青岛版八年级下册《数学》电子课本教材（全册pdf电子书）-免费下载.pdf

义 务 教 育 教 科 书 数 学 八年级 下册 QINGDAOCHUBANSHE 伴随着和煦的春风新的学期开始了。在新的学期里，你打算 怎样学好数学？ 你过去已经认识了平行四边形，本学期你将运用合情推理和 演绎推理，探索并证明平行四边形和它的家族中的特殊成员—— 矩形、菱形、正方形的一些重要的性质定理和判定定理。 你已经学习了有理数。你知道吗？现实中还有一类数不是有 理数，如圆周率 π、边长为 1 的正方形的对角线长等，它们是你 现在还不了解的“无理数” 。有理数与无理数又组成一个更大的 家庭——实数。怎样用有理数估计一个无理数的大小？实数应怎 样运算？在第 7 章中将结合学习著名的“勾股定理” ，走进新的实 数世界。 提起一元一次方程和二元一次方程组，你一定很熟悉，在第 9 章你将学习一元一次不等式和一元一次不等式组。方程是刻画 现实生活中数量之间相等关系的数学模型，不等式则是刻画它们 之间不等关系的数学模型。相信你会很感兴趣。 宇宙飞船要脱离地球引力，进入围绕太阳的轨道运行，速度 必须达到 2gR 。这是一个怎样的算式？这类算式如何进行运算？ 你将在第 10 章“二次根式”中学习它。 在第 10 章你将结识函数中的重要成员——一次函数，体会它 的意义，会画它的图象，根据图象和它的表达式探索并理解它的 性质，从而为学习更复杂的函数奠定基础。 日常生活中，你会经常见到物体的平移和旋转现象。什么是 平面图形的平移和旋转？图形的平移和旋转有哪些性质？你愿意 进一步探索吗？ 数学是人类文化的重要组成部分，它帮助你提高创新意识和 推理能力，为未来的工作和学习奠定基础。数学的大门向每一位 同学都是敞开的。面对新的挑战，动脑想一想，动手做一做，并 与同学交流。只要你肯付出努力，你会进一步领略数学的美妙， 享受到学习数学的乐趣。 2gR 1 目 录 2 4 10 17 30 33 38 40 43 48 56 61 64 68 70 78 82 84 90 96 100 107 目 录 第 6 章 平行四边形 6.1 平行四边形及其性质 6.2 平行四边形的判定 6.3 特殊的平行四边形 6.4 三角形的中位线定理 回顾与总结 第 7 章 实 数 7.1 算术平方根 7.2 勾股定理 7.3 2是有理数吗 7.4 勾股定理的逆定理 7.5 平方根 7.6 立方根 7.7 用计算器求平方根和立方根 7.8 实 数 回顾与总结 第 8 章 一元一次不等式 8.1 不等式的基本性质 8.2 一元一次不等式 8.3 列一元一次不等式解应用题 8.4 一元一次不等式组 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 110 112 120 122 127 130 132 138 144 147 151 154 158 162 164 173 183 191 195 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 9 章 二次根式 9.1 二次根式和它的性质 9.2 二次根式的加法与减法 9.3 二次根式的乘法与除法 回顾与总结 第 10 章 一次函数 10.1 函数的图象 10.2 一次函数和它的图象 10.3 一次函数的性质 10.4 一次函数与二元一次方程 10.5 一次函数与一元一次不等式 10.6 一次函数的应用 回顾与总结 第 11 章 图形的平移与旋转 11.1 图形的平移 11.2 图形的旋转 11.3 图形的中心对称 回顾与总结 综合与实践 哪条路径最短 2 目 录 内容提要 ■ 平行四边形、矩形、菱形 、正方形的概念及 它们之间的关系 ■ 平行四边形的性质与判定 ■ 矩形、菱形 、正方形的性质与判定 ■ 直角三角形斜边上中线的性质 ■ 三角形的中位线定理 四边形是我们熟悉的几何图形.在这幅图片 中，你看到了哪些四边形的形象？ 平行四边形是一类特殊的四边形. 怎样的四 边形是平行四边形？平行四边形具有哪些性质？ 怎样判定一个四边形是平行四边形？ 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形. 它们分别有哪些性质？怎样判定一个四边形是矩 形、菱形或正方形？ 情境导航 第6章 平行四边形 4 在过去的学习中你已经认识了平行四边形. 思考下列问题： （1）图 6-1中所示的是生活中常见的一些平行四边形的实例，你还能举出 类似的实例吗？ （2）通过观察上述实例，你发现具有什么特征的四边形是平行四边形？你 能根据这一特征画出平行四边形吗？ 6.1 平行四边形及其性质 图 6-1 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（parallelogram） . 如图 6-2， 在四边形 ABCD 中，AB∥CD， AD∥BC， 因此它是平行四边形，记作ABCD， 读作“平行四边形ABCD”. （3）任意画ABCD，连接对角线 AC（图 6-3） ，如果沿这条对角线将平 行四边形剪成两个三角形，你发现得到的△ABC 和△CDA 能够重合吗？如果能 够重合，说出哪些边是对应边，哪些角是对应角. 由此，你猜测平行四边形的对 边和对角分别有什么性质？ （4）能证明你发现的结论是真命题吗？ 已知：如图 6-2，四边形 ABCD 是平行四边形 . 求证：AB = CD，AD = BC . 图 6-2 观察与思考 楼梯扶栏车位线警示牌 5 证明 如图 6-3，连接 AC . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC（平行四边形的定义） ， ∴∠1 =∠2 . 同理，∠3 =∠4 . ∵ AC = CA， ∴△ABC ≌ △CDA（ASA）. ∴ AB = CD，AD = BC . 于是，就得到 平行四边形的性质定理 1 平行四边形的对边相等． 在上面的证明过程中，由∠1 =∠2和∠3 =∠4，还可以推出∠BAD =∠BCD . 由△ABC ≌ △CDA 还可以推出∠B =∠D . 于是，又得到 平行四边形的性质定理 2 平行四边形的对角相等． 想一想，如果不添加辅助线，你能证明平行四边形的对角相等吗？ 例1 求证： （1）夹在两条平行直线间的平行线段相等； （2）如果两条直线平行，那么一条直线上各点到另一条直线的距离相等. （1）已知：如图 6-4，l1∥l2，A，D 是直线 l1上的 任意两点，过点 A，D 作AB∥CD，分别交 l2 于点 B，C . 求证：AB = CD . 证明 ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形（平行四边形定义） ， ∴ AB = CD（平行四边形的性质定理1） . 在活动（3）中，将ABCD 沿对角线 AC 剪开，这对于证明 AB = CD，AD = BC 有什么启示？ 6.1 平行四边形及其性质 图 6-3 AD B l1 l2 C 图 6-4 第6章 平行四边形 6 练 习 （2）已知：如图 6-5，l1∥l2，A，D 是直线 l1 上的任 意两点，AB⊥l2 ，垂足是 B，CD⊥l2 ，垂足是 C . 求证：AB = CD . 证明 ∵AB⊥l2，CD⊥l2， ∴ ∠ABC = 90° ，∠DCB = 90° . ∴ ∠ABC + ∠DCB = 180° . ∴ AB∥CD . 由（1）可知 AB = CD . （1）剪一张平行四边形纸片，记为 ABCD，连 接 AC ，BD，交于点 O（图 6-7）. （2）沿对角线AC 与 BD 将平行四边形纸片剪成 △AOB，△BOC，△COD 和△DOA，你发现它们中哪 1. 在 ABCD 中，试用∠A 表示出平行四边形的其他三个角. 2. 如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别是 BC，AD 上的点， AE∥CF . 试用两种不同的方法证明：BE = FD， ∠BAE =∠DCF . 图 6-7 （第 2 题） A B F E D C 实验与探究 A B D l1 l2 C 图 6-5 例1（2）中的结论是 定义两条平行线之间距离 的依据. 如图 6-6，P 为ABCD 内的任意一点，连接 PA， PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PAD . 你发现其中两个不相邻的三角形的面积之和与平行四边 形 ABCD 的面积之间有什么关系？从而你能得到什么结 论？证明你的结论. 图 6-6 挑战自我 7 线段 OA = OC，OB = OD . 要证明它 们分别相等，只需证明△DOA 与△BOC （或△AOB 与△COD）全等 . （4）你能写出已知、求证和证明过程吗？ 由以上探索和证明，我们得到 平行四边形的性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分． 例2 如图 6-8， ABCD 的对角线 AC 与 BD 相 交于点 O，过点 O 作一条直线，分别交 AD，BC 于点 E，F . 求证：OE = OF . 证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，AD∥BC . ∴ ∠1 =∠2 . ∵ ∠3 =∠4， ∴ △OAE ≌△OCF（ASA）. ∴ OE = OF . 在例 2 中，如果将条件“分别交 AD，BC 于点 E，F ” 改为“分别交 BA，DC 的延长线于点 E，F（图 6-9） ” ，OE = OF 的结论还成立吗？ 图 6-8 6.1 平行四边形及其性质 些是全等三角形？ （3）由（2）你发现在两条对角线被点 O 分成的四条线段中，哪些是相等线 段？如何证明你的结论？ 图 6-9 D O C E F A B 第6章 平行四边形 8 练 习 习题6.1 1. 在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB = 6，AC = 8，BD = 12 . 求△AOB 的周长. 2. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，作 AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E，F . （1）指出图中所有的全等三角形； （2）求证：OE = OF . （第 2 题） 1. 在 ABCD 中，∠A 与∠B 的度数之比为 7∶2，求∠C 与∠D 的度数 . 2. 如图，在直角坐标系中， ABCD 的顶点 B，C，A 的坐标分别是（0，0） ， （5，0） ， （2，3） ，求顶点 D 的坐标 . 3. 如图，两条平行线 l1，l2 被另外一组平行线 l3，l4，l5 所截，交点分别为 A，B，C；D， E，F . 写出图中的相等线段，并证明你的结论. （第 2 题）（第 3 题） A B C D E F l3 l1l2 l4 l5 复习与巩固 在例 2 中，经过两对角线的交点 O 作直线，除了图 6-8、图 6-9 的两种情况 外，还可能有其他情况吗？如果还有，请分别画出图形，写出结论，并给出证明. 把以上各种情况加以归纳，你能得出一个怎样的结论？ 挑战自我 9 6. 如图，在 ABCD 中，∠BAD 的平分线 AE 交 CD 于点 E，AB = 10，BC = 6 . 求 CE 的 长. 7. 如图，在 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OE ⊥ BD 交 AD 于点 E . 求 △ABE 的周长与 ABCD 的周长的比. 拓展与延伸 （第 6 题）（第 7 题） 6.1 平行四边形及其性质 8.（1）如图①， ABCD 的两条对角线的交点为 O . 如果△AOB，△BOC，△COD， △DOA 的面积分别为 S1，S2，S3，S4，试探索 S1，S2，S3，S4 的关系； （2）如果将 （1） 中的条件 “ ABCD” 改为 “四边形 ABCD 的对角线 AC⊥BD” （如图 ②） . 试探索：S1∶S2 与 S4∶S3 之间的关系； （3）如果将（2）中的对角线 AC⊥BD 的条件去掉（如图③） ，试探索 S1，S2，S3，S4 之间的关系. 4. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O . 在 图中共有几对三角形全等？说明理由. 5. 在 ABCD 中，对角线交点 O 到 AD 的距离与它到 BC 的距离相等吗？到 AB 的距离与到 CD 的距离呢？说明 理由. 探索与创新 O AD C B D C O A B B O D AC ①②③ （第 8 题） （第 4 题） O A B D C 第6章 平行四边形 10 6.2 平行四边形的判定 我们已经学习过平行四边形的定义和性质. 怎样判定一个四边形是平行四边 形呢？除了运用平行四边形的定义外，还有其他方法吗？ （1）根据平行四边形的定义，两组对边分别平行 的四边形是平行四边形，如果把定义中的“两组对边平 行”改为“一组对边平行且相等” ，你能画出满足这两个 条件的四边形吗？ 观察与思考 l2 l1 A B D C 图 6-10 要判定 ABCD 是平行四边形，只 要能根据条件 AD∥BC，AD = BC 推 出 AB∥CD 就行了. 先画出两条平行线 l1，l2，然后在 l1， l2 上分别截取两条相等线段 AD = BC，连接 AB，DC，得到四边形 ABCD（图 6-10）. （2）观察你得到的四边形，你猜测它是平行四边形吗？ （3）能证明你的猜测是正确的吗？ 已知：如图 6-11，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD = BC . 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 11 6.2 平行四边形的判定 交流与发现 （1）利用平行四边形的定义，即两组对边的位置关系（分别平行）可以判 定四边形是平行四边形. 判定定理 1 是通过一组对边的位置关系（平行）和数量 关系（相等） ，推出另一组对边的平行关系. 能不能通过两组对边分别相等推出 其中一组对边平行呢？ （2）任意画一个∠B，在∠B 的两边上分别任取两 点A，C，以点 A 为圆心，BC 的长为半径作弧，再以点 C为圆心，BA 的长为半径画弧，记两弧的交点为 D，连 接AD，CD，便得到四边形 ABCD（图6-12） ，且满足 AB = CD，AD = BC . 能判定四边形 ABCD 是平行四边形 吗？如果能，写出证明过程 . 图 6-12 证明 连接 AC . ∵ AD∥BC， ∴∠1 =∠2 . ∵ AD = BC，AC = CA， ∴△CDA ≌△ABC（SAS） . ∴∠3 =∠4 . ∴ AB∥CD . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 于是，就得到 平行四边形的判定定理 1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 在图6-12中，连接 AC，得到△ABC 与 △CDA. 由 SSS，可证△ABC ≌△CDA . 由对 应角相等，可证明对边平行. 图 6-11 4 1 3 2 AD BC 第6章 平行四边形 12 （3）由（2） ，你得出什么结论？ 平行四边形的判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. （4）想一想，平行四边形的判定定理 2 与平行四边形的性质定理 1 有什么 关系？ 例1 如图 6-13，E，F，G，H 分别是 ABCD 的边 AD，AB，BC，CD 上的点，且 AE = CG，BF = DH . 求证：四边形 EFGH 是平行四边形. 证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，AB = CD . ∵ BF = DH， ∴ AF = CH . ∵ AE = CG， ∴△AFE ≌△CHG（SAS） . ∴ EF = GH . 同理，FG = HE . ∴四边形 EFGH 是平行四边形（平行四边形的判定定理 2） . 图 6-13 小亮猜测： “在四边形中，能否根据一组对边相等，另一组对边平行，判定 这个四边形是平行四边形呢？”小亮的猜测正确吗？如果正确，请给出证明； 如果不正确，请举出反例. 挑战自我 练 习 1. 如图，在四边形 ABCD 中， ∠ADB =∠CBD，∠ABD =∠CDB. 利用三种方法证明四边形 ABCD 是平行四边 形 . （第 1 题） 13 6.2 平行四边形的判定 （第 2 题） 2. 如图， 在 ABCD 中， 点 E，F 分别是 AD，BC 的中 点. 分别利用判定定理 1 和 2 证明四边形 BEDF 是平行四 边形 . 我们已经知道，当四边形的对边满足两个条件（两组对边分别平行或一组 对边平行且相等或两组对边分别相等）时，能判定这个四边形是平行四边形. 能 通过对角线所满足的条件，判定这个四边形是平行四边形吗？ 交流与发现 （1）你能说出 6.1 节中平行四边形的性质定理 3 的逆命题吗？ （2）任意画两条相交直线 l1，l2，记它们的交点 为 O，在 l1 上以 O 为中点，截取 OA = OC，在 l2 上以 O 为中点，截取 OB = OD（OA 不必等于 OB） . 顺次连 接AB，BC，CD，DA，你得到一个怎样的四边形（图 6-14） ？ （3）怎样证明你得到的结论？ 如图 6-14，已知 OA = OC，OB = OD， 可证△AOD≌△COB，于是 AD = BC，∠ADO =∠OBC，从而 AD∥BC . 故由判定定理 1 可证 四边形 ABCD 是平行四边形 . 也可以用判定定理 2 证明四 边形 ABCD 是平行四边形 . 图 6-14 D C O A B l2 l1 第6章 平行四边形 14 于是，就得到 平行四边形的判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 平行四边形的判定定理 3 是平行四边形性质定理 3 的逆定理. 例2 如图 6-15，在 ABCD 中，点 E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AF = CE. 求证：四边形 BEDF 是平行四边形. 证明 连接 BD，交 AC 于点 O . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD . ∵ AF = CE， ∴ OF = OE . ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形（平行四边形的判定定理 3） . 对于例 2，你还有其他的证明方法吗？ 图 6-15 小亮的证明对吗？ 小亮正在研究一个命题： “如果四边形 ABCD 与 BEFC 都是平行四边形，那么四边形 AEFD 也是平行四边形 . ” 小亮画出了图 6-16，并给出了如下的证明. 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = DC， ① AD = BC . ② 挑战自我 已知四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，且 OA =OC，AB =CD，能判 定四边形 ABCD 是平行四边形吗？如果能够判定，写出证明过程，如果不能判 定，分析其原因，并举出反例. 图 6-16 AD BC EF 智趣园 15 又∵ 四边形 BEFC 也是平行四边形， ∴ BC = EF， ③ BE = CF . ④ 由 ② ③ 得 AD = EF， 由 ① ④ 得 AB + BE = DC + CF，即 AE = DF . ∴ 四边形 AEFD 是平行四边形. 你对小亮的证明满意吗？如果你认为有问题，你能指出问题出在哪里吗？ 6.2 平行四边形的判定 练 习 1. 延长△ABC 的中线 AD 至 E，使 DE = AD . 连接 BE，CE . 求证：四边形 ABEC 是平行 四边形. 2. 下列命题是真命题吗？如果不是，举出反例；如果是真命题，给出证明. （1）一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的四边形是平行四边形； （3）一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. 1. 求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 . 2. 如图，DB∥AC，DB = 1 2 AC，E 是 AC 的中点. 求 证：BC = DE . 习题6.2 （第 2 题） 复习与巩固 3. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD＜BC，BC = 6 cm . 动点 P， 分别从点 D，B 同时出发，点 P 以 1 cm/s 的速度向点 A 运动，点 以 2 cm/s 的速度向点 C 运动. 几秒后四边形 CDP 是平行四边形？ 第6章 平行四边形 16 （第 6 题）（第 5 题） 7. 如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别为边 BC，AD 上的点，AE∥CF，连接 BF，DE， 分别交 CF，AE 于点 G，H. 图中除 ABCD 外，还有平行四边形吗？证明你的结论. 拓展与延伸 （第 7 题）（第 8 题） 9. 有一组对边相等、一组对角相等的四边形是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如 果不是，举出反例. （第 4 题） AD CB O （第 3 题） 4. 如图，已知 AD∥BC，AC 与 BD 相交于点 O，且 AO = OC . 求证：AB∥CD . 5. 如图，AB∥CD，AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 的直线 EF 分别交 AB， CD 于点 E， F，且OE = OF . 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 6. 如图，在 ABCD 中，E 为 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F，连接 BF，AC . 求证：四边形 ABFC 是平行四边形. 8. 如图， 在 ABCD 中， 点 E，F 是对角线 AC 上的两点， 请添加一个不同于 “AF = CE” 的条件，使四边形 BEDF 是平行四边形，并写出证明的过程. 探索与创新 17 6.3 特殊的平行四边形 （1）你还记得四边形的不稳定性吗？ （2）如图 6-17 ①，做一个平行四边形的框架，记作 ABCD，固定它的四 条边的长度. 如果改变其中一个内角（例如∠B）的大小，所得到的四边形还是 平行四边形吗？为什么？ （3）当∠B 的大小变化时，其他三个内角的大小是否也发生变化？如果发 生变化，它们与∠B 之间保持怎样的数量关系？ 6.3 特殊的平行四边形 （4）当平行四边形的一个角（例如∠B）成为直角时，得到一个怎样的图 形（图 6-17 ②） ？ 实验与探究 当∠B 的大小变化时，仍然有∠A 与 ∠B 互补，∠C 与∠B 互补，∠D =∠B . 当∠B 的大小变化时，仍然有 AB = DC， AD = BC，所以 ABCD 仍然是平行四边形. 10. 在四边形 ABCD 中，将下列条件中的哪两个条件组合，可以判定它是平行四边形？ （1）AB∥CD； （2）BC∥AD； （3）AB = CD； （4）BC = AD； （5）∠A =∠C； （6）∠B =∠D . 第6章 平行四边形 18 （2）利用矩形的轴对称性质，由矩形的一个角是直角，你发现矩形的另外 三个角有什么性质？证明你的结论. 矩形的性质定理 1 矩形的四个角都是直角. （3）任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长. 你有什么 发现？ 已知：如图 6-19，四边形 ABCD 是矩形 . 求证：AC = DB . 证明 ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC =∠DCB = 90° （矩形的性质定理 1） . 矩形具有平行四边形的所有性质 . 此外，矩形还具有哪些特殊性质呢？ （1）取一张矩形的纸片，分别沿它的两组对边的中点所在的直线折叠，你 发现矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴（图 6-18） ？ 矩形是轴对称图形，它 有两条对称轴. 对称轴分别 是经过两组对边中点的两条 直线（图 6-18） . 图 6-18 实验与探究 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（rectangle）. 矩形，即我们所熟悉的长方形，是生活中常见的一种特殊的平行四边形. A B D O C 图 6-19 图 6-17 ①② 有一个角是直角 A BC A B D D C 19 6.3 特殊的平行四边形 ∵ AB = CD（平行四边形的对边相等） ， BC = CB， ∴△ABC ≌△DCB（SAS） . ∴ AC = DB . 于是，就得到 矩形的性质定理 2 矩形的对角线相等. （4）如图 6-19，矩形 ABCD 的两条对角线交于点 O，沿对角线 AC 将矩形 剪开，得到 Rt△ABC . 这时，OB 是这个直角三角形的一条什么线段？它与斜边 AC 之间有怎样的数量关系？由此你发现了直角三角形的一个怎样的性质？能证 明你得到的命题是真命题吗？ 直角三角形的性质定理 2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 已知：如图 6-20，在 Rt△ABC 中，∠B = 90° ，O 是 AC 的中点. 求证：BO = 1 2 AC . 证明 延长 BO 到 D，使 OD = BO，连接 AD，CD （图6-20） ，在四边形 ABCD 中， ∵ AO = OC，BO = OD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵∠ABC = 90° ， ∴ ABCD 是矩形 . ∴ AC = BD . ∵ BO = 1 2 BD， ∴ BO = 1 2 AC . 例1 如图 6-21，在矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于 点 O，∠BOC = 120° ，AB = 6 cm . 求 AC 的长 . 解 ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD， 且 OA = OC = 1 2 AC， OB = OD = 1 2 BD， A B D O C 图 6-21 A B D O C 图 6-20 第6章 平行四边形 20 练 习 1. 如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 上的点，在下列三个条件：① AE = CF；② BE∥DF；③∠1 =∠2 中，选择其中一个，求证：BE = DF . 2. 如图，在 Rt △ABC 中，CD 是斜边 AB 的中线，CE 是高. 求证：∠ACE =∠BCD . 交流与发现 （1）根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形. 如果不通过平 行四边形，能根据四边形中直角的个数，直接由四边形来判定它是矩形吗？有 几个角是直角的四边形是矩形呢？ （第 2 题）（第 1 题） C AB ED A B E D C F 2 1 木杆 AB 斜靠在墙壁上（图 6-22） ，当木杆的上端 A 沿墙壁 NO 竖直下滑时，木杆 AB 的中点 P 也随之下落. 你能在图上画出点 P 下落的路线吗？ 图 6-22 挑战自我 ∴ OA = OB . ∵∠BOC = 120° ， ∴∠AOB = 60° . ∴△AOB 是等边三角形. ∵ AB = 6 cm，AO = AB = 6 cm . ∴ AC = 2AO = 12 cm . 所以，AC 的长为 12 cm . 对于例 1，你还有其他的解法吗？ 21 矩形的四个角都是直角. 反过来， 四个角都是直角的四边形是矩形. （2）小亮说得对吗？能证明他的结论吗？ （3）小莹说： “由于四边形的内角和等于 360° ，因而四个内角中只要有三个 角是直角，第四个内角也一定是直角. 所以可以减少一个条件，有三个角是直角 的四边形就是矩形.”小莹的说法正确吗？ 已知：如图 6-23，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90° . 求证：四边形ABCD是矩形. 证明 ∵∠A =∠B =∠C = 90° ， ∴∠A +∠B = 180° ， ∠B +∠C = 180° ， ∴ AD∥BC，AB∥CD . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵∠A = 90° ， ∴ ABCD 是矩形 . （4）比较上面（2） （3）中小亮和小莹的两种说法，你认为选择哪种说法作 为矩形的判定定理更为简洁？ 于是，便得到 矩形的判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形. （5）由矩形的性质定理 2：矩形的两条对角线相等. 反过来，两条对角线相 等的四边形是矩形吗？ 6.3 特殊的平行四边形 A B D C 图 6-23 如图 6-24，我画了两条等长的相交线段 AC 与 BD，顺次连接点 A，B，C，D，得到的四边形 ABCD 不是平行四边形，也就不可能是矩形. 所以， “两条对 角线相等的四边形是矩形”不是真命题. 第6章 平行四边形 22 已知：如图 6-25，在 ABCD 中，AC = BD . 求证： ABCD 是矩形. 证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD . 又∵ AC = BD， BC = CB， ∴△ABC ≌△DCB . ∴∠ABC =∠DCB . ∵ AB∥CD， ∴∠ABC +∠DCB = 180° . ∴∠ABC = 180° 2 = 90° . ∴ ABCD 是矩形 . 于是，就得到 矩形的判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形． D C BA 图 6-24 （6）如果适当加强命题“两条对角线相等的四边形 是矩形”的条件，能使它成为真命题吗？ 对角线相等的平行 四边形是矩形吗？ 在探索新的数学命题时，如果命 题的条件不能保证结论成立，可以尝 试适当加强命题的条件，以便使结论 成立 . 加油站 AD BC 图 6-25 在问题（6）中，除了小莹的说法外，你还能适当加强其他的条件，使它成 为真命题吗？ 挑战自我 23 练 习 1. 在四边形 ABCD 中，AC，BD 交于点 O . 在下列各组条件中，不能判定四边形 ABCD 为 矩形的是（ ）. （A）AB = CD，AD = BC，AC = BD （B）AO = CO，BO = DO， ∠A = 90° （C） ∠A =∠C，∠B +∠C = 180° ，AC⊥BD （D） ∠A =∠B = 90° ，AC = BD 2. 要检验一个四边形的桌面是不是矩形，你能想出哪些方法？ 活动衣架起重架隔离网 图 6-28 （1）剪一张平行四边形纸片，比较它的一组邻边，如果它们不相等，你能 在这张纸片上剪下一刀，得到一个有一组邻边相等的平行四边形吗？ 6.3 特殊的平行四边形 交流与发现 有一组邻边相等 图 6-26 平行四边形菱形 图 6-27 AD BC 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（rhombus）. 例如，图 6-27 中的 ABCD，AB = AD，记作“菱形 ABCD” . （2）菱形也是一种常见的特殊平行四边形. 除下面的一组实例外，你还能 举出生活中见到的菱形的实例吗？ 第6章 平行四边形 24 （2）观察图 6-29，根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大 小关系？菱形的两条对角线 AC 与 BD 之间具有什么位置关系？ （3）你能运用菱形的定义及平行四边形的性质，证明你得到的命题是真命 题吗？与同学交流 . 菱形的性质定理 1 菱形的四条边都相等. 菱形的性质定理 2 菱形的两条对角线互相垂直. 利用菱形的性质定理的逆命 题能探索菱形的判定定理吗？ 由两组对边分别相等可以判定 它是平行四边形，再根据一组邻边相 等，便可证明它是菱形. 观察与思考 怎样判定一个四边形是菱形？ （1）由菱形的性质定理 1：菱形的四条边都相等. 反过 来，四条边都相等的四边形是菱形吗？证明你的结论？ 菱形具有平行四边形的所有性质. 此外，菱形还具有哪些特殊性质呢？ （1）观察图 6-29，菱形是轴对称图形吗？请利用实验的方法得出结论. 如 果是，它有几条对称轴？与同学交流. 如图 6-29，菱形是轴对称图 形，它有两条对称轴. 对称轴是分 别经过两组对角顶点的两条直线. 实验与探究 A BD C 图 6-29 25 如 图 6 - 3 0 ， A C ⊥ B D ， 但 BO≠OB，从而四边形 ABCD 不是平 行四边形. 所以， “两条对角线互相 垂直的四边形是菱形”不是真命题. （3）怎样适当加强命题“两条对角线互相垂直的四边形是菱形”的条件， 使它成为真命题？与同学交流. 已知：如图 6-31， 在 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AC⊥BD . 求证： ABCD 是菱形. 证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ BO = OD . ∵ AC⊥BD， ∴ AC 是线段 BD 的垂直平分线 . ∴ AB = AD（线段垂直平分线的性质）. ∴ ABCD 是菱形（菱形的定义）. 于是，就得到 菱形的判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 想一想，两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形吗？为什么？ 图 6-31 6.3 特殊的平行四边形 菱形的判定定理 1 四条边相等的四边形是菱形 . （2）由菱形的性质定理 2 ：菱形的两条对角线互相垂直. 反过来，两条对角 线互相垂直的四边形是菱形吗？ 挑战自我 取一张矩形纸片，你能利用折叠的方式，折出一个四个顶点都在矩形边上 的菱形吗？你有几种不同的折法？画出图形，说明折出的图形是菱形，并比较 用不同的折纸方法折出的菱形的面积. A D C B 图 6-30 O 第6章 平行四边形 26 （1）图 6-32 是你早已认识的正方形. 它是平行四边形 吗？你能说出具有什么特征的平行四边形是正方形吗？ 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 （square） . （2）由正方形的定义可以知道，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是 有一个角是直角的菱形（图 6-33） ，所以正方形具有矩形和菱形的一切性质. 你能说出这些性质吗？ 有一组邻边相等有一个角是直角 矩形正方形 图 6-33 菱形 （3）正方形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ （4）怎样判定一个四边形是正方形？与同学交流 . 例2 如图 6-34，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，PM⊥BC， PN⊥CD，垂足分别为点 M，N . 求证：AP = MN . 证明 连接 PC . ∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴∠BCD = 90° . 观察与思考 A B D C 图 6-32 练 习 1. 菱形的两条对角线的长分别为 a，b，面积为 S. 求证：菱形的面积为 S = 1 2 ab . 2. 在菱形 ABCD 中，已知∠BAD = 120° ，AE⊥BC，垂足为 E . 求证：E 是 BC 的中点. 27 6.3 特殊的平行四边形 ∵ PM⊥BC，PN⊥CD， ∴∠PMC = 90° ， ∠PNC = 90° ， ∴ 四边形 PMCN 是矩形. ∴ PC = MN . 连接 AC，交 BD 于点 O . ∵ BD⊥AC， AO = OC . ∴ BD 是 AC 的垂直平分线. ∴ AP = PC . ∴ AP = MN . 练 习 如图 6-35，P 是正方形 ABCD 内的一点，△PBC