海南省2022届高三（下）诊断数学试卷.docx

1、海南省2022届高三（下）诊断数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|1x5，Bx|x22x30，则A（RB）（）A（3，5B1，5C（3，+）D（，12（5分）已知复数z满足z（1+i）2i（i为虚数单位），则z的虚部为（）ABCD3（5分）函数f（x）cos（2x）+1的图象的一个对称中心为（）A（，0）B（，0）C（，1）D（，1）4（5分）设alog20.4，b20.6，c0.82，则（）AabcBbcaCcabDacb5（5分）若（，）且cos2，则tan（）A7BCD76（5分）两个不同的圆

2、锥的底面是球O的同一截面，顶点均在球O表面上，若球O的体积为V，则这两个圆锥体积之和的最大值为（）ABCVDV7（5分）设随机变量X服从正态分布N（1，2），若P（X2a）0.3，则P（Xa）（）A0.2B0.3C0.7D0.88（5分）海口钟楼的历史悠久，最早是为适应对外通商而建立，已成为海口的最重要的标志性与象征性建筑物之一如图所示，海口钟楼的主体结构可以看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从8：00到10：00这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为60的次数为（）A2B4C6D8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，

3、部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知向量（1，），（1，0），则（）A2（2，）B|2|C（）D与的夹角为（多选）10（5分）下列双曲线的渐近线方程为yx的是（）Ay21B1Cx21D1（多选）11（5分）环境监测部门统计了甲、乙两个城市去年每天的AQI（空气质量指数），数据按照（0，50，（50，100，（200，250进行分组得到下面的频率分布直方图，已知0AQI50时控气质量等级为优，则（）A甲、乙两城市AQI的中位数的估计值相等B甲、乙两城市AQI的平均数的估计值相等C甲城市AQI的方差比乙城市AQI的方差小D甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多（多选

4、）12（5分）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项则对于外观数列an，下列说法正确的是（）A若a13，则从a4开始出现数字2B若a1k（k1，2，3，9），则an（nN*）的最后一个数字均为kCan不可能为等差数列或等比数列D若a1123，则an（nN*）均不

5、包含数字4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知函数f（x）的定义域为2，+），则a 14（5分）（2x）8的展开式中的系数为 .（结果用数字表示）15（5分）已知椭圆C：+1（0b2）的左焦点为F，M是C上的动点，点N（0，），若|MN|+|MF|的最大值为6，则C的离心率为 16（5分）已知函数f（x）exb和g（x）ln（x+a）b3，其中a，b为常数且b0若存在斜率为1的直线与曲线yf（x），yg（x）同时相切，则的最小值为 四、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，已知S4S13（）若d2

6、，求an的通项公式；（）若|S10|60，求d的取值范围18（12分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知C，b8，ca+2（）求边a，c；（）若点D在线段BC上（与B，C不重合），且ADc，求sinCAD19（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB1，AD2，PAPD，点M在棱PC上且BMPC（）证明：PA平面MDB；（）求平面PAD与平面MDB的夹角的余弦值20（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过F作圆M：（x+2）2+y24的切线，切线长为2（）求C的方程；（）过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的

7、准线上，满足|PA|PB|AB|，求l的方程21（12分）如图是游乐场中一款抽奖游戏机的示意图，玩家投入一枚游戏币后，机器从上方随机放下一颗半径适当的小球，小球沿着缝隙下落，最后落入D1D6这6个区域中假设小球从最上层4个缝隙落下的概率都相同，且下落过程中遇到障碍物会等可能地从左边或右边继续下落（）分别求小球落入D1和D2的概率；（）已知游戏币售价为2元/枚若小球落入D3和D4，则本次游戏中三等奖，小球落入D2和D5，则本次游戏中二等奖，小球落入D1和D6，则本次游戏中一等奖假设给玩家准备的一、二、三等奖奖品的成本价格之比为3：2：1，若要使玩家平均每玩一次该游戏，商家至少获利0.7元，那么三

8、等奖奖品的成本价格最多为多少元？22（12分）已知函数f（x）xaexx2，aR（）若a1，求f（x）的最值；（）若a1，设g（x）f（x）+2x+1，证明：当x1+x20时，g（x1）+g（x2）4参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1A【解析】Bx|x22x30x|1x3，RB（，1）（3，+），又Ax|1x5，A（RB）（3，5，故选：A2C【解析】z（1+i）2i（i为虚数单位），z（1+i）（1i）（2i）（1i），zi，则z的虚部为故选：C3D【解析】对于函数f（x）cos（2x）+1的图象，令2xk，kZ，可

9、得x+，kZ，故函数的对称中心为（+，1），kZ，根据选项可知D符合故选：D4D【解析】由alog20.4log210，b20.6201，0c0.821，即acb，故选：D5B【解析】因为cos2，所以解得tan2，又（，），tan0，所以tan故选：B6B【解析】根据题意，两圆锥的位置如图所示时，体积最大；由于V，故故选：B7C【解析】随机变量X服从正态分布N（1，2），正态曲线关于直线x1对称，P（X2a）0.3，P（Xa）P（X2a）0.3，P（Xa）1P（Xa）10.30.7故选：C8D【解析】在长方体ABCDA1B1C1D1中，以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y

10、、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设分针长为a，设矩形AA1B1B的对角线的交点为E，矩形AA1D1D的对角线的交点为F，考査8：00到9：00这个时间段，设t时刻，侧面AA1B1B、AA1D1D内的钟的分针的针点的位置分别为M、N，设，其中3600，则，由已知可得，则，因为3600，故的取值为45、135、225、315，即在8：00到9：00这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为60的次数为4，因此，从8：00到10：00这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为60的次数为8故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部

11、分选对的得2分，有选错的得0分9BC【解析】向量（1，），（1，0），2（3，），故A错误；|22|，故B正确；（）+1+0+10，（），故C正确；cos，故D错误，故选：BC10AD【解析】y21的渐近线方程为yx；1的渐近线方程为yx；x21的渐近线方程为y2x；1的渐近线方程为yx；故选：AD11ABD【解析】选项A：根据两个频率分布直方图，甲、乙两个城市去年每天的AQI的中位数均为125，故选项A正确；选项B：设甲、乙两频率分布直方图中小矩形的高度数值如图所示，则a502+b50+c5021，即50（2a+b+2c）1，同理50（2x+z+2y）1，甲城市的AQI的平均数为：50c25

12、.5+50a75.5+50b125.5+50a175.5+50c225.550（250c+250a+125.5b）50125.5（2c+2a+b）50125.5，乙城市的AQI的平均数为：50x25.5+50y75.5+50z125.5+50y175.5+50x225.550（250x+250y+125.5z）50125.5（2x+2y+z）50125.5，所以甲、乙两城市AQI的平均数的估计值相等，故选项B正确；选项C：由图可知，乙城市AQI的数据更集中，即方差更小，所以选项C错误；选项D：由图可知甲城市AQI在（0，50的频率大于0.2，乙城市AQI在（0，50的频率小于0.2，所以甲城市

13、AQI在（0，50的频率大于乙城市AQI在（0，50的频率，甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多，故D正确故选：ABD12BD【解析】对于A，a13，即“1个3”，a213，即“1个1，1个”3，a31113，即“3个1，1个”，故a43113，A错；对于B，若a1k（k2，3，9），即“1个k”，a21k，即“1个1，1个k”，a3111k，即“3个1，1个k”，a4311k，以此类推可知，的最后一个数字均为k，若a11，则a211，a321，a41211，以此类推可知，的最后一个数字均为1综上所述，若a1k（k1，2，3，9），则的最后一个数字均为k，B对；对于C，取a12

14、2，则a2a322，此时数列an既是等差数列，又是等比数列，C错；对于D，a1123，则a2111213，a331121113，a41321123113，若数列an中，中为第一次出现数字4，则ak1中必出现了4个连续的相同数字，如ak11111，则在ak2的描述中必包含“1个，1个1”，即ak211，显然ak2的描述是不合平要求的，若ak12222或ak13333，同理可知均不合平题意，故不包含数字4，D对故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分134【解析】函数f（x）的定义域为2，+），22a0，则a4，故答案为：414112【解析】二项式的展开式的通项公式为TC，令8，解

15、得r6，所以的系数为C112，故答案为：11215【解析】如图，设椭圆的另一个焦点为F0，因为|MN|+|MF|MN|MF0|+2a2a+|NF0|因为|MN|+|MF|的最大值为6，a2，所以|NF0|2，即，c1，所以椭圆的离心率为故答案为：162【解析】函数f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为（a，+），f（x）ex，g（x），设f（x）的切点为A（），则，x10，可得A（0，1b），设g（x）的切点为B（），则，x21a，则B（1a，b3），可得ab3b+2（b0），当且仅当，即b1，a2时等号成立故答案为；2四、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：（I）

16、S4S1a2+a3+a43a33，则a31，所以ana3+（n3）d1+2（n3）2n5（II）由（I）知，a31，所以a112d，10（12d）+45d25d+10，因为|S10|60，所以|25d+10|60，所以6025d+1060，解得，故d的取值范围为（ ）18解：（）由余弦定理知，c2a2+b22abcosC，即（a+2）2a2+642a8，解得a5，所以ca+27（）在ACD中，由余弦定理知，AD2AC2+CD22ACCDcosC，即7282+CD228CD，解得CD3或5，当CD5时，D与B重合，不符合题意，故CD3，在ACD中，由正弦定理得，所以sinCAD19（）证明：因为

17、平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，根据条件可知ABAD，所以AB平面PAD，所以ABPA所以，同理可得PC2，又BCAD2，所以PBC是等边三角形，因为BMPC，所以M是PC的中点如图，连接AC，与BD交于点O，连接MO，则O是AC的中点，所以PAMO，因为PA不在平面MDB内，MO平面MDB，所以PA平面MDB（）解：以D为坐标原点，以DA，DC所在直线为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系则由（1）知是平面PAD的一个法向量设为平面MDB的法向量因为，则，令x1，可得设平面PAD与平面MDB的夹角为，则20解：（I）由已知得圆M的圆心为M（2，0），半径为2，所以点F到

18、圆心M的距离为4，因为p0，所以F在x轴正半轴上，于是F（2，0），所以2，所以p4，故抛物线C的方程为y28x；（II）设线段AB的中点为Q，由题意可知PQ为AB的中垂线，且在直角PAQ中，由|PA|AB|，即|PA|AQ|，可得|PQ|AQ|，设l的方程为xmy+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得y28my160，则y1+y28m，x1+x2m（y1+y2）+48m2+4，所以Q（4m2+2，4m），所以直线PQ的方程为ym（x4m22）+4m，令x2，可得y4m3+8m，即P（2，4m3+8m），所以|PQ|（4m2+4），又|AB|p+x1+x24+x1+x28m2+8，

19、|AQ|AB|4m2+4，所以（4m2+4）（4m2+4），解得m1，所以l的方程为x+y20，xy2021解：（）记第一层障碍物之间的缝隙从左到右分别为A1，A2，A3，A4，小球落入缝隙Ai为事件Ai（1i4），第二层障碍物之间的缝隙从左到右分别为B1，B2，B5，小球落入缝隙Bj为事件Bj（1j5），第三层障碍物之间的缝隙从左到右分别为C1，C2，C6，小球落入缝隙k为事件k（1k6），由题意，则；（）设三等奖奖品成本为a元，玩家玩一次游戏获得的奖品成本为随机变量X，则X的所有可能取值为a，2a，3a，所以X的分布列为： X a 2a 3a P 所以X的数学期望为，由题意，E（X）20.

20、71.3，解得a0.8，因此三等奖奖品的成本价格最多为0.8元22解：（）若a1，则f（x）xexx2，f（x）1exx，当x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0；所以f（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，所以f（x）的极大值，也是最大值为f（0）1，没有最小值证明：（）由题意得g（x）ex+3x+1，所以g（x）exx+3令（x）exx+3，则（x）ex1，当x0时，（x）0；当x0时，（x）0；所以（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递减增，所以（x）（0）4，即g（x）0，于是g（x）在R上单调递增设F（x）g（x）+g（x）ex+exx2+2，则F（x）exex2x，令G（x）exex2x，则G（x）ex+ex2220，所以G（x）在R上单调递增，而G（0）0，所以当x0时，F（x）G（x）0；当x0时，F（x）G（x）0；所以F（x）F（0）4，即g（x）+g（x）4当x1+x20时，x1x2，所以g（x1）g（x2）所以g（x1）+g（x2）g（x2）+g（x2）4