2.2.1椭圆及其标准方程教学课件.ppt

1、2.2.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程2022-4-26制作:吉林市吉化一中 韦宇哲2在我们实际生活中，在我们实际生活中，同学们见过椭圆吗？同学们见过椭圆吗？能举出一些实例吗？能举出一些实例吗？想一想生生活活中中的的椭椭圆圆 如何精确地设计、制作、建造出现实生活如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？中这些椭圆形的物件呢？圆是圆是点的轨迹点的轨迹. . 是是平面内平面内到定点距离到定点距离等于定长的动点的轨迹等于定长的动点的轨迹. . 椭圆是满足什么几何条件的椭圆是满足什么几何条件的点的轨迹呢？点的轨迹呢？请你想一想请你想一想数数 学学 实实 验验 1取一条细绳，无弹性

2、。取一条细绳，无弹性。 2把它的两端固定在板上的两点把它的两端固定在板上的两点F1、F2 3用粉笔尖（用粉笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形慢移动看看画出的图形F1F2Mn请同学们观察，并思考下面两个问题：请同学们观察，并思考下面两个问题：(1)(1)动点动点（移动的粉笔尖移动的粉笔尖）运动出的轨迹是什么？）运动出的轨迹是什么？(2)(2)动点满足怎样的几何条件？动点满足怎样的几何条件？反反 思思 （1）在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端）在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端 的位置是固定的还是运动的？的位置是固定的还是运动的？ （2）在画椭圆的过程中，

3、绳子的长度变了没有？）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？说明了什么？ （3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？大小有怎样的关系？结合实验以及结合实验以及“圆的定义圆的定义”,思考讨论一下应该思考讨论一下应该如何定义椭圆？它应该包含几个要素？如何定义椭圆？它应该包含几个要素？（1 1）在平面内）在平面内（2 2）到两定点）到两定点F F1 1，F F2 2的距离等于定长的距离等于定长2 2a a（3 3）定长）定长2 2a a |F|F1 1F F2 2| |F1F2M问：能否由此得到：到两个定点的距离之和问：能否由此

4、得到：到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？说明：在平面上到两个定点说明：在平面上到两个定点F F1 1， F F2 2的距的距 离之和等于定值离之和等于定值2a2a的点的轨迹为：的点的轨迹为：n当当2 2a aFF1 1F F2 2=2c =2c ，轨迹为：椭圆，轨迹为：椭圆 n当当2 2a a FF1 1F F2 2=2c=2c，轨迹为：线段，轨迹为：线段n当当2 2a a FF1 1F F2 2=2c=2c，轨迹为：不存在，轨迹为：不存在 平面内到两定点平面内到两定点F1、F2的距离之和等于的距离之和等于常数常数(大于大于|F1F2|)的

5、点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆 这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点， 两焦点的距离叫做两焦点的距离叫做焦距焦距1. 1.椭圆的定义椭圆的定义F1F2MOXYF1F2M2. 2.椭圆方程的建立椭圆方程的建立步骤一：建立直角坐标系步骤一：建立直角坐标系, 设动点坐标设动点坐标步骤二：找关系式步骤二：找关系式步骤三：列方程步骤三：列方程步骤四：化简方程步骤四：化简方程步骤五：验证步骤五：验证求曲线方程的步骤求曲线方程的步骤:3.方程的推导方程的推导 以两定点以两定点F1、F2的所在直线为的所在直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系轴，建立直

6、角坐标系(如图如图)。 设设|F|F1 1F F2 2|=2c(c|=2c(c0)0)，M(xM(x，y)y)为椭圆上任意一为椭圆上任意一点，则有点，则有F F1 1(-c(-c，0)0)，F F2 2(c(c，0)0)，且，且M M到到F F1 1，F F2 2的距离和为的距离和为2a.2a.yMxoF1F2(-c,0)(c,0)(x,y)由椭圆的定义由椭圆的定义, 可知：可知：|MF|MF1 1|+|+|MFMF2 2|=2a|=2a由两点间的距离公式，可知：由两点间的距离公式，可知：2 2a ay yc c) )( (x xy yc c) )( (x x2 22 22 22 2XYOF1

7、F2(c,0)M(-c,0)(x,y)2 22 22 22 2y yc)c)(x(x2a2ay yc)c)(x(x所以所以2 22 22 22 22 22 22 2y yc)c)(x(xy yc)c)(x(x4a4a4a4ay yc)c)(x(x: :两边平方得两边平方得2 22 22 2y yc)c)(x(xa acxcxa a即：即：两边平方得：两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因因2a2c，即，即ac，故，故a2-c20， 令令a2-c2=b2，其中，其中b0，代入上式，代入上式 , 可

8、得：可得：yMxoF1F2(-c,0)(c,0)(x,y)1 1c ca ay ya ax x2 22 22 22 22 2两边同时除以两边同时除以a2(a2-c 2) 得：得：这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的焦点在焦点在x轴上，焦点是轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)这这里里c2=a2-b20 0) )b b1 1( (a ab by ya ax x2 22 22 22 24 4椭圆标准方程分析椭圆标准方程分析我们把方程我们把方程 叫做叫做椭圆的标准方程椭圆的标准方程，它表示，它表示的椭圆的焦点在的椭圆的焦点在x轴上，焦点轴上，焦点是

9、是F1(-c，0)、 F2(c，0)这里这里c2=a2b2如果椭圆的焦点在如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是轴上，焦点是F1(o,-c)、F2(0,c).这里这里c2=a2-b2方程是怎样呢？方程是怎样呢？0 0) )b b1 1( (a ab by ya ax x2 22 22 22 2yMxoF1F2(-c,0)(c,0)(x,y)由两点间的距离公式，可知：由两点间的距离公式，可知：axcyxcy2)()(2222M2F1Foxy 设设|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆为椭圆上任意一点，则有上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，又由椭圆又由椭圆 的定义可得：的定义可得：

10、 |MF1|+ |MF2|=2a2 2a ay yc c) )( (x xy yc c) )( (x x2 22 22 22 22F1FoyMM2F1Foxy只须将只须将(1)方程的方程的x、y互换即可得到互换即可得到 0 0) )b b1 1( (a ab by ya ax x2 22 22 22 20 0) )b b1 1( (a ab bx xa ay y2 22 22 22 2这个也是这个也是椭圆的标准方程椭圆的标准方程 xOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay椭圆的标准方程的再认识：（1）

11、椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（3）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2。（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。的值。（2）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在哪的分母哪一个大，则焦点在哪 一个轴上。一个轴上。例例1 1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (-2,0), (2,0), (2,0), 并且经过点并且经过点 . .求它的标准方程求它的标准

12、方程. .解解: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,所以设所以设它的标准方程为它的标准方程为由椭圆的定义知由椭圆的定义知待定待定系数系数法法又因为又因为 , ,所以所以因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为所以所以能用其他方能用其他方法求它的方法求它的方程吗？程吗？另解另解: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,所以设它所以设它的标准方程为的标准方程为: :联立联立, ,因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为: :又又焦点的坐标为焦点的坐标为【变式练习变式练习】已知椭圆经过两点已知椭圆经过两点 和和 ，求椭圆的，求椭圆的

13、标准方程标准方程. .221(0,0,),mxnymnm n解：解：设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为则有则有 解得解得 221610 xy所以，所求椭圆的标准方程为所以，所求椭圆的标准方程为 .注意这种设法适用的情况注意这种设法适用的情况xyODMP例例2 2 如图，在圆如图，在圆 上任取一点上任取一点P P，过点，过点P P作作x x轴的垂线段轴的垂线段PDPD，D D为垂足为垂足. .当点当点P P在圆上运动在圆上运动时，线段时，线段PDPD的中点的中点M M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？解：解：设点设点M M的坐标为（的坐标为（x,yx,y）, ,点点P P的的坐标为（

14、坐标为（x x0 0,y,y0 0）, ,则则因为点因为点P P（x x0 0,y,y0 0）在圆）在圆相关点法相关点法把点把点0 0=x=x，y y0 0=2y=2y代入方程，得代入方程，得即即所以点所以点M M的轨迹是一个椭圆的轨迹是一个椭圆. .从例从例2 2你能发你能发现椭圆与圆之现椭圆与圆之间的关系吗？间的关系吗？【变式练习变式练习】已知圆已知圆 ，从这个圆上任意一点，从这个圆上任意一点P P向向x x轴作轴作垂线段垂线段 ，点，点M M在在 上上, ,并且并且 ，则点则点M M的的轨迹方程为轨迹方程为 . .22xy9PM2MP PPPP22xy19例例3 3 如图，设点如图，设点

15、A A，B B的坐标分别是的坐标分别是(-5(-5，0)0)和和(5(5，0),0),直线直线AM,BMAM,BM相交于点相交于点M M，且它们的斜率之积是，且它们的斜率之积是 , ,求求点点M M的轨迹方程的轨迹方程. .yAxMBO解：解：设点设点M M的坐标（的坐标（x,yx,y）, ,因为因为点点A A的坐标是（的坐标是（-5,0-5,0）, ,所以所以, ,直直线线AMAM的斜率为的斜率为同理，直线同理，直线BM的斜率的斜率由已知有由已知有化简，得点化简，得点M的轨迹方程为的轨迹方程为0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2MF1 + MF2 =2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM注注: : 共同点共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点不同点：焦点在：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.课堂小结课堂小结