浙教版九年级下册《数学》电子课本教材（全册pdf电子书）-免费下载.pdf

第 1 章解直角三角形 第 1 章解直角三角形 在倾斜角不同的两个滑道上向下滑过相同的距离， 下降的高度 相同吗？ 已知圆弧形公路弯道两端相距圆园园皂， 圆弧半径为员园园园皂， 怎样求 这弯道的长？ 本章我们将学习锐角三角函数及其有关计算， 并运用三角函数解 决与直角三角形有关的简单实际问题援 通过本章的学习，我们将找到 解决上述问题的方法援 数学九年级下册 从图 1-1 我们可以看到， 在倾斜角 （∠ ， ∠ ） 不同 的两个斜面上， 物体前进的距离都是 造， 而它在水平和 铅垂两个方向上运动的距离却各不相同援 物体在斜面 上运动时， 在斜面上所经过的距离和水平方向、 铅垂方 向经过的距离， 与斜面的倾斜角之间有什么关系呢？ 两个物体在倾斜角不同的斜面上向上运动相 同的距离， 它们上升的高度相同吗？ 1 · 1 锐角三角函数 造 造 图 1-1 1郾 作一个 30毅的∠粤 （图 1-2） ， 在角的边上任意 取一点 月， 作 月悦⊥粤悦 于点 悦援 计算 月悦 粤月 ， 粤悦 粤月 ， 月悦 粤悦 的 值， 并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较援 2郾 作一个 50毅的∠粤 （图 1-3） ， 在角的边上任意 取一点 月， 作 月悦⊥粤悦 于点 悦援 量出 粤月， 粤悦， 月悦 的长 （精确到 1皂皂） ， 计算 月悦 粤月 ， 粤悦 粤月 ， 月悦 粤悦 的值 （精确到0.01冤， 并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较援 通过上面两个实践操作， 你发现了什么？ 3郾 如图 1-4袁月袁月1是∠一边上的任意两点， 作 月悦⊥粤悦 于点 悦， 月1悦1⊥粤悦1于点 悦1援 判断比值 月悦 粤月 与 月1悦1 粤月1 ， 粤悦 粤月 与 粤悦1 粤月1 ， 月悦 粤悦 与 月1悦1 粤悦1 是否相等， 并说明理由援 图 1-2 粤 月 悦 30毅 悦1悦 图 1-4 粤 月 月1 悦 粤 月 图 1-3 50毅 4 第 1 章解直角三角形 一般地， 对于每一个确定的锐角 （图1-4） ， 在角的一边上任取一点 月， 作 月悦⊥粤悦 于点 悦， 比值 月悦 粤月 ， 粤悦 粤月 ， 月悦 粤悦 都是一个确定的值， 与点 月 在角的边 上的位置无关援 而当锐角变化时， 比值 月悦 粤月 ， 粤悦 粤月 ， 月悦 粤悦 都发生了变化， 因 此， 我们把比值 月悦 粤月 ， 粤悦 粤月 ， 月悦 粤悦 看做是关于锐角的函数援 比值 月悦 粤月 叫做 ∠的正弦 （泽蚤灶藻） ， 记做 泽蚤灶 ， 即 泽蚤灶 ＝ 月悦 粤月 援同样， 比值 粤悦 粤月 叫做∠的余弦 （糟燥泽蚤灶藻） ， 记做 糟燥泽， 即 糟燥泽 ＝ 粤悦 粤月 ； 比值 月悦 粤悦 叫做∠的正切 （贼葬灶早藻灶贼） ， 记 做 贼葬灶 ， 即 贼葬灶 ＝ 月悦 粤悦 援 锐角的正弦、 余弦和正切统称∠ 的三角函数 （贼则蚤早燥灶燥皂藻贼则蚤糟 枣怎灶糟贼蚤燥灶） 援 如果∠粤是 砸贼吟粤月悦 的一个锐角 （图1-5） ， 则有 锐角三角函数的值都是正实数， 并且0＜泽蚤灶 ＜1， 0＜糟燥泽 ＜1 （为什么？ ） 援 例1如图 1-6， 在 砸贼吟粤月悦 中， ∠悦＝砸贼∠， 粤月＝5， 月悦＝3援 求∠粤 的 正弦、 余弦和正切援 解如图 1-6， 在 砸贼吟粤月悦 中， 粤月＝5， 月悦＝3， 亦粤悦＝AB 2－BC2 姨＝52－32姨＝4援 亦泽蚤灶 粤＝ 月悦 粤月 ＝ 3 5 ， 糟燥泽 粤＝ 粤悦 粤月 ＝ 4 5 ， 贼葬灶粤＝ 月悦 粤悦 ＝ 3 4 援 粤 月 悦 图 1-6 泽蚤灶 粤 粤 的对边 斜边 ； 糟燥泽 粤 粤 的邻边 斜边 ； 贼葬灶 粤 粤 的对边 粤 的邻边 ． 图 1-5 ∠粤的邻边 ∠粤的对边 斜边 月 悦粤 sin ， 糟燥泽 ， 贼葬灶 都是一个完整的符 号， 单独的 “泽蚤灶” 没有 意义援 其中前面的 “∠” 一般省略不写援 5 数学九年级下册 员援 如图， 在 砸贼吟粤月悦 中， ∠粤＝砸贼∠援 请写出∠月 的对边和邻边， ∠悦的 对边和邻边援 圆援 如图， 在 砸贼吟粤月悦 中， ∠悦＝砸贼∠， 粤悦＝2， 月悦＝3援 求： （1）泽蚤灶 粤， 糟燥泽 月. （2）糟燥泽 粤， 泽蚤灶 月. （3）观察 （1） （2） 中的计算结果， 你发现了什么？请说明理由援 猿援 根据本节 “合作学习” 中第 1 题的探索结果， 说出 30毅角的正弦、 余 弦、 正切的值援 粤 月 悦 （第 2 题） 粤月 悦 （第 1 题） 员援 已知∠ （如图） ， 根据三角函数的定义求 泽蚤灶 ， 糟燥泽 ， 贼葬灶 援 圆援 如图， 在 砸贼吟粤月悦 中， ∠粤＝砸贼∠， 粤月＝8， 月悦＝10援 求 泽蚤灶 悦， 糟燥泽 悦， 贼葬灶 悦援 猿援 在砸贼吟粤月悦 中， ∠悦＝90毅， 粤悦＝5糟皂， 月悦＝26姨糟皂援 求∠粤， ∠月 的 正弦、 余弦和正切的值援 源援 在砸贼吟粤月悦 中， ∠悦＝90毅， 粤悦 颐 月悦＝1 颐 2援 求 贼葬灶月， 泽蚤灶月， 糟燥泽月援 （第 1 题）（第 2 题） 粤 月 悦 8 10 6 第 1 章解直角三角形 （第 7 题） 粤忆 粤 悦 月 月忆 忆 缘援 已知葬， 遭， 糟 分别是 砸贼吟粤月悦 中∠粤， ∠月， ∠悦 的对边， ∠悦＝90毅援 （1）用关于 葬， 遭， 糟 的代数式表示∠粤， ∠月 的正弦和余弦. （2）用关于 葬， 遭 的代数式表示 贼葬灶粤 和 贼葬灶月， 你发现了什么？ 6援 在 砸贼吟粤月悦 中， ∠悦＝90毅， 泽蚤灶粤＝ 3 5 . 求 cos 粤， tan 粤. 7援 如图， 一根 3 皂 长的竹竿 粤月 斜靠 在墙上， 当端点 粤 离地面的高度 粤悦 长为 1 皂 时， 竹竿 粤月 的倾斜 角的正切 贼葬灶的值是多少？ 当 端点 粤 位于 粤忆， 离地面的高度 粤忆悦 为 2皂 时，倾斜角忆的正切 贼葬灶 忆 的值是多少？贼葬灶的值可以大于 100 吗？ 现在我们来求 30毅角的三角函数值. 如图 1-7， ∠A＝30毅. 在∠A 的一边上任取一点 B， 作 BC 垂直于∠A 的 另一条边于点 C，则 AB＝2BC（为什么？ ） . 亦AC＝AB2－BC2 姨＝ （2BC） 2－BC2 姨 ＝4BC2－BC2 姨＝3 姨BC. 亦sin30毅＝sinA＝ BC AB ＝ BC 2BC ＝ 1 2 ； cos30毅＝cosA＝ AC AB ＝ 3 姨BC 2BC ＝ 3 姨 2 ； tan30毅＝tanA＝ BC AC ＝ BC 3 姨BC ＝ 1 3 姨 ＝ 3 姨 3 . 图 1-7 C B 粤 30毅 你能利用图 1-7， 得到 60毅角的三角函数 值吗？ 7 数学九年级下册 30毅45毅60毅 泽蚤灶 糟燥泽 贼葬灶 1援 求 45毅角的正弦、 余弦和正切． 圆援 根据上面的结果， 将30毅， 45毅， 60毅角的三角函数值填入下表. 例2求下列各式的值： （1）2泽蚤灶 30毅－3糟燥泽 60毅. （2）糟燥泽245毅髴＋贼葬灶 60毅 · 泽蚤灶 60毅. （3）3姨糟燥泽 30毅－２姨泽蚤灶 45毅＋贼葬灶 45毅 · 糟燥泽 60毅援 解 （1）2泽蚤灶 30毅－3糟燥泽 60毅 ＝2× 1 2 －3×１ 2 ＝－１ 2 援 （2）糟燥泽245毅＋贼葬灶 60毅 · 泽蚤灶 60毅 ＝ 2姨 2 蓸蔀 ２＋ 3姨× 3姨 2 ＝2援 （3）3姨糟燥泽 30毅－2姨泽蚤灶 45毅+贼葬灶 45毅 · 糟燥泽 60毅 ＝3姨× 3姨 2 －2姨× 2姨 2 ＋1×１ 2 ＝1援 髴cos245毅表示 （cos45毅） 2， 下同. 8 第 1 章解直角三角形 图 1-8 A D CB 例3如图 1-8， 在△ABC 中， AB＝AC＝8 cm， ∠BAC＝120毅.求 BC 的 长和△ABC 的面积. 解如图 1-8， 作 AD⊥BC. 在△ABC 中， AB＝AC， ∠BAC＝120毅， 亦∠BAD＝∠CAD＝ 1 2 ∠BAC＝60毅. 疫sin∠BAD髴＝ BD AB ， 亦BD＝ABsin∠BAD＝8 sin60毅 ＝8× 3 姨 2 ＝43 姨 （cm） . 亦BC＝2BD＝83 姨 （cm） . 而 cos∠BAD＝ AD AB ， 亦AD＝ABcos∠BAD＝8 cos60毅＝8× 1 2 ＝4 （cm） . 亦S△ABC＝ 1 2 BC · AD＝ 1 2 ×83 姨×4＝163 姨 （cm2） . 1援 计算： （1）糟燥泽 30毅 · 泽蚤灶 60毅. （2）泽蚤灶245毅－2泽蚤灶 45毅 · 糟燥泽 60毅. （3）泽蚤灶230毅＋糟燥泽230毅援 2援 如图， 点 孕到坐标原点 韵 的距离 韵孕＝6援 求点 孕的坐标援 3援 计算 泽蚤灶30毅 糟燥泽30毅 与 贼葬灶30毅， sin60毅 cos60毅 与 tan 60毅， 你发现了什么？ 对于任意 锐角 ， 是否都有 泽蚤灶 糟燥泽 ＝贼葬灶 ？请说明理由援 孕 （曾， 赠） 60毅 曾 赠 ６４ 4 2 6 2韵 （第 2 题） 髴当用三个字母或数字表示角时， 在三角函数式中需写上角的符号 “∠” . 9 数学九年级下册 员援 求下列各式的值： （1）3贼葬灶 45毅＋2泽蚤灶 30毅. （2）16糟燥泽245毅－１ ３贼葬灶 260毅. （3）2姨泽蚤灶 45毅－3姨 （泽蚤灶 60毅－2糟燥泽 30毅） . （4） 3贼葬灶 30毅－2贼葬灶 60毅 糟燥泽 60毅 ＋4泽蚤灶 60毅援 圆援 在 砸贼吟粤月悦 中， ∠悦＝90毅， ∠粤＝45毅， 粤月＝4援 求 月悦， 粤悦 的长援 猿援 在直角坐标系中， 点 孕 的位置如图所示援 求点 孕 的纵坐标 赠 和 韵孕 的长援 源援 一辆卡车沿倾斜角为 30毅的斜坡向上行驶 100皂， 分别求卡车沿水平 方向和铅垂方向所经过的距离援 缘援 如图， 梯子 AB 的长为 2郾8皂援 当=60毅时， 求 梯子顶端离地面的高度 粤阅 和两梯脚之间的 距离 月悦援 当=45毅时呢？ 远援 计算下列各式： （1）糟燥泽245毅＋泽蚤灶245毅. （2）糟燥泽260毅＋泽蚤灶260毅援 你发现了什么？对任意锐角 ， 是否都有 圆远 （第 3 题） 孕 （6， 赠） 30毅 曾 赠 4 4 2 6 韵26 （第 5 题） 阅月悦 粤 （第 4 题） 30毅 糟燥泽2＋sin2＝1？请说明理由援 10 第 1 章解直角三角形 如图 1-9 和图 1-10， 将一个 砸贼吟粤月悦 形状的楔子从木桩的底端点 孕 沿 水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动援 如果楔子斜面的倾斜角为 10毅， 楔子沿水平方向前进 5 糟皂（如箭头所示） ， 那么木桩上升多少厘米？ 观察图 1-10， 易知， 当楔子沿水平方向前进 5 糟皂， 即 月晕＝5糟皂 时， 木桩上 升的距离为 孕晕援 在 砸贼吟孕月晕中， 疫贼葬灶10毅＝ 孕晕 月晕 ， 亦孕晕＝月晕 · 贼葬灶10毅＝5贼葬灶10毅 （糟皂） 援 那么 贼葬灶10毅等于多少呢？对于不是 30毅， 45毅， 60毅这些特殊角的三角函数 值， 可以用科学计算器来求援 用科学计算器可以求任何锐角的三角函数值援 一种比较普遍的按键方 法如表 1-1髴. 注意： 本套教科书后面在涉及三角函数求值时， 除特殊角或明 确说明外， 一般都可用计算器求值. 图 1-9 月 员园毅 图 1-10 悦晕月 员园毅 粤 悦 孕 云 粤 孕 云 月 已知圆弧形公路弯道的两端相距 200 m，圆弧半径为 1km， 你能求出弯道的长吗？ 1 · 2 锐角三角函数的计算 髴不同型号计算器的按键方法不一定相同， 请参看相应计算器的说明书， 下同援 10毅 10毅 11 数学九年级下册 员援 求下列三角函数值 （精确到 0郾000 1） ： 泽蚤灶 60毅， 糟燥泽 70毅， 贼葬灶 45毅， 泽蚤灶 29援12毅， 糟燥泽 37毅42忆6义， 贼葬灶 18毅31忆援 圆援 请解答本节开头提出的有关木桩运动的问题 （孕晕 的值精确到 0.0001） 援 例1如图 1-11，在 砸贼吟粤月悦 中， ∠悦＝90毅， 粤月＝12 糟皂， ∠粤＝35毅援 求 吟粤月悦 的周长和面积 （周长精确到 0援1糟皂， 面积精确到 0.1cm2） 援 解在 砸贼吟粤月悦 中， 疫泽蚤灶粤＝ 月悦 粤月 ， 糟燥泽 粤＝ 粤悦 粤月 ， 亦月悦＝粤月 · 泽蚤灶 粤， 粤悦＝粤月 · 糟燥泽 粤援 亦吟粤月悦 的周长 ＝粤月＋月悦＋粤悦 ＝粤月＋粤月 · 泽蚤灶 粤＋粤月 · 糟燥泽 粤 ＝粤月 （1＋泽蚤灶粤＋糟燥泽 粤） ＝12 （1＋泽蚤灶 35毅＋糟燥泽 35毅） ≈28援7 （糟皂） ； 吟粤月悦 的面积 ＝１ 2 粤悦 · 月悦＝１ 2 粤月 · 糟燥泽 粤 · 粤月 · 泽蚤灶 粤 ＝１ 2 粤月2· 泽蚤灶 粤 · 糟燥泽 粤 ＝１ 2 ×122泽蚤灶 35毅 · 糟燥泽 35毅 图 1-11 粤 月 悦 按键顺序: 按键顺序显示结果 泽蚤灶30毅0郾5 糟燥泽55毅0郾573 576 436 4 贼葬灶86毅17忆15郾394 276 04 泽蚤灶68毅28忆32义0郾930 261 120 7 糟燥泽21援5毅0郾930 417 568糟燥泽员缘越圆· 糟燥泽越 缘缘 贼葬灶远员苑越愿 忆忆忆 。 忆忆忆 。 泽蚤灶越 猿园 猿越圆 忆忆忆 。泽蚤灶愿圆愿远 忆忆忆 。 忆忆忆 。 表 1-1 按键顺序: 12 第 1 章解直角三角形 员援 求下列三角函数值 （精确到 0郾0001） ： （1）泽蚤灶 15毅26忆， 泽蚤灶 57毅33忆8义. （2）糟燥泽70毅， 糟燥泽50毅18忆， 糟燥泽80毅7忆35义. （3）贼葬灶 3毅12忆5义， 贼葬灶 40毅55忆， 贼葬灶73毅3忆援 圆援 求下列正切值 （精确到 0郾0001） ， 然后用 “＜” 把它们连接起来押 贼葬灶 53毅49忆， 贼葬灶 14毅32忆， 贼葬灶89毅43忆22义， 贼葬灶 60毅， 贼葬灶7毅援 员援 计算下列各式： （1）泽蚤灶 25毅＋糟燥泽 65毅（精确到 0.0001） . （2）泽蚤灶 36毅 · 糟燥泽 72毅（精确到 0.0001） . （3）贼葬灶 56毅 · 贼葬灶 34毅援 圆援 求下列余弦值 （精确 0.000 1） ， 并把它们按从小到大的顺序用 “＜” 连接： 糟燥泽 27毅12忆， 糟燥泽 85毅， 糟燥泽 63毅36忆15义， 糟燥泽 54毅23忆， 糟燥泽 38毅39忆52义援 前面我们已经发现锐角三角函数之间的一些关系， 如 贼葬灶 ＝ 泽蚤灶 糟燥泽 ，泽蚤灶2＋糟燥泽2＝1援 探索下列关系式是否成立 （0毅＜ ＜90毅） 援 （1）泽蚤灶 ＋糟燥泽 ≤1. （2）泽蚤灶 2 ＝2泽蚤灶 . （3）当 0毅＜ ＜ ＜ 90毅时， 0＜ 泽蚤灶 ＜泽蚤灶 ＜1援 ≈33援8 （糟皂2） 援 答： 吟粤月悦 的周长约为 28援7糟皂， 面积约为 33援8 糟皂2援 13 数学九年级下册 （第 6 题） 阅 粤 悦 月 郧 北 猿援 计算： 3贼葬灶 10毅－2泽蚤灶20毅＋糟燥泽60毅（精确到 0郾001） 援 源援 计算： （1） 泽蚤灶 70毅 糟燥泽70毅（精确到 0郾001） . （2）贼葬灶35毅×糟燥泽35毅－泽蚤灶 35毅援 缘援 某河道要建造一座公路桥， 为了使船只能顺利通过， 桥面离水面的 高度 澡 不小于 3皂援 如果要求引桥的坡角髴不超过 15毅，那么引桥 的水平距离 造 至少要多长 （精确到 0郾1皂） ？ 远援 如图， 河两岸 粤月， 悦阅 互相平行， 小明和小慧要测量河的宽度， 小明 在 粤 点测得对岸河边的树 郧 正好在他的正北方向， 小慧站在小明 正东方向的 月 点，测得∠粤月郧＝70毅， 粤， 月 两点之间的距离是 5 皂援 根据上述测量数据， 你能求出河的宽度吗 （精确到 0郾1 皂） ？ 在生活和生产实际中经常遇到这样的问题： 已知一个角的三角函数值， 要求这个角的度数援这类问题同样可以通过计算器来解决援 已知三角函数值求角度， 要用到泽蚤灶贼葬灶糟燥泽键的第二功能 “泽蚤灶－1”“糟燥泽－1” “贼葬灶－1” 援 例如， 已知 泽蚤灶 ＝0郾2974， 求锐角援 按键顺序为： 即＝17郾30150783毅援 如果再按 “度分秒键毅忆义” ， 就换算成 “度分秒” 的形式， 即＝17毅18忆5援43义援 （第 5 题） 澡 造 髴坡面的倾斜角叫做坡角援 14 第 1 章解直角三角形 例2根据下面的条件， 求锐角的大小 （精确到 1义） . （1）泽蚤灶 ＝0援451 1. （2）糟燥泽 ＝0援785 7. （3）贼葬灶 ＝1援403 6援 解 （1）按键顺序为： 得≈26毅48忆51义援 （2）按键顺序为： 得≈38毅12忆52义援 （3）按键顺序为： 得≈54毅31忆55义援 例3如图 1-12， 一段公路弯道呈圆弧形， 测得弯道粤月 蓻 两端的距离为 200皂，粤月 蓻 的半径为 1000皂援 求弯道的长 （精确到 0援1皂） 援 分析因为粤月 蓻 的半径已知， 根据弧长公式 造＝ 灶仔砸 180 ， 要求弯道粤月 蓻 的长， 只要求出粤月 蓻 所对圆心角∠粤韵月 的度数援 如图 1-2， 作 韵悦⊥粤月， 垂足为 悦， 则 韵悦 平分∠粤韵月援 在 砸贼吟韵悦月 中， 月悦＝ 1 2 粤月＝100皂， 韵月＝1000皂， 于是有 泽蚤灶∠月韵悦＝ 1 10援 利用计算器求出∠月韵悦 的度数， 就能求出∠粤韵月 的度数援 请你自己完成本例的求解过程援图 1-12 砸 韵 月 粤 悦 15 数学九年级下册 员援 已知下列各锐角的三角函数值， 求这些锐角的大小 （精确到 员义） . （1）泽蚤灶 ＝0援6841， 泽蚤灶 粤＝0援5136， 泽蚤灶 ＝0援0526. （2）糟燥泽 ＝0援3241， 糟燥泽 粤＝0援2839， 糟燥泽 ＝0援5412. （3）贼葬灶 ＝3援2672， 贼葬灶 粤＝2援3780， 贼葬灶 ＝57援82援 圆援 在台风来临之前， 有关部门用钢管加固树木 （如图） 援已知固定点 粤 离地面的高度 粤悦 为 3 皂，钢管脚的支撑点 月 离树干底部 悦 点的 距离为 2皂援 求钢管与地面所成角∠1 的大小 （精确到 1义） 援 猿援 如图， 某游乐场一山顶滑梯的高 澡 为 8皂， 滑梯的长 造 为 14皂援 求滑梯 坡角的大小 （精确到 1忆） 援 4援 用三根长度分别为 80糟皂， 60糟皂， 60糟皂 的木条做成一个等腰三角形 （如图） ， 这个等腰三角形各个内角的大小分别为多少 （精确到 1义） ？ （第 2 题） 粤 月 悦 1 （第 4 题）（第 3 题） 造 澡 员援 已知下列三角函数值， 求锐角 ，，的大小 （ 精确到1义） . （1）泽蚤灶 ＝0援7083， 泽蚤灶 ＝0援9371， 泽蚤灶 ＝0援2460. （2）糟燥泽 ＝0援8290， 糟燥泽 ＝0援7611， 糟燥泽 ＝0援2996. （3）贼葬灶 ＝0援3314， 贼葬灶 ＝2援2320， 贼葬灶 ＝31援8182援 圆援 在 砸贼吟粤月悦 中， ∠悦＝砸贼∠援 根据下列条件求各个锐角 （精确到1忆） . （1）粤月＝3， 粤悦＝1. （2）粤悦＝5， 月悦＝4援 猿援 如图， 测得一商场自动扶梯的长 造 为 8皂， 该自动扶梯到达的高度 澡 是 5皂援 问自动扶梯与地面所成的 角是多少度 （精确到 1忆） ？ （第 3 题） 澡 造 16 第 1 章解直角三角形 我国古代杰出数学家刘徽发明了用 “割圆术” 计算圆周率， 对中国古代数学的 发展作出了重大贡献. 什么是圆周率？它其实是指 “圆周长与该圆直径的比率” ， 这是个不变的 “常 数” ！ 我们借助它可以进行关于圆和球体的计算. 显然， 圆周率数值的 “准确性” ， 关 系到有关计算的准确性和精确度. 刘徽在公元263年撰 《九章算术注》 中指出，“周三径一” 不是圆 周率值， 实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值 （图1-13） .刘徽 发现， 圆内接正多边形边数无限增加时， 多边形的周长就无限逼近 圆周长， 从而创立 “割圆术” ， 为计算圆周率建立起相当严密的理论 和完善的算法. 用这种方法， 刘徽算出了π的近似值： 3.1416. 请查阅有关资料， 了解 “割圆术” 这种数学方法. 对此你会提 出哪些你感兴趣的数学问题？请说说你解决这些问题的大体思 路和方法. 你能解决以下两个问题吗？请试一试. （1） 用圆内接正多边形的周长代替圆周长， 求出一个圆周 率的近似值 （精确度自定） . （2） 估计得出3.1416这个π的近似值至少要把圆几等分. 你能 求出精确度更高， 精确到0.00001的圆周率的近似值吗？请说出 你的方法和结果. 图 1-13 缘援 如图， 一个钟摆的摆长 OA 为 1郾5m， 摆幅 （粤月 蓻两端的距离） 为 20 cm. 求钟摆每摆动一次摆端经过的路程 （结果精确到 1cm） . 远援 如图， 在 砸贼吟粤悦月 中， ∠粤悦月＝砸贼∠， 阅 是 粤月 的中点， 贼葬灶∠粤悦阅＝ 1 3 援 求∠粤， ∠月 的度数 （精确到 1忆） 援 （第 6 题） 粤 悦 阅 月 月 粤 （第 5 题） 韵 悦 17 数学九年级下册 例2如图 1-15， 在 砸贼吟粤悦月 中， ∠悦＝90毅， ∠粤＝50毅， 粤月＝3援 求∠月 和 葬， 遭（边长精确到 0.1） 援 解如图 1-15， 在 砸贼吟粤悦月 中， ∠月＝90毅－50毅＝40毅援 疫泽蚤灶粤＝ 葬 粤月 ， 亦葬＝粤月 · 泽蚤灶粤＝3泽蚤灶50毅≈2援3援 疫糟燥泽粤＝ 遭 粤月 ， 亦遭＝粤月 · 糟燥泽粤＝3糟燥泽50毅≈1援9援 在日常生活和生产实践中， 人们经常遇到有关三角形的边长与角度的 计算援 在直角三角形中， 由已知的一些边、 角， 求出另一些边、 角的过程， 叫做 解直角三角形 （solving right-angled triangles） 援 1 · 3 解直角三角形 某些城市规划中，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋 顶， 这样能有效解决顶楼住宅的渗漏、 隔热差等问题， 并 且美化居住景观. 这个改造工程也称为 “平改坡” 工程. 例1图 1-14 是某市 “平改坡” 工程中一种坡屋顶的设计图援已知原平 屋顶的宽度 造 为 10皂，坡屋顶高度 澡 为 3援5皂援求斜面钢条 葬 的长度和坡角 （长度精确到 0援1皂， 角度精确到 1毅） 援 解如图 1-14， 葬＝ 造 2 蓸蔀 2＋澡2 姨 ＝52＋3援52姨≈6援1 （皂） 援 疫贼葬灶 ＝ 澡 造 2 ＝ 3郾5 5 ＝0援7， 亦≈35毅援 答： 斜面钢条 葬 的长度约为 6援1皂， 坡角约为 35毅援 图 1-14 葬葬 澡 造 粤 遭 3 月 图 1-15 悦 葬 18 第 1 章解直角三角形 员援 在 砸贼吟粤月悦 中，葬， 遭， 糟 分别是∠粤，∠月 和∠悦 的对边， ∠悦＝砸贼∠援 根据下列条件解直角三角形 （边长精确到个位， 角度精确到1毅） . （1）糟＝10， ∠粤＝30毅.（2）遭＝4， ∠月＝72毅. （3）葬＝5， 糟＝7.（4）葬＝20， 泽蚤灶 粤＝１ 2 援 圆援 已知在 砸贼吟粤月悦 中， ∠悦＝砸贼∠， 葬＝5， ∠月＝54毅33忆援 求∠粤 和 遭， 糟 （边长精确到 0.1） 援 员援 如图， 在 砸贼吟粤月悦 中， ∠悦＝砸贼∠援 （1）已知∠粤 和 糟， 则 葬＝， 遭＝. （2）已知∠月 和 遭， 则 葬＝， 糟＝， 吟粤月悦 的面积 杂＝援 圆援 在 砸贼吟粤月悦 中， ∠悦＝砸贼∠， 粤悦＝6， 月悦＝8援求∠月 的三角函数值， 并 求出∠粤， ∠月 的度数 （精确到 1毅） 援 猿援 在 砸贼吟粤月悦 中， ∠悦＝砸贼∠援 根据下列条件解直角三角形. （1）遭＝10， ∠粤＝60毅. （2）葬＝25姨， 遭＝215姨援 源援 在 砸贼吟粤月悦 中， ∠悦＝砸贼∠援 根据下列条件解直角三角形 （长度精确 到 0援1， 角度精确到 1义） . （1）糟＝7， ∠粤＝36毅. （2）葬＝6， 糟燥泽月＝ 5姨－1 2 援 缘援 一个住宅区的配电房示意图如图所示， 它是一个轴对称图形援 求配电房房顶的 高 （精确到 0援1皂） 援 远援 如图， 在一张长方形纸片 粤月悦阅 中， 粤阅＝ 25糟皂， 粤月＝20糟皂， 点 耘， 云 分别是 悦阅 和 粤月 的中点援 现将这张纸片按图示方式折 叠， 求∠阅粤匀 的大小及 耘郧 的长 （精确到 0援1糟皂） 援 （第 1 题） 悦 月 葬遭 糟 粤 （第 6 题） 云 月 匀 悦 耘 郧 粤 阅 （第 5 题） 2援5 35毅 3 0援3 单位： m 19 数学九年级下册 例3水库堤坝的横断面是梯形 （图1-16） 援 测得 月悦 长为 6皂， 悦阅 长 为 60皂， 斜坡 悦阅 的坡比为 1 颐 2援5， 斜坡 粤月 的坡比为 1 颐 3援 求： （1）斜坡 悦阅 的坡角∠阅 和坝底 粤阅 的宽 （角度精确到1忆， 宽度精 确到 0援1皂） . （2）若堤坝长150 皂， 问建造这个堤坝需用多少土石方 （精确到 1皂3） ？ 解 （1）如图 1-16， 作 月耘⊥粤阅， 悦云⊥粤阅， 点 耘， 云 为垂足援 在 砸贼吟悦云阅 中， 贼葬灶阅＝ 悦云 云阅 ＝ 1 2郾5 ＝0援4， 亦∠阅≈21毅48忆援 亦悦云＝悦阅 · 泽蚤灶阅＝60×泽蚤灶21毅48忆≈22援28 （皂） ， 阅云＝悦阅 · 糟燥泽阅＝60×糟燥泽21毅48忆≈55援71 （皂） 援 疫 月耘 粤耘 ＝ 1 3 ， 亦粤耘＝3月耘＝3悦云＝66援84 （皂） ， 亦粤阅＝粤耘＋EF＋阅云＝AE＋BC＋阅云 ＝66援84＋6＋55援71＝128援55≈128援6 （皂） 援 （2）横断面的面积 杂＝１ 2（月悦＋粤阅） ×悦云 ＝１ 2（6＋128援55） ×22援28 ≈1 498援9 （皂2） ， 许多有关图形的计算问题都可以直接或通过添辅助线， 化归为解直角 三角形问题来解决援 图 1-16 月悦 阅 耘云 粤 1 颐 2援5 1 颐 3 20 第 1 章解直角三角形 例4体育项目 400 皂 栏比赛中， 规定相邻两栏架的路程为 45 皂援 在 弯道处， 以跑道离内侧线 0援3皂 处的弧线 （图 1-17 中虚线） 的长度作为相邻 两栏架之间的间隔路程援 已知跑道的内侧线半径为 36皂， 问在设定 粤 栏架 后， 月 栏架离 粤 栏架的距离是多少 （结果精确到 0援1皂） ？ 解如图 1-18， 连结 粤月援 由题意， 得 粤月 蓻 ＝45皂， 韵月＝36援3皂援 设∠粤韵月＝n毅, 由弧长公式 造＝ 灶仔砸 180 ， 可以得到 灶＝ 180造 仔砸 ＝ 180×45 36援3仔 ≈71援03援 作 韵悦⊥粤月 于点 悦援 疫韵粤＝韵月， 亦粤悦＝月悦， ∠粤韵悦＝１ 2 ∠粤韵月＝35援52毅援 亦粤悦＝韵粤泽蚤灶∠粤韵悦＝36援3×泽蚤灶35援52毅≈21援09 （皂） ， 亦粤月＝2粤悦＝2×21援09≈42援2 （皂） 援 答： 设定 粤 栏架的位置后， 月 栏架离 粤 栏架的距离约为 42援2皂援 图 1-17 粤 月 韵 悦 图 1-18 粤 韵 月 需用土石方 灾＝杂造＝1 498援9×150＝224 835 （皂3） 援 答： 斜坡 悦阅 的坡角约为 21毅48忆， 坡底宽约为 128援6 皂， 建造这个大坝 需用土石方约为 224 835皂3援 21 数学九年级下册 员援 如图， 燕尾槽的横断面 粤月悦阅 是等腰梯形， 其中燕尾角∠月＝∠C＝ 55毅， 外口宽 粤阅＝188 皂皂， 深度 粤E＝70 皂皂援 求该燕尾槽的里口宽 月悦（精确到 1 皂皂） 援 圆援 如图， 某公路弯道两端 A， B 的距离为 1援72 噪皂， 弯道半径 韵粤 为 1援5 噪皂援 求弯道粤月 蓻的长 （精确到 0援01 噪皂） 援 如图 1-19 是一个圆内接正十边形， M 是∠ABO 的 平分线与半径 OA 的交点. （1） 设⊙O 的半径为 R， 用关于 R 的代数式表示正 十边形的边长 AB. （2） 你能发现sin18毅和黄金比有怎样的关系吗？ O M B A 图 1-19 员援 如图， 一个零件的轴截面为梯形， 且关于直线 m 成轴对称援 已知 倾角 ＝5援2毅， 零件的长度 造＝20 糟皂， 大头直径 阅＝10 糟皂援 求小头直 径 凿（精确 0援1糟皂） 援 圆援 如图， 已韵 的直径为 10 糟皂， 直径 悦阅⊥粤月 于 点 耘， 韵耘＝4 糟皂援 求粤月 蓻的长 （精确到 0援1 糟皂） 援 （第 2 题） 悦 月 耘 韵 阅 粤 月韵 粤 （第 2 题）（第 1 题） 阅 月耘云 悦 粤 （第 1 题） 造 凿阅 m 22 第 1 章解直角三角形 （第 5 题） 月 耘 粤悦 猿援 某村计划挖一个引水渠， 渠道的横断面 粤月悦阅 是一个梯形 （如图） 援已 知渠底宽 月悦 为 0援8 皂， 渠道深为 1援2 皂， 两渠壁 粤B＝C阅， 坡比均 为 1 颐 0援5， 那么渠口宽 粤阅 为多少米？ 倾角为多少度 （精确到1毅） ？ 源援 一角硬币的正面有一个正九边形， 示意图如图所示， 其外接圆直径 为 2援2cm. 求该正九边形的边长 （精确到 0援01cm） 和面积 （精确到 0援01cm2） . 缘援 一个长方体木箱沿斜面下滑， 当木箱滑至 如图位置时， 粤月＝2皂援 已知木箱高月耘＝1 皂， 斜面坡角为 32毅援 求木箱端点 耘 距地面 粤悦 的高度 （精确到 0援01皂） 援 远援 已知在吟粤月悦 中， 粤月＝5糟皂， 粤悦＝4 糟皂，粤月和 粤悦 的夹角为援设 吟粤月悦 的面积为 杂 （糟皂2） 援 （1）若为锐角， 求 杂 关于 的函数表达式. 若为钝角呢？ （2）何时吟粤月悦 的面积最大？ 最大面积为多少？ 下面我们继续探索解直角三角形在解决实际问题中的一些应用援 例5某海防哨所 韵 发现在它的北偏西30毅，距离哨所 500 皂 的 粤 处 有一艘船向正东方向航行，经过 3 分钟后到达哨所东北方向的 月 处援 求船 从 粤 处到 月 处的平均航速 （精确到 1 噪皂/澡） . 分析对没有附图的测量问题， 一般我们可先根据题意画出示意图 （图 1-20） 援由图 1-20 容易看出， 要求船的平均航速， 只需求出 粤月 间的 路程， 这可化归为解 砸贼吟粤韵悦 与砸贼吟月韵悦援 粤 O B C （第 4 题）（第 3 题） 月悦 阅粤 23 数学九年级下册 例6如图1-21， 测得两楼之间的距离为 32援6 皂， 从楼顶点 粤 观测点 阅 的俯角为 35毅12忆， 点 悦 的俯角为 43毅24忆援 求这两幢楼的高度 （精确到 0援1 皂） 援 分析如图1-21， 过 D 作 DE⊥AB， 垂足为 E. 显然， 问题可转化为解 砸贼吟粤月悦 和 砸贼吟粤耘阅援 解在 砸贼吟粤月悦 中， ∠粤悦月＝∠云粤悦＝43毅24忆， 亦粤月＝月悦 · 贼葬灶∠粤悦月 ＝32援6×贼葬灶43毅24忆 ≈30援83≈30援8 （皂） 援 在 砸贼吟粤耘阅 中， ∠粤阅耘＝∠阅粤云＝35毅12忆， 阅耘＝月悦＝32援6 （皂） ， 亦粤耘＝阅耘 · 贼葬灶∠粤阅耘 ＝32援6×贼葬灶35毅12忆≈23援00 （皂） 援 亦悦阅＝粤月－粤耘≈30援83－23援00＝7援83≈7援8 （皂） 援 答： 两幢楼高分别约为 30援8 皂 和 7援8 皂援 解根据题意画出示意图， 如图 1-20援 在 砸贼吟粤韵悦 中， 韵粤＝500 皂， ∠粤韵悦＝30毅， 亦粤悦＝韵粤泽蚤灶∠粤韵悦＝500×泽蚤灶30毅 ＝500×１ 2 ＝250 （皂） ， 韵悦＝韵粤糟燥泽∠粤韵悦＝500×糟燥泽30毅 ＝500× 3姨 2 ＝2503姨 （皂） 援 在 砸贼吟月韵悦 中， ∠月韵悦＝45毅， 亦月悦＝韵悦＝2503姨（皂） ， 亦粤月＝粤悦＋月悦＝250＋2503姨＝250 （1＋3姨） （皂） 援 所以船的航速为250 （1＋3姨） ÷3×60≈14 000 （皂/澡） ＝14 （km/澡） 援 答： 船的航速约为 14 噪皂/澡援 图 1-21 35毅12忆 43毅24忆 耘 月悦 阅 云 粤 32援6皂 图 1-20 东 月悦 韵 粤 45毅 30毅 北 24 第 1 章解直角三角形 员援 如图， 在离铁塔 150 皂 的 粤 处， 用测倾仪测得塔顶的仰角为 30毅12忆， 测倾仪高 粤阅 为 1援52 皂援 求铁塔高 月C（精确到 0援1 皂） 援 圆援 如图是某少年宫局部景点示意图援 “蹦蹦床” 粤 在 “小舞台” 悦 的正北 方向， 在 “正大门” 月 的北偏东30毅方向；“小舞台” 悦 在 “正大门” 月 的东南方向 60 皂 处援 问 “小舞台” 和 “蹦蹦床” 之间相距多少米？ “蹦蹦床” 距离 “正大门” 多少米？ 猿援 在地面上的 粤 点测得树顶端 悦 的仰角为 30毅， 沿着向树的方向前进 6 皂 到达 月 点， 在 月 点测得树顶端 悦 的仰角为 45毅援 请画出示意图， 并求出树高 （精确到 0援1 皂） 援 （第 1 题） 150 30毅12忆 C 月 粤 阅 单位： m 员援 小慧的眼睛离地面的距离为 1援6 皂， 她用一块含 60毅角的三角尺测 量广场上的旗杆高度 （如图） 援量得小慧与旗杆之间的距离为 10援6 皂， 求旗杆的高度（精确到 员 皂） . 圆援 小玲家对面新造了一幢图书大厦， 小玲在自家窗口测得大厦顶部 的仰角和大厦底部的俯角 （如图所示） ， 量得两幢楼之间的距离为 32皂， 问大厦有多高？小玲家又有多高 （结果精确到 1 皂） ？ （第 2 题） 46毅 29毅 32皂 （第 1 题） 单位： m 1援6 10援6 月 耘 粤 阅 悦 粤 月 悦 阅 （第 2 题） 正大门 蹦蹦床 小舞台 30毅 粤 月 悦 北 25 数学九年级下册 如图 1-22 的仪器叫做测倾仪，可用来测量观察目标时的仰角和俯角援 它由度 盘、 铅锤和支杆组成援 测量时， 将支杆插入地面， 使支杆的 中心线、 铅垂线和度盘的 0毅刻度线重合， 这时度盘的直径 孕匀 处于水平位置援 转动度盘，使度盘的直径 孕匀 对准测量 目标，这时铅垂线指的度数就是仰角或俯角的度数援你知道 这是为什么吗？ 请选择校园内某一目标物， 用测倾仪测出你所需要的 数据， 并求出目标物的高度援 完成测量之后， 请写一份测量 报告援 报告中应有测量的示意图、 测量的操作过程、 测得的 数据、 计算方法和最终结果等内容援 匀孕 60 30 0 30 60 铅锤 度盘 支杆 图 1-22 猿援 如图， 广场上空有一个气球 粤， 地面上点 月， 悦， 阅 在一条直线上， 月悦＝20 皂援 在点 月， 悦 分别测得气球 粤 的仰角∠粤月阅 为 45毅， ∠粤悦阅 为 56毅， 求气球 粤 离地面的高 度 粤阅（精确到0援1皂） 援 源援 如图， 从点 粤 看一山坡上的电线杆 孕匝， 观测杆顶端点 孕 的仰角是 45毅， 向前走 6 皂 到达 月 点， 测得杆顶端 点 孕 和杆底端点 匝 的仰角分别是 60毅和 30毅援 求该电线杆 孕匝 的高 度 （精确到 0援1 皂） 援 缘援 如图， 两个观察者从 粤， 月 两地观测空中 悦 处一个气球， 分别测得仰 角为 45毅和 60毅援 已知 粤， 月 两地相距 100 皂，当气球沿与 粤月 平行的 路线飘移 20 秒后到达点 悦忆， 在 粤 处测得气球的仰角为 30毅援 求： （1）气球飘移的平均速度 （精确到 0.1m/s） . （2）在 月 处观测点 悦