选修二4.1数列的概念（1）教学设计.docx

1、4.1数列的概念（1） 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习数列的概念与表示“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等。数列是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置。数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点。学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数

2、意义的概括和理解，是教学的难点.课程目标学科素养A.理解数列的有关概念与数列的表示方法.B.掌握数列的分类.C.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.D.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.1.数学抽象：数列的概念及表示、数列的分类 2.逻辑推理：求数列的通项公式 3.数学运算：运用数列通项公式求特定项 4.数学建模：数列的概念重点：数列的有关概念与数列的表示方法 难点：数列的函数特征多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 情景导学古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起

3、,可组成一个数列. 那么什么叫数列呢?二、问题探究1. 王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：75,87,96,103,110,116,120,128,138，145,153,158,160,162,163,165,168 记王芳第i岁的身高为 hi，那么h1=75, h2=87,，h17=168.我们发现hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即h1=75是排在第1位的数，h2=87是排在第2位的数，h17 =168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置，所以具有确定顺序的一列数。2. 在两河流域发掘的一块泥板（编号K90

4、，约生产于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天，每天月亮可见部分的数：5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240. 记第i天月亮可见部分的数为 si, 那么s1=5, s2=10,，s15=240.这里，si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从115顺序排列时的确定位置，即s1=5是排在第1位的数，s2=10是排在第2位的数 s15=240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置，所以，也是具有确定顺序的一列数。3. -12的n次幂按1次幂， 2次幂, 3次幂, 4次幂依次排成一列数：- 12， 14，- 18

5、， 116 思考：你能仿照上面的叙述，说明也是具有确定顺序的一列数吗？一、数列1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.3.表示:数列的一般形式是a1,a2,an,简记为an.点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,与3,2,1就是不同的数列.(2)符号an和an是不

6、同的概念,an表示一个数列,而an表示数列中的第n项.二、数列的分类 类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列三、数列与函数 数列an是从正整数集N*(或它的有限子集1,2，n)到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为anf(n)另一方面，对于函数yf(x)，如果f(n)(nN*)有意义，那么 构成了一个数列f(n)f(1)，f(2)，f(n)，

7、 1. 下列叙述正确的是()A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类B.数列中的数由它的位置序号唯一确定C.数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7D.同一个数在数列中不可能重复出现解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合1,3,5,7是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.答案:B四、数列的通项公式 如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个

8、式子叫做这个数列的通项公式.点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)1,2,n为定义域的函数表达式.(2)并不是所有的数列都有通项公式.(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,1,的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos n等.1.若数列an的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10=,224是该数列的第项.解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.答案:9915三、典例解析例1. 根据下列数列an的通项公式，写出数列的前

9、5项,并画出它们的图像.（1） an=n2+n2; （2） an=cos(n-1)2解:（1）当通项公式中的n=1，2，3，4，5时，数列an的前5项依次为1,3,6,10,15如图所示(1)（2）当通项公式中的n=1，2，3，4，5时，数列 an的前5项依次为1,0,-1,0,1如图所示(2)例2. 根据数列的前4项,写出下列数列的一个通项公式:(1)12,2,92,8,252,;(2)1,-3,5,-7,9,;(3)9,99,999,9 999,;(4)22-11,32-23,42-35,52-47,;(5)-112,123,-134,145,;(6)4,0,4,0,4,0,.解:(1)数

10、列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,12,42,92,162,252,所以,它的一个通项公式为an=n22.(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子

11、的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通项公式为an=(n+1)2-n2n-1=n2+n+12n-1.(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n1n(n+1).(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=4,n为奇数,0,n为偶数.又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,因此其通项公式又可表示为an=2+2(-1)n+1.根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(

12、2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.2.常见数列的通项公式(1)数列-1,1,-1,1,的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)数列1,2,3,4,的一个通项公式是an=n.(3)数列1,3,5,7,的一个通项公式是an=2n-1.(4)数列2,4,6,8,的一个通项公式是an=2n.(5)数列1,2,4,8,的一个通项公式是an=2n-1.(6)数

13、列1,4,9,16,的一个通项公式是an=n2.(7)数列1,3,6,10,的一个通项公式是an=n(n+1)2.(8)数列1,12,13,14,的一个通项公式是an=1n.跟踪训练1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(1)1,13,15,17; (2)212,414,618,8116;(3)3,5,9,17; (4)23,415,635,863;(5)7,77,777,7 777.解:(1)an=12n-1;(2)an=2n+12n;(3)an=2n+1;(4)an=2n(2n)2-1;(5)an=79(10n-1).例3 (1)已知数列an满足an=n2-5n-6,

14、nN*.数列中有哪些项是负数?当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.(2)已知数列an的通项公式an=(n+1)1011n(nN*),试问数列an有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.分析:(1)根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;根据二次函数的性质即可求出.(2)数列an的通项计算an+1-an确定单调性求解最大(小)项(1)解:an=n2-5n-60,解得0n6.nN*,数列中第1,2,3,4,5项为负数,即-10,-12,-12,-10,-6.an=n2-5n-6=n-522-494,当n=2,3时,an取得最小值,最小值为-12.(2)解

15、法一:an+1-an=(n+2)1011n+1-(n+1)1011n=1011n9-n11,当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an.故a1a2a3a11a12,数列中有最大项,最大项为第9,10项,即a9=a10=1010119.解法二:设ak是数列an的最大项, 则akak-1,akak+1,即(k+1)1011kk1011k-1,(k+1)1011k(k+2)1011k+1,整理,得10k+1011k,11k+1110k+20,得9k10,所以k=9或k=10.又a1=20111)找到数列的最大项;利用不等式组a

16、n-1an,anan+1(n1)找到数列的最小项.变式探究：在本例(2)中,若已知数列的通项公式an=1n+398n,nN*,试求该数列an的最小项.解:设第n项an最小,则anan-1,anan+1,即1n+398n1n+298n-1,1n+398n1n+498n+1,解得n6,n5,所以5n6,所以n=5或n=6.又a1=932a5=a6,即a5与a6都是数列的最小项,且a5=a6=9586.通过古诗及生活中的情景，引导学生运用数学眼光，分析问题，进行数学分析。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 通过具体问题的思考和分析，帮助学生观察、分析、归纳总结出数列的概念。发展学生数学

17、抽象和数学建模的核心素养。通过数列概念的解读，并与集合、函数概念的比较，深化对数列概念的理解。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。 通过典型例题，加深学生对数列概念的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题，帮助灵活运用数列的概念解决问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.下列各项表示数列的是()A.,B.2 008,2 009,2 010,2 017C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形D.a+b,a-b,ab,a解析:数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.答案:B

18、2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是()A.1,2,3,20B.-1,-2,-3,-n,C.1,2,3,2,5,6,D.-1,0,1,2,100,解析:由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.答案:D3. 观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有小圆圈.分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.解析:观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,12+1,23+1,34+1,45+1,故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.答案:n2-n+14.已知数列an的通项公式为an=log3(2n+1),则a3=.解

19、析:观察可得数列的一个通项公式是an=4n-1,而53=75=419-1,所以53是该数列的第19项.答案:19 5.已知数列3,7,11,15,则53是该数列的第项.解析:an=log3(2n+1),a3=log3(23+1)=log39=2.答案:26.在数列an中,已知an=n2+n-13(nN*).(1)写出a10,an+1.(2)7923是不是该数列中的项?如果是,是第几项?解:(1)a10=102+10-13=1093;an+1=(n+1)2+(n+1)-13=n2+3n+13.(2)令an=n2+n-13=7923,解得n=15(n=-16舍去),所以7923是该数列中的项,并且

20、是第15项.7.已知数列an的通项公式an=kn2n+3(kR).(1)当k=1时,判断数列an的单调性;(2)若数列an是递减数列,求实数k的取值范围.分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;对于(2),可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.解:(1)当k=1时,an=n2n+3,所以an+1=n+12n+5,所以an+1-an=n+12n+5-n2n+3=3(2n+5)(2n+3)0,故数列an是递增数列.(2)若数列an是递减数列,则an+1-an0恒成立,即an+1-an=kn+

21、k2n+5-kn2n+3=3k(2n+5)(2n+3)0,所以必有3k0,故k0.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结数列的概念与表示数列的定义数列的表示数列的分类数列的函数特征数列的通项公式五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。学生学习了集合、函数的概念和性质等基本知识，初步掌握了函数的研究方法，在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面，有了一定的基础.况且，数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.