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第 1 章有理数 有理数 第 章1 数的发展是一个漫长的历史过程. 人类在日常生产和生 活实践中， 由于记数、 测量、 分配等方面的需要， 产生了自 然数、 分数、 小数. 进一步， 为了表示现实生活中的一对具 有相反意义的量 （例如， 温度的 “零上” 与 “零下”）， 又引进了 负数， 从而把数扩充到有理数. 把数扩充到有理数后， 如何 比较有理数的大小？ 如何进行有理数的加、 减、 乘、 除运算？ 本章将学习这些内容. 1 数学七年级上册 具有相反意义的量1.1 在日常生产和生活实践中， 由于记数、 测量、 分配等方面的需要产生了自 然数、 小数、 分数． 你还见过其他的数吗？ 用不同颜色的数字来区分零上和零下的 温度数固然是一种办法， 但与在小学数学中 学过的整数和分数（或小数）一样， 对于数要 进行加、 减、 乘、 除等运算， 如果仅用颜色 来区分， 就不便于运算． 因此我们要想其他 的办法． 如图 1-1 所示的温度计上是如何区分零上的度数和零下的度数的？ （１） 在预报北京市某天的天气时， 播音员说： “北京， 晴， 局部多云， 零 下 ６ 摄氏度到 ５ 摄氏度．” 这时， 屏幕上是如何显示这天的温度的（图 1-2）？ 图 1-2图 1-3 （２） 如图 1-3， 储蓄存折上是怎样表示 “存入 2 500 元” 和 “支出 3 000 元” 的？ 图 1-1 北京 -6~5 ℃ ℃℃ 2 第 1 章有理数 存入 2 500 元记做“+2 500”， 支出 3 000 元记做 “-3 000”． 屏幕上显示 “-6~５ ℃”． 请举出一些具有相反意义的量的例子， 并分别表示它们. 图 1-4 在图 1-4 中， 海平面以上与海 平面以下表示的意义相反. 海平面 以上 1 025 m 记做 “1 025 m”， 海 平面以下 155 m 记做 “-155 m”. 在东西向的马路上， 把出发点记为 0， 向东 与向西意义相反． 若把向东东走 ２ km 记做 “２ km”， 那么向东西走 ２．６ km 应记做 “-２．６ km”． 温度的 “零上 ５ 摄氏度” 与 “零下 6 摄氏度”、 储蓄中的 “存入 2 500 元” 与 “支出 3000 元” 分别是一对意义相反的量． 为了便于区分意义相反的量， 数学上规定： 在具有相反意义的一对量中， 我们把其中的一种量用正数（positive number） 表示， 例如 ３， 125， 10.5， ２ ３ 等大于 0 的自然数和分数（或小数）就是正数； 而 另一种量就用负数（negative number）表示， 它是在正数前面加上 “－” （读做负） 号， 例如－３， －１， －0.618， - ２ ３ 等就是负数． 有时候在正数前面加上 “＋” （读做正）号， 以强调它是正数. 例如，“正数 5” 写做 “+5”， 但通常把 “＋” 号省略不写． ０ 既不是正数， 也不是负数． 我们也把正数和 0 统称为非负数. 3 数学七年级上册 分数可以化成有限小数或无限循环小数， 例如， １ ２ ＝０．５， - 67 100 ＝ -0．67， 2 3 ＝ ０．6， ….有限小数或无限循环小数也可以化为分数， 例如， -０．１２５＝ - １ ８ ， ０．3＝ １ ３ ， -０．2＝- 2 9 ，…. 正整数、 零和负整数统称为整数（ｉｎｔｅｇｅｒ）； 正分数和负分数统称为分数 （ｆｒａｃｔｉｏｎ）； 整数和分数统称为有理数（ｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ）． 请你举例说明从小学到现在， 我们学过的数有哪些. 自然数 0， １， ２， ３， … 小数 ３．2， ０．6， 5.33， …； 分数 １ ２ ， ２ ３ ， ６８ １００ ， … 负数－３， －１００， －0.125， － １ 4 ， -０．3， … 负分数 负整数 －３， －１， －155， … - １ 4 - 67 100 -0.125 正分数 正整数 1， 3， 167， … １ ２ 5 6 0.6 0 ……-0.20.3 有理数 4 第 1 章有理数 练习 1. 回答下列问题： （１） 通常把水结冰时的温度规定为 ０ ℃， 那么比水结冰时的温度低 ５ ℃ 应记做什么芽 （２） 如果在东西向的马路上把出发点记为 0， 把向东走的路程记做正数， 那么走－ ５０ m 是什么意思芽 2. 有下列数： ３郾６， ３ ５ ， － ７８， ０， － ０郾３７， ９， － ５郾１４， －１. 其中 整数：； 分数：郾 3. 下列有理数中哪些是非负数， 哪些是负数？ -0.414， -7， 2.7， - 1 3 ， 2 010， 0， 1 4 ， -10.3， 2. 习题 1.1 A?组 1. 某粮库把运进的粮食数记做正数， 在某星期的 ５ 天中， 该粮库粮食进出 情况记录如下： 请根据上表说出该粮库在这 5 天中每天的粮食进出情况． 2. 食品罐上标注：“净含量： （250±5） g”， 这里的 “+” 和 “-” 分别表示什么？ 星期一二三四五 粮食数（t）２５－１０－１５４０－３０ （ 第 2 题图 ） （250±5） g 5 数学七年级上册 3. 下表是 “2011 年 11 月 11—20 日我国 50 个城市主要食品平均价格变动 情况”. 请你说出上表中每个数据的含意. 4. 把下列各数填在相应的横线上： －１４，２郾８，４５，－１０ ３ ，－０郾２５，０， － ３ ４ ，２郾０７，－７郾１，-１８１， １ ２ ，３郾 正整数： ______________________________________； 零： __________________________________________； 负整数： ______________________________________； 正分数： ______________________________________； 负分数： ______________________________________. B?组 5. 黄刚和刘宇共下了五局象棋， 其中 黄刚只胜了第一局， 和了第三局. 如果胜一 局记做 １， 和一局记做 ０， 负一局记做－１， 请用有理数将他们的战况填入下表： 局次 姓名 黄刚 刘宇 第一局第二局第三局第四局第五局 战况 比上期涨跌幅（%） 大米面粉豆制品花生油 0-0.20.3-0.2 食品名称 6 第 1 章有理数 数轴、 相反数与绝对值1.2 我们看到的刻度尺的边缘上都有一些点， 并且这些点在一条直线上， 它 们分别表示一些数. 由此联想， 能不能用一条直线上的点来表示数？ 图 1-5 让出发点 O 表示 0， 向东走 1 m 到达点 A， 就让点 A 表示 1； 向西走 1 m 到达点 B， 就让点 B 表示-1. 向东走 3 m 到达点 C， 就让点 C 表示 3； 向 西走 3 m 到达点 D， 就让 点 D 表示-3. 从上面的例子受到启发， 我们可以用一条直线上的点来直观地表示数. 画一条直线（通常把它水平放置）， 在直线上取一点 O， 把点 O 叫做原点 （origin）， 用原点表示数 0. 规定直线的正方向（标上箭头）. 通常把直线上从原点向右?的方向规定为正 方向， 从原点向右左的方向规定为负方向. 图 1-5 是小丽从点 O 出发， 沿一条笔直的东西向人行道行走的示意图. 由图你能受到什么启发？ 1郾2郾1数轴 O 0 7 数学七年级上册 练习 例 1如图 １－7， 数轴上的点Ｍ， Ｐ， Ｑ分别表示哪个有理数？ 解点 M， P， Q 分别表示-3， -0.5， 2.5. 图 1-7 例 2 画一条数轴， 并标出表示下列各数的点： -5， 1.5， -3.5， 4.5， - 1 2 ， 7 10. 解所画数轴及各数在数轴上对应的点如图 1-8 所示. 图 1-8 图 1-6 像这样， 规定了原点、 正方向和单位长度的直线叫做数轴（number axis）， 如图1-6 所示. 由上可知， 任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示. 1. 把下列各数和数轴上对应的点用线连起来： 0-234.25-3.5 （ 第 1 题图 ） 选取适当的长度为单位长度. 从原点向右?， 距原点 1 个单位长度的点表示 数 1， 距原点 2 个单位长度的点表示数 2， …； 从原点向右左， 距原点 1 个单位 长度的点表示数-1， 距原点 2 个单位长度的点表示数-2， …. 8 第 1 章有理数 2. 填空： （１） 数轴上在原点右边距原点 ３郾７ 个单位长度的点表示的数是； （２） 数轴上在原点左边距原点 ５ ８ 个单位长度的点表示的数是； （３） 数轴上距原点 ２ 个单位长度的点有个， 它们分别表示数． 3. 画一条数轴， 并标出表示下列各数的点： －２， －０郾８， ０郾８， ２． 如图 1-9， 点 A 和点 B 表示的有理数之间有什么关系？ 点 A 表示-5， 点 B 表 示 5， 它们只是符号不同． 点 A 与原点的距离是 5， 点 B 与原点的距离也是 5． 像 5 和-5 这样， 如果两个数只有符号不同， 那么其中一个数叫做另一个 数的相反数（opposite number）， 也称这两个数互为相反数.例如， ２郾６ 的相反数 是－２郾６， －２郾６ 的相反数是 ２郾６． 我们把数 ａ 的相反数记做－ａ． 于是 “－２郾６ 的 相反数是 ２郾６” 就可以记做“－（－２郾６）＝２郾６”． 0 的相反数是 0. 表示互为相反数的两个数的点， 在数轴上分别位于原点的两侧， 并且与原 点的距离相等. 图 1-9 1郾2郾2相反数 9 数学七年级上册 练习 例 3 画一条数轴， 并标出表示下列各数的相反数的点： 3， 1.5， -6. 解3 的相反数是- 3； 1.5 的相反数是- 1.5； - 6 的相反数是 6， 且- 3， - 1.5， 6 在数轴上对应的点分别为 A， B， C， 如图 1-10 所示. 图 1-10 - （ + 1 ） = ？- （ - 1 ） = ？ 因为+1 的相反数是-1， 所 以-（+1）=-1. 因为-1 的相反数是 1， 所 以-（-1）=1. 1. 把右边各数中互为相反数的两个数 用线连起来， 并在一条数轴上标出表示它 们的点. 2. 填空： -（+6.7）=摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇；-（+8）=摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇； -（-4）=摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇；-- 5 3 3?=摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇. 3. 已知 a 的相反数是 3.5， 则 a 等于多少？ -2.5 -9 1 0 2.5 0 9 -1 例 4填空： -（+0.8）=摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇；-（-3）=摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇. 解-（+0.8）=-0.8；-（-3）=3. 10 第 1 章有理数 小明家、 学校、 小李家在数轴上的位置分别如图 １－11 中点 A， O， B 所示. 若数轴的单位长度表示 １ km， 则 A， B 两点表示的有理数分别是多少？ 小明、 小李各自从家到学校要走多远？ 图 1-11 我们把 4 叫做-4 的绝对值（absolute value）， 记做 “|-4|=4”； 把 2 叫做 2的 绝对值， 记做 “ |2|=2”. 一般地， 数学上规定： 从而， 互为相反数的两个数的绝对值相等. 点 A 表示-4， 小明从家到学校要走 4 km， 点 B 表示 2， 小李从家到学校要走 2 km. 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； ０ 的绝对值是０. 从上述例子看到， -4 的绝对值等于数轴上表示-4 的点 A 与原点之间的距 离， 2 的绝对值等于数轴上表示 2 的点 B 与原点之间的距离， 如图 1-12 所示. 1郾2郾3绝对值 小明家学校小李家 11 数学七年级上册 练习 如果 a 表示一个数， 则| a | 等于多少？ 例 6若|a|=8.7， 求 a. 解因为绝对值等于 ８郾７ 的有理数有 ８郾７ 和－ ８郾７ 两个， 所以 a=8.7 或 a=-8.7. 一般地， 如果 a 表示一个数， 则 （1） 当 a 是正数时，|a|=a； （2） 当 a=0 时，|a|=0； （3） 当 a 是负数时，|a|=-a. 即|a|是指 a 和-a中非负数的那一个. 1郾 求下列各数的绝对值： ３， ３郾１４， - 1 5 ， －２郾８． 一般地， 有下述结论： 一个数的绝对值等于数轴上表示这个数的点与原点的距离. 例 5求下列各数的绝对值： １２， － ３ ５ ， －７郾５， ０． 解｜１２｜＝１２；－ ３ ５ ＝ ３ ５ ； ?｜－７郾５｜＝７郾５；｜０｜＝０． 图 1-12 绝对值一定是一个非负数. 12 第 1 章有理数 习题 1.2 A?组 1. 如图， 写出数轴上点 A， B， C， D 表示的有理数. 2. 画一条数轴， 并标出表示下列各数的点： - 2 5 ， 0， -2， 2.5， -1.2， 3. 3. 写出下列各数的相反数： - 1 8 ， 0， 2.5， 7 4 ， - 1 6 . 4. 画一条数轴， 并标出表示下列各数的相反数的点： -4， -3， 2， -1.5. 5. 填空： - （ + 7 ） = ____________ ；- （ - 9 ） = ____________ ； - （ + 0.5） = ____________ ； - - 2 3 3?= _____________ . 6. 写出下列各数的绝对值： 2， -2， 3 2 ， - 4 3 ， 0. 7. 已知| a | = 3 4 ， 则 a=________. 8. 画一条数轴， 并标出表示绝对值等于 0.5， 0， 1.5 的数的点. （ 第 1 题图 ） 2. 填空： -｜-2 010 ｜=摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇；-｜-2.8｜=摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇；- 5 8 =摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇. 3. 画一条数轴， 并标出表示绝对值等于 2， 3.5 的数的点. 13 数学七年级上册 B?组 9. 点 A 在数轴上， 位于原点的左侧， 且距原点 4 个单位长度. 若将点 A 先向左移动 2 个单位长度， 再向右移动 10 个单位长度， 此时点 A 所表示的 数是多少？ 10. 根据要求在空框内填上适当的数： 11. 如果 a 是正数， 那么-a 是负数吗？ 如果 a 是负数， 那么-a 是什么 数呢？ 12. 从一批乒乓球中挑选 6 个球编号后进行称重检查， 结果如下（超过标准 质量的克数记为正数， 不足的克数记为负数， 单位： g）： 编号 检查结果+0.02-0.03-0.05+0.04-0.01+0.06 如果让你来挑选最接近标准质量的球， 你将选择几号球？ ８ 相反数绝对值 相反数绝对值 －０．８７ －１．６ 绝对值相反数 绝对值相反数 －５ 123456 14 第 1 章有理数 有理数大小的比较1.3 我们已经会比较正数的大小， 例如5 3， 1 2 1 3 ； 并且还知道， 正数都 大于 0. 由生活中的例子受到启发， 我们规定： 2 ℃比-10 ℃高， 0 ℃比 -3 ℃高， 因为我感觉温度在 2 ℃时比-10 ℃时暖 和， 在 0 ℃时比-3 ℃时暖和. 正数大于负数， 0 大于负数. 温度-10 ℃与 2 ℃， 哪个温度高？ 温度 0 ℃与-3 ℃， 哪个温度高？ 温度-10 ℃与-3 ℃， 哪个温度低？ -10 的绝对值与-3 的绝对值， 哪个大？ 由于| - 10 | = 10 ， | - 3 | = 3 ， 因 此 | - 10 | | - 3 | . -10 ℃比 -3 ℃低， 因为我感 觉温度在-10 ℃时比-3 ℃时冷. 图 1-13 ℃ 15 数学七年级上册 例比较下列各组数的大小： （1） －１００ 与 －３；（2） － ２ ３ 与－ ３ ５ ； （3） － - 1 2 2?与 －|-2|. 解（1） 因为|-100|=100，|-3|=3， 又 1003， 所以 －１００＜－３； （2） 因为 － ２ ３ ＝ ２ ３ ，－ ３ ５ ＝ ３ ５ ， 又 ２ ３ ＞ ３ ５ ，所以 － ２ ３ ＜－ ３ ５ ； （3） 因为－ - 1 2 2?= 1 2 ，－ |-2|=-2，所以－ - 1 2 2?－ |-2|. 在以向右为正方向的数轴上， 右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 从上述例子受到启发， 我们规定： 两个负数， 绝对值大的反而小. 根据这个规定， 由于|-10|=10， |-3|=3， 且 10＞3， 因此-10” 连接起来. 5. 分别写出所有适合下列条件的数： （1） 小于 4 的非负整数； （2） 大于-4 的负整数； （3） 绝对值小于 3 的整数. （ 第 4 题图 ） 18 第 1 章有理数 有理数的加法和减法1.4 我们已经会计算两个非负数的和， 例如8+12=20， 3.75+0.25=4， 那么 如何计算两个负数的和呢？ 图 1-16 小丽从点 O 出发， 先向西走了 2 km， 然后继续向西走了 3 km， 两次行 走后， 小丽从 O 点向哪个方向走了多少千米？ 两次行走后， 小丽从 O 点向西西走了（2+3）km， 用算式表示就是 （-2）+（-3）=-（2+3）.摇① 由①式得到启发， 数学上规定： 两个负数相加， 结果是负数， 并且把它们的绝对值相加. 例 1计算： （1） （-8）+（-12）；（2） （-3.75）+（-0.25）. 解（1） （-8）+（-12）=-（8+12）=-20； （2） （-3.75）+（-0.25）=-（3.75+0.25）=-4. 如图 1-16， 在一条东西向的笔直马路上， 任取一个点 Ｏ． 若把向东走 1km 记为 1 ， 则向西走 1 km 记为-1 . 1郾4郾1有理数的加法 19 数学七年级上册 在一条东西向的笔直马路上， 任取一个点 Ｏ． 若把向东走 1 km 记为 1 ， 则向西走 1 km 记为-1. （1） 小亮从点 O 出发， 先向东走了 4 km， 然后掉头向西走了 1 km， 小 亮两次行走的效果等于从点 O 向哪个方向走了多少千米？ （2） 小刚从点 O 出发， 先向东走了 1 km， 然后掉头向西走了 3 km， 小 刚两次行走的效果等于从点 O 向哪个方向走了多少千米？ （2） 如图 1-18 所示， 由于小刚掉头向西走了 3 km， 把原来向东走的 1 km 抵 ?抵消了， 因此小刚两次行走的效果等于从点 O 向抵西走了（3-1） km. 用算式表示 就是 1+（-3）=-（3-1）=-2.? ? ? ? 摇③ 从②、 ③式受到启发， 数学上规定： 异号两数相加， 当两数的绝对值不相等时， 取绝对值较大的 加数的符号， 并且用较大的绝对值减去较小的绝对值． （1） 如图 1-17 所示， 由于向西走 1 km 抵 ?抵消了原来向东走 4 km 中的 1 km， 因此小亮两次行走的效果等于从点 O 向抵东走了（4-1）km. 用算式表示就是 4+（-1）=+（4-1）=3.? ????????????????????② 图 1-18图 1-17 现在我们已经学会求两个负数的和， 那么如何求一个正数与一个负数 的和呢？ 20 第 1 章有理数 练习 （1） 互为相反数的两个数相加， 和为多少？ （2） 一个数与 0 相加， 和为多少？ 1. 计算： （１） （ － １１ ） ＋ （ － ９ ） ；? ? （２） （ － ７ ） ＋ ０ ； （3） ８ ＋ （ － ２０ ） ；（４） （ － ９ ） ＋ ９ ； （５） （ - 10 ） ＋ 7 ；（６） 5 8 + - 7 12 2?. 2. 某地 8：00 的气温是-3 ℃， 15：00 的气温比 8：00 的气温上升了 5 ℃， 该地 15：00 的气温是多少？ 从上述有理数加法的规定可以得出： 如果两个数的和等于 ０， 那么这两个数互为相反数． 例 2计算： （1） （-5）+9；（2） 7+（-10）； （3） - 3 4 2?+ 1 2 ；（4） 3 5 +- 3 5 2?. 解（1） （-5）+9=+（9-5）=4； （2） 7+（-10）=-（10-7）=-3； （3） - 3 4 2?+ 1 2 = - 3 4 2?+ 2 4 = - 3 4 - 2 4 2?= - 1 4 ； （4） 3 5 +- 3 5 2?=0. 互为相反数的两个数相加得 0； 一个数与 0 相加， 仍得这个数. 21 数学七年级上册 （1） 计算下列各式： 5 + （ - 3 ） = 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ， （ - 3 ） + 5 = 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ， ［ （ - 8 ） + （ - 9 ） ］ + 5 = 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ， - 8 + ［ （ - 9 ） + 5 ］ = 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 ； （2） 换几个有理数试一试， 你发现了什么？ 加法交换律： ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ郾 一般地， 对于有理数的加法， 仍然有下面的 交换律（commutative law）、 结合律（associative law）. 加法结合律： ａ＋ｂ＋ｃ=（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ ｃ）郾 即， 三个有理数相加， 先把前两个数相加， 再把结果与第三个数相加； 或者先把后两个数相加， 再把结果与第一个数相加， 和不变． 三个或三个以上有理数相加， 可以写成这些数的连加式． 对于连加式， 根据加法交换律和加法结合律， 可以任意交换加数的位置， 也可先把其中的 某几个数相加． 例 3 计算： （１） （－32）＋7＋（－８）；（２） ４郾３７＋（－８）＋（－４郾３７）； （3） 5 2 5 + - 2 7 7?+4 3 5 + -2 5 7 7?. 解（１）（－32）＋7＋（－８） ＝（－32）＋（－８）+7 ＝［－32＋（－８）］+7 ＝（－40）+7 ＝-33； （２）４郾３７＋（－８）＋（－４郾３７） =４郾３７+（-４郾３７）+（-8） ＝［４郾３７＋（－４郾３７）］＋（－８） ＝０＋（－８） ＝－８； 在小学我们已经学过了加法的交换律、 结合律， 在有理数范围内这两个 运算律是否仍然适用呢？ 即， 两个有理数相加， 交换加数的位置， 和不变． 22 第 1 章有理数 练习 1. 计算： （1） （+13）+（-7）+（-3）； （2） 1.4+（-0.1）+0.6+（-1.9）； （3）－ 1 2 2?+ 3 7 + － 2 3 2?+ 1 2 + － 1 3 2?. 2. 小欢的父亲在某储蓄所原有存款 5 000 元. 某月他父亲到该储蓄所办 理了以下4项现款储蓄业务： 存入 500元， 支出 300元， 存入 1 200元， 支出 600元. 则他父亲在该储蓄所还有多少钱？ （3） 5 2 5 +－ 2 7 2?+4 3 5 +－2 5 7 2? =5 2 5 +4 3 5 +－ 2 7 2?+ －2 5 7 2? = 5 2 5 +4 3 5 2?+ － ２ 7 2? + －2 5 7 2?7? =10+（-3） =7. 根据算式的特征， 恰当 地运用运算律， 可以使运算 简便. 例 4 某台自动存取款机在某时段内处理了以下 6 项现款储蓄业务： 存入 200 元、 支出 800 元、 支出 1 000 元、 存入 2 500 元、 支出 500 元、 支出 300 元. 问该自动存取款机在这一时段内现款增加或减少了多少元？ 解记存入为正， 则由题意可得： （+200）+（-800）+（-1 000）+（+2 500）+（-500）+（-300） =（200+2 500）+［（-800）+（-1 000）+（-500）+（-300）］ =2 700+（-2 600） =100. 答： 该自动存取款机在这一时段内现款增加了 100 元. 23 数学七年级上册 练习 我们已经会进行有理数的加法运算， 但如何进行有理数的减法运算呢？ 2011 年某一天， 北京市的最高气温是-1 ℃， 最低气温是-9 ℃， 这天北 京市的温差（最高气温-最低气温）是多少？ 减去一个数， 等于加上这个数的相反数. 由这个例子以及大量其他例子受到启发， 规定： 例 5 计算： （1） 0-（-3.18）；（2） 5.3-（-2.7）； （3） （-10）-（-6）；（4）-3 7 10 0?-6 1 2 . 解 摇 （1） 0-（-3.18）=0+3.18=3.18； （2） 5.3-（-2.7）=5.3+2.7=8； （3） （-10）-（-6）=（-10）+6=-4； （4）-3 7 10 0?-6 1 2 =（-3.7）-6.5=（-3.7）+（-6.5）=-10.2. 1. 计算： （１） ７－（－４）；（２） （－３）－（－５）； 从图 1-19 的温度计可以看出： -1 ℃比-9 ℃高 8 ℃， 因此 （-1）-（-9）=8=（-1）+9. 图 1-19 即 a -b = a + （ - b ） .  “ “ 1郾4郾2有理数的减法 ℃ 24 第 1 章有理数 计算： 8 - （ - 3 ） + （ - 5 ） - 7 . 这个式子中既有加法运算， 又有减法运算， 因 为 “减去一个数， 等于加上这个数的相反数” , 所 以可以把它们全部转化为加法运算. （３） （－３）－０；（４） ０－（－７）郾 ２郾 计算： （１） ２郾５３－（－２郾４７）；（２） （-1.7）-（-2.5）； （３）－ １ ３ ３? － － ２ ３ ３?；（４） 3 4 - － 5 6 ３?郾 3郾 潜水员甲潜入海平面以下 10 m， 潜水员乙潜入海平面以下 20 m， 问 甲的位置比乙的位置高多少米？ 8-（-3）+（-5）-7 =8+3+（-5）+（-7） =11+(-12) =-1. 在上面的计算过程中， 我们把加减运算都统一成了加法运算， 原来的算式就 转化为求几个正数或负数的和. 在上面的计算中， 我们可以把算式 8 +3 +（-5） +（-7） 中的括号及它前面 的加号省略不写， 写成下列形式： 8+3-5-7. 例 6 计算：（-21）+30-15-（-17）. 解 摇 （-21）+30-15-（-17） =（-21）+30+（-15）+17 =(-21)+（-15）+30+17 =-36+47 =11. 25 数学七年级上册 例 7动物园在检测成年麦哲伦企鹅的身体状况时， 最重要的一项工作就是称体重． 已知某动物园对 6 只成 年麦哲伦企鹅进行称重检测， 以 4 kg 为标准， 超过或不 足的千克数分别用正数、 负数表示， 称重记录如下表所 示， 求这 6 只企鹅的总体重. 解（－0.08）＋（+0郾09）＋（+0.05）＋（－０郾0５）＋（+0郾08）＋（+0.06） ＝［（－0.08）＋0郾08］＋［0.05＋（－０郾0５）］＋（0.09+0.06） ＝０＋0＋0.15 ＝0.15． 4×6＋0.15＝24.15（kg）郾 答： 这 6 只企鹅的总体重是 24.15 kg． 可以先求出每只企鹅的 体重后， 再相加吗？ 比一比 哪种方法较简便. 编号 差值 （kg）-0.08+0.09+0.05-0.05+0.08+0.06 练习 1. 计算： （1） -6-（-4）-3+（-5）； （2） （- 10.5）+ （- 8.6）- （- 9.6）+ 10； （3）- 3 1 2 2?- （- 4.5）+ （- 6.5）- （- 2.5）. 2. 计算： （1） 2 3 + - 1 8 2? - - 1 3 2? + - 3 8 2?； （2） - 1 4 + 5 6 + 2 3 - 1 2 . 3. 7 筐西红柿， 每筐以 12 kg 为标准， 超过或不足的千克数分别用正数、 负数表示， 称重记录如下（单位： kg）： -1， +1.5， 2， -0.5， -1.5， 1.5， 1. 求 这 7 筐西红柿的总质量. 123456 26 第 1 章有理数 A?组 1. 计算： （1） （ - 20 ） + 15 ；（2） 0 + （ - 8 ） ； （3） （ - 4.25） + 4.25；（4）- 4 11 1? + - 7 11 1?； （5） （ - 5.7） + 6.3；（6）- 3 4 1?+ 5 6 . 2. 甲地的平均海拔为-20 m， 乙地平均比甲地高 30 m， 乙地的平均海拔是 多少？ 3. 计算： （１） ８ ＋ （ － ９ ） ＋ ２ ＋ （ － １ ） ；（２） （ － ７ ） ＋ ４ ＋ （ － ３ ） ＋ （ － ４ ） ； （３） ３郾４７ ＋ （ － ２．７） ＋ （ － ３．４７） ＋ （ － ２．３） ； （４）－ １ ７ 1?＋ ３ ５ ＋ ４ ７ ＋ － １ ５ 1?郾 4. 一架飞机作特技表演， 起飞后在某一时 段内其高度变化情况如下： 上升 450 m， 下降 320 m， 上升 110 m， 下 降 140 m . 则该飞机在这一时段内高度上升（或下降） 多少？ …… …… …… 输入输出 执行操作 13 -9 -5 -7 …… …… …… 输入输出 执行操作 13 -9 -5 -（-7） 6. 按操作填空： 5. 计算： （1） 0 - （ - 3 ） ；（2） （ - 3 ） - （ - 9） ； （3） （ - 2郾3 ） - （ - 6郾8 ） ；（4） 4 1 2 - 7 1 2 . 习题 1.4 27 数学七年级上册 7. 已知月球表面的最高温度是 127 ℃， 最低温度是-183 ℃， 求月球表面的 温差. 9. 计算： （１） （ － ７ ） － （ － ８ ） ＋ （ － ９ ） － １４ ； （２） （ － ３２ ） － １７ － （ － ６５ ） ＋ ５ ； （３） （ － ７．７） ＋ （ － ２．３） － （ － １２．６） ； （４）－ １ ２ ２? － － １ ３ ２? ＋ － １ ４ ２?郾 10郾 计算： （１） － ５ ＋ ８ － ２８ － １０ ；（２） ０ － ３郾４ ＋ ５ － ４郾６ ； （３） － ７ ２ － ９ ４ ＋ ３ ２ ；（４） ３ ４ － １郾７５ － ０ ＋ ３. 11郾 某体育用品店用 400 元购进了 8 套运动服， 准备以一定价格出售. 如果 该店卖出每套运动服的价格以 55 元为标准， 超出部分记做正数， 不足部分记 做负数， 记录如下（单位： 元）： +2， -3， +2， +1， -1， -2， 0， -2. 则该店卖 出这 8 套运动服后是赢利还是亏损？ 赢利（亏损）多少？ B?组 12. 将－ ４， － ３， － ２， ２， ３， ４ 这 6 个数填入图 示空格中， 使得横、 竖、 斜对角的所有 3 个数之和 都为 ０郾 13. 已知 ｜x｜＝5，｜y｜＝3， 则 x-y 的值是多少？ 8郾 下表列出了国外几个城市与北京的时差 （单位：时. 正数表示同一时刻比 北京时间早的时数）. 19：00， 我国中央电视台新闻联播节目开始时， 纽约、 巴黎、 东京三城市的 时间分别是多少？ 城市纽约巴黎东京 与北京的时差-13-7+1 （ 第 12 题图 ） 28 第 1 章有理数 有理数的乘法和除法1.5 我们已经熟悉了非负数的乘法运算， 例如 ????????????????????????????????????????????????????????????????5×3=15，??????????????????????????????????????????????① 那么如何计算（-5）×3， 3×（-5）， （-5）×（-3）呢？ 我们已经知道（-5）×3=-（5×3）， 那么 3×（-5），（-5）×（-3）又应怎 样计算呢？ 小丽从 O 点向西?行走了（5×3） km. 由此， 我们有 （-5）×3=-（5×3）.② 如图 1-20， 我们把向东走的路程记为正数. 如果小丽从点 O 出发， 以 5 km/h 的速度向西?行走 3 h 后， 小丽从 O 点向哪个方向行走了多少千米？ 图 1-20 非负数的乘法与加法是用分配律联系起来的， 因此， 当数扩充到有理数 后， 要规定有理数的乘法法则， 当然也要求它满足分配律， 以便把乘法与加 法联系起来. 如果它满足分配律， 那么就会有 1郾5郾1有理数的乘法 29 数学七年级上册 类似地， 我们有 （-5）×（-3）+（-5）×3 =（-5）×［（-3）+3］ =（-5）×0 =0. 这表明 （-5）×（-3）与 （-5）×3互为相反数. 因为 （-5）×3=-15， 而-15 的相反数是 15， 所以 （-5）×（-3）=15. 即（-5）×（-3）＝15=5×3.④ 由④式看出， （-5）×（-3）得正数， 并且把绝对值 5 与 3 相乘. 从①、?④式受到启发， 于是规定： 根据类似的理由， 规定： 任何数与0 相乘， 都得 0. 例 1 计算： （1） 3郾5×（-2）；（2）- 3 8 ??× 2 9 ； （3） （-3）× - 1 3 ??；（4） （-0.57）×0. 异号两数相乘得负数， 并且把绝对值相乘. 同号两数相乘得正数， 并且把绝对值相乘. （-）×（+）→（-） （+）×（-）→（-） （+）×（+）→（+） （-）×（-）→（+） 3×（-5）+3×5=3×［（-5）+5］=3×0=0. 这表明 3×（-5）与 3×5互为相反数， 于是有 3×（-5）=-（3×5）.③ 从②、 ③式受到启发， 一般规定： 30 第 1 章有理数 练习 1. 填表： 2. 计算： （1）- 2 3 ??×15 4 ；（2）- 8 15 ?? × - 5 12 ??. 解（1） 3郾5×（-2）＝-（3郾5×2）＝-7； （2）- 3 8 ??× 2 9 =- 3 8 × 2 9 ??=- 1 12 ； （3） （-3）×- 1 3 ??＝3× 1 3 ＝1； （4） （-0.57）×0=0. 填空： （1）（-2）×4=， 4×（-2）=； （2）［（-2）×（-3）］×（-4）=×（-4）=， （-2）×［（-3）×（-4）］=（-2）×=. 从上面的填空题中， 你发现了什么？ 在小学我们已经学过乘法的交换律、 结合律， 那么这两个运算律在有理数 范围内是否也适用呢？ 有理数相乘， 先确定积的 符号， 再求绝对值的积. 因数因数积的符号绝对值的积积 －２７ －１ ０郾３－１０ - 1 4 31 数学七年级上册 即， 一个有理数与两个有理数的和相乘， 等于把这个数分别与这两个数相 乘， 再把积相加. 利用分配律， 可以得出 （－１）ａ＝－ａ． 乘法交换律： ａ×ｂ＝ｂ×ａ 郾 一般地， 我们可以得出： 例 2 计算： （１） １ ２ － １ ３ － １ ４ ＋ １ ５ ??×６０； （２） （－１２郾５）×（－２郾５）×（－８）×４. 乘法结合律：（ａ×ｂ）×ｃ＝ａ×（ｂ×ｃ）． （1） 填空：（ － ６ ） × ［ ４ ＋ （ － ９ ） ］ ＝ （ － ６ ） ×＝， （ － ６ ） × ４ ＋ （ － ６ ） × （ － ９ ） ＝＋＝； （2） 换几个有理数试一试， 你发现了什么？ 即， 对于三个有理数相乘， 可以先把前两个数相乘， 再把结果与第三个数 相乘； 或者先把后两个数相乘， 再把第一个数与所得结果相乘， 积不变． 和加法类似， 根据乘法交换律和乘法结合律可以推出： 三个或三个以上有 理数相乘， 可以写成这些数的连乘式． 对于连乘式， 可以任意交换因数的位 置， 也可先把其中的几个数相乘． 一般地， 有理数的乘法有以下的运算律： 即， 两个有理数相乘， 交换因数的位置， 积不变. a×（b+c）=a×b+a×c. 乘法对加法的分配律（简称为分配律