青岛版九年级上册《数学》电子课本教材（全册pdf电子书）-免费下载.pdf

义 务 教 育 教 科 书 数 学 九年级 上册 QINGDAOCHUBANSHE 亲爱的同学： 你们好！祝贺你进入九年级，开始了义务教育阶段最后一学年的 学习生活，攀登上一个新的起点。 过去你已经熟悉了全等形。但生活中还有形状相同大小未必相等 的图形，怎样判定两个三角形的形状相同呢？形状相同的三角形有 什么性质？怎样把一个图形放大或缩小？你将在“图形的相似”中 得到解答。 你到过或听说过“东方比萨斜塔”——苏州虎丘塔吗？这座塔 四百多年前就开始倾斜，现在它的中心线偏离铅直方向多少度了？它 与地面的倾斜角是多少？你会在“解直角三角形”中学到解决这类实 际问题的本领。 在七年级，你对圆已经有了初步认识，本书将带你进一步探索圆 的性质，掌握圆与角、圆与直线、圆与三角形、圆与正多边形等更为 广阔的知识。通过这一章的学习，你的数学视野将会进一步扩大，你 的推理能力将会进一步得到提高。 在学习了一元一次方程和分式方程的基础上，你将认识新的朋 友——一元二次方程，学会它的解法，并用它解决一些实际问题，你 会再次感受方程是刻画现实世界的重要的数学模型。 数学是人们生活、工作和学习必不可少的工具，也是一种文化和 思维的方式。数学不仅给我们知识，而且给人以智慧、修养和力量。 过去，数学一直是你的亲密伙伴，今后，数学将继续伴你茁壮成长。 现在，就让我们走进九年级数学的新天地，继续领略数学的美 妙，探索数学的奥秘吧！ 1 目 录 2 4 8 22 26 32 36 38 41 45 49 53 62 66 68 76 81 91 101 104 109 117 目 录 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 1 章 图形的相似 1.1 相似多边形 1.2 怎样判定三角形相似 1.3 相似三角形的性质 1.4 图形的位似 回顾与总结 第 2 章 解直角三角形 2.1 锐角三角比 2.2 30° ，45° ，60° 角的三角比 2.3 用计算器求锐角三角比 2.4 解直角三角形 2.5 解直角三角形的应用 回顾与总结 第 3 章 对圆的进一步认识 3.1 圆的对称性 3.2 确定圆的条件 3.3 圆周角 3.4 直线与圆的位置关系 3.5 三角形的内切圆 3.6 弧长及扇形面积的计算 3.7 正多边形与圆 回顾与总结 122 124 130 135 139 142 146 149 155 158 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 4 章 一元二次方程 4.1 一元二次方程 4.2 用配方法解一元二次方程 4.3 用公式法解一元二次方程 4.4 用因式分解法解一元二次方程 4.5 一元二次方程根的判别式 *4.6 一元二次方程根与系数的关系 4.7 一元二次方程的应用 回顾与总结 综合与实践 黄金分割与五角星 2 目 录 第1章 图形的相似 2 3 第1章 图形的相似 4 1.1 相似多边形 小莹在电脑上任意画出一个四边形 ABCD（图 1-2 ①） ，并将它按原大复制下来，得到四边形 A'B'C'D' （图 1-2 ②）. 然后将四边形 ABCD 各角的大小保 持不变，将它的各边同时放大 5 4 倍，得到四边形 A''B''C''D''（图 1-2 ③） . 再将四边形 ABCD 各角的大 小保持不变，将它的各边同时缩小 2 3 ，得到四边形 A'''B'''C'''D'''（图1-2 ④） ， 把这四个四边形打印在同一张纸上（图 1-2） . 五星红旗是中华人民共和国的国旗. 国旗上的左上角 有五颗五角星（图 1-1） . 这五颗五角星的形状相同吗？ 大小相等吗？ 在现实生活中，你还见过形状相同但大小未必相等 的图形吗？ 形状相同的平面图形叫做相似形（similar fi gures） . 全等形与相似形有什么关系？ 交流与发现 观察与思考 两个相似形未 必是全等形. 两个全等形也 是相似形. 图 1-1 5 （1）观察得到的四个四边形，你发现它们的形状和大小有什么特征？它们 是相似形吗？ 1.1 相似多边形 （2）观察图 1-2 ① 和 ③，在四边形 ABCD 与四边形 A“B“C“D“ 中，∠A 与 ∠A“，∠B 与∠B“，∠C 与∠C“，∠D 与∠D“ 之间分别具有怎样的数量关系？ 相应的各边的比 AB A“B“ ， BC B“C“ ， CD C“D“， DA D“A“ 之间有怎样的关系？ （3）观察图 1-2 ① 和 ④，四边形 ABCD 与四边形 A“'B“'C“'D“' 相应的各角 及相应的各边分别具有怎样的数量关系？图 ③ 和图 ④ 呢？ 由上面的探究过程，我们发现：把四边形 ABCD 复制、放大或缩小后，所 得到的四边形与原来的四边形相似，它们的各个角对应相等，各边对应成比例. 反过来，如果一个四边形与四边形 ABCD 的各角对应相等，并且各边对应成比 例，那么这个四边形与四边形 ABCD 形状相同，也就是说，这个四边形与四边 形 ABCD 相似. 由此，可以给出相似多边形的定义： 两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形 的各个角对应相等，各边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形 （similar polygons） . 如图 1-2，四边形 ABCD 与四边形 A''B''C''D'' 相似，记作四边形 ABCD ∽ 四边形 A''B''C''D'' . 符号“∽”读作“相似于”. 与三角形全等的表示方法一 形状相同是对相似形的一种描述，能利 用两个相似多边形的各角之间及各边之间的 数量关系表述它们形状相同的特征吗？ ① ② ③ ④ 图 1-2 A''' B''' C''' D''' A'' B'' C'' D'' A B C D A' B' C' D' 第1章 图形的相似 6 样，在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio） . 例如，在图 1-2 中，四边形 A''B''C''D'' 与四边形 ABCD 的相似比为 5 4 ，或说成 5 : 4. 四边形 A'''B'''C'''D''' 与四边形 ABCD 的相似比为 2 3 . 当两个多边形全等时，其相似比为 1；反之，如果两个相似多边形的相似比为 1，那么这两个多边形全等. 例 1 如图 1-3，已知四边形 AEFD ∽ 四边形 EBCF . （1）写出它们相等的角及对应边的比例式； （2）若 AD = 3，EF = 4，求 BC 的长. 解 （1）在四边形 AEFD 和四边形 EBCF 中， ∵ 四边形AEFD ∽ 四边形EBCF， ∴∠A =∠BEF，∠AEF = ∠B，∠DFE =∠C，∠D =∠EFC . 并且 AE EB = EF BC = DF FC = AD EF . （2）∵ AD = 3，EF = 4 . 代入 EF BC = AD EF 得 4 BC = 3 4 . 解得 BC = 16 3 . 史海漫游 漫谈相似形 我们知道，形状相同的平面图形叫做相似形，形状相同且大小相等的图形叫做全等 形. 因此，全等形是相似形的特殊情况. 两个全等多边形是相似比为 1 的相似多边形. 挑战自我 由两个多边形的各个角分别相等，能断定它们相似吗？由两个多边形的边 对应成比例，能断定它们相似吗？如果不能，请分别举出反例；如果能，说明 你的理由. 图 1-3 7 1.1 相似多边形 人类对相似形的研究和应用，有着悠久的历史. 古希腊数学家泰勒斯（Thalcs，约公元前 625 — 公元前 547）是希腊几何学的先 驱，早于欧几里得约 300 年，他已开始了对全等三角形和相似三角形的研究. 在他提出 的为数不多的几何命题中，就有“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等” ，并根据 相似三角形的原理，利用金字塔的塔高与垂直于地面的木杆的杆高之比等于它们的影长 之比，测量出了埃及金字塔的高度. 欧几里得的《原本》中，在系统地建立了与全等形有关的知识体系后，专门有两卷 （第Ⅴ卷和第Ⅵ卷）研究了比例论和相似图形. 1679年，德国数学家莱布尼兹（Leibniz，1646—1716）在 研究图形的相似问题时，产生了一个奇妙的想法，他把拉丁字 母 S 横过来，把相似符号写成“” ，用“∽”表示全等. 后人在 此基础上，创造了全等符号“≌” ，其中上面的“∽”表示两个 图形相似，下面的“=”表示两个图形的大小相等，这充分反映 了两个全等形形状相同、大小相等的本质. 正因为相似符号“∽”和全等符号“≌”具有直观、简便 等优点，所以这两个符号被数学界沿用至今.莱布尼兹 1. 如果五边形 ABCDE ∽ 五边形 A'B'C'D'E'，且五边形 ABCDE 与 A'B'C'D'E' 的相似比为 k1，五边形 A'B'C'D'E' 与 ABCDE 的相似比为 k2，那么 k1 与 k2 满足怎样的数量关系？ 2. 如图，已知 △DEA ∽△BCA， （1）BC∥DE 吗？为什么？ 1. 三角形与四边形能相似吗？等边三角形与直角三角形能相似吗？为什么？ 2. 如图，△ABC ∽△DFE，点 A 与点 D，点 B 与点 F 是对应顶点. 请写出它 们的对应角、 对应边以及对应边之间 的比例式. A （第 2 题） BCEF D EF 练 习 习题1.1 复习与巩固 第1章 图形的相似 8 拓展与延伸 4. 如图，△BEA∽△BAD，写出图中所有相等的角和成比例线 段的比例式. （第 4 题） A B D E 探索与创新 5. 已知△ABC ∽△DEF，如果 BC = 3，CA = 4，AB = 6，△DEF 的最短边长为 2 . 求： （1）△DEF 各边的长； （2）△ABC 与△DEF 的相似比. 1.2 怎样判定三角形相似 实验与探究 （1）如图 1-4，直线 l1，l2 被平行直线 l3，l4 所截， 交点分别为 A，B，C，D . 过线段 AB 的中点 E，作直线 l5∥l4，交 l2 于点 F . F 是线段 DC 的中点吗？如果是，证明 你的结论. 图 1-4 （第 2 题） A ED B C （2）如果 BC = 3.6，ED = 2.4，AE = 5，求 AC 的长. 3. 如图，四边形 ABCD ∽四边形 PRS，BC = 8， R = 10，PS = 6，∠B = 64° . 求： （1）∠ 的度数； （2）AD 的长； （3）求四边形 ABCD 与四边形 PRS 的相似比. C R S D （第 3 题） ABP 9 1.2 怎样判定三角形相似 （1）的结论还可以说成：直线 l1，l2 被三条平行直线 l3 ，l4，l5 所截，如果 在 l1 上截得的两条线段的比等于 1∶1，那么在 l2 上截得的两条线段的比也等于 1∶1，也就是说这时截得的四条线段成比例. 过 D 作 DG∥l1，交 l5 于点 G，过 F 作 FH∥l1，交 l4 于点 H，由已知 AE = EB，可 推出 DG = FH . 再设法证明△DGF ≌△FHC （AAS） ，便能推出 DF = FC . ①② 图 1-5 要证明 DF = FC，如果能把它们放 在两个全等三角形中就好办了. 上面的结论能进一步推广吗？ （2）在图 1-4 中，如果再取 AE 的中点 P，过点 P 作直线 l6∥l3 交 l2 于点 （图 1-5 ①） ，此时对应线段 AP，PB，D， C 成比例吗？为什么？如果取 EB 的中点 P1，过点 P1 作直线 l7∥l3，交 l2 于点 1（图 1-5 ②） . 你发现 l 1，l2 被平行 线 l3， l7， l4 截得的对应线段 AP1，P1B，D 1，1C 成比例吗（图 1-5 ②） ？ 在图 1-5 ① 中，由 E 是 AB 的中点，P 是 AE 的中点，可得 第1章 图形的相似 10 AE = EB = 1 2 AB， AP = PE = 1 2 AE = 1 4 AB， PB = PE + EB = 1 4 AB + 1 2 AB = 3 4 AB . ∴ AP PB = AB 1 4 3 4 AB = 1 3 . 另一方面，由 l6∥l3∥l5∥l4，利用（1）的结论，可知 DF = FC，D = F， 于是 D = F = 1 4 DC，C = F + FC = 3 4 DC . ∴ D C = 1 3 . ∴ AP PB = DC . 在图 1-5 ② 中，类似地可以得到 AP1 P1B = D 1 1C ， 即 AP1，P1B，D 1，1C 是成比例线段. （3）在图 1-5 ① 中，再继续取 AP 的中点 P2，或 PE 的中点 P3，或 PB 的中 点 P4，或 AP4 的中点 P5，分别过这些点作 l3 的平行线，重复（2）中的推理过 程，还可得到 APi PiB = D i iC （i = 1，2，3，⋯） . （4）一般地，如果任意两条直线 l1，l2 被一组平行直线 l3，l4，l5 所截，交点分别是点 A，B，C；D，E，F（图 1-6） . 都有 AB BC = DE EF . （5）在图 1-6 中，利用比例的基本性质，你能得到 BC AB = EF DE ， AB AC = DE DF 吗？你还可以得到哪些比例式？ 在本书中，把下面的命题作为第 9 个基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 图 1-6 11 1.2 怎样判定三角形相似 （6）特别地，在△ABC 中，DE∥BC . 线段 AD，AB，AE，AC 成比例吗？ 线段 AD，AB，DE，BC 呢？ 过点 A 作直线 l∥BC（图 1-7） ，则 l∥DE，于是 AD AB = AE AC （基本事实 9） . 过 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F（图 1-8） ，则 AD AB = CF CB （基本事实 9） . ∵ DE∥BC，DF∥AC， ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形. ∴ DE = CF . ∴ AD AB = DE BC . 从而 AD AB = AE AC = DE BC . 于是，就得到基本事实 9 的一个推论： 推论 平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三 角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 练 习 1. 如图，已知直线 l1∥l2∥l3，AB = 3 cm，BC = 5 cm，DE = 2.4 cm，求 DF 的长. 2. 如图，已知直线 l1∥l2∥l3，直线 l4，l5 分别与 l1，l2，l3 相交 ，直线 l4 与 l5 相交于点 A， 如图 ① ② ③. 分别写出图中对应线段的比例式. （第 1 题） DA A A A l4 l4l4l4 l5 l5l5l5 l1 l1l1l1 l2 l2 l2l2 l3 l3l3l3 EB BB B FC CC CDD DE E E F G ①②③ （第 2 题） 图 1-7图 1-8 l A A D B B D E C C E F 第1章 图形的相似 12 （2）我们知道，两个三角形有 6 对元素，只要其中的 3 对元素符合下面的 一种情况，就可以判定这两个三角形全等： ① 两角及其夹边分别相等； ② 两角及其中一组等角的对边分别相等； ③ 两边及其夹角分别相等； ④ 三边分别相等. 在 ① 和 ② 两种情况中，都包含三个条件：两角相等及其中某一边分别相 等，由于相似三角形对应边的长可以不相等，如果把其中一边相等的条件去 掉，仅保留两角分别相等的条件，能判定这两个三角形相似吗？ （3）任意画△ABC，然后再作 一个△A'B'C'，使∠A =∠A'，∠B =∠B'（图 1-9） . 观察这两个三角 形，它们的形状相同吗？怎样判定 它们相似呢？ 利用定义判定两个三角形相似太 不方便了. 能否适当减少其中的某些 条件，建立简便一些的判定方法呢？ 图 1-9 BC A A' B'C' 如果将△A'B'C' 放到 △ABC 上面，使 A' 与 A 重合. A'B' 落到 AB 上，由∠A =∠A'，那么 A'C' 落到 AC 上. 因为∠B =∠B' ，所以 B'C'∥BC，于 是△ABC 与△A'B'C' 的三边对应成比例，且∠C =∠C' ，所以 △ABC ∽△A'B'C' . 实验与探究 （1）相似三角形是最简单、 最常见的相似多边形. 你能根据相似多边形的定义 说出两个怎样的三角形是相似三角形吗？怎样判定两个三角形是相似三角形呢？ 13 1.2 怎样判定三角形相似 （4）小莹利用实验的方法探索发现了命题“两角分别相等的三角形是相似 三角形” . 你能在她的思路的基础上，完成这一命题的证明吗？ * 证明 1 在 AB 边（当 AB r，直线 AB 与⊙C 相离； （2）当 r = 2.4 cm 时，d = r，直线 AB 与⊙C 相切； （3）当 r = 3 cm 时，d 2 . 所以可以估计 x 的范围是 2 0 . 所以 x2 不合 题意，应当舍去，问题（3）的答案是： AC AB 的值约为 0.618 . 例3 解方程 2x2 + 3x - 1 = 0 . 解 方程两边同除以 2，得 x2 + 3 2 x - 1 2 = 0 . 移项，得 x2 + 3 2 x = 1 2 . 两边都加上（ 3 4 ） 2，得 x2 + 3 2 x +（ 3 4 ） 2 = 1 2 +（ 3 4 ） 2 . 即 （x + 3 4 ） 2 = 17 16 . 由平方根的意义，得 x + 3 4 = ± 4 17 . 所以 x1 = 4 17-3+ ， x2 = 4 17-3- . 如果一元二次方程的二次项 系数不是1，为了便于配方，可 以利用等式的基本性质，先把方 程的二次项系数化为 1 . 挑战自我 如果 p 与 q 都是常数，且 p2 ≥ 4q，你会用配方法解关于 x 的一元二次方程 x2 + px + q = 0 吗？试一试. 第4章 一元二次方程 134 练 习 1. 用配方法解下列方程： （1）3x2 - 6x = 0； （2）2x2 - 4x - 3 = 0； （3）2x2 - 7x + 3 = 0； （4）4x2 - 7x - 2 = 0 . 习题4.2 拓展与延伸 复习与巩固 1. 用配方法解下列方程： （1）x2 + 8x = 9； （2）x2 - 3x = 0 ； （3）x2 + 4x = -3； （4）x2 - 18x + 31 = 0 . 2. 用配方法解下列方程： （1）x2 - 6x - 3 = 0； （2）-x2 + 4x = 3； （3）2x2 - 3x - 2 = 0； （4）3x2 - 6x - 1 = 0 . 3. 解答下列问题： （1）当 x 为何值时，代数式 x2 - 15x + 45 的值等于 -5 ？ （2）当 x 为何值时，代数式 x2 - 13x + 40 与 x - 5 的值相等？ 4.（中国古代数学问题）有一个矩形，面积为 864 平方步，它的宽比长少 12 步. 求这个矩形的长和 宽. 1 1 本题出自南宋数学家杨辉 1275 年所著《田亩比类乘除算法》一书. 原题是：直田积八百六十四步， 只云阔不及长一十二步. 问阔及长各几步？ 5. 用配方法证明，无论 x 取何实数，代数式 2x2 - 8x + 18 的值不小于 10 . 6. 用配方法解方程 x2 +（x + 7） 2 = 112，然后借助 计算器求解的近似值（精确到 0.1） ，并将得出的近似值与 4.1 节“实验与探究”中的 估计值进行比较. 步是我国古代的长度单 位，1 步约等于 1.67 米. 亩、 分、平方步都是面积单位， 它们的关系是： 1 亩 = 10 分； 1 分 = 24 平方步. 小资料 135 4.3 用公式法解一元二次方程 探索与创新 8. 关于 x 的二次方程 4x2 + 4kx + k2 = 1 的一个根是 -2，求 k 的值和另一个根. 日 6 13 20 27 一 7 14 21 28 二 1 8 15 22 29 三 2 9 16 23 30 四 3 10 17 24 五 4 11 18 25 六 5 12 19 26 （第 7 题） 7. 右图是一张月历表. 在此月历表上可以用一个矩形任 意圈出 2×2 个位置上相邻的数（如 2，3，9，10） . 如果圈出的 4 个数中最大数与最小数的积为 128，求 这 4 个数中最小的数. 4.3 用公式法解一元二次方程 实验与探究 运用配方法，我们已经会解 x2 + x - 1 = 0， 2x2 + 3x - 1 = 0 等一元二次方程. 你会运用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 吗？试一试. 因为 a≠0，方程两边都除以 a，得 x2 + b a x + c a = 0 . 移项，得 x2 + b a x = - c a . 两边都加上（ b 2a ） 2，得 x2 + 2·x· b 2a +（ b 2a ） 2 = （b 2a ） 2 - c a ， 即 （x + b 2a ） 2 = b 2-4ac 4a2 . 由于 4a2 0，所以当 b 2 - 4ac ≥ 0 时，由平方根的意义，得 第4章 一元二次方程 136 用公式法解一元二次方程，应将方程 化为一般形式，确定 a，b，c 的值（注意 符号） ，在 b2 - 4ac ≥ 0 的条件下，将 a， b，c 的值代入求根公式求解. 例1 用公式法解方程： （1）2x2 + 5x - 3 = 0； （2）4x2 = 9x . 解 （1）这里 a = 2，b = 5，c =－3 . ∵ b2 - 4ac = 52 - 4×2× （－3）= 49 0， ∴ x = -b± b 2-4ac 2a = -5± 49 2×2 = -5±7 4 . 即 x1 = -5+7 4 = 1 2 ， x2 = -5-7 4 =－3 . （2）将方程化为一般形式，得 4x2 - 9x = 0 . 这里 a = 4，b =－9，c = 0 . ∵ b2 - 4ac =（－9） 2 - 4×4×0 = 81 0， x + b 2a = ± b2-4ac 2a . 移项，得 x = - b 2a ± b2-4ac 2a ， 即 x = -b± b 2-4ac 2a . 一般地， 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0， 当 b2 - 4ac ≥ 0 时，它的根是 x = -b± b 2-4ac 2a ± b2-4ac . 这个式子叫做一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法（solving by formula） . 137 4.3 用公式法解一元二次方程 ∴ x = 9± 81 2×4 = 9±9 8 . 即 x1 = 9+9 8 = 9 4 ， x2 = 9-9 8 = 0 . 练 习 1. 用公式法解下列一元二次方程： （1）x2 + 6x + 5 = 0； （2）6y2 - 13y - 5 = 0； （3）2y2 - 1 = 4y； （4）3 4 x2 = 2x + 1 2 . 例2 用公式法解方程 x2 + 3 = 2 3x . 解 将方程化为一般形式，得 x2 - 2 3x + 3 = 0， 这里 a = 1，b = -2 3，c = 3 . ∵ b2 - 4ac =（-2 3） 2 - 4×1×3 = 0， ∴ x = 2 3±0 2 ， 即 x1 = x2 = 3 . 例3 用公式法解方程，并求根的近似值（精确到 0.01） ： （x + 1） （3x - 1）= 1 . 解 将方程化为一般形式，得 3x2 + 2x - 2 = 0， 这里 a = 3，b = 2，c = -2 . ∵ b2 - 4ac = 22 - 4×3× （-2）= 28 0， ∴ x = -2± 28 2×3 = -1± 7 3 . 即 x1 = -1+ 7 3 ≈ -1+2.646 3 ≈ 0.55， x2 = -1- 7 3 ≈ -1-2.646 3 ≈ -1.22 . 第4章 一元二次方程 138 练 习 1. 用公式法解下列方程： （1）x2 - 12x + 20 = 0； （2）2x2 + 11x + 5 = 0； （3）5x2 - 2 15x + 3 = 0； （4）5x2 + 10x - 6 = 0 . 2. 用公式法解方程 2x2 - 6x + 3 = 0，并求根的近似值（精确到 0.01） . 习题4.3 拓展与延伸 探索与创新 复习与巩固 1. 用公式法解下列方程： （1）x2 - 3x - 10 = 0； （2）3x2 + 4x - 7 = 0； （3）6x2 + 2 = 7x； （4）4x2 - 12x = 1 . 2. 用公式法解习题 4.1 第 5 题中的方程，并把求得的解与原来估计的解进行比较. 3. 用公式法解下列方程： （1） （x + 1） （x - 1）= 2 2x； （2）2x2 + 2 5x + 1 = 0 . 4. 用公式法解下列方程，并求根的近似值（精确到 0.1） ： （1）x2 - 3x + 3 2 = 0； （2）3x2 + 5 （2x + 1）= 0 . 5. 已知方程 x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 6. 你会解方程（x2 + 2x） 2 - 7 （x2 + 2x）- 8 = 0 吗？小莹通过设 y = x2 + 2x，把原方程 化为 y2 - 7y - 8 = 0，求出 y 值，再求 x . 你来试一试. 7. 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6 . AB 边的长是方程 x2 - 7x + 12 = 0 的一个根，菱形 ABCD 的周长是多少？ 8. 三角形的两边长分别为 2 和 6，第三边的长是方程 x2 - 10x + 21 = 0 的解，第三边的长是多少？ 139 4.4 用因式分解法解一元二次方程 4.4 用因式分解法解一元二次方程 观察与思考 对于一元二次方程 x2 + 7x = 0，用配方法和公式法都可以求出它的解. 还有 更简便的求解方法吗？ 思考下面的问题： （1）这个方程的两边有什么特征？ 方程的右边为 0， 左边可以分解成两个一 次因式的积. 当一元二次方程的一 边是 0，另一边可以分解为 两个一次因式的积时，可 分别令两个一次因式为 0， 得到两个一元一次方程. 这 两个一元一次方程的根都 是原一元二次方程的根. 加油站 （2）小莹的解法是： 把方程左边的多项式进行因式分解，得 x （x + 7）= 0 . 从而 x = 0，或 x + 7 = 0 . 所以 x1 = 0， x2 = -7 . 你同意小莹的解法吗？这种解法的根据是什么？分别用配方法和公式法解 原方程，验证用三种方法求得的根都是一致的. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法（solving by factorization） . 例1 用因式分解法解方程： （1）15x2 + 6x = 0； （2）4x2 - 9 = 0 . 解 （1）把方程的左边进行因式分解，得 3x （5x + 2）= 0 . 从而 x = 0，或 5x + 2 = 0 . 第4章 一元二次方程 140 挑战自我 所以 x1 = 0， x2 = - 2 5 . （2）把方程的左边进行因式分解，得 （2x + 3） （2x - 3）= 0， 从而 2x + 3 = 0，或 2x - 3 = 0 . 所以 x1 = - 3 2 ， x2 = 3 2 . 例2 用因式分解法解方程： （2x + 1） 2 =（x - 3）2 . 解 移项，得 （2x + 1） 2 -（x - 3）2 = 0 . 把方程的左边进行因式分解，得 （2x + 1 + x - 3） （2x + 1 - x + 3）= 0 . 即 （3x - 2） （x + 4）= 0 . 从而 3x - 2 = 0，或 x + 4 = 0 . 所以 x1 = 2 3 ，x2 = -4 . 对于例 2，你还有其他的求解方法吗？ 运用因式分解法， 通过降低未知数的次 数，便把解一元二次方 程的问题转化为解两个 一元一次方程的问题. （1）对于本节开始给出的方程 x2 + 7x = 0，小亮是这样解的： 把方程两边同除以 x，得 x + 7 = 0 . 所以 x = -7 . 怎么少了一个根？你知道小亮的解法错在什么地方吗？ （2）对于例 2，大刚想到的解法是： 把原方程两边开平方，得 2x + 1 = x - 3 . 所以 x = -4 . 怎么也少了一个根？你知道大刚的解法错在什么地方吗？ 141 4.4 用因式分解法解一元二次方程 练 习 1. 用因式分解法解下列方程： （1）3x2 + x = 0； （2） 3y 2 + 2 3y = 0 ； （3）4x2 - 81 = 0； （4）9（x + 5） 2 = 1 . 2. 当 x 为何值时，分式 2x x-x2 没有意义？ 习题4.4 拓展与延伸 探索与创新 复习与巩固 1. 用因式分解法解下列方程： （1）9x2 - 25 = 0； （2）16x2 + 10x = 0； （3）2y2 - 4 2y = 0； （4） （x - 1） x = 2 （x - 1） . 2. 用因式分解法解下列方程： （1） （2x + 1） 2 - x2 = 0； （2）16 （3x + 1） 2 = 9（x + 2）2； （3）2 （x + 2） 2 = 3 （x + 2） ； （4） （x - 2） （2x + 1）= 1 + 2x . 3. 当 x 取何值时，代数式（3x - 2） 2 与 2 （2 - 3x）的值相等？ 4. 用因式分解法解下列方程： （1）5x（x - 2）- x + 2 = 0； （2）x2 -（x - 3）= 9 . 5. 填空： 关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 = 1，x2 = 2，则二次三项式 ax2 + bx + c 可分解因式为 . 6. x 为何值时，分式 x - 1 2 （x - 1） 2 - x + 1 有意义？ 7. 对于一元二次方程（2x - 5） 2 =（x - 2）2，你有几种不同的解法？你认为哪种方法最 简便？ 第4章 一元二次方程 142 4.5 一元二次方程根的判别式 实验与探究 （1）你会解方程 x2 + 2x + 5 = 0 吗？试一试. 配方，得（x+1） 2 = -4 . 因为任何实数的平方都不可能是负 数，所以任何实数都不会是原方程的根. 因为 22 - 4×1×5 0 与 b2 - 4ac = 0 时，所求出的方程的两个根分别具有 什么特征？ 当 b 2 - 4ac 0 时，由于 b2-4ac 是正数，-b2-4ac 是负数，所以 -b± b2-4ac 2a 是两个不相等的实数. 因此，方程 ① 有两个不相等的实根： x1 = -b+ b2-4ac 2a ， x2 = -b- b2-4ac 2a . 如果 b2 - 4ac = 0， 那么 b2-4ac = 0，这时方程 ① 有两个相等的实根： x1 = x2 = - b 2a . 143 4.5 一元二次方程根的判别式 如果 b2 - 4ac 0，所以 b 2-4ac 4a2 0 时有两个不相等的实根；当Δ= 0 时有两个相等的实根；当Δ 0， ∴ 方程有两个不相等的实根. （2）把原方程化为一般形式，得 4y2 - 12y + 9 = 0 . 这里 a = 4，b = -12，c = 9 . ∵Δ= b2 - 4ac =（-12） 2 - 4×4×9 = 0， ∴ 原方程有两个相等的实根. 符号“Δ”是希腊字 母，读作“delta” . 小资料 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有两个不相等 的实根，那么Δ 0；如果 有两个相等的实根，那么 Δ= 0；如果没有实根，那 么Δ 0 . 解不等式，得 k 0，而 x2 = -2.1 0，因此 x2 = -2.1 不符合题意，应当舍去， x1 = 0.1 符合题意. 所以，该养殖场 2010〜2012 年产值的年平均增长率为 0.1，即 10% . 例4 某种药品经过两次降价后，每盒售价为原售价的 64%，求该药品平 均每次的降价率. 解 设该药品平均每次的降价率为 x，那么第 1 次降价后该药品每盒的 售价为原售价的（1 - x） ，第 2 次降价后该药品每盒的售价为原售价的（1 - x） 2 . 根据问题中的等量关系，得 （1 - x） 2 = 64% . 解这个方程，得 x1 = 0.2， x2 = 1.8 . 根据题意，降价率应满足 0 x 1，因而 x2 = 1.8 不符合题意，应当舍去， 而 x = 0.2 符合题意. 所以，该药品平均每次的降价率为 0.2，即 20% . 挑战自我 例 3 与例 4 都是增长率（包括负增长）问题，你能把这类问题中的基本数量 关系用公式表示出来吗？ 练 习 1. 某农机厂 1 月份生产联合收割机 300 台，为了满足夏收季节市场的需求，3 月份比 1 月 份多生产 132 台. 求 2 月、3 月两个月的平均月增长率. 2. 某玩具厂今年每个月的产量都比上个月环比增长同样的百分数，已知该厂今年 4 月份 的玩具产量为 5 万件，6 月份比 5 月份多生产了 12 000 件. 求今年产量的月增长率. 第4章 一元二次方程 154 （第 2 题）（第 3 题） 北 东 小亮 小莹 3. 如图，AB 与 BC 分别是东西方向和南北方向的道路，AB = 1 000 m . 晨练时，小莹从 点 A 出发，以每分钟 150 m 的速度向东跑；小亮同时从点 B 出发，以每分钟 200 m 的 速度向北跑. 经过几分钟时，他们之间的直线距离仍然是 1 000 m？ 4. 一本书的长为 26 cm，宽为 18.5 cm，厚为 1 cm . 小莹准备用 一张面积为 1 260 cm2 的矩形纸包这本书的书皮（如图） . 若 书皮四周折进的宽度一样，折叠进去的宽度应为多少？ 5. 某种品牌汽车的售价为