2022年5月福州市高中毕业班质量检测数学试卷（答案）.doc

1、2 0 2 2 年 5 月 福 州 市 高 中 毕 业 班 质 量 检 测数学参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分1B 2A 3A 4D5C 6D

2、 7A 8C二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分9ABD 10AC 11AC 12BCD三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 3 +1 14 5 150.52 16 2四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17. 【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列的概念、通项公式，数列求和等基础知识考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养有数学抽象、数学运算、逻辑推理等，体现基础性，综合性满分 10 分【解答】解法一：选作条件证明设等差数列ln a 的公差是 d ，则 d = lna2 - lna1，1 分n因为 a2 = 2a1

3、 ，d所以a= 2 = ，ln ln2a1所以 lnan - lnan-1 = ln2， n2 ， 3 分高二数学参考答案（第 1 页 共 15 页）所以ana -n 1= ， n2 ， 4 分2所以 a 是首项为 a1 ，公比为 2 的等比数列，5 分n- n所以 1(1 2 )aS =n1- 2，6 分S = a12 - a1 ，即n所以nS + a = a n 7 分n1 12设 bn = Sn + a1 ，则bnb -n 1= 2 ， n2 ，8 分又 b1 = 2a1 0， 9 分所以 S + a 是首项是 2a ，公比为 2 的等比数列 10 分n 1 1解法二：选作条件证明设等比

4、数列 S + a 的公比是 q （ q 0 ），n 1q所以=S + a2 1S + a1 1， 1 分q所以2a + a= ，1 22a1因为 a2 = 2a1 ，所以 q = 2 ， 3 分又因为 S1 + a1 = 2a1 ，所以数列 S + a 的通项公式为 1S + a = a n- = a n ， 4 分 n 1n1 2 1 2 1 2所以 Sn =a n - a 5 分 1 2 1a n - a 5 分当 n2 时， a = S - S = a - a -1 = a -1 ，6 分n n n n n n-1 12 12 12又当 n = 1时， 1 1a = a - ，符合上式，

5、 7 分1 12所以 a = a -1 nN 8 分 nn12 ,所以 ln + - ln = ln( 2n ) - ln( 2n 1) = ln2， 9 分a a a a -n 1 n 1 1所以ln a 是等差数列 10 分n解法三：选作条件证明因为数列ln a 是等差数列，则 lnan - lnan-1 为常数， n2 ， 1 分n高二数学参考答案（第 2 页 共 15 页）aln n所以a -n 1为常数， n2 ，即ana -n 1为常数， n2 ，3 分令a2a1= ，q(q 0)所以a 为首项为 a1 ，公比为 q 的等比数列，4 分n此时 1a = a qn- 5 分n 1因为

6、数列 S + a 是等比数列，n 1所以 (S + a )2 = (S + a )(S + a ) ，6 分2 1 1 1 3 1故a (2 + q)2 = 2a a (2 + q + q2)，7 分1 1 1即 (2 + q)2 = 2(2 + q + q2) ， 8 分化简得 q2 - 2q = 0 ，因为 q 0 ，解得 q = 2 ，9 分所以a2a1= 2 ，即a = a 10 分2 2 118. 【命题意图】本小题主要考查独立性检验、独立事件、随机变量的数学期望、二项分布等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想，涉及的核心素养有数学抽象、逻辑推理、数

7、学建模、数学运算、数据分析等，体现综合性、应用性满分 12 分【解答】（1）设男性患者有 x 人，则女性患者有 2x 人， 2 2 列联表如下：A 型病 B 型病 合计男5x6x6x女2x 4x3 32x合计3x 3x2 23x高二数学参考答案（第 3 页 共 15 页）2 分假设 H0 :患者所患疾病类型与性别之间无关联，根据列联表中的数据，经计算得到K22 - 5x 4x x 2x3x 6 3 6 3 2x= =3x 3x 2 3 x x2 2， 4 分要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则2x ，解得 x 11.8185 ， 5 分7.8793因

8、为x Z，6x Z，所以 x 的最小整数值为12，3因此，男性患者至少有12人.6 分（2）设该试验每人的接种费用为x 元，则x 的可能取值为 3m ，6m . 7 分P x = 3m = C p 1- p + p = -2p + 3p ， 8 分 则 ( ) ( ) 2 2 3 3 23P x = 6m =1+ 2p -3p ， 9 分( )3 2所以 ( ) ( ) ( ) ( )E x = 3m -2p + 3p + 6m 1+ 2p - 3p = 3m 2p - 3p + 2 ， 10 分3 2 3 2 3 2因为2p = ，试验人数为 1000 人，3所以该试验用于接种疫苗的总费用为

9、1000E(x) , 11 分 3 22 2 340001000 3m 2 3 2 m - + =即 3 3 9 元 12 分19. 【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；涉及的核心素养有直观想象、逻辑推理、数学运算等，体现基础性、综合性满分 12分【解答】（1）因为在图 1 中 DE AB ，沿着 DE 将ADE 折起，所以在图 2 中有 DE AE ， DE BE ， 1 分又 AE ，所以 DE 平面 ABE ， 3 分又因为 DE 平面 BCDE ，所以平面 ABE 平面 B

10、CDE ； 5 分高二数学参考答案（第 4 页 共 15 页）（2）由（1）知， DE AE ， DE BE ，所以 AEB 是二面角 A - DE - B 的平面角，所以 AEB = 60 ， 6 分又因为 AE = BE ，所以 ABE 是等边三角形，连接 CE ，在图 1 中，因为 C = 90 ， BC = 3 ， AC = 3 ，所以 EBC = 60， AB = 2 3 ，因为 E 是 AB 的中点，所以 BE = BC = 3 ，所以BCE 是等边三角形 7 分取 BE 的中点O ，连接 AO,CO ，则 AO BE ，CO BE ，因为平面 ABE 平面 BCDE ，平面 AB

11、E 平面 BCDE = BE ，所以 AO 平面 BCDE ，所以OB,OC,OA 两两垂直，以 O 为原点，OB,OC,OA 为 x, y, z 轴建系，如图所示 8 分3 3 3 3A ( ,0,0) C ( ,1, 0) ， ，(0,0, )B (0, , 0) D - ，2 22 2所以 ( 3 ,0, 3) AB = - ，2 23 3AD = (- ,1,- ) 9 分2 2 3 3AC = (0, ,- ) ， 2 2zAOED设平面 ABC 的法向量为 n = (x, y, z) ，xB Cy n则 n AC =0,3 3x - z = 0,2 2即 - =3 3y z 0.2

12、 2取 z =1，得平面 ABC 的一个法向量为 n = ( 3,1,1)， 10 分高二数学参考答案（第 5 页 共 15 页）3 3) 3 +11+ (- )1 5n2 2所以 = -cos , = 5 2 5n AD 11 分设直线 AD 与平面 ABC 所成角为q ，则 sin 5 q = 12 分520. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想，涉及的核心素养有直观想象、逻辑推理、数学运算等，体现基础性、综合性满分 12 分【解答】（1）在CDB 中，因为 CDAB，所以sinBCD= ，1 分a又因为si

13、nC = 2sin Asin B ，所以sinCsin A= B , 2 分2sin则sinC CD= 2 3 分sin A a在ABC 中，根据正弦定理，得sinC c= ， 4 分sin A a = ，即 1CD c所以 2 CD = c 5 分a a 21 1（2）在ABC 中， SD = CACBsinC = ABCD ， 6 分ABC2 21又由（1）知，CD = c ，2所以 c2 = 2absinC ，7 分在ABC 中，根据余弦定理，得 c2 = a2 +b2 -2abcosC ， 8 分又由已知， a2 + b2 = 6ab ，得 2absinC = 6ab - 2abcos

14、C ， 9 分所以sin cos 6C + C = ， 10 分2所以 2 sin( ) 6 3C + = ，即sin(C + ) = ，4 2 4 2 5 C + = ，或 2C + ( , ) ，所以 C + = ， 因为4 4 4 4 3 4 3高二数学参考答案（第 6 页 共 15 页） 5即 C = ，或C = 12 分12 1221. 【命题意图】本小题主要考查直线与椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想，涉及的核心素养有直观想象、数学抽象、数学运算，逻辑推理等，体现基础性，综合性满分 12 分【

15、解答】解法一：（1）设 P(x, y) ，P 到直线 x = 2 的距离记为 d，d则 = 2 ， 2 分 | PC |d即 G = | = 2，P| PC |依题意得 2 - x = 2 (x -1)2 + y2 ，3 分化简得 x2 + 2y2 = 2 ，即2x2+ 2 =1 5 分 y+ 2 =1 5 分（2）设直线l : x = my + t ， t 1，M(x , y ) ， N(x2 , y2 ) ，1 1 = + ,x my t由 2 得 (m2 + 2)y2 + 2mty + t2 - 2 = 0， 6 分x + 2 =y 1 2则 D = (2mt)2 - 4(m2 + 2)

16、(t2 - 2) = 8(m2 + 2 -t2) 0 ，yM所以 m2 + 2 t2 ， 7 分2mty + y = -1 2 2m + 2，t 2 2 -2 -y y =1 2 2m + 2 8 分OCNT2x因为 MCO = xCN ，所以 kCM + kCN = 0 ，所以y y1 + 2 =x -1 x -11 20，所以 x2 y1 + x1y2 = y1 + y2 ， 9 分所以 2my1 y2 + (t -1)(y1 + y2 ) = 0 ，所以2m(t - 2) + - (-2mt) =2(t 1) 0m 2 m 2 2 + 2 +，所以t = 2 ，直线l 经过定点T(2,0

17、) 10 分高二数学参考答案（第 7 页 共 15 页）因为 CMN 面积S =121CT y - y = y - y ，1 2 1 22所以S2 m 2 t m 2 4 1 2 + - 2 2 - -2 + - 2 2 - -= = 2 = 2 +m + 2 m + 2 (m + 2) m + 22 2 2 2 2， 11 分所以当1 1=m 2 82 +即 m = 6 时， S 有最大值为24 12 分解法二：（1）同解法一 5 分（2）设直线l : x = my + t ， t 1，M(x , y ) ， N(x2 , y2 ) ，1 1 = +x my t,由 2 得 (m2 + 2)

18、y2 + 2mty + t2 - 2 = 0， 6 分x + 2 =y 1 2则 D = (2mt)2 - 4(m2 + 2)(t2 - 2) = 8(m2 + 2 -t2) 0 ，y所以 m2 + 2 t2 ，7 分MN2mty + y = -1 2 2m + 2，t 2 2 -2 -y y =1 2 2m + 2，8 分O C x作 M 点关于 x 轴的对称点 M x -y ， M( , )1 1因为 OCM = xCN ，所以 OCM = xCN ，所以 OCM + OCN =180 ，所以 M,C,N 三点共线，所以CM / /CN ， CM = x - -y ， CN = x - y

19、 ，因为 ( 1, ) ( 1, )1 1 2 2所以 (x1 -1)y2 - (-y1)(x2 -1) = 0， 9 分即 x2 y1 + x1y2 = y1 + y2 ，所以 2my1 y2 + (t -1)(y1 + y2 ) = 0 ，所以2m(t 2) ( 2mt) 2 - + - - =2 - + - - =(t 1) 0m + 2 m + 22 2，所以t = 2 ，直线l 经过定点T(2,0) ， 10 分因为 CMN 面积S =121CT y - y = y - y ，1 2 1 22所以S2 + 2 - - 2m t m2 2 2= =2m + 2 m + 22 2， 11

20、 分高二数学参考答案（第 8 页 共 15 页）设 m2 - 2 = u ，则 m2 = u2 + 2 ，所以 S u 1 2= 2 = 22 + + 42 + +4 4u uu当 u = 2 ，即 m = 6 时， S 有最大值为 24 12 分解法三：（1）同解法一 5 分（2）作 M 点关于 x 轴的对称点 M ，连接 MM 与 x 轴交于点 A，作 N 点关于 x 轴的对称点 N ，连接 NN 与 x 轴交于点 B，如图所示因为 OCM = xCN ，所以 OCM = xCN ，所以 OCM + OCN =180 ，所以 M,C,N 三点共线，所以 AM C = BNC ，所以 MM

21、，所以四边形 MABN 是梯形， 6 分设直线 M N : x = my +1，M x y ，( , )1 1N(x , y ) ，2 2x = my +1,由 2 得 (m2 + 2)y2 + 2my -1= 0， 7 分x+ 2 = y 1 2则 D = (2m)2 + 4(m2 + 2) = 8m2 +8 0，8 分yM2my + y = -1 2 2m +21y y = -， 1 2 2m +2，9 分N所以 CMN 面积 S = S MABN - S MAC - S NBC梯形 A O CBNx1 1 1S = y - y x - x - x -1 y - x -1 y即 2 1 2

22、 1 1 1 2 22 2 2M 10 分1 1 1= x y - x y - x y + x y - x y - y - x y - y2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 22 2 21 2x y - x y - x y + x y - (x y - y ) - (x y - y )2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 21= -x y - x y + y + y2 1 1 2 1 221= -(my +1)y - (my +1)y + y + y2 1 1 2 1 22高二数学参考答案（第 9 页 共 15 页）= -my y 11 分1 2(x - x )(

23、y - y ) ， (x -1)y ， (x -1)y 同号时等号成立） （当且仅当2 1 2 1 1 1 2 2所以Sm1 1 2 ，= =2+ + 2 4m m2 2 2m当且仅当 m = 2 时等号成立且当 m = 2 时，(x - x )(y - y ) 0 ， (x -1)y 0 ， (x -1)y 0 ，2 1 2 1 1 1 2 2所以 CMN 面积的最大值为24 12 分22. 【命题意图】本小题主要考查函数的单调性、导数、导数的几何意义及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查分类与整合思想、数形结合思想、一般与特殊思想，涉及的核心素养有直观

24、想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理等，体现综合性与创新性满分 12 分【解答】解法一：（1）依题意得： f (x) = (x +1)ex-1， 1 分所以 f (-1) = 0 又因为1f (-1) = - + a ，2e所以 f (x) 在 x = -1处的切线方程为1y = - + a ， 2 分2e1因为曲线 y = f (x) 在 x = -1处的切线与 y 轴交于点 - ，(0, e )e21 1- + = - ， 3 分a e 所以2 2e e解得 a = e 4 分（2）由（1）知 f (x) = xex-1 + e ，则不等式可化为 xex-1 -b(x -1) + e0，设

25、g(x) = xex-1 -b(x -1) + e ，则 g(x) = (x +1)ex-1 -b， 5 分设j(x) = g(x) ，则j(x) = (x + 2)ex-1 ，高二数学参考答案（第 10 页 共 15 页）因为 x-2,+) ，所以j(x) 0 ，所以j(x) 在-2,+)单调递增，即 g(x) 在-2,+)单调递增，所以 3g x = g - = - - -b，6 分( ) ( 2) emin若b- e-3 ，则 g(x)g(-2)0 ，所以 g(x) 在-2,+)单调递增，所以 3g x = g - = - - + b + ，( ) ( 2) 2e 3 e 0min3- - 2e e解得b ，3所以2e - e-3-3b-e ； 7 分3若b - e-3 ，则 g(x)min = g(-2) 0 ,因为 g(x) 在-2,+)单调递增，当 -e-3 ，(0) 0e则存在 x(-2, 0) 使得 g(x) = 0 ，当 b 0 时，取 n = max0,lnb +1，则 g(n) 0 ，所以存在 x1 (-2,n) ，使得 g(x1) = 0，综上，当b - e-3 时，存在 x0 (-2,+) ，使得 g(x0 ) = 0，即 (x +1)ex0 -1 -b = 0 ，0故当 -2 x x0 时， g