07第7章-常微分方程课件.ppt

1、第第7 7章章 常微分方程常微分方程 7.1.1 7.1.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 7.1.2 7.1.2 分离变量法分离变量法 7.1.3 7.1.3 内容小结内容小结7.1 7.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念与分离变量法与分离变量法7.1.1 7.1.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 定定义义: :一一般般地地， 含含有有未未知知函函数数的的导导数数 （或或微微分分） 的的方方程程，称称为为微微分分方方程程, ,如如: : d2 dyx x. .所所含含的的未未知知函函数数是是一一元元函函数数的的微微分分方方程程称称为为常常微微分分方方程程. .微微分

2、分方方程程中中所所出出现现的的未未知知函函数数的的导导数数的的最最高高阶阶数数， 称称为为微微分分方方程程的的阶阶数数. .未未知知函函数数及及其其各各阶阶导导数数的的次次数数均均为为一一次次的的微微分分方方程程称称为为线线性性微微分分方方程程. .在在线线性性微微分分方方程程中中，如如果果未未知知函函数数及及其其各各阶阶导导数数的的系系数数都都是是 常常 数数 ， 则则 称称 之之 为为 常常 系系 数数 线线 性性 微微 分分 方方 程程 . . 如如 10 23sin2yyyx是是二二阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程. . 7.1.2 7.1.2 分离变量法分离变量法如果一个方程

3、可化为如果一个方程可化为 ( )d( )dg yyf xx (7(7.1.1) ) 的形式，则这个方程称为可分离变量的微分方程的形式，则这个方程称为可分离变量的微分方程. . 这种这种方程的解法称为分离变量法，此法的一般步骤为：先分方程的解法称为分离变量法，此法的一般步骤为：先分离变量得到（离变量得到（7.17.1） ，然后在（） ，然后在（7.17.1）式的两端积分求得方）式的两端积分求得方程的通解程的通解. . 7.1.3 7.1.3 内容小结内容小结 1 1. . 微微分分方方程程的的基基本本概概念念 2 2. . 分分离离变变量量法法 7.2 7.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程

4、7.2.1 7.2.1 一阶线性微分方一阶线性微分方程程 7.2.2 7.2.2 一阶线性微分方程应用一阶线性微分方程应用7.2.3 7.2.3 内容小结内容小结 7.2.1 7.2.1 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 未知函数及其导数都是一次的一阶微分方程，称为未知函数及其导数都是一次的一阶微分方程，称为一阶线性微分方程一阶线性微分方程. .其一般式为其一般式为 ( )( )yp x yq x (7(7.2.2) ) 当当( )0q x , , ( )0yp x y (7.3) (7.3) 称为一阶线性齐次微分方程称为一阶线性齐次微分方程. .当当 ( )0q x ，(7(7.2.2) )

5、称为一称为一阶线性非齐次微分方程阶线性非齐次微分方程. . 7.2.2 7.2.2 一阶线性微分方程应用一阶线性微分方程应用 运用微分方程解决实际问题的一般步骤为：运用微分方程解决实际问题的一般步骤为：(1)(1)建立描述实际问题的微分方程并确定初始条件；建立描述实际问题的微分方程并确定初始条件；(2)(2)根据微分方程的类型，求出该微分方程的通解；根据微分方程的类型，求出该微分方程的通解；(3)(3)利用初始条件，求得微分方程满足初始条件的特解；利用初始条件，求得微分方程满足初始条件的特解；(4)(4)根据某些实际问题的需要，利用所求得的特解来解释根据某些实际问题的需要，利用所求得的特解来解

6、释 问题的实际意义或求得其他所需的结果问题的实际意义或求得其他所需的结果. .下面就一阶线性微分方程的应用举几个例子下面就一阶线性微分方程的应用举几个例子. . 7.2.3 7.2.3 内容小结内容小结 1.1. 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程2.2. 常数变易法常数变易法3.3. 一阶线性微分方程的简单应用一阶线性微分方程的简单应用 7.3 7.3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 7.3.1 7.3.1 二阶常系数线性微分方程的概念二阶常系数线性微分方程的概念7.3.2 7.3.2 二阶常系数线性微分方程解的性质二阶常系数线性微分方程解的性质7.3.3 7.3.3

7、 二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法 7.3.4 7.3.4 内容小结内容小结7.3.1 7.3.1 二阶常系数线性微分方程的概念二阶常系数线性微分方程的概念7.3.2 7.3.2 二阶常系数线性微分方程解的性质二阶常系数线性微分方程解的性质 7.3.2 7.3.2 二阶常系数线性微分方程解的性质二阶常系数线性微分方程解的性质 7.3.4 7.3.4 内容小结内容小结 1.1.二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程2.2.二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程3.3.二阶常系数线性齐次微分方程的通解二阶常系数线性齐次微分方程的通解