2019新 人教版高中物理必修第二册电子课本教材（PDF电子书）-免费下载.pdf

q c o ~ ) 魉易 普通高中教科书 物理 第?册 必 修 二 2 高中物理必修第二册 第五章 抛体运动 3 目 录 1 2 6 10 14 22 23 27 31 35 43 44 49 55 59 65 73 74 79 84 89 95 102 106 第五章 抛体运动 1. 曲线运动 2. 运动的合成与分解 3. 实验：探究平抛运动的特点 4. 抛体运动的规律 第六章 圆周运动 1. 圆周运动 2. 向心力 3. 向心加速度 4. 生活中的圆周运动 第七章 万有引力与宇宙航行 1. 行星的运动 2. 万有引力定律 3. 万有引力理论的成就 4. 宇宙航行 5. 相对论时空观与牛顿力学的局限性 第八章 机械能守恒定律 1. 功与功率 2. 重力势能 3. 动能和动能定理 4. 机械能守恒定律 5. 实验：验证机械能守恒定律 课题研究 索引 4 高中物理必修第二册 第五章 抛体运动 1 第五章 抛体运动 5 到目前为止，我们只研究了物体沿着一条直 线的运动。实际上，自然界中的曲线运动是很常 见的。运动员奋力投球，篮球沿着一条优美的弧 线进入篮筐；亿万年来地球在接近圆形的轨道上 绕太阳时刻不停地公转。抛出的篮球、公转的地 球，它们运动的轨迹都是曲线。我们把轨迹是曲 线的运动称为曲线运动（curvilinear motion）。 从现在开始，我们把目光转向抛体运动、圆 周运动，以及更一般的曲线运动。从中我们可以 体会到，研究直线运动时的基本思路和方法，原 则上同样可以用来处理曲线运动。 2 高中物理必修第二册 _______________________ ① 基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824 — 1887） ，德国物理学家、 化学家、天文学家。 曲线运动1 力学是关于运动的科学， 它的任务是 以完备而又简单的方式描述自然界中发 生的运动。 ——基尔霍夫① 观察右边两幅图片描述的现象，你能 不能说清楚：砂轮打磨下来的炽热微粒和 飞出去的链球，分别沿着什么方向运动？ 问题？ 我们知道，物体做直线运动时，速度方向与运动轨迹 一致。物体做曲线运动时，速度方向又是怎样的呢？ 曲线运动的速度方向 运动员掷链球时，链球在手的牵引下做曲线运动，一 旦运动员放手，链球即刻飞出。放手的时刻不同，链球飞 出的方向也不一样。可见，做曲线运动的物体，速度的方 向在不断变化。下面我们来研究做曲线运动的物体在某一 时刻的速度方向。 如图 5.1-1，在水平桌面上放一张白纸，白纸上摆一条 由几段稍短的弧形轨道组合而成的弯道。使表面沾有红色 印泥的钢球以一定的初速度从弯道的 C 端滚入，钢球从出 演 示 A B C 观察做曲线运动物体的速度方向 图 5.1-1 钢球离开轨道时速度的 方向 第五章 抛体运动 3 除实验方法外，还有什么方法可以确定物体在某一时 刻的速度方向？讨论这一问题时要明确一个数学概念—— 曲线的切线。 如图 5.1-2，过曲线上的 A、B 两点作直线，这条直线 叫作曲线的割线。设想 B 点逐渐沿曲线向 A 点移动，这条 割线的位置也就不断变化。当 B 点非常非常接近 A 点时， 这条割线就叫作曲线在 A 点的切线（tangent） 。 假设图 5.1-2 中的曲线是某一质点的运动轨迹。若质 点在一段时间内从 B 点运动到 A 点，则质点的平均速度的 方向由 B 点指向 A 点。当 B 点越来越靠近 A 点时，质点的 平均速度方向将越来越接近 A 点的切线方向。当 B 点与 A 点的距离接近 0 时，质点在 A 点的速度方向沿过 A 点的切 线方向。 根据上面的分析，可以得到结论：质点在某一点的速 度方向，沿曲线在这一点的切线方向。 速度是矢量，既有大小，又有方向。由于曲线运动中 速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动。 物体做曲线运动的条件 图 5.1-2 曲线的切线 B ?? A 口 A 离开后会在白纸上留下一条运动的痕迹，它记录了钢 球在 A 点的运动方向。 拆去一段轨道，出口改在 B。用同样的方法可以记录 钢球在 B 点的运动方向。 白纸上的印迹与轨道（曲线）有什么关系？ 在初中数学里我们已经 知道了圆的切线。对于其 他曲线， 切线指的是什么？ 物体如果不受力，将静止或做匀速直线运动。那么，你认为物体在什么条件下做曲 线运动呢？ 思考与讨论 物体做曲线运动时，由于速度方向时刻改变，物体的 加速度一定不为 0，因此，物体所受的合力一定不为 0。 物体受什么样的力才会做曲线运动？下面我们通过实 验来研究这个问题。 4 高中物理必修第二册 由实验可以看出，当钢球受到的合力的方向与速度方 向不在同一条直线上时，钢球做曲线运动。生活中也有大 量类似的例子。例如，向斜上方抛出的石子，它所受重力 的方向与速度的方向不在同一条直线上，石子做曲线运动。 大量事实表明：当物体所受合力的方向与它的速度方 向不在同一直线上时，物体做曲线运动。 根据牛顿第二定律，物体加速度的方向与它受力的方 向总是一致的。当物体受力的方向与速度的方向不在同一直 线上时，加速度的方向也就与速度的方向不在同一直线上 了，于是物体的速度方向要发生变化，物体就做曲线运动。 图 5.1-4 飞镖的运动轨迹 用飞镖显示曲线运动的速度方向 如图 5.1-4，取一根稍长的细杆，一端 固定一枚铁钉，另一端用羽毛或纸片做成尾 翼，这样就得到了一个能够显示曲线运动速 度方向的“飞镖”。 在空旷地带把飞镖抛出，飞镖在空中各 点的指向就是它在该点的速度方向。飞镖落 至地面插入泥土后的指向就是它落地瞬时的 速度方向。 改变飞镖的投射角，观察它在飞行过程 中直到插入泥土时的速度方向。 联系飞镖在空中做曲线运动的轨迹，体 会曲线运动的速度方向与轨迹曲线的关系。 做一做 一个钢球在水平面上做直线运动。从不同方向给它施 加力，例如在钢球运动路线的正前方或旁边放一块磁铁（图 5.1-3），观察钢球的运动。 演 示 图 5.1-3 钢球的运动轨迹 N S 观察钢球的运动轨迹 第五章 抛体运动 5 速度方向相同？请把这些地方标注出来。 3. 汽车以恒定的速率绕圆形广场一周用时 2 min，每行驶半周，速度方向改变的角度是多 少？汽车每行驶 10 s，速度方向改变的角度是 多少？先画一个圆表示汽车运动的轨迹，然后 作出汽车在相隔 10 s 的两个位置的速度矢量示 意图。 4. 一质点沿着圆周运动。请证明：质点与 圆心连线所扫过的角度与质点速度方向改变的 角度相等。 5. 一个物体在光滑水平面上运动，其速度 方向如图 5.1-7 中的 v 所示。从 A 点开始，它 受到向前但偏右（观察者沿着物体前进的方向 看，下同）的合力。到达 B 点时，这个合力的 方向突然变得与前进方向相同。达到 C 点时， 合力的方向又突然改为向前但偏左。物体最终 到达 D 点。请你大致画出物体由 A 至 D 的运动 轨迹，并标出 B 点、C 点和 D 点。 1. 跳水运动是一项 难度很大又极具观赏性 的运动，我国跳水队多 次在国际跳水赛上摘金 夺银，被誉为跳水“梦 之队” 。图 5.1-5 中虚 线描述的是一位跳水运 动员高台跳水时头部的 运动轨迹，最后运动员 沿竖直方向以速度 v 入 水。整个运动过程中， 除运动员入水前一段时 练习与应用 图 5.1-5 v 间外，在哪几个位置头部的速度方向与入水时 速度 v 的方向相同？在哪几个位置与速度 v 的 方向相反？在图中标出这些位置。 2. 图 5.1-6 是从高空拍摄的一张地形照片， 河水沿着弯弯曲曲的河床做曲线运动。图中哪 些地方河水的速度方向跟箭头所指 P 处流水的 图 5.1-6 P 图 5.1-7 A v F 6 高中物理必修第二册 图 5.2-1 蜡块的运动 运动的合成与分解2 若人在河中始终保持头朝正前方游向 对岸，你认为他会在对岸的正前方到达， 还是会偏向上游或下游？为什么？ 问题？ 对类似上述的运动应该怎样分析呢？下面让我们从一 个简单的平面运动开始研究。 一个平面运动的实例 在下面的实验中，我们将以蜡块的运动为例，讨论怎 样在平面直角坐标系中研究物体的运动。 观察蜡块的运动 在一端封闭、 长约 1 m 的玻璃管内注满清水， 水中放一个红蜡做的小圆柱体 A，将玻璃管的开 口端用橡胶塞塞紧（图 5.2-1 甲）。把玻璃管倒 置（图乙），蜡块 A 沿玻璃管上升。如果在玻璃 管旁边竖立一把刻度尺，可以看到，蜡块上升的速 度大致不变，即蜡块做匀速直线运动。① 在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑 板沿水平方向向右匀速移动（图丙），观察蜡块 的运动情况。 演 示 _______________________ ① 蜡的密度略小于水的密度。在蜡块上升的初期，它做加速运动，随后由于受 力平衡而做匀速运动。 ??? A A 第五章 抛体运动 7 在这个实验中，蜡块既向上做匀速运动，又由于玻璃 管的移动向右做匀速运动，在黑板的背景前我们看到蜡块 向右上方运动。那么，蜡块向右上方的这个运动是什么样 的运动呢？ 要想定量地研究蜡块的运动，就要建立坐标系，具体 分析。 建立坐标系 研究物体的运动时，坐标系的选取很重 要。例如，对于直线运动，最好沿着这条直线建立坐标系。 但是，有时在对运动作深入分析之前，物体的运动形式并 不清楚，甚至难以判断它的运动轨迹是不是直线。这时， 就需要选择其他类型的坐标系。研究物体在平面内的运动 时，可以选择平面直角坐标系。 在研究蜡块的运动时，我们以蜡块开始匀速运动的位 置为原点 O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为 x 轴和 y 轴的方向，建立平面直角坐标系（图5.2-2）。 蜡块运动的轨迹 要确定蜡块运动的轨迹，首先要确 定任意时刻蜡块的位置。我们设法写出蜡块的坐标随时间 变化的关系式。蜡块 x 坐标的值等于它与 y 轴的距离，y 坐 标的值等于它与 x轴的距离。若以vx 表示玻璃管向右移动 的速度，以 vy 表示蜡块沿玻璃管上升的速度，则有 x ＝vx t y＝vy t 蜡块沿着什么样的轨迹运动？在数学上，关于 x、y 两 个变量的关系式可以描述一条曲线（包括直线），而在上 面 x、y 的表达式中，除了x、y 之外还有一个变量 t，我们 可以从中消去 t，这样就得到 y ＝ vx vy x 由于vx 和vy都是常量，所以 vx vy 也是常量，可见 y ＝vx vy x 代表的是一条过原点的直线，也就是说，蜡块的 运动轨迹是直线。 蜡块运动的速度 速度 v 与vx、vy 的关系已经在图5.2-2 中形象地标出，因此可以根据勾股定理写出它们之间的关系 v ＝ vx 2＋ vy 2 根据三角函数的知识，从图5.2-2 中还可以确定速度v 图 5.2-2 研究蜡块的运动 这里说的“常量” ，指 的是它不随位置、时间变 化。因此，y ＝vx vy x具有 正比例函数关系的形式。 y P x θ ????? O v vy vx θ 8 高中物理必修第二册 v乙＝ m/s ＝ 0.3 m/s 2×0.15 1 因此 v甲y v乙 ，甲先到楼上。 t甲＝ ＝ s ＝ 12 s h v甲y 4.56 0.38 甲比乙先到达楼上，甲上楼用了 12 s。 的方向，即用速度矢量v与x轴正方向的夹角θ来表示，它 的正切为 tan θ ＝ v x vy 运动的合成与分解 在这个实例中，我们看到蜡块向右上方的运动可以看 成由沿玻璃管向上的运动和水平向右的运动共同构成。蜡 块沿玻璃管向上的运动和它随着玻璃管向右的运动，都叫 作分运动；而蜡块相对于黑板向右上方的运动叫作合运动。 由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成（composition of motion） ；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解 （resolution of motion） 。运动的合成与分解遵从矢量运算 法则。 某商场设有步行楼梯和自动扶梯，步行楼梯每级的高度是 0.15 m，自动扶梯与水 平面的夹角为 30° ，自动扶梯前进的速度是 0.76 m/s。有甲、乙两位顾客，分别从自 动扶梯和步行楼梯的起点同时上楼，甲在自动扶梯上站立不动，乙在步行楼梯上以每 秒上两个台阶的速度匀速上楼 （图5.2-3） 。 哪位顾客先到达楼上？如果该楼层高4.56 m， 【例题】 甲上楼用了多少时间？ 分析 甲、乙两位顾客在竖直方向上的位移相等， 可考虑比较他们在竖直方向的分速度。由竖直方向的位 移和竖直方向的速度，可求出上楼所用的时间。 解 如图 5.2-4 所示，甲在竖直方向的速度 v甲 y＝ v甲 sin θ ＝ 0.76 ×sin 30°m/s ＝ 0.38 m/s 乙在竖直方向的速度 图 5.2-3 图 5.2-4 30º v x? v?v y ? 1. 炮筒与水平方向成 30° 角（图 5.2-5） ，炮 弹从炮口射出时的速度大小是 800 m/s，这个速 度在水平方向和竖直方向的分速度各是多大？ 2. 在许多情况下，跳伞员跳伞后最初一段 时间降落伞并不张开， 跳伞员做加速运动。随后， 降落伞张开，跳伞员做减速运动（图 5.2-6） 。速 度减小到一定值后便不再减小，跳伞员以这一 速度做匀速运动，直至落地。无风时某跳伞员 竖直下落，着地时速度是 5 m/s。现在有风，运 动员在竖直方向的运动情况与无风时相同，并 且风使他以 4 m/s 的速度沿水平方向运动。跳 伞员将以多大速度着地？画出速度合成的图示。 3. 一艘炮舰沿河由西向东行驶，在炮舰上 发炮射击北岸的目标。要击中目标，射击方向 应直接对准目标，还是应该偏东或偏西一些？ 作俯视图，并说明理由。 4. 在图 5.2-1 的实验中，假设从某时刻 （t ＝ 0）开始，红蜡块在玻璃管内每 1 s 上升 运动的合成与分解是分析复杂运动时常用的方法。虽 然本节实验中的两个分运动都是匀速运动，但运动合成与 分解的思想和方法对分运动是变速运动的情况也是适用的。 在图 5.2-1 所示的实验中，如果将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀加速移动， 若玻璃管内壁是光滑的，蜡块的轨迹还是一条直线吗？ 思考与讨论 的距离都是 10 cm，与此同时，玻璃管向右沿 水平方向匀加速平移，每 1 s 内的位移依次是 4 cm、12 cm、20 cm、28 cm。在图 5.2-7 所示 的坐标系中，y 表示蜡块在竖直方向的位移，x 表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t ＝ 0 时蜡 块位于坐标原点。请在图中标出 t 等于 1 s、 2 s、 3 s、4 s 时蜡块的位置，并用平滑曲线描绘蜡块 的轨迹。 练习与应用 图 5.2-6 图 5.2-5 图 5.2-7 O x/cm y/cm 5. 汽艇以 18 km/h 的速度沿垂直于河岸的 方向匀速向对岸行驶，河宽 500 m。设想河水 不流动，汽艇驶到对岸需要多长时间？如果河 水流速是 3.6 km/h，汽艇驶到对岸需要多长时 间？汽艇在对岸何处靠岸？ 10 高中物理必修第二册 实验：探究平抛运动的特点3 以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情 况下，物体只受重力的作用，这时的运动叫作抛体运动 （projectile motion）。如果初速度是沿水平方向的，这样的 抛体运动就叫作平抛运动。 下面我们通过实验来探究物体做平抛运动的特点。 在实验开始前，请你思考：平抛运动与我们之前研究 的直线运动的显著区别是什么？如何用实验来研究平抛运 动的特点？ 实验思路 平抛运动的轨迹是曲线，比直线运动复杂。我们可 以按照把复杂的曲线运动分解为两个相对简单的直线运 动的思路，分别研究物体在竖直方向和水平方向的运动 特点。 大家可能会想到，平抛运动可以看作是在竖直方向的 分运动和水平方向的分运动的合运动。如果这两个分运动 研究清楚了，平抛运动的规律自然就清楚了。 下面我们就按这样的思路进行实验与分析。 进行实验 为了研究平抛运动的特点，我们应该想办法把运动物 体的位置随时间变化的信息记录下来。比如，用频闪照相 的方法，记录物体在不同时刻的位置。当然也可以用别的 方法记录信息，开展研究。 图5.3-1是用频闪照相的方法记录的做平抛运动的小 球每隔相等的时间的位置图。以左边第一个小球的中心 为原点，沿水平向右和竖直向下的方向建立直角坐标系， 将各球中心点的横坐标和纵坐标记录在自己设计的表 格中。 图 5.3-1 小球运动的频闪照片 根据对平抛物体的受力 分析，你对物体在水平方 向和竖直方向的运动规律 有怎样的猜想？ 第五章 抛体运动 11 参考案例 步骤 1：探究平抛运动竖直分运动的特点 在如图 5.3-2 所示的实验中，用小锤击打弹性金属 片后，A 球沿水平方向抛出，做平抛运动，同时 B 球被 释放，自由下落，做自由落体运动。A、B 两球同时开始 运动。观察两球的运动轨迹，比较它们落地时间的先后。 分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，多 次重复这个实验，记录实验现象有什么变化。 从这个实验看，平抛运动在竖直方向的分运动 是什么运动？ 步骤 2：探究平抛运动水平方向分运动的 特点 如果我们能够得到平抛运动的轨迹，利 用前面探究得出的平抛运动竖直分运动的 特点，就可以分析得出平抛运动在水平方 向分运动的特点。 在图 5.3-3 所示的装置中，斜槽 M 末端 水平。钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末 端飞出后做平抛运动。在装置中有一个水平放 置的可上下调节的倾斜挡板 N，钢球飞出后，落 到挡板上。实验前，先将一张白纸和复写纸固定在装 置的背板上。钢球落到倾斜的挡板上后，就会挤压复写 纸， 在白纸上留下印迹。 上下调节挡板N， 通过多次实验， 在白纸上记录钢球所经过的多个位置。最后，用平滑曲 线把这些印迹连接起来， 就得到钢球做平抛运动的轨迹。 根据步骤 1 得出的平抛运动在竖直方向分速度随时间 变化的规律，设法确定“相等的时间间隔”。再看相等的 时间内水平分运动的位移，进而确定水平分运动的规律。 图 5.3-2 研究平抛运动的竖直 分运动 AB 数据分析 根据所记录的数据，以及相邻小球时间间隔相等的特 点，分析小球在水平方向分运动的特点。然后再按照这个 办法，分析小球在竖直方向分运动的特点。 12 高中物理必修第二册 用传感器和计算机描绘物体做平抛运动的轨迹 用传感器和计算机可以方便地描出做平抛运动的物体的轨迹。一种设计原理如图 5.3-4 所示。 物体 A 在做平抛运动，它能够在竖直平面内向各个方向同时发射超声波脉冲和红外线脉冲。在它 运动的平面内安放着超声—红外接收装置 B。B 盒装有 B1、B2两个超声—红外接收器，并与计 算机相连。B1、B2各自测出收到超声脉冲和红外脉冲的时间差，并由此算出它们各自与物体 A 的距离。 ① 从图 5.3-4 可以看出，在这两个距离确定之后，由于 B 1、B2两处的距离是已知的，所 以物体 A 的位置也就确定了。计算机可以即时给出 A 的坐标。 图 5.3-5 是按这样的原理制作的一种实验装置（超声—红外接收装置 B 的安装位置与原理图 5.3-4 不同）。图 5.3-6 是某次实验中计算机描出的平抛运动的轨迹。除此之外，计算机还能直 接给出平抛运动的初速度等其他物理量。 拓展学习 _______________________ ① 工作原理可以参考《普通高中教科书物理必修第一册》第一章第3 节中的 “借助传感器与计算机测速度”的内容。 B1 B2 A B ???? 图 5.3-4 用传感器研究 平抛运动的原理图 图 5.3-5 用传感器研 究平抛运动的装置 A B 图 5.3-6 计算机描绘的平抛运动的轨迹 图 5.3-7 1. 某同学设计了一个探究平抛运动特点的 家庭实验装置，如图 5.3-7 所示。在水平桌面 上放置一个斜面，每次都让钢球从斜面上的同 一位置滚下，滚过桌边后钢球便做平抛运动。 在钢球抛出后经过的地方水平放置一块木板 （还 有一个用来调节木板高度的支架，图中未画） ， 练习与应用 ?? ??? 第五章 抛体运动 13 图 5.3-8 4. 小刚同学通过实验，得到了某物体在 Oxy 平面上运动的一条运动轨迹，如图 5.3-8 平面直角坐标系中的 OP 曲线所示。他根据物 体运动轨迹的特点作出了猜想：如果物体在 y 方向做匀速直线运动，那么物体在 x 方向必定 做匀加速直线运动。 小刚同学的猜想是否成立？ 作图并给出你的分析过程。 木板上放一张白纸，白纸上有复写纸，这样便 能记录钢球在白纸上的落点。已知平抛运动在 竖直方向上的运动规律与自由落体运动相同， 在此前提下， 怎样探究钢球水平分速度的特点？ 请指出需要的器材，说明实验步骤。 2. 某同学为了省去图 5.3-7 中的水平木板， 把第 1 题中的实验方案作了改变。他把桌子搬 到墙的附近，把白纸和复写纸附在墙上，使从 水平桌面上滚下的钢球能打在墙上，从而记录 钢球的落点。改变桌子和墙的距离，就可以得 到多组数据。如果采用这种方案，应该收集哪 些数据并如何处理这些数据？ 3. 某同学目测桌子高度大约为 0.8 m，他 使小球沿桌面水平飞出，用数码相机拍摄小球 做平抛运动的录像（每秒 25 帧） 。如果这位同 学采用逐帧分析的办法，保存并打印各帧的画 面。他大约可以得到几帧小球正在空中运动的 照片？ P Ox y 14 高中物理必修第二册 抛体运动的规律4 在排球比赛中，你是否曾为排球下网 或者出界而感到惋惜？如果运动员沿水平 方向击球，在不计空气阻力的情况下，要 使排球既能过网，又不出界，需要考虑哪 些因素？如何估算球落地时的速度大小？ 问题？ 上节课我们通过实验探究了平抛运动的特点，本节我 们将从理论分析的角度， 对抛体运动的规律作进一步分析。 平抛运动的速度 在研究直线运动时，我们已经认识到，为了得到物体 的速度与时间的关系，要先分析物体受到的力，由合力求 出物体的加速度，进而得到物体的速度与时间的关系。关 于平抛运动，我们仍然可以遵循这样的思路，只是要在相 互垂直的两个方向上分别研究。 以速度v0沿水平方向抛出一物体，物体做平抛运动。 以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴方向，竖直向 下的方向为 y 轴方向，建立平面直角坐标系（图5.4-1）。 由于物体受到的重力是竖直向下的，它在 x 方向的分 力是 0，根据牛顿运动定律，物体在 x 方向的加速度是 0； 又由于物体在 x 方向的分速度 vx在运动开始的时候是 v0， 所以它将保持 v0不变，与时间 t 无关，即在整个运动过程 中始终有 vx＝ v0 在 y 方向受到的重力等于 mg。以 a 表示物体在 y 方 向的加速度，应用牛顿第二定律，得到 mg ＝ ma，所以 a ＝ g，即物体在竖直方向的加速度等于自由落体加速度。 图 5.4-1 速度和它在 x、y 方向上 的分矢量 O x y v0 vx vyv θ 第五章 抛体运动 15 图 5.4-2 物体的初速度 v0沿 x 方向， 它在 y 方向的分速度是 0， 所以，物体在 y 方向的分速度 vy与时间 t 的关系是 vy＝ gt 根据矢量运算法则，代表速度矢量 v 和它的两个分矢 量 vx、vy 的三个有向线段正好构成一个矩形的对角线和一 对邻边（图 5.4-1） 。由勾股定理可知 v ＝ v x 2 ＋ vy2＝ v02＋ g2 t 2 由此式可知，物体在下落过程中速度 v 越来越大，这 与日常经验是一致的。 速度的方向可以由图 5.4-1 中的夹角 θ 来表示。在图 中，θ 是直角三角形的一个锐角，它的正切等于对边与邻 边之比，即 tan θ ＝ vx vy ＝ v0 gt 由上式可知，随着物体的下落，角 θ 越来越大。也就 是说，物体运动的方向越来越接近竖直向下的方向。这也 与日常经验一致。 将一个物体以 10 m/s 的速度从 10 m 的高度水平抛出，落地时它的速度方向与水 平地面的夹角 θ 是多少？不计空气阻力，g 取 10 m/s2。 分析 物体在水平方向不受力，所以加速度的水平分量为 0，水平方向的分速度是 初速度 v0＝ 10 m/s；在竖直方向只受重力，加速度为 g，初速度的竖直分量为 0，可 【例题 1】 以应用匀变速直线运动的规律求出竖直方向的分速度。 按题意作图 5.4-2，求得分速度后就可以求得夹角 θ。 解 以抛出时物体的位置 O 为原点，建立平面直 角坐标系，x 轴沿初速度方向，y 轴竖直向下。 落地时，物体在水平方向的分速度 vx＝ v0＝ 10 m/s 根据匀变速直线运动的规律，落地时物体在竖直 方向的分速度 vy 满足以下关系 vy2－ 0 ＝ 2gh v0 h vx vyv θ Ox y 16 高中物理必修第二册 由此解出 vy＝＝ 2gh 2×10×10 m/s ＝ 14.1 m/s tan θ ＝ ＝＝ 1.41，即 θ ＝ 55° 14.1 10 vx vy 物体落地时速度与水平地面的夹角 θ 是 55° 。 平抛运动的位移与轨迹 物体被抛出后，它对于抛出点 O 的位移的大小、方向 都在变化。这种情况下我们就要分别研究它在水平和竖直 两个方向上的分位移 x 和 y。 通过前面的讨论我们已经知道，做平抛运动的物体在 x 方向的分运动是匀速直线运动，vx＝ v0 。根据做匀速直线 运动物体的位移与时间的关系可知，这个物体的水平分位 移与时间的关系是 x ＝ v0t （1） 物体在 y 方向的分运动是从静止开始、加速度为 g 的 匀加速运动，vy＝ gt。根据自由落体运动的知识可知，做 平抛运动的物体的竖直分位移与时间的关系是 y ＝1 2 gt2 （2） 物体的位置是用它的坐标 x、y 描述的，所以， （1） （2） 两式确定了物体在任意时刻 t 的位置和位移。 物体的位置和位移可以由 x、y 确定，物体的轨迹方程 也可以由 x、y 确定。 从（1）式解出 t ＝ v 0 x ，代入（2）式，得到 y ＝ 2v02 x2 g （3） 在这个式子中，自由落体加速度 g、物体的初速度 v0 都是常量，也就是说， 2v 0 2 g 这个量与 x、y 无关，因此（3） 式具有 y ＝ ax2 的形式。根据数学知识可知，它的图像是一 条抛物线（parabola） 。 平抛运动的轨迹是一条 抛物线。数学中把二次函 数的图线叫作抛物线，这 个名称就是由抛体运动得 来的。 第五章 抛体运动 17 h＝ 1 2 gt2 所以小球落地的时间 t ＝ ＝ s ＝ 2 s 2h g 2×20 10 （2）因此，小球落地点与释放点之间的水平距离 l ＝ v0t ＝ 2×2 m ＝ 4 m 小球落地的时间为 2 s，落地点与释放点之间的水平 距离为 4 m。 研究上节课所得到的钢球的运动轨迹，看看是否为一条抛物线。 做一做 【例题2】 如图 5.4-3，某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无 人机以 v0＝ 2 m/s 的速度水平向右匀速飞行，在某时 刻释放了一个小球。此时无人机到水平地面的距离 h ＝ 20 m，空气阻力忽略不计，g 取 10 m/s2。 （1）求小球下落的时间。 （2）求小球释放点与落地点之间的水平距离。 分析 忽略空气阻力，小球脱离无人机后做平抛运 动，它在竖直方向的分运动是自由落体运动，根据自由落体运动的特点可以求出下 落的时间， 根据匀速直线运动的规律可以求出小球释放点与落地点之间的水平距离。 解 （1）以小球从无人机释放时的位置为原点 O 建立平面直角坐标系 （图 5.4-4） ， x 轴沿初速度方向，y 轴竖直向下。设小球的落地点为 P，下落的时间为 t，则满足 图 5.4-3 图 5.4-4 一般的抛体运动 如果物体被抛出时的速度 v0 不沿水平方向，而是斜向 上方或斜向下方（这种情况常称为斜抛） ，它的受力情况与 平抛运动完全相同：在水平方向不受力，加速度是 0 ；在 竖直方向只受重力，加速度是 g。 但是，斜抛运动沿水平方向和竖直方向的初速度与平 图 5.4-5 斜抛物体的轨迹 O x y θ y v0 v0 xv0 v0 h Ox y l P 黑马校对 18 高中物理必修第二册 尝试导出表达图5.4-5所示的斜抛运动轨迹的关系式。讨论这个关系式中物理量之 间的关系，看看能够得出哪些结论。 以上讨论有一个前提，即空气阻力可以忽略。如果速度不大，例如用手抛出一个石块， 这样处理的误差不大。但是物体在空气中运动时，速度越大，阻力也越大，所以，研究炮 弹的运动时就不能忽略空气阻力。根据你的推测，炮弹运动的实际轨迹大致是怎样的？ 思考与讨论 1. 用 m、v0、h 分别表示平抛运动物体的质 量、初速度和抛出点离水平地面的高度，不考 虑空气阻力，以下物理量是由上述哪个或哪几 个物理量决定的？为什么？ A. 物体在空中运动的时间 B. 物体在空中运动的水平位移 C. 物体落地时瞬时速度的大小 D. 物体落地时瞬时速度的方向 2. 如图 5.4-7，在水平桌面上用硬练习本做 成一个斜面，使小钢球从斜面上某一位置滚下， 钢球沿桌面飞出后做平抛运动。怎样用一把刻 度尺测量钢球离开水平桌面时速度的大小？说 出测量步骤，写出用所测的物理量表达速度的 关系式。 3. 某卡车在限速 60 km/h 的公路上与路旁 障碍物相撞。处理事故的警察在泥地中发现一 个小的金属物体，可以判断，它是车顶上一个 松脱的零件，事故发生时被抛出而陷在泥里。 警察测得这个零件在事故发生时的原位置与陷 落点的水平距离为 17.3 m，车顶距泥地的高度 为 2.45 m。请你根据这些数据为该车是否超速 提供证据。 4. 某个质量为 m 的物体在从静止开始下落 的过程中，除了重力之外还受到水平方向大小、 方向都不变的力 F 的作用。 （1） 求它在时刻 t 的水平分速度和竖直分 速度。 （2）建立适当的坐标系，写出这个坐标系 中代表物体运动轨迹的关系式。这个物体的运 动轨迹是怎样的？ 练习与应用 图 5.4-7 抛运动不同。如果斜抛物体的初速度 v0与水平方向的夹角 为 θ，则水平方向分速度 v0 x＝ v0 cos θ，竖直方向分速度 v0y＝ v0 sin θ。 仿照平抛运动的处理方法也能得到描述斜抛运动的几 个关系式。图 5.4-5 是根据这一规律描绘出的斜抛运动的 轨迹。生活中常见的斜抛运动很多，比如斜向上喷出的水 的径迹可以认为是斜抛运动的轨迹（图 5.4-6） 。图 5.4-6 喷出的水做斜抛运动 黑马校对 第五章 抛体运动 19 力的方向突然变为与原来相反，它从 B 点开始 可能沿图中的哪一条虚线运动？为什么？ 3. 某架飞机在进行航空测量时，需要严格 按照从南到北的航线进行飞行。如果在无风时 飞机相对地面的速度是 414 km/h，飞行过程中 航路上有速度为 54 km/h 的持续东风。 （1）飞机应该朝着哪个方向飞行？可以用 三角函数表示偏角的大小。 （2）如果所测地区的南北长度为 621 km， 该测量需要多长时间？ 4. 在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个 壕沟，其尺寸如图 5-3 所示。摩托车后轮离开 地面后失去动力，可以视为平抛运动。摩托车 后轮落到壕沟对面才算安全。摩托车的速度至 少要多大才能越过这个壕沟？ g 取 10 m/s2。 B A a b c 2. 某质点从 A 点沿图 5-2 中的曲线运动到 B 点，质点受力的大小为 F。经过 B 点后，若 1. 物体在平面上的位置和位移常用平面直 角坐标系来表示。图 5-1 是中国象棋的棋盘， 它相当于一个平面直角坐标系，横坐标上标有 数字，纵坐标上标有字母。利用它不仅可以准 确地记录各棋子的位置，还能描述棋子的位移， 从而能将双方对弈的过程记录下来。例如，棋 子“帅”位于 y ＝ J、x ＝ 5 的位置，可以简 述为 J5 ；棋子“象”从 y ＝ A、x ＝ 3 的位置 运动到 y ＝ C、x ＝ 5 的位置，就可以简述为 A3C5。 （1）还未开局时，甲方的马在 J2 和 J8 的 位置、炮在 H2 和 H8 的位置、中兵在 G5 的位 置，乙方的中兵在 D5 的位置，请你在棋盘上 标明这四个棋子的位置。 （2）某次甲方开局时，用“当头炮” ，即 H8H5， 而 乙 方 的 应 变 则 是“ 马 来 跳 ” ， 即 A2C3。请你用带箭头的线段画出这两个位移 l甲 和 l乙，并指出这两个位移在 x、y 方向上的分位 移各是多少？已知棋盘每个小方格都是边长为 3 cm 的正方形。 复习与提高 A 组 图 5-2 图 5-1 图 5-3 ????? ??? 1 J I H G F E D C B A 23456789 x y 5. 一架飞机水平匀速飞行，搭载着多名高 空跳伞运动员。每隔 1 s 有一名运动员从飞机 上落下。以下这段时间内伞没有打开，可忽略 空气阻力。 黑马校对 20 高中物理必修第二册 1. 在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和 太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表 演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以 与水平面成 45° 的倾角准确落入篮筐，这次跳 起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上 B 组 图 5-6图 5-7 （图 5-6） ，设投球点到篮筐距离为 9.8 m，不考 虑空气阻力，g 取 10 m/s2。 （1）篮球进筐的速度有多大？ （2）篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直 高度是多少？ 2. 环保人员在一次检查时发现，有一根排 （1）第四名运动员刚离开飞机时，相邻两 运动员在竖直方向上的距离之比依次是多少？ 分别以飞机和地面为参考系，粗略画出此时这 四名运动员在空中位置的情况。 （2）以地面为参考系，四名运动员跳伞后 可以在同一水平面上形成造型吗？为什么？ 6. 如图 5-4 所示，在一端封闭的光滑细玻 璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱 体 R。R 从坐标原点以速度 v0＝ 1 cm/s 匀速上 浮的同时，玻璃管沿 x 轴正方向做初速度为 0 的 匀加速直线运动。测出某时刻 R 的 x、y 坐标值 图 5-4 x/cm y/cm O R v0 分别为 6 cm 和 2 cm。求此时 R 的速度的大小。 7. 跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动， 运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定 速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后 着陆。现有某运动员从跳台 a 处沿水平方向飞 出，在斜坡 b 处着陆，如图 5-5 所示。测得 ab 间的距离为 40 m，斜坡与水平方向的夹角为 30° ，试计算运动员在 a 处的速度大小和在空中 飞行的时间。不计空气阻力，g 取 10 m/s2。 有兴趣的同学可以计算一下运动员在空 中离坡面的最大距离。 图 5-5 a b 30º 黑马校对 第五章 抛体运动 21 图 5-10 污管正在向外满口排出大量污水。这根管道水 平设置，管口离地面有一定的高度，如图 5-7 所示。现在，环保人员只有一把卷尺，请问需 要测出哪些数据就可大致估测该管道的排污 量？写出测量每秒钟排污体积的表达式。 3. 在某次演习中，轰炸机沿水平方向投 放了一枚炸弹，炸弹正好垂直击中山坡上的 目标，山坡的倾角为 θ，如图 5-8 所示。不 计空气阻力，求炸弹竖直方向下落的距离与 水平方向通过的距离之比。 4. 一小球从空中某点水平抛出，经过 A、B 两点，已知小球在 A 点的速度大小为 v1、方向 与水平方向成 30° 角，小球在 B 点的速度方向 与水平方向成 60° 角。不计空气阻力，重力加 速度为 g，求小球由 A 到 B 的运动时间及 A、B 两点间的距离。 5. 如图5-9，质量为m的质点在Oxy平面坐 标系上以某一速度（如图中箭头方向）运动时， 受到大小不变、方向为 － y 方向的合力作用， 由此质点的速度先减 小后增大。已知质点 运动的最小速度为v， 恒力的大小为F。 （1）当质点速度 大小变为 2v 时，速 度方向和 x 方向之间 0 4 8 12 t/st/s 1 /(m.s )vx 0 5 10 12 y/m