二次函数的性质.ppt课件.ppt

1、腰站中学腰站中学 李志祥李志祥猫街中学王明猫街中学王明函数函数函数知多少变量之间的关系变量之间的关系一次函数y=kx+b (k0)反比例函数二次函数正比例函数y=kx(k0).0kxky回顾：yax2+bx+c （a0）定义：定义： 一般地一般地, ,形如形如y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的函数的函数叫做叫做x x的的二次函数二次函数. . y=ax y=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示形式的几种不同表示形式: :(1)y=ax(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(a0,b

2、=0,c=0,).(2)y=ax(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).+bx(a0,b0,c=0).y=ax(a0) 我们在学习了正比例函数，一次函数与我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，并研究了它们各自的反比例函数的定义后，并研究了它们各自的图象特征图象特征 知道正比例函数的图象是过原点的一条知道正比例函数的图象是过原点的一条直线，一般的一次函数的图象是不过原点的直线，一般的一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是两条双曲一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线线 上节课我

3、们学习了二次函数的一般形式为上节课我们学习了二次函数的一般形式为yax2+bx+c(其中其中a，b，c是常数且是常数且a0)，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢那么它的图象是否也为直线或双曲线呢? 绚丽的天边彩虹水中欢跳的海豚空中绽放的烟花xy1 1、经历探索二次函数、经历探索二次函数y=xy=x2 2的图象的作法和性的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。经验。2 2、能够利用描点法作出函数、能够利用描点法作出函数y=xy=x2 2的图象，并的图象，并能根据图象认识和理解二次函数能根据图象认识和理解二次函数y=xy=x2 2的性质。的性质

4、。3 3、能够作出二次函数、能够作出二次函数y=-xy=-x2 2的图象，并能够的图象，并能够比较它与比较它与y=xy=x2 2的图象的异同，初步建立二次的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。函数表达式与图象之间的联系。数形结合数形结合, ,直观感受直观感受在二次函数在二次函数y=y=x x2 2中中,y,y随随x x的变化而变化的规律的变化而变化的规律是什么？是什么？观察观察y=y=x x2 2的表达式的表达式, ,选择适当选择适当x x值值, ,并计算相应并计算相应的的y y值值, ,完成下表：完成下表：你会画二次函数y=y=x x2 2的图象吗的图象吗? ?xy=x2.0

5、-2 -1.5-1-0.511.50.52 函数图象画法函数图象画法列表列表描点描点连线连线00.2512.2540.2512.254 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结注意：列表时自变量注意：列表时自变量取值要均匀和对称。取值要均匀和对称。2xy观察图象,回答问题1 1、你能描述图象的形状吗、你能描述图象的形状吗? ?2、图象与、图象与x轴有交点吗？轴有交点吗？ 如果有如果有,交点坐标是什么交点坐标是什么?4、当、当x取什么值时取什么值时,y的值最小的值最小? 最小值是什么？你是如何知道的？最小值是什么？你是如何知道的？3、当、当x0呢呢?5、图象是轴对称图

6、形吗？如果是,它的对称轴是什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.2xy 2xy二次函数二次函数y=x2的的图象形如物体抛射图象形如物体抛射时所经过的路线时所经过的路线,我我们把它叫做们把它叫做抛物线抛物线.(parabola)1 1、你能描述图象的形状吗、你能描述图象的形状吗? ?02xy图象与图象与x的交点的交点交点坐标是(0，0)2、图象与、图象与x轴有交点吗？如果有轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么交点坐标是什么?02xy当当x0 (在对称轴在对称轴的右侧的右侧)时时, y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 当当x=-2

7、时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=43、当、当x0呢呢?02xy4、当、当 x 取什么值时取什么值时, y 的值最小的值最小? 最小值是什么？最小值是什么？ 你是如何知道的？你是如何知道的？当当x=0时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是0.02xy5、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. y=x2的图象的图象有最低点有最低点，在，在yx2中，中，y有最小值有最小值，即，即x时，时，y最

8、小最小； 图象与对称轴y轴有交点，坐标轴有交点，坐标即为顶点坐标即为顶点坐标（0,0）02xy对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.抛物线的顶点抛物线的顶点：0（1）抛物线的开口向）抛物线的开口向 （2）它是轴对称图形，对称轴是）它是轴对称图形，对称轴是 （3）图象与）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为的交点，称为 ，同时也是图象的最，同时也是图象的最 点，坐点，坐标为标为 （4）因为图象有最）因为图象有最 点，所以函数有最点，所以函数有最 值，当值，当x=0时，时，y最小最小=0（5）在对称轴的左侧

9、，）在对称轴的左侧，y随随x的增大而的增大而 ；在对称轴的；在对称轴的右侧，右侧，y随着随着x 的增大而的增大而 合作交流，探究新知合作交流，探究新知上上y轴轴抛物线的顶点抛物线的顶点低低（0，0）低低小小减小减小增大增大xy0 0-4-3-2-11234-5-4-3-21-1描点描点y=-=-x2 2连线连线x-3 -2 -1 0123 y=-x2 -9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9作函数作函数y=-x2的图象的图象观察图象,回答问题1 1、你能描述图象的形状吗、你能描述图象的形状吗? ?2、图象与、图象与x轴有交点吗？轴有交点吗？ 如果有如果有,交点坐标是什么交点坐标是

10、什么?4、当、当x取什么值时取什么值时,y的值最大的值最大? 最大值是什么？你是如何知道的？最大值是什么？你是如何知道的？y=-=-x2 201234-1-2-3-4-2-4-6-8XY-103、当、当x0呢呢?5、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.2xy二次函数二次函数y= -x2的的图象形如物体抛射图象形如物体抛射时所经过的路线时所经过的路线,我我们把它叫做们把它叫做抛物线抛物线.1 1、你能描述图象的形状吗、你能描述图象的形状吗? ?02xyy2、图象与、图象与x轴有交点吗？轴有

11、交点吗？ 如果有如果有,交点坐标是什么交点坐标是什么?图象与x轴的交点交点坐标为（0, 0）02xy 当当x0 (在对称轴在对称轴的右侧的右侧)时时, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. y 当当x= -2时时,y= -4 当当x= -1时时,y= -1当当x=1时时,y= -1当当x= 2时时,y= -43、当、当x0呢呢?02xy yx4、当、当 x 取什么值时取什么值时, y的值最大的值最大? 最大值是什么？最大值是什么？你是如何知道的？你是如何知道的？当当x = 0时时,函数函数 y 的值最大的值最大,最大值是最大值是0.0yy=-x25、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什

12、么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.y=-x2的图象的图象有最高点有最高点，在，在y-x2中，中，y有最大值有最大值，即，即x=时，时，y最大最大= y轴轴就就 是它的对称轴是它的对称轴. 图象与对称轴图象与对称轴y轴有交点，轴有交点，坐标即为顶点坐标（坐标即为顶点坐标（0,0）0（1）抛物线的开口向抛物线的开口向 （2）它是轴对称图形，对称轴是）它是轴对称图形，对称轴是 （3）图象与）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的 交点，称为抛物线的交点，称为抛物线的 ，同时也是图象的最，

13、同时也是图象的最 点，坐点，坐标为标为 .（4）因为图象有最高点，所以函数有最）因为图象有最高点，所以函数有最 值，当值，当x=0时，时，y最大最大=0（5）在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的增大而的增大而 ；在对称轴的；在对称轴的右侧，右侧，y随着随着x 的增大而的增大而 .合作交流，探究新知合作交流，探究新知（0，0）oxyy=-x2 下下y 轴轴顶点顶点高高大大增大增大减减 小小图象都是抛物线；图象都是抛物线； 图象都与图象都与x轴交于点（轴交于点（, ,）；）； 图象都关于图象都关于y轴对称轴对称 相同点：相同点： 1、函数、函数y=x2和和y=-x2的图象与性质的异同点的图象

14、与性质的异同点顶点坐标是（顶点坐标是（0 0，0 0） 本 课 小 结0大致图象抛物线抛物线开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=x2y= -x2向上向上向下向下当当x=0时时,最小值为最小值为0.当当x=0时时,最大值为最大值为0. x0, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. x0, y随着随着x的增大而增大的增大而增大. x0, y随着随着x的增大而增大的增大而增大. x0, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 2xy oxyy=-x2 不同点：不同点：联系：关于关于 x 轴对称轴对称.位置位置除原点外，除原点外， x轴的上方轴的上方除原点外，除原点外， x轴的下方轴的下方2 2

15、、本节课你有哪些收获？有何感想？、本节课你有哪些收获？有何感想？我有哪些收获？作函数图象，并利用图象作函数图象，并利用图象研究其函数的性质。研究其函数的性质。学会了学会了明白了明白了二次函数二次函数y=x2与与 y=-x2的的形状、开口方向、形状、开口方向、顶点坐标、对称轴、及增减性。顶点坐标、对称轴、及增减性。懂得了懂得了合作交流的重要性，并且体会到了一种精神：合作交流的重要性，并且体会到了一种精神：就是要勇于暴露自己的思想。就是要勇于暴露自己的思想。 本 课 小 结知识技能知识技能 2、3祝老师们祝老师们 ： 身体健康身体健康 工作顺工作顺利！利！祝同学们：祝同学们： 天天开心天天开心 学

16、习进步！学习进步！ 说说自己生活中遇到的哪些说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮廓线动物和植物身体的部分轮廓线呈抛物线形呈抛物线形 状状?2 2设正方形的边长为设正方形的边长为a,a,面积为面积为s,s, 试作出试作出S S随随a a的变化而变化的图象的变化而变化的图象. .1、抛物线、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称的顶点是原点，对称轴是轴是y轴。轴。2、当、当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方（除顶点外），轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；它的开口向上，并且向上无限伸展； 当当a0时，在对称轴的左侧，时，在对称轴的左侧，y随着随着x的增大而减小

17、；的增大而减小；在对称轴右侧，在对称轴右侧，y随着随着x的增大而增大。当的增大而增大。当x=0时函数时函数y的值最小。的值最小。当当a0)(a=-10) 数学使人聪明数学使人聪明, ,数学使数学使人陶醉人陶醉, ,数学的美陶冶数学的美陶冶着你、我、他着你、我、他. .寄语:y=x2的图象有最低点，在的图象有最低点，在yx2中，中，y有最小值，即有最小值，即x时，时，y最小最小； y=-x2的图象有最高点，在的图象有最高点，在y-x2中，中，y有最大值，即有最大值，即x=时，时，y最大最大= 2xy2xy 抛物线抛物线位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=x2y= -x2在在x轴的上方

18、轴的上方(除顶点外除顶点外)在在x轴的下方轴的下方( 除顶点外除顶点外)向上向上向下向下当当x=0时时,最小值为最小值为0.当当x=0时时,最大值为最大值为0.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 函数函数y=x2和和y=-x2的图象的异同点的图象的异同点表达式表达式开口开口对称轴对称轴顶点顶点最值最值y随随x的变化情况的变化情况x0 x0y=x2向向

19、上上y轴轴（0，0）当当x0，y最小最小0y随随x的增的增大而减小大而减小左减左减y随随x的增的增大而增大大而增大右增右增y=-x2向向下下当当x0，y最大最大0y随随x的增的增大而增大大而增大左增左增y随随x的增的增大而减小大而减小右减右减联系联系二者关于二者关于x轴对称轴对称.一、教学知识点一、教学知识点 1.能够利用描点法作出函数能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解的图象，能根据图象认识和理解 二次函数二次函数y=x2的性质的性质 2.猜想并能作出猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与的图象，能比较它与y=x2的图象的异同的图象的异同二、能力训练要求二、能力训练要

20、求 1.经历探索二次函数经历探索二次函数yx2的图象的作法和性质的过程，获得利的图象的作法和性质的过程，获得利 用图象研究函数性质的经验用图象研究函数性质的经验 2.由函数由函数y=x2的图象及性质，对比地学习的图象及性质，对比地学习y-x2的图象及性质，的图象及性质， 并能比较出它们的异同点，培养类比学习能力和求同求异思维并能比较出它们的异同点，培养类比学习能力和求同求异思维三、情感与价值观要求三、情感与价值观要求 1.通过自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次通过自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次 函数性质的理解函数性质的理解 2.通过合作交流，能够从多个角度看

21、问题，进而比较准确地理解通过合作交流，能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解 二次函数的性质二次函数的性质22xy232xy根据左边已画好的函数图象填空根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线）抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧，y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在 侧，侧，y随着随着x的增大而减小，当的增大而减小，当x= 时，时，函数函数y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ,抛物抛物线线y=2x2在在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。（2）抛物线）抛物线 在在x轴的轴的 方（除顶点外），在对称轴方（除顶点外），在对称轴的左

22、侧，的左侧，y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧，；在对称轴的右侧，y随着随着x的的 ，当，当x=0时，函数时，函数y的值最大，最大值的值最大，最大值 ，当当x 0时，时，y0.2 2xy32（0，0）y轴轴对称轴的右对称轴的右对称轴的左对称轴的左00上上下下增大而增大增大而增大增大而减小增大而减小02xy2xy 抛物线抛物线y=x2y=-x2顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性极值极值（0，0）（0，0）y轴轴y轴轴在在x轴的上方（除顶点外）轴的上方（除顶点外）在在x轴的下方（除顶点外）轴的下方（除顶点外）向上向上向下向下当当x=0时，最小值为时，最小值为0。当当x

23、=0时，最大值为时，最大值为0。二次函数二次函数y=x2的性质的性质、顶点坐标与对称轴、顶点坐标与对称轴、位置与开口方向、位置与开口方向、增减性与极值、增减性与极值动画演示动画演示课堂2xy观察图象,回答问题1 1、你能描述图象的形状吗、你能描述图象的形状吗? ?与同伴进行交流与同伴进行交流. .2、图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?3、当x0呢？4、当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？5、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.2xy当当x0 (在对称轴在对

24、称轴的右侧的右侧)时时, y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 当当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=42xy抛物线抛物线y=x2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),顶点是它的最低点顶点是它的最低点,开口向上开口向上,并且并且向上无限伸展向上无限伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是0.4、当、当x取什么值时取什么值时, y的值最小的值最小? 最小值是什么？最小值是什么？ 你是如何知道的？你是如何知道的？2xy这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 对称

25、轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.5、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.抛物线抛物线y=x2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),顶点是它的最低点顶点是它的最低点,开口向上开口向上,并且并且向上无限伸展向上无限伸展;5、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.y=-x2的图象的图象有最高点有最高点，在，在y-x2中，中，y有最大值有最大值，即

26、，即x=时，时，y最大最大= y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 图象与对称轴y轴轴有交点，坐标即为有交点，坐标即为顶点坐标（顶点坐标（0,0）在学中做在做中学(1)二次函数二次函数y=-xy=-x2 2的图象是什么形状？的图象是什么形状？你能根据表格中的数据作你能根据表格中的数据作出猜想吗出猜想吗?(2)(2)先想一想，然后作出它的图象先想一想，然后作出它的图象(3)它与二次函数它与二次函数y=x2的图象有什么关系？的图象有什么关系？xy=-x x2 2x-3-2-10123y=-x x2 2x -9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9x-3 -2 -1 0123 y=x2

27、 9 94 41 10 01 14 49 9xy0 0-4-3-2-11234-5-4-3-21-1y=-=-x2 2观察图象,回答问题1 1、你能描述图象的形状吗、你能描述图象的形状吗? ?与同伴进行交流与同伴进行交流. .2、图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?3、当x0呢？4、当x取什么值时,y的值最大?最大值是什么？你是如何知道的？5、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.2xy这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 对称轴与抛

28、物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.y5、图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?图象与对称轴有交点吗？如果有，坐标是什么？是最高点，还是最低点？请你找出几对对称点,并与同伴交流.抛物线抛物线y= -x2在在x轴的下方轴的下方(除顶点外除顶点外),顶点是它的最高点顶点是它的最高点,开口开口向下向下,并且向下无限伸展并且向下无限伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是0.y=-x2的图象有最高点，在的图象有最高点，在y-x2中，中，y有最大值，即有最大值，即x=时，时，y最大最大= 2xy2xy 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而减小。减小。 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的右侧，右侧，y随着随着x的增大而的增大而增大。增大。 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而增大。增大。 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的右侧，右侧，y随着随着x的增大而的增大而减小。减小。 当当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=4当当x=-2时，时，y=-4当当x=-1时，时，y=-1当当x=1时，时，y=-1当当x=2时，时，y=-4