常微分方程5.2线性微分方程组的一般理论课件.ppt

1、6:3615.2 线性微分方程组的一般理论主要研究微分方程组的解得结构问题d( )( ),(5.14)dxA t xf tt( )( ),A tf tatb 这里和在上连续一阶线性微分方程组:( )0(5.14)f t 若则变为d( ) ,(5.15)dxA t xt称(5.15)为一阶齐次线性微分方程组（强调时也称对应于（5.14）的齐次）.( )0,(5.14)f t 若则称为一阶非齐线性微分方程组.6:3625.2 线性微分方程组的一般理论121 12212( ),( ),( )(5.15),( )( )( )(5.15),.mmmmx tx txtc x tc x tc xtc cc如

2、果是方程组的m个解则它们的线性组合也是方程组的解 这里是任意常数定理定理2证明证明:( )(1,2,)(5.15)ix t im由于是方程组的m个解则有则有( )( ) ( ),1,2,iidx tA t x timdt所以所以1( )miiidc x tdt1( )miiidx tcdt( ) ( )iA t x t1( )( )miiiA tc x t1miic( ) , (5.15)dxA t xdt6:3635.2 线性微分方程组的一般理论( )ix t注：是向量，后面不再标注。2 函数向量组线性相关与无关1 122( )( )( )0mmc x tc x tc xt6:3645.2

3、线性微分方程组的一般理论注：恒等于0的0是零列向量。证明证明:121,1,cc 取则1 122( )( )c x tc x ttI 12( ),( )x tx t故在任何区间线性相关例例1证明:向量值函数组21cos( )1,tx tt在任何区间都是线性相关的.221 sin( )1,tx tt22cos(1 sin)1 1tttt00 ,0 6:3655.2 线性微分方程组的一般理论证明证明:要使1 12233( )( )( )c x tc x tc x t2331230010ttttteeccecee0例例2 证明:函数向量组1( )0,ttex te320( ),1tx te在(- ,+

4、 )上线性无关.233( ),0ttex te6:3665.2 线性微分方程组的一般理论2133230000 ,100ttttteeceectec 则需因为2330010ttttteeeee42te 0,所以1230(),ccc系数行列式不为零，只有零解123( ),( ),( )x tx tx t故线性无关.t 6:3675.2 线性微分方程组的一般理论再比如：6:3685.2 线性微分方程组的一般理论时，时，当当),( t 00,000012tt，线性无关。线性无关。natb 设有 个定义在上的向量函数11121212221212( )( )( )( )( )( )( ),( ),( )(

5、 )( )( )nnnnnnnxtxtxtxtxtxtx tx tx txtxtxt由这n个向量函数所构成的行列式11121212221212( )( )( )( )( )( )( ),( ),( )( ),( )( )( )nnnnnnnxtxtxtxtxtxtW x tx tx tW txtxtxt称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式。6:3695.2 线性微分方程组的一般理论(2)定理312( ),( ),( ),( )0,.nx tx tx tatbW tatb 如果向量值函数在上线性相关 则它们的Wronsky行列式证明证明:12( ),( ),( ),nx tx tx t

6、atb 因在上线性相关12,nc cc从而存在不全为零的常数,使1 122( )( )( )0,nnc x tc x tc x tatb 0 , ,ta b故对任一确定的有10200( ),( ),( )nx tx tx t即常向量组线性0( )0,W t故0t由 的任意性( )0,.W tatb 有1 102200( )( )( )0,nnc x tc x tc x t相关,6:36105.2 线性微分方程组的一般理论(3)定理412( ),( ),( ),( )0,.nx tx tx tW tatb 如果(5.15)的解线性无关则它们的Wronsky行列式证明证明:00 , ,( )0,t

7、a bW t若有使得“反证法”则10200( ),( ),( )nx tx tx t数值向量组线性相关,12,nc cc 从而存在不全为零的常数,使得1 102200( )( )( )0,(5.17)nnc x tc x tc x t现在考虑函数向量1 122( )( )( )( )nnx tc x tc x tc x t由定理2知,( )(5.15),x t是的解6:36115.2 线性微分方程组的一般理论由(5.17)知,( )x t该解满足初始条件0( )0 x t因此,由解的存在唯一性定理知,( )0 x t 即有1 122( )( )( )0,nnc x tc x tc x tatb

8、 12( ),( ),( )nx tx tx tatb 故解组在上线性相关,矛盾。矛盾。注1:12( ),( ),( )nx tx tx t(5.15)的n个解线性相关( )0,.W tatb 注2:12( ),( ),( )nx tx tx t(5.15)的n个解线性无关( )0,.W tatb 12( ),( ),( )nnx tx tx t即(5.15)的 个解所构成的Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零.6:36125.2 线性微分方程组的一般理论(4)定理5 (5.15)一定存在一定存在n个线性无关的解个线性无关的解.证明证明:0 , ,ta b任取由解的存在唯一性定理

9、知,(5.15)一定存在满足初始条件10200100010( ),( ),( )001nx tx tx t 12( ),( ),( ); , nx tx tx t ta b的解且010200( )( ),( ),( )10nW tW x tx tx t 12( ),( ),( )nx tx tx tatb 故在上线性无关.6:36135.2 线性微分方程组的一般理论4 通解结构及基本解组通解结构及基本解组定理612( ),( ),( )nx tx tx t如果是(5.15)n个线性无关的解,则112( )( ),niiinx tc x tc cc(1)=是(5.15)的通解,其中是任意常数.1

10、2(2) (5.15)( )( ),( ),( )nx tx tx tx t的任一解均可表为的线性组合.证明证明: 由已知条件,1( )( )niiix tc x tn=是(5.15)的解,它含有 个任意常数,6:36145.2 线性微分方程组的一般理论又因为1212( ,)( ,)nnx xxc cc111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxt( )W t012,nc cc故彼此独立1( )( )niiix tc x t于是=是(5.15)的通解.(2)( )(5.15)x t设是的任一解,00( ),x tx

11、且12( ),( ),( )5)nx tx tx tn因是(5.1 的 个线性无关的解,从而可知10200( ),( ),( )nx tx tx t数值向量组线性无关,6:36155.2 线性微分方程组的一般理论即它们构成n维线性空间的基,00( ),x tx故对向量12,nc cc一定存在唯一确定常数满足01 102200( )( )( )( ),(5.20)nnx tc x tc x tc x t现在考虑向量值函数1 122( )( )( )( )nnx tc x tc x tc x t由定理2知,( )(5.15),x t是的解由(5.20)知,( )x t该解满足初始条件000( )(

12、 )x tx tx因此,由解的存在唯一性定理,应有( )( )x tx t即1 122( )( )( )( )nnx tc x tc x tc x t6:36165.2 线性微分方程组的一般理论推论推论1(5.15)的线性无关解的最大个数等于n.基本解组基本解组:12( ),( ),( );nx tx tx t(5.15)的n个线性无关解称为(5.15)的一个基本解组.注1:(5.15)的基本解组不唯一（有无穷多个）.注2: (5.15)所有解的集合构成一个n维线性空间.注3:由n阶线性微分方程的初值问题(5.6)与线性微分方组的初值问题(5.7)的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线

13、性微分方程去.6:36175.2 线性微分方程组的一般理论 -1Pkn kn如果已知（5.15）的 个线性无关解，则（5.15）可以降低为含个未知函数的线性微分方程组。特别地，如果已知（5.15）的个线性无关解，则（5.15）的通解即可得到.(参考前面 170齐次线性微分方程的降阶法）推推论论2 2首先有:12( ),( ),( )nx tx tx t一组(n-1)次可微的纯量函数线性相关的充要条件是,向量函数1212(1)(1)(1)12( )( )( )( )( )( ),;( )( )( )( )nnnnnnx tx tx tx tx tx txtxtxt 线性相关.证明:12( ),(

14、 ),( )nx tx tx t设线性相关,12,nc cc则存在不全为零的常数,使得1 122( )( )( )0nnc x tc x tc x t将上式对t微分一次,二次, ,n-1次得6:36185.2 线性微分方程组的一般理论1 122( )( )( )0nnc x tc xtc xt1 122( )( )( )0nnc xtc xtc xt(1)(1)(1)1 122( )( )( )0nnnnnc xtc xtc xt即有121212(1)(1)(1)12( )( )( )( )( )( )0, ()( )( )( )nnnnnnnx tx tx tx tx tx tcccxtxt

15、xt即向量组(*)是线性相关的.6:36195.2 线性微分方程组的一般理论反之,如果向量组(*)是线性相关,12,nc cc则存在不全为零的常数,使得()成立当然有1 122( )( )( )0nnc x tc x tc x t12( ),( ),( )nx tx tx t这表明线性相关. 从而,从4.1.2中Wronsky行列式的概念可看出,从本节定理3,4,5立即分别推出第四章定理3,4,5.从本节定理6立即得到下面：6:36205.2 线性微分方程组的一般理论推论312( ),( ),( )nx tx tx tn如果是 阶微分方程111( )( )0 (5.21)nnnnnd xdxa

16、 ta t xdtdt;( )(1,2, ),ina t inatb 个线性无关解 其中是上连续函数( )x t则(5.21)的任一解可表为1 122( )( )( )( )nnx tc x tc x tc x t12,;.nc cc这里是相应确定的常数6:36215.2 线性微分方程组的一般理论5 解矩阵与基解矩阵及性质(1)定义(5.15),n n如果一个矩阵的每一列都是的解则称这个矩阵为(5.15)的解矩阵. , (5.15),a b如果该矩阵的列在是的线性无关解组则称该解矩阵为(5.15)的基解矩阵.基解矩阵- 以基本解组为列构成的矩阵.12( ),( ),( )( )ntttt以(5

17、.15)基本解组为列构成的矩阵,用表示,即12( )( ),( ),( ).ntttt6:36225.2 线性微分方程组的一般理论*(2)定理1(5.15)( ),( )(5.15),tt一定存在一个基解矩阵如果是的任一解 那么( )( ) ,(5.22)tt C .n这里C是确定的 维向量 *(3)定理2( ) t(5.15)的解矩阵是基解矩阵充要条件是:00det( )0(), , ,det( )0,det( )0,.tatbta bttatb 而且 如果对某一则由定理5,6得由定理3,4得6:36235.2 线性微分方程组的一般理论注1: 行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关.如矩阵2

18、101000ttt注2:( ) tnn矩阵是(5.15)的基解矩阵的充要条件是:( )( )( ),;tA tt atb 00 , det( )0.ta bt 且使6:36245.2 线性微分方程组的一般理论例3验证( )0tttetete是方程组1211,01xxxxx其中的基解矩阵.解:由于(1)( )0tttee tte11010tttetee1101( ) t( ) t故是解矩阵,又由于det( )0tttetete20te( ) t所以是基解矩阵,6:36255.2 线性微分方程组的一般理论*推论1( )( )ttCt Ct 如果是(5.15)在ab基解矩阵, 是非奇异nn常数矩阵,

19、那么也是(5.15)在区间ab上的基解矩阵.( ) t由于(5.15的)基解矩阵满足证明:( )( )( ),;tA tt atb ( )( ) ,;tt C atb 令则( )( )tt C ( )( )A tt C( )( )A tt( ) t故为(5.15)的解矩阵,C又由 的非奇异性det( )det( )det0,ttCatb ,( )( )(5.15).tt C因此即是的基解矩阵6:36265.2 线性微分方程组的一般理论*推论2( ),( )(5.15),( )( ) .ttatbn nCatbtt C 如果是在上两个基解矩阵 那么 存在一个非奇异常数矩阵使得在区间上 有证明:(

20、 ) t由于是基解矩阵,1( ) t故其逆矩阵存在,1( )( )( ),ttX t令( )( )( ),tt X t 即( ),X tn n则是可微矩阵 且 det( )0,;X tatb 于是有( )( )( )A ttt ( )( )( )( )t X tt X t ( )( )( )( )( )A tt X tt X t( )( )( )( ),;A ttt X tatb 由此可得( )( )0,t X t6:36275.2 线性微分方程组的一般理论( )0,;X tatb 即( ),x tn nC故为常数矩阵且非奇异 记作即有( )( ) .tt C 例4验证33( )tttteet

21、ee是方程组2112xx的基解矩阵,并求其通解.解:( ),( )( ),ttt12分别用表示矩阵的第一 二列,即33( ),( ),tttteettee126:36285.2 线性微分方程组的一般理论1( )ttete2112ttee2112( ) t13233( )3ttete211233ttee2112( ) t2( ),( ),tt12因此是方程组的解( ),t即为解矩阵又由于33det( )tttteetee42te0故 (t)是基解矩阵,其通解为( )xt C 3132ttttceecee312312ttttc ec ec ec e6:36295.2 线性微分方程组的一般理论( )

22、( ),(5.14)dxA t xf tdt( ),( )A tatbn nf tatbn 这里是上已知的连续矩阵是上已知 维连续列向量.1 非齐次线性微分方程组解的性质性质性质1( )(5.14),( )(5.14)(5.15),( )( )(5.14).tttt如果是的解 而是对应的齐线性方程组的解 则是的解性质性质2( ), ( )(5.14),( )-( )(5.15).tttt如果是的两个解 则是的解( ) , (5.15)dxA t xdt6:36305.2 线性微分方程组的一般理论性质性质3121( )( )( )( );( )( )( )( )mjjjf tf tf tftx

23、tx A t xf txx tmj设且是方程组=的解,则 =是方程组(5.14)的解.2 通解结构定理定理7( )( )(5.14),(5.14)( )ttt设是(5.15)的基解矩阵,而是的某一解 则的任一解可表为( )( )( )tt Ct 这里C是确定的常数列向量.证明: 由性质2知,( )( )(5.15)tt是的解:*再由定理1 得( )( )( ) ,ttt C 即( )( )( ),tt Ct 这里C是确定的常数列向量.6:36315.2 线性微分方程组的一般理论如果知道了对应齐次方程的通解，能不能求非齐次特解？3 常数变易公式( )(5.15)t设是的基解矩阵,则(5.15)的

24、通解为x tt( )= ( )C,其中C是由n个任意常数构成的列向量。下面寻求(5.14)形如( )( ) ( ),(5.24)tt C t=的解, 把(5.24)代入(5.14),得( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )t C tt C tA tt C tf t( )( )( ),tA tt( )(5.15)t由于是的基解矩阵,故(1) 一阶线性微分方程组的常数变易公式6:36325.2 线性微分方程组的一般理论从而1( )( ) ( )C tt f t 00,( )0ttC t对上面方程从 到 积分 并取得010( )( ) ( ), , ,ttC ts f s dst ta

25、 b反之,可验证(5.26)是方程组(5.14)满足初始条件0( )0t的特解.( )( )( )t C tf t( )C t因此满足下面方程因此,(5.24)变为010( )( )( ) ( ), , ,(5.26)tttts f s dst ta b 6:36335.2 线性微分方程组的一般理论定理8( )(5.15)t如果是的基解矩阵,则(1) 向量函数01( )( )( ) ( ),tttts f s ds 是(5.14)的解,且满足初始条件0( )0t(2) 方程组(5.14)的通解为01( )( )( )( ) ( ).ttx tt Cts f s ds 注1:0(5.14)( )

26、t满足初始条件的解为:0-110( )( )( )( )( ) ( ),(5.27)tttttts f s ds 100( )( )( )(5.15)( )tttt 这里是满足初始条件的解注2: 公式(5.26)或(5.27)称为(5.14)的常数变易公式.6:36345.2 线性微分方程组的一般理论例5求方程组221120texx的通解.33( )tttteetee解: 由例4知是对应齐次方程的基解矩阵,( ) t求的逆矩阵得1( ) s412se3312sssseeee33sssseeee由(5.26)得方程的特解为( ) t33tttteeee2330120ssstsseeedsee01

27、( )( )( ) ( )tttts f s ds 6:36355.2 线性微分方程组的一般理论伴随矩阵除以原矩阵的行列式332122ttttteeeee3312tttteeee0stsedse所以,原方程的通解为3321( )( )22ttttteex tt Ceee 3312332121()21(2)2tttttttttc ec eeec ec eeee 6:36365.2 线性微分方程组的一般理论例6试求初值问题12111, (0)0110txexxxxx的解.解: 由例3知( )0tttetete是对应齐次方程的基解矩阵,( ) t求的逆矩阵得1( ) s21se0sssesee101

28、sse6:36375.2 线性微分方程组的一般理论伴随矩阵除以原矩阵的行列式故方程满足初始条件1(0)1的解是-110( )( )(0)( )( ) ( )tttts f s ds 1010110tttetee010100ttststseteeedse(1)tttee2000ttstteteedse(1)tttee1()20ttee1()2ttttteeee6:36385.2 线性微分方程组的一般理论(2) n阶线性微分方程的常数变易公式( )(1)1( )( )( ) ,(5.6)nnnxa t xa t xf t12( ),( ),( )nx tx tx t设是(5.6)对应齐次方程的基本

29、解组,则(5.7)对应齐次方程的基本解组为(1)( )( ),( ),( ) ,1,2,nTjjjjXtx tx txtjn ;从而其基解矩阵为12( )( ),( ),( );ntX tXtXt0(5.7)( )0t故满足的解为01( )( )( ) ( )tttts F s ds6:36395.2 线性微分方程组的一般理论0110( )( )( )10( )( )( )tntnW sx tx tdsW sW sf s=01( )( )1( )( )ntkkktx t W sf sdsW s=0(5.6)( )0t故满足的解为01( )( )( )( )( )ntkktkx t W stf

30、s dsW s6:36405.2 线性微分方程组的一般理论推论推论312( )(1,2, ),( ),( ),( ),( )na t inf tatbx tx tx tatb i如果是区间上的连续函数是上齐线性方程( )(1)1( )( )0 ,(5.21)nnnxa t xa t x的基本解组,那么非齐线性方程( )(1)1( )( )( ) ,(5.28)nnnxa t xa t xf t的满足初始条件(1)0000( )0,( )0,( )0, , ntttta b解为0111( ),( )( )( )( ),(5.29)( ),( )ntknktknW x sx stx tf s ds

31、W x sx s6:36415.2 线性微分方程组的一般理论11( ),( )( ),( ),nnW x sx sx sx sWronsky这里是的11( ),( )( ),( )(0,0,1)knnTW x sx sW x sx sk是在中的第 列代以后得的行列式,(5.28)( )u t且的任一解都具有形式1 122( )( )( )( )( ),(5.30)nnu tc x tc x tc x tt12,;.nc cc这里是适当选取的常数公式(5.29)称为(5.28)的常数变易公式.方程(5.28)的通解可表为1 122( )( )( )( )( ),nnx tc x tc x tc

32、x tt12,nc cc这里是任常数,且包含了方程(5.28)的所有解.6:36425.2 线性微分方程组的一般理论2,(5.29)n 当时 公式就是0112112( ),( )( )( )( )( ),( )ttW x s x stx tf s dsW x s x s0212212( ),( )( )( )( ),( )ttW x s x sx tf s dsW x s x s112( ),( )W x s x s2( )x s 但是220( )1( )x sx s212( ),( )W x s x s11( )0( )1x sx s1( )x s6:36435.2 线性微分方程组的一般理论

33、0211212( )( )( )( )( )( ),(5.31)( ),( )ttx t x sx t x stf s dsW x s x s=因此n=2时,常数变易公式为而通解是1 122( )( )( )( ),(5.32)x tc x tc x tt12,c c这里是任常数.6:36445.2 线性微分方程组的一般理论例7 试求方程tanxxt的一个解.解:易知对应齐线性方程的基本解组为12( )cos ,( )sin ;x tt x tt由(5.31)求方程的一个解,这时12( ),( )W x tx tcossin-sincostttt1故0( )(sin coscos sin )tantttstssds0sinsinttsds0cossin tanttssds6:36455.2 线性微分方程组的一般理论sin (1 cos )ttcos (sinln sectan )ttttsincos ln sectantttt,sint注意到是对应齐线性方程的解,所以( )cos ln sectantttt 也是原方程的一个解.6:36465.2 线性微分方程组的一般理论6:365.2 线性微分方程组的一般理论476:365.2 线性微分方程组的一般理论48作业 P216 1, 2, 4,6