2022年5月福州市高中毕业班质量检测数学试卷（答案）.pdf

1、高二数学参考答案（第 1 页 共 15 页） 2022 年 5 月 福 州 市 高 中 毕 业 班 质 量 检 测 数学参考答案及评分细则 评分说明： 1 本解答给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解答不同， 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2 对计算题， 当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。 一、单项选择题：本题共一、单

2、项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1B 2A 3A 4D 5C 6D 7A 8C 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 9ABD 10AC 11AC 12BCD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分分 1331 145 150.52 162 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17. 【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列的概念、通项公式，数列求和等基础知识考查运算求解能力，考查

3、化归与转化思想，涉及的核心素养有数学抽象、数学运算、逻辑推理等，体现基础性，综合性满分 10 分 【解答】解法一：选作条件证明 设等差数列lnna的公差是d，则21lnlndaa， 1 分 因为212aa， 所以21lnln2ada， 所以1lnlnln2nnaa，2n， 3 分 高二数学参考答案（第 2 页 共 15 页） 所以12nnaa，2n， 4 分 所以 na是首项为1a，公比为2的等比数列， 5 分 所以1(12 )12nnaS， 6 分 所以112nnSaa，即112nnSaa 7 分 设1nnbSa，则12nnbb，2n， 8 分 又1120ba， 9 分 所以1nSa是首项是

4、12a，公比为2的等比数列 10 分 解法二：选作条件证明 设等比数列1nSa的公比是q（0q ） ， 所以2111SaqSa， 1 分 所以12122aaqa， 因为212aa，所以2q ， 3 分 又因为1112Saa， 所以数列1nSa的通项公式为1111222nnnSaaa， 4 分 所以nS 112naa 5 分 当2n时，111111222nnnnnnaSSaaa， 6 分 又当1n 时，1 1112aa，符合上式， 7 分 所以112,nnaanN 8 分 所以1111lnlnln(2 )ln(2)ln2nnnnaaaa， 9 分 所以lnna是等差数列 10 分 解法三：选作条

5、件证明 因为数列lnna是等差数列，则1lnlnnnaa为常数，2n， 1 分 高二数学参考答案（第 3 页 共 15 页） 所以1lnnnaa为常数，2n， 即1nnaa为常数，2n， 3 分 令21(0)aq qa， 所以 na为首项为1a，公比为q的等比数列， 4 分 此时11nnaa q 5 分 因为数列1nSa是等比数列， 所以2211131()()()SaSaSa， 6 分 故22111 (2)2 (2)aqaaqq， 7 分 即22(2)2(2)qqq， 8 分 化简得220qq， 因为0q ，解得2q ， 9 分 所以212aa，即212aa 10 分 18. 【命题意图】本小

6、题主要考查独立性检验、独立事件、随机变量的数学期望、二项分布等基础知识， 考查数据处理能力、 运算求解能力、 应用意识， 考查统计与概率思想，涉及的核心素养有数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等，体现综合性、应用性满分 12 分 【解答】 （1）设男性患者有x人，则女性患者有2x人，22列联表如下： A 型病 B 型病 合计 男 56x 6x 女 23x 43x 2x 合计 32x 32x 3x x高二数学参考答案（第 4 页 共 15 页） 2 分 假设0:H患者所患疾病类型与性别之间无关联，根据列联表中的数据，经计算得到 22542326363333222xxxxxxKxxx

7、 x， 4 分 要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关， 则27.8793x，解得11.8185x ， 5 分 因为6xZ，3xZ，所以x的最小整数值为12， 因此，男性患者至少有12人. 6 分 （2）设该试验每人的接种费用为元，则的可能取值为3m，6m. 7 分 则2233233C123Pmppppp， 8 分 3261 23Pmpp ， 9 分 所以 32323232361233232Emppmppmpp ， 10 分 因为23p ，试验人数为 1000 人， 所以该试验用于接种疫苗的总费用为1000 ( )E, 11 分 即322234000100

8、0 3232339mm 元 12 分 19. 【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识； 考查空间想象能力、 推理论证能力； 考查化归与转化思想、 函数与方程思想；涉及的核心素养有直观想象、逻辑推理、数学运算等，体现基础性、综合性满分 12分 【解答】 （1）因为在图 1 中DEAB，沿着DE将ADE折起， 所以在图 2 中有DEAE，DEBE， 1 分 又AEBEE， 所以DE 平面ABE， 3 分 又因为DE 平面BCDE， 所以平面ABE平面BCDE； 5 分 高二数学参考答案（第 5 页 共 15 页） （2）由（1）知，DEAE，DEBE， 所

9、以AEB是二面角ADEB的平面角， 所以60AEB， 6 分 又因为AEBE， 所以ABE是等边三角形， 连接CE， 在图 1 中，因为90C，3BC ，3AC ， 所以60EBC，2 3AB ， 因为E是AB的中点， 所以3BEBC， 所以BCE是等边三角形 7 分 取BE的中点O，连接,AO CO， 则AOBE，COBE， 因为平面ABE平面BCDE，平面ABE平面BCDEBE， 所以AO 平面BCDE， 所以,OB OC OA两两垂直， 以O为原点，,OB OC OA为, ,x y z轴建系，如图所示 8 分 3(0,0, )2A，3(,0,0)2B，3(0,0)2C，3(,1,0)2D

10、 所以33(,0,)22AB ，33(0,)22AC ， 33(,1,)22AD 9 分 设平面ABC的法向量为( , , )x y zn， 则0,0,ABACnn 即330,22330.22xzyz 取1z ，得平面ABC的一个法向量为( 3,1,1)n， 10 分 zyxOADEBC高二数学参考答案（第 6 页 共 15 页） 所以33()31 1() 1522cos,=552ADADAD nnn 11 分 设直线AD与平面ABC所成角为，则5sin5 12 分 20. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想，涉

11、及的核心素养有直观想象、逻辑推理、数学运算等，体现基础性、综合性满分 12 分 【解答】 （1）在CDB 中，因为 CDAB， 所以sinCDBa， 1 分 又因为sin2sinsinCAB， 所以sin2sinsinCBA, 2 分 则sin2sinCCDAa 3 分 在ABC 中，根据正弦定理，得sinsinCcAa， 4 分 所以2CDcaa，即12CDc 5 分 （2）在ABC 中，11sin22ABCSCA CBCAB CD， 6 分 又由（1）知，12CDc， 所以22sincabC， 7 分 在ABC 中，根据余弦定理，得2222coscababC， 8 分 又由已知，226ab

12、ab，得2sin62cosabCababC， 9 分 所以6sincos2CC， 10 分 所以62sin()42C ，即3sin()42C ， 因为 5(,)444C ，所以43C ，或243C ， 高二数学参考答案（第 7 页 共 15 页） 即12C ，或512C 12 分 21. 【命题意图】 本小题主要考查直线与椭圆的方程、 直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想，涉及的核心素养有直观想象、数学抽象、数学运算，逻辑推理等，体现基础性，综合性满分 12 分 【解答】解法一： （1）设( , )P x y，P 到直

13、线2x 的距离记为 d， 则2|dPC， 2 分 即|2|dPPC， 依题意得2222 (1)xxy， 3 分 化简得2222xy，即2212xy 5 分 （2）设直线: l xmyt，1t ，11( ,)M x y，22(,)N xy， 由22,12xmytxy得222(2)220mymtyt， 6 分 则22222(2)4(2)(2)8(2)0mtmtmt， 所以222mt， 7 分 12222mtyym ，212222ty ym 8 分 因为MCOxCN ，所以0CMCNkk， 所以1212011yyxx，所以2 11 212x yx yyy， 9 分 所以1 2122(1)()0my

14、ytyy， 所以2222 (2)( 2)(1)022m tmttmm， 所以2t ，直线l经过定点(2,0)T 10 分 2TNMCyxO高二数学参考答案（第 8 页 共 15 页） 因为CMN面积12S 121212CT yyyy， 所以222222222224122+22(2)2mtmSmmmm， 11 分 所以当21182m即6m 时，S有最大值为24 12 分 解法二： （1）同解法一 5 分 （2）设直线: l xmyt，1t ，11( ,)M x y，22(,)N xy， 由22,12xmytxy得222(2)220mymtyt， 6 分 则22222(2)4(2)(2)8(2)0

15、mtmtmt， 所以222mt， 7 分 12222mtyym ，212222ty ym， 8 分 作M点关于x轴的对称点， 因为OCMxCN ， 所以OCMxCN ，所以180OCMOCN， 所以, ,M C N三点共线，所以/ /CMCN， 因为11(1,)CMxy ，22(1,)CNxy， 所以1212(1)()(1)0 xyyx ， 9 分 即2 11 212x yx yyy， 所以1 2122(1)()0my ytyy， 所以2222 (2)( 2)(1)022m tmttmm， 所以2t ，直线l经过定点(2,0)T， 10 分 因为CMN面积12S 121212CT yyyy，

16、所以22222222222mtmSmm， 11 分 11( ,)M xyMOxyCMN高二数学参考答案（第 9 页 共 15 页） 设22mu，则222mu， 所以21222444uSuuu 当2u ，即6m 时，S有最大值为24 12 分 解法三： （1）同解法一 5 分 （2）作M点关于x轴的对称点M，连接MM与x轴交于点 A， 作 N 点关于x轴的对称点N，连接NN与x轴交于点 B，如图所示 因为OCMxCN ，所以OCMxCN ， 所以180OCMOCN，所以, ,M C N三点共线， 所以AM CBNC ，所以MMNN， 所以四边形MABN是梯形， 6 分 设直线:1M N xmy，

17、11( ,)M x y，22(,)N xy， 由221,12xmyxy得22(2)210mymy ， 7 分 则222(2 )4(2)880mmm ， 8 分 12222myym ，12212y ym ， 9 分 所以CMN面积MACNBCMABNSSSS梯形 即2121112211111222Syyxxxyxy 10 分 221 22 11 11 11222111222x yx yx yx yx yyx yy 221 22 11 11 112221()()2x yx yx yx yx yyx yy 2 11 21212x yx yyy 2112121(1)(1)2myymyyyy NBANM

18、CyxOM高二数学参考答案（第 10 页 共 15 页） 1 2my y 11 分 （当且仅当2121()()xxyy，11(1)xy，22(1)xy同号时等号成立） 所以21122422 2mSmmm， 当且仅当2m 时等号成立 且当2m 时， 2121()()xxyy0，11(1)xy0，22(1)xy0， 所以CMN面积的最大值为24 12 分 22. 【命题意图】本小题主要考查函数的单调性、导数、导数的几何意义及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查分类与整合思想、数形结合思想、一般与特殊思想，涉及的核心素养有直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理等

19、，体现综合性与创新性满分 12 分 【解答】解法一： （1）依题意得：1( )(1)exfxx， 1 分 所以( 1)0f 又因为21( 1)efa ， 所以( )f x在1x 处的切线方程为21eya ， 2 分 因为曲线( )yf x在1x 处的切线与y轴交于点21(0,e)e， 所以2211eeea， 3 分 解得ea 4 分 （2）由（1）知1( )eexf xx，则不等式可化为1e(1)e0 xxb x ， 设1( )e(1)exg xxb x， 则1( )(1)exg xxb， 5 分 设( )( )xg x，则1( )(2)exxx， 高二数学参考答案（第 11 页 共 15 页

20、） 因为 2,)x ，所以( )0 x， 所以( )x在 2,)单调递增，即( )g x在 2,)单调递增， 所以3min( )( 2)eg xgb， 6 分 若3eb，则( )( 2)0g xg ， 所以( )g x在 2,)单调递增， 所以3min( )( 2)2e3e 0g xgb ， 解得32ee3b， 所以332eee3b -； 7 分 若3eb ，则min( )( 2)0g xg, 因为( )g x在 2,)单调递增， 当3e0b 时，1(0)0egb， 则存在( 2,0)x 使得( )0g x， 当0b 时，取max 0,ln1nb，则( )0g n ， 所以存在1( 2, )x

21、n ，使得1( )0g x， 综上，当3eb 时，存在0( 2,)x ，使得0()0g x，即010(1)e0 xxb， 故当02xx 时，( )0g x， 则( )g x在0( 2,)x单调递减， 当0 xx时，( )0g x， 则( )g x在0(,)x 单调递增， 所以01min000( )()e(1)e 0 xg xg xxb x （*） 8 分 由010(1)e0 xxb，得010(1)exbx， 代入（*）得000111200000e(1)e(1)e(1)ee 0 xxxxxxxx ， 设21( )(1)e+exF xxx， 则( )F x211(2)e(2)(1)exxxxxx，

22、 9 分 高二数学参考答案（第 12 页 共 15 页） 因为2x，所以由( )0F x得1x ， 当21x 时，( )0F x， 所以( )F x在( 2,1)上单调递增， 当1x 时，( )0F x， 所以( )F x在(1,)单调递减， 又因为3( 2)ee0F ，(1)1e0F ，(2)0F， 所以当2x 时，( )0F x ， 所以满足01200(1)ee 0 xxx 的0 x的取值范围是022x ， 10 分 又因为010(1)exbx， 设1( )(1)exH xx ，则1( )(2)e0 xH xx， 所以( )H x在( 2,)单调递增， 所以3e3eb ， 综上所述32ee

23、3e3b ， 11 分 又因为32ee103 ，83e9， 所以0,8mM，所以8Mm 12 分 解法二： （1）同解法一； 4 分 （2）由（1）知：1( )eexf xx，则1e(1)e0 xxb x ， 当1x 时，左边等于1e0 恒成立，此时bR； 5 分 当1x 时，原不等式可化为1ee1xxbx对任意(1,)x恒成立 设1ee( )1xxh xx，则212(1)ee( )(1)xxxh xx 6 分 设21( )(1)eexk xxx，则211( )(2)e(2)(1)exxk xxxxx 因为1x ，所以( )0k x， 所以( )k x在(1,)上单调递增 又因为(2)(2)0

24、hk， 高二数学参考答案（第 13 页 共 15 页） 所以2x 是( )h x在(1,)上的唯一零点， 7 分 所以当12x时，( )0h x，( )h x在(1,2)上单调递减， 当2x 时，( )0h x，( )h x在(2,)上单调递增， 所以min( )(2)3eh xh， 8 分 所以3eb 9 分 当21x时，原不等式可化为1ee1xxbx， 此时对于中函数( )k x的导函数211( )(2)e(2)(1)exxk xxxxx， 可知当21x时，( )0k x， 所以( )k x在21x单调递减，且3( 2)5ee0k， 10 分 所以当21x时，( )( 2)0k xk， 所

25、以当21x时，( )0h x， 所以( )h x在 2,1)上单调递减， 所以3max2ee( )( 2)3h xh， 所以32ee3b， 综上所述32ee3e3b ， 11 分 又因为32ee103 ，83e9， 所以0,8mM，所以8Mm 12 分 解法三： （1）同解法一； 4 分 （2）令2x ，由( )(1)f xb x 得3( 2)e3eb， 解得32ee13b ， 5 分 取0m ，下证当0b 时，不等式1ee 0 xx 在2x时恒成立， 6 分 设1( )eexg xx，则1( )(1)exg xx，由( )0g x可得1x ， 当21x 时，( )0g x， 高二数学参考答案

26、（第 14 页 共 15 页） 所以( )g x单调递减， 当1x 时，( )0g x， 所以( )g x单调递增， 所以min21( )( 1)e0eg xg ，所以0m 符合题意； 7 分 令2x ，由( )(1)f xb x 得2e20b ， 解得3eb， 8 分 取8M ，下证当8b 时，不等式1e8(1)e 0 xxx 在2x时恒成立， 9 分 设1( )eexh xx，则1( )(1)exh xx， 令( )0h x，则1x ， 所以当21x 时，( )0h x， 则( )h x在( 2,1)上单调递减， 当1x 时，( )0h x， 则( )h x在(1,)上单调递增， 所以21

27、( )( 1)e0eh xh ， 所以当21x 时，1e8(1)e 0 xxx 恒成立 10 分 当1x 时，10 x ， 所以8(1)3e(1)xx， 所以11e8(1)ee3e(1)exxxxxx ， 设1( )e3e(1)exk xxx，则1( )(1)e3exk xx， 设( )( )xk x，则1( )(2)e0 xxx， 所以( )k x在(1,)单调递增，且(2)0k， 所以当12x时，( )0k x， 则( )k x在(1,2)单调递减， 当2x 时，( )0k x， 则( )k x在(2,)单调递增， 高二数学参考答案（第 15 页 共 15 页） 所以min( )(2)0k xk， 所以( )0k x ， 所以1e8(1)e 0 xxx ， 综上当8M 时，不等式1e8(1)e 0 xxx 在2x时恒成立， 11 分 所以8Mm 12 分