证；(

21、3)化简(0)0= 200，从而将(0)0=23(1)2化为200=23(1)2，令() = 223第 17 页，共 18 页(1)2，则证明方程223(1)2= 0在(2,)上有解，并讨论解的个数；由二次函数的性质讨论即可本题考查了导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想应用，属于难题20.【答案】解：(1)由= 2 + 1可得为递增数列，所以= 1,2,1,2, =1= 2 + 13 = 22，故的前 n 项和为(0 + 22)2= (22) = (1)(2)因为1,2, 1,2, + 1，因为1,2, 1,2, + 1，所以1,2, + 11,2, + 1 1,2,1,2,，所以 +

22、 1，又因为=11= 0，所以1,2,1,2, =1=，所以的“收缩数列”仍是，(3)由1+2+ +=( + 1)21+(1)2( = 1,2,3,)，当 = 1时，1=1，成立；当 = 2时，21+2= 31+2，即2=21，所以21，当 = 3时，31+22+3= 61+33，即33= 2(21) + (31)，( )，若132，则3=21，所以由( )可得3=2与32矛盾，若312，则3=23，所以由( )可得32= 3(13)，所以32与13同号，这与3 1，21，经验证：左式 =1+2+ += 1+1 + 2 + + (1)2= 1+12(1)2，右式 =12( + 1)1+12(1

23、)=12( + 1)1+12(1)(21) = 1+12(1)2，下面证明其它数列都不满足(3)的题设条件：由上述 3的情况可知， 3，=1, = 12, 1，21成立，假设是首次不符合上述条件的项，则12=3= =1，由题设条件可得12(22)2+1=12(1)1+12(1)( )，第 18 页，共 18 页若12，则由( )可得=2与2矛盾，若12，则=2，所以由( )可得2=12(1)(1)，以2与1同号，这与 1，21【解析】(1)由新定义可得= 22，即可求出前 n 项和，(2)根据“收缩数列”的定义证明即可，(3)猜想：满足1+2+ +=( + 1)21+(1)2( = 1,2,3,)，为=1, = 12, 1，21，21，并用反证法证明即可本题考查了新定义和应用，考查了数列的求和和分类讨论的思想，以及反证法，属于难题