2017年高中数学联赛（四川初赛）试题.pdf

1、2017 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 1 页 (共 4 页) 2012017 7 年全国高中数学联合竞赛年全国高中数学联合竞赛（四川初赛四川初赛） （5 5 月月 1414 日日下下午午 1414：3 30 01 16 6：3 30 0） 考生注意考生注意：1 1本试卷共本试卷共有有三大题三大题（1616 个小题个小题） ，） ，全卷满分全卷满分 140140 分分. . 2 2用用黑黑（蓝蓝）色色圆珠笔或钢笔作答圆珠笔或钢笔作答. . 3 3计算器计算器、通讯工具不准带入考场通讯工具不准带入考场. . 4 4解题书写不要超过密封线解题书写不要超过密封线. . 一一、单项单项选择题选择

2、题（本大题本大题共共 6 6 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 3030 分分） 1已知函数2( )lnf xaxx在1x 处有极值，则实数a的值是 【 】 A2 B1 C1 D2 2已知,(0, ) ， tan，tan是方程2310 xx 的两个根， 则cos()的值是 【 】 A13 B23 C53 D52 3在8()xyz的展开式中，所有形如2( ,)abx y za bN的项的系数之和是 【 】 A112 B448 C1792 D14336 4已知 F1，F2为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，该椭圆上存在两点 A，B，使得1F A =32F B ，则该椭圆的

3、离心率的取值范围是 【 】 A(0,12) B(0,13) C(12,1) D(13,1) 题题 目目 一一 二二 三三 总成绩总成绩 1313 1414 1515 1616 得得 分分 评卷人评卷人 复核人复核人 得得 分分 评卷人评卷人 学校： 年级： 姓名： 性别： 准考证号： 密封线 2017 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 2 页 (共 4 页) 5已知ABC中，3AB BCCA AB ，则|ACABBC 的最大值是 【 】 A 52 B 3 C2 D5 6 已知数列na满足：( 21)( 21) ()nnnanN， 用 x表示不超过实数x的最大整数，则2017a的个位数字是 【

4、 】 A2 B4 C6 D8 二二、填空题填空题（本大本大题共题共 6 6 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 3 30 0 分分） 7已知函数52525)(xxxf，则20161)2017(kkf . 8设aR,复数1zai，222zai，334zai，其中i是虚数单位. 若123|,|,|zzz成等比数列，则实数a的值是 . 9若( , )P x y是双曲线22184xy上的点，则|xy的最小值是 . 10如图，设正方体1111ABCDA BC D的棱长为 1，为过直线1BD的平面，则截该正方体的截面面积的取值范围是 . 11已知实数123,x xx满足：22212312232

5、xxxx xx x， 则2|x的最大值是 . 12设集合1,2,3,4,5,6,7,8,9,10M ， ( , , )| , ,Ax y zx y zM，且3339|()xyz 则集合A中元素的个数是 . 得得 分分 评卷人评卷人 D1C1B1CDA1AB2017 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 3 页 (共 4 页) 三三、解答题解答题（本本大题大题共共 4 4 个小题个小题，每小题每小题 2020 分分，共共 8080 分分） 13. 已知数列na满足：1aa，1581nnnaaa*()nN. (1) 若3a ,求证：数列24nnaa成等比数列，并求出数列na的通项公式； （2）若对任

6、意的正整数n，都有3na ,求实数a的取值范围. 14. 1993 年，美国数学家 F. Smarandache 提出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是著名的 Smarandache 函数.正整数n的 Smarandache 函数定义为 !|,|min)(*mnmmnSN，比如：3)6(, 3)3(, 2)2(SSS. （1）求)16(S和)2016(S的值； （2）若( )7S n ，求正整数n的最大值； （3）证明：存在无穷多个合数n，使得pnS)(，其中p为n的最大质因数. 得得 分分 评卷人评卷人 2017 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 4 页 (共 4 页) 15. 如图，点A与点A在x轴上，且关于 y 轴对称，过点A垂直于 x 轴的直线与抛物线22yx交于两点 B，C，点D为线段AB上的动点，点E在线段AC上，满足|CEADCAAB. （1）求证：直线 DE 与此抛物线有且只有一个公共点； （2）设直线 DE 与此抛物线的公共点为 F，记BCF与ADE 的面积分别为12,S S.求12SS的值. 16.设, 为实数， 若对任意的实数, ,x y z， 有222()()xyyzzxMxyz恒成立，其中 222222222222Mxxyyyyzzyyzzzzxxzzxxxxyy. 求的最大值和的最小值. EDCBAAFxy