三重积分计算课件.ppt

1、第三节一、三重积分三重积分二、三重积分的计算二、三重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分的计算 第六章 定义定义. 设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(称为体积元素体积元素, vd.dddzyx若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘积和式” 极限记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、三重积分一、三重积分二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重

2、积分方法方法1 . 投影法 (“先单后重”)方法方法2 . 截面法 (“先重后单”) 方法方法3 . 三次积分法 ,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先单后重先单后重” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),

3、(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元线密度记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先重后单先重后单”)bzaDyxz),(:为底, d z 为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 投影法方法方法3. 三次积分法三次积分法设区域:利用投影法结果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzz

4、yxz把二重积分化成二次积分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd机动 目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数在积分域上变号时, 因为),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.2),(),(zyxfzyxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021

5、d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz例例2. 计算三重积分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先重后单先重后单 ” zDz机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分的换元积分三重积分的换元积分三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅

6、可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),(zyxM)0 ,(yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为zzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程

7、简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.zdddxyzodd机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中为由例例3. 计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所围解解: 在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 o oxyz例例4. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d

8、,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中由抛物面42rzvdddd原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo如图所示, 在球面坐标系中体积元素为ddrrddddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),()

9、,(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.dddsin2rrd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求曲面)0()(32222azaz

10、yx所围立体体积.解解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,cos0:3ar 利用对称性, 所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz dddsind2rrv yzxar机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明说明换元积分公式换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束