医用数理统计方法课件第四章随机抽样与抽样分布..ppt

1、 第第 四四 章章 随机抽样 与 抽样分布 数理统计学是一门应用性很强的学科数理统计学是一门应用性很强的学科. 它是研究它是研究怎样以怎样以有效的方式有效的方式收集、收集、 整理和分析整理和分析带有随机性的带有随机性的数据数据，以便对所考察的问题作出推断和预测，以便对所考察的问题作出推断和预测. 由于大量随机现象必然呈现它规由于大量随机现象必然呈现它规律性，只要对随机现象进行足够多次律性，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的规律性一定能清楚地观察，被研究的规律性一定能清楚地呈现出来呈现出来. 客观上，客观上， 只允许我们对随机现象只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验进行次数不多的观察

2、试验 ，我们只，我们只能获得局部观察资料能获得局部观察资料. 数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、分析所获得的分析所获得的有限有限的资料，对所研究的问题的资料，对所研究的问题, 尽尽可能地作出精确而可靠的结论可能地作出精确而可靠的结论. 在数理统计中，不是对所研究的对象全体在数理统计中，不是对所研究的对象全体 ( 称称为为总体总体)进行观察，而是抽取其中的部分进行观察，而是抽取其中的部分(称为称为样本样本)进行观察获得数据（进行观察获得数据（抽样抽样），并通过这些数据对总），并通过这些数据对总体进行推断体进行推断.数理统计方法具有数理统计方法具有“部

3、分推断整体部分推断整体”的的特征特征 .第第4.1.4.1.节节 基本概念基本概念一、总体与个体一、总体与个体二、随机样本的定义二、随机样本的定义三、统计量三、统计量四、小结四、小结一、总体与个体一、总体与个体 一一个统计问题总有它明确的研究对象个统计问题总有它明确的研究对象.研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体(母体母体)，总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量考察国产考察国产 轿车的质量轿车的质量总体总体总体总体 然而在统计研究中，人们往往关心每个然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一项个体的一项(或几项或几项)数量指标和该数量指标数

4、量指标和该数量指标在总体中的分布情况在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有这时，每个个体具有的数量指标的全体就是的数量指标的全体就是总体总体.该批灯泡寿命的该批灯泡寿命的全体就是总体全体就是总体灯泡的寿命灯泡的寿命国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量所有国产轿车每公里耗所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体油量的全体就是总体 由于每个个体的出现带有随机性，即相应由于每个个体的出现带有随机性，即相应的数量指标值的出现带有随机性。从而可把的数量指标值的出现带有随机性。从而可把此种数量指标看作随机变量，我们用一个随此种数量指标看作随机变量，我们用一个随机变量或其分布来描述总体。为此常用随机

5、机变量或其分布来描述总体。为此常用随机变量的符号或分布的符号来表示总体。变量的符号或分布的符号来表示总体。 通常，我们用随机变量通常，我们用随机变量X , Y , Z, 等表等表示总体。当我们说到总体，就是指一个具有示总体。当我们说到总体，就是指一个具有确定概率分布的随机变量。确定概率分布的随机变量。如如:研究某批灯泡的寿命时，我们关心的数研究某批灯泡的寿命时，我们关心的数量指标就是量指标就是寿命寿命，那么，此总体就可以用随，那么，此总体就可以用随机变量机变量X表示，或用其分布函数表示，或用其分布函数F(x)表示表示.总体总体某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命寿命寿命X可用一概可用一概率分布来刻划率

6、分布来刻划F(x) 因此, 在统计学中,总体这个概念的要旨是: 总体就是一个概率分布. 某工厂某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的月份生产的灯泡寿命所组成的总体中总体中, 个体的总数就是个体的总数就是10月份生产的灯泡数月份生产的灯泡数, 这是一个有限总体这是一个有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体可命所组成的总体可近似地近似地看成一个无限总体看成一个无限总体, 它它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命包括以往生产和今后生产的灯泡寿命. 有限总体和无限总体有限总体和无限总体实例实例 当有限总体包含的个体的当有限总体包含的个体的总数很大时总数很大时, 可近似地将

7、它看可近似地将它看成是无限总体成是无限总体.二、简单随机样本二、简单随机样本1. 样本的定义样本的定义 为推断总体的分布及各种特征,按一定的规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关总体的信息.这一抽取过程称为“抽样”. 所抽取的部分个体称为样本.通常记为样本中所包含的个体数目n称为样本容量.nXXX21, 容量为n的样本可以看作n维随机变量.但是,一旦取定一组样本,得到的是n个具体的数 ,称此为样本的一次观察值,简称样本值.2. 简单随机样本简单随机样本 抽取样本的目的是为了利用样本对总体进行统计推断,这就要求样本能很好的反映总体的特性且便于处理.为此,需对抽样提出一些要求,通常有两条

8、:),(21nxxx满足上述两条性质的样本称为简单随机样本.获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样. 为了使大家对总体和样本有一个明确的概念,我们给出如下定义:定义定义4.14.1一个随机变量X或其相应的分布函数F(x)称为一个总体.1. 代表性代表性： X1,X2, Xn中每一个与所考察的中每一个与所考察的总体总体X有相同的分布有相同的分布.2. 独立性独立性： X1,X2, Xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.,)(,)(,)(2121本本简简称称样样的的简简单单随随机机样样本本中中抽抽取取的的容容量量为为或或总总体体为为从从总总体体则则称称随随机机变变量量、相相互互独独立立

9、的的是是具具有有同同一一分分布布函函数数若若的的随随机机变变量量是是具具有有分分布布函函数数设设nxFXXXXxFXXXxFXnn定义定义4.24.2.,21个个独独立立的的观观察察值值的的又又称称为为称称为为样样本本值值它它们们的的观观察察值值nXxxxn样本样本 所有可能取值的全体称所有可能取值的全体称为样本空间，为样本空间， 记为记为 。12(,)nXXX的样本点的样本点中中称为称为nxxx,21定理定理5.1).(),(), 2 , 1)()3().(),(),()2().(),(),() 1 (.),(121*12112121niiniiniinniinnxpXXXixpxXPXxp

10、XXXxpXxFXXXxFXXXXX的分布率为则样本的分布率为若总体的分布密度为则样本的分布密度为若总体的分布函数为则样本的分布函数为若总体的样本为来自总体设3.样本样本的分布的分布.),(,),( ,)0(2121的概率密度的概率密度求样本求样本是来自总体的样本是来自总体的样本布布的指数分的指数分服从参数为服从参数为设总体设总体nnXXXXXXX 解解的概率密度为的概率密度为总体总体 X0, 00,)(xxexpx, 21有相同的分布有相同的分布且与且与相互独立相互独立因为因为XXXXn的概率密度为的概率密度为所以所以),( 21nXXX)(),(121niinnxpxxxp 其其它它, 0

11、0,1ixnxenii 例例1.),(,),(, 10), 1(2121的的分分布布律律求求样样本本是是来来自自总总体体的的样样本本其其中中服服从从两两点点分分布布设设总总体体nnXXXXXXppBX 解解的分布律为的分布律为总体总体 X, 21相互独立相互独立因为因为nXXXiippiXP 1)1()1, 0( i,有相同的分布有相同的分布且与且与X的分布律为的分布律为所以所以),( 21nXXX例例2,2211nnxXxXxXP 2211nnxXPxXPxXP niiniixnxpp11)1(.1 , 0,21中取值中取值在集合在集合其中其中nxxx三、统计量三、统计量1. 统计量的定义统

12、计量的定义4.3.),( ,),(,21212121计量是一个统则称不含未知参数中若的函数是的一个样本是来自总体设nnnnXXXffXXXXXXfXXXX 由样本推断总体特征,需要对样本值进行“加工”,“提炼”.这就需要构造一些样本的函数,它把样本中所含的信息集中起来.?,),(,22321哪哪些些不不是是些些是是统统计计量量判判断断下下列列各各式式哪哪为为未未知知为为已已知知其其中中样样本本的的一一个个是是来来自自总总体体设设 NXXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT).(123222126XXXT 是是不是不是例

13、例1.),(),(,21212121的观察值是则称的样本值是相应于样本设nnnnXXXfxxxfXXXxxx2. 几个常用统计量几个常用统计量( (样本矩样本矩) )的定义的定义.,2121是是这这一一样样本本的的观观察察值值是是来来自自总总体体的的一一个个样样本本设设nnxxxXXX(1)样本平均值样本平均值;11 niiXnX(2)样本方差样本方差niinXXnS122)(1.1122niiXnXn.11 niixnx其观察值其观察值它反映了总体均值它反映了总体均值的信息的信息它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息其观察值其观察值niinxxns122)(1.1122niixnxn(

14、3)样本标准差样本标准差;1122niinnXXnSS其观察值其观察值.)(112niinxxns(4)修正修正样本方差样本方差niinXXnS122*)(11.11122niiXnXn(5) 样本样本 k 阶阶(原点原点)矩矩;, 2, 1,11 kXnAnikik其观察值其观察值.,2111kxnanikik(6)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩;, 3, 2,)(11 kXXnBnikik其观察值其观察值., 3, 2,)(11 kxxnbnikik其观察值其观察值niinxxns122*)(11.11122niixnxn样本矩具有下列性质样本矩具有下列性质:性质性质4.1 .)()4(;

15、)()3(;)()2(;)() 1 (:,),(,)(,)(22*21221212nnnnnnSESEXDXEXXXXXDXEX则有的样本为来自总体方差的期望设总体证明证明ninniinniinXEXEXE111111)()()() 1 (211211111222 nninniinniinXDXDXD)()()()()()()()(2121122123XEXEXXESEniinniinn)()()()(2211XEXDXEXDiniin212211221 nnnnin)()(2212124 )()()()(*nnnnnnnSESESE证明证明, , 21同分布同分布独立且与独立且与因为因为XX

16、XXn , , 21同分布同分布独立且与独立且与所以所以kknkkXXXX.)()()()(21kkknkkXEXEXEXE 故有故有再根据第四章再根据第四章辛钦定理辛钦定理知知., 2, 1,)(kAnXEkXkPkkk时则当存在记成阶矩的若总体性质性质4.2由第四章关于依概率收敛的序列的性质知由第四章关于依概率收敛的序列的性质知),(),(2121kPkgAAAg .是连续函数是连续函数其中其中g;, 2, 1,11 kXnkPniki 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据的理论根据. 四、小结四、小结个体个体 总体总体 有限总体有限总体无限总体无

17、限总体基本概念基本概念:说明说明1一个总体对应一个随机变量一个总体对应一个随机变量X, 我们将不我们将不区分总体和相应的随机变量区分总体和相应的随机变量, 统称为总体统称为总体X.说明说明2在实际中遇到的总体往往是有限总体在实际中遇到的总体往往是有限总体, 它它对应一个离散型随机变量对应一个离散型随机变量; 当总体中包含的个体当总体中包含的个体的个数很大时的个数很大时, 在理论上可认为它是一个无限总在理论上可认为它是一个无限总体体.随机样本随机样本 总体,样本,样本值的关系总体(理论分布)样本样本值?统计是从手中已有的资料-样本值,去推断总体的情况-总体的分布F(x)的性质.样本是联系二者的桥

18、梁. 总体分布决定了样本取值的概率规律,也就是样本取到样本值的规律,因而可以由样本值去推断总体.两个最重要的统计量两个最重要的统计量:样本均值样本均值 niiXnX11样本方差样本方差niinXXnS122)(11四。常用抽样方法四。常用抽样方法 一、单纯随机抽样 二、系统抽样 三、分层抽样 四、整体抽样 五、多阶段抽样第第4.24.2节节 样本分布图样本分布图 一、样本直方图 p83 样本累积频率函数图第第4.34.3节节 常用统计分布常用统计分布一、常见分布一、常见分布二、概率分布的分位数二、概率分布的分位数三、小结三、小结一、常见分布一、常见分布 一、的分布X是不全为零的常数这里（且服从

19、正态分布仍然的线性函数个相互独立的随机变量均为常数，且这里（且仍然服从正态分布的线性函数随机变量iiiiniiiiicXXcNXnabaabYbaXNX),c,c,x),( )2(0 ,),a,y),() 1 (22n1iin1ii12222定理定理4.1),().(,21i221nnNXNXXXinn则的一个样本，为正态总体设定理定理4.2),().(,2221nNXNXXXn则的一个样本，为正态总体设).(,) 1, 0(,5 . 422222221221nnXXXNXXXnnnn记为分布的度为服从自由则称统计量分布相互独立，同服从、设定义.:变量的个数中右端包含独立指自由度222212n

20、nXXX 分分布布2 二二.随机数随机数演示演示分布函数与密度函数演示分布函数与密度函数演示分布的概率密度为)(2n 其它其它00)2(21)(2122xexnxpxnn.)(2图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如n 定理定理4.34.3.2)(,)(),(2222nDnEn 则则若若证明证明),1, 0( NXi因为因为, 1)()(2 iiXDXE所以所以2242)()()(iiiXEXEXD , 213 ., 2, 1ni niiXEE122)( 故故 niiXE12)(,n niiXDD122)( niiXD12)(.2n )(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差 分布的

21、性质分布的性质2 定理定理4.44.4).(,),(),(2122221222122221221nnnn 则则立立独独并且并且设设)(2分布的可加性分布的可加性 (此性质可以推广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形).(,), 2, 1(),(21212222mmiiiiinnnmin 则则独立独立相互相互并且并且设设定理定理4.5.(2);1()(1) 1(1),),(,22212222221分别独立与则有方差分别是样本均值和样本的样本是总体设SXnXXSnSXNXXXniinn.),(2理理样样本本方方差差有有以以下下重重要要定定的的样样本本均均值值和和关关于于正正态态总

22、总体体 N证明证明,)/()()()()()() 1(221221212122nXXXnXXXXXSniniiiniiniinii由于由于) 1 ()/(),()(2221nXnXni再由定理再由定理4.4可的可的(1)的证明的证明.(2)证略证略.)()(,),(,分分布布服服从从使使得得求求样样本本的的一一组组为为来来自自正正态态总总体体设设例例2265432221121621101XXXXCXXCYCCNXXX),(),(102202121NXXNXX则则解解),(),(1044065436543NXXXXNXXXX则则同理同理221XX 且且46543XXXX与与相互独立相互独立221

23、2)(XX 所以所以)()(24226543XXXX.,412121CC则则).(,/,),(),1, 0(6 . 42ntTtnnYXTYXnYNX记为分布的服从自由度为则称随机变量独立且设定义t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布. tntnnnthn,1221)(212 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为)(nt分布分布t三三图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如t.0对称的对称的显然图形是关于显然图形是关于 t当当n充分大时充分大时, 其图其图形类似于标准正态形类似于标准正态变量概率密度的图变量概率密度的图形形.,21)(lim22tneth 因为因为,

24、)1 , 0(分布分布分布近似于分布近似于足够大时足够大时所以当所以当Ntn.)1 , 0(,分分布布相相差差很很大大分分布布与与但但对对于于较较小小的的Ntn).1(/,),(,2221ntnSXSXNXXXn则有方差分别是样本均值和样本样本的是总体设证明证明),1 , 0(/NnX ),1() 1(222nSn且两者独立且两者独立, 由由 t 分布的定义知分布的定义知) 1() 1(/22nSnnXnSX).1( nt定理定理4.6则有差分别是这两个样本的方别是这两个样本的均值分设两个样本互相独立且这的样本两个正态总体分别是来自与设,)(11,)(11,1,1,),(, ),(,21212

25、1122221212112112222112121niiniiniiniinnYYnSXXnSYnYXnXNNYYYXXX定理定理4.7, 22221时当.,2) 1() 1(),2(11)()(2212222112212121wwwwSSnnSnSnSnntnnSYX其中 221221, nnNYX 因为因为212111)()( nnYXU 所以所以),1 , 0( N证明证明),1() 1( 122211nSn由),1() 1(222222nSn分布的可加性知分布的可加性知故由故由且它们相互独立且它们相互独立2, 2211) 1(SnV2222) 1(Sn ),2(212 nn 分布的定义

26、分布的定义按按相互独立相互独立与与由于由于tVU,)2/(21 nnVU212111)()(nnSYXw ).2(21 nnt).,(,),(/,),(),(7 . 42121212212nnFFFnnnYnXFYXnYnX记为分布的服从自由度为称随机变量则独立且设定义分布分布F四四.分布的概率密度为分布的概率密度为),(21nnF 其它其它, 00,1222)(2212112221212111ynynnnynnnnynnnn 图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如F则有差分别是这两个样本的方别是这两个样本的均值分设两个样本互相独立且这的样本两个正态总体分别是来自与设,)(11,)(11

27、,1,1,),(, ),(,212121122221212112112222112121niiniiniiniinnYYnSXXnSYnYXnXNNYYYXXX定理定理4.8);1, 1(/2122222121nnFSS证明证明 由于由于),1() 1(1221211nSn),1() 1(2222222nSn ,且它们相互独立 分布的定义知分布的定义知则由则由F1), 1() 1() 1() 1() 1(21222222211211nnFnSnnSn . ) 1, 1(/ 2122222121nnFSS即二、概率分布的分位数二、概率分布的分位数.,),10(8 . 4分位数的分布的上侧为则称使

28、若存在和给定的对于总体定义XxxXPxX u正正态态分分布布的的上上侧侧分分位位数数. 1xeuXPuNNXuxd21101022 ),(),(满足分位点的上服从标准正态分布设05. 0u025. 0u根据正态分布的对称性知根据正态分布的对称性知. uu1,645. 1 ,96. 1 1)(u 即.4,的值可查得由附表给定u )(uuXP 11).()()()(, 10,或分位点或分位点分位数分位数分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 ntntnttP.7分位数的值得上求可以通过查表由分布的对称性知由分布的对称性知).()(1ntnt .)(,30untn时当)

29、(. 2ntt 分分布布的的上上侧侧分分位位数数)10(05. 0t,8125. 1 )15(025. 0t.1315. 2 在在Matlab中求解中求解.)()()(, 10,2222分分位位数数（分分位位点点）分分布布的的上上为为的的点点称称满满足足条条件件对对于于给给定定的的正正数数 nnnP.,分位点的值分位点的值得上得上可以通过查表求可以通过查表求对于不同的对于不同的 n)(. 322n 分分布布的的上上侧侧分分位位数数)8(2025. 0 )10(2975. 0 )25(21 . 0 ,535.17 ,247. 3 .382.34 在在Matlab中求解中求解.,),(21可通过查

30、表完成可通过查表完成的值的值求求nnF )7 , 8(025. 0F)14,30(05. 0F,90. 4 .31. 2 在在Matlab中求解中求解.),(),(),(, 10,212121分位数分位数分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 nnFnnFnnFFP),(214nnFF 分布的上侧分位数:分位点具有如下性质分位点具有如下性质分布的上分布的上 F.),(1),(12211nnFnnF 证明证明),(1 211nnFFP 所以所以 ),(11211nnFFP ),(111211nnFFP ,),(111211 nnFFP ),(21nnFF因为因为,)

31、,(11 211 nnFFP故故),(1 12nnFF因为因为,),(1 12 nnFFP所以所以, ),(),(11221-1nnFnnF 比较后得比较后得.),(1),(12211nnFnnF 即即)9 , 21(59 . 0F例例)12, 9(105. 0F 8 . 21 .357. 0 . 分分位位点点的的一一些些上上用用来来求求分分布布表表中中未未列列出出 三、小结三、小结1.三个来自正态分布的抽样分布三个来自正态分布的抽样分布: . , , 2分布分布分布分布分布分布Ft 的定义的定义,性质性质.2.分位数的概念分位数的概念.二、例题二、例题则统计量则统计量的样本，的样本，来自总体

32、来自总体设设例例), 0(,124321 NXXXX?的分布为的分布为242321XXXXT),(),(10220221221NXXNXX于是于是解解)2(),1 , 0(22242232423 XXNXX于是于是独立同分布于独立同分布于与与)(22222423221tXXXXt分布的定义分布的定义由由)(2242321tXXXX即即解：解：120 8XX N( , ) 因因)8 , 0(43NXX )1 , 0(821NXX )1 , 0(843NXX 2223412288XXXX() 所所以以 )2(82 Y即即18C 故故81一一填空题填空题：二、选择题二、选择题1） 设设 2, NX,

33、其中其中 已知，已知，2 未知，未知，321,XXX为样本，则下列选项中不是为样本，则下列选项中不是统计量的是统计量的是 A）321XXX B） 321,maxXXX C） 3122iiX D） 1XC二、选择题二、选择题3）已已知知 ntX 那那么么2X A）), 1(nF B）)1 ,(nF C）)(2n D） nt解：解：X t(n)，nVUX/ 则则0 1U N( , ) ,其其中中2V (n) 221U /XV / n 故故), 1(nFA三、解答题三、解答题解：解：表示来甲电影院的人数表示来甲电影院的人数设设X)1()5 . 0 ,1000( BX则则,500)( XE,250)(

34、XV由中心极限定理由中心极限定理P XN 故故 250500250500NXP)1 , 0(2500500NX 近近似似 2505001N座位座位至少设个至少设个NP XN 于于是是 250500250500NXP 2505001N%1 %99250500 N即即2 3270 99( .).因因5002 327250N., 所所以以536 79N. 解解得得537N 即即三、解答题三、解答题)1(解：解：),1()1(222 nSn 由由),(2nNX 又又 nnNXXn211, 0 10 11nXXn N,n 故故 2121111nXXn(n)s t nn(n) 于于是是 111nXXn t nSn 即即