平面直角坐标系及伸缩变换课件.ppt

1、1.1 1.1 平面直角坐标系平面直角坐标系与与曲线方程曲线方程(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线方程的曲线.定义定义: :f(x,y)=00 xy 一般地一般地,在直角坐标系中在直角坐标系中,如果某曲线如果某曲线C(看看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点上的点与一个二元方程与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的实数解建立了如下的关系的关系:常见公式：直线方程，

2、平行，垂直，常见公式：直线方程，平行，垂直，中点，中心，距离，中点，中心，距离，标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a a、b b、c c的关的关系系22221(0)xyabab|x| a,|y| b关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a, ,短短半轴长为半轴长为b. b. ababceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,0)、(

3、0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率)0( 1babyax2 22 22 22 2A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）),b(abxay00 1 2 22 22 22 2Rxayay， 或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称) 1( eace渐进线渐进线xbay.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax， 或或

4、) 1( eacexaby准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px)2p0( ，2py)2p0(，2py 二二抛抛物物线线的的标标准准方方程程例例1 :判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确解解:(1)不正确，应为不正确，应为x=3,(2)不正确不正确, ，应为，应为y=1.(3)正确正确.(4)不正确不正确, 应为应为x=0(-3y0).(1)过点过点A（3，0）且垂直于）且垂直于x轴的直线的方程轴的直线的方程为为x=3(2)到到x轴距离等于轴距离等

5、于1的点组成的直线方程为的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方的点的轨迹方程为程为xy=1 (4) ABC的顶点的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为为BC中点，则中线中点，则中线AD的方程的方程x=0练习练习2:下述方程表示的图形分别是下图下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？中的哪一个？ - =0 xy|x|-|y|=0 x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD解解:练习练习1.22yx yx 的的2.BB3.4.到到F(2，0)和和y轴的距离相等的动点的轨迹方轴的距离相等的动点的

6、轨迹方程是程是_ 解解:设动点为设动点为(x，y)，则由题设得，则由题设得| |x x| |y y2 2x x2 22 2化简得化简得:y2=4(x-1)这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程. .y2=4(x-1)221.43yx 即即xyO| 124|.5xyO由由|O1O2|4,得得O1(- -2, 0),O2(2, 0)xyO 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量以减少运算量，提高解题速度与

7、质量xyOxy 【2】若曲线】若曲线 上有一动点上有一动点P，O点为坐标点为坐标原点，原点，M为线段为线段OP的中点，求点的中点，求点M的轨迹方程的轨迹方程.2214xy解解: 设点设点M的坐标是的坐标是(x , y),点点P的坐标是的坐标是(x0 , y0),由于点由于点M是线段是线段OP 的中点的中点,00,22xyxy于是有于是有 x0=2x, y0=2y. 把把代入代入, 得得动点动点P在曲线在曲线 上运动上运动,所以有所以有 2214xy 22001.4xy22(2 )(2 )1,4xy整理整理, 得得2241.xy所以点所以点M的轨迹方程是的轨迹方程是2241.xy平面直角坐标系建

8、系时，根据几何特点选平面直角坐标系建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。择适当的直角坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。课堂小结课堂小结2.若点若点P到直线到直线x=-1的距离比它到点的距离比它到点(2,0)的距离小的距离小1,则点则点P的的轨迹为轨迹为( )A.圆圆 B.椭圆椭圆C.双曲线双曲线 D.抛物线抛物线答案答案:D解析解析:由题意知由

9、题意知,点点P到点到点(2,0)的距离与的距离与P到直线到直线x=-2的距离相的距离相等等,由抛物线定义得点由抛物线定义得点P的轨迹是以的轨迹是以(2,0)为焦点为焦点,以直线以直线x=-2为准线的抛物线为准线的抛物线,故选故选D.3.方程方程 的曲线是的曲线是( )A.两条直线两条直线 B.一个点一个点C.一条射线和一条直线一条射线和一条直线 D.两条射线两条射线答案答案:C(1)20 xyxy5.已知两定点已知两定点A(-2,0),B(1,0) ,如果动点如果动点P满足满足|PA|=2|PB|,则则点点P的轨迹所包围的图形的面积等于的轨迹所包围的图形的面积等于( )A. B.4C.8 D.

10、9答案答案:B288.一动点在圆一动点在圆x2+y2=1上移动上移动,它与定点它与定点(3,0)连线的中点的轨连线的中点的轨迹方程是迹方程是_.答案答案:(2x-3)2+4y2=1共 12 页22 2222226.2x2y216(2)(1)1;96(3)(235)(31)0;(2)(4)2.|4|;xyxyxxyx判断下列方程所表示的曲线共 12 页23解析解析:(1)方程方程 ,表示的曲线是以表示的曲线是以(2,0)为对称中为对称中心心,焦点在焦点在x轴上轴上,长轴长为长轴长为6,焦距为焦距为 的椭圆的椭圆.(2)方程方程(x+2)2+(y-2)2=16表示的曲线是以表示的曲线是以(-2,2

11、)为圆心为圆心,4为半为半径的圆径的圆.(3)方程方程(2x+3y-5) =0表示直线表示直线2x+3y-5=0与射线与射线x=4(x3).(4)方程方程 ,可以看作点可以看作点(x,y)到到(2,0)的距离与到的距离与到直线直线x=4的距离之比为的距离之比为2,故此方程表示以故此方程表示以(2,0)为焦点为焦点,离心离心率为率为2的双曲线的双曲线.22(2)196xy2 3(31)x22(2)2|4|xyx1.2 平面直角坐标平面直角坐标系中的伸缩变换系中的伸缩变换O 1 2 3 4 5 6 710987654321引例引例: :cc cA(2,1)A(4,4)Ba(1)将点将点A(2,1)

12、先向先向右右平移平移2个单位个单位,再向再向上上平移平移3个单位个单位, 得得A)3 , 2(1)(2)将抛物线将抛物线C:y=x2先向先向右右平移平移2个单位个单位,再向再向下下平移平移2个单位个单位, 得抛物线得抛物线C)2, 2( aoxy2-223222)(xyP(x,y)P (x,y)aaaaxoyFF设设F是坐标平面内的一个是坐标平面内的一个图形图形,将将F上上所有点按照同所有点按照同一方向一方向,移动同一长度移动同一长度，得，得到图形到图形F.称这一过程是图称这一过程是图形的平移形的平移.一、平移概念一、平移概念 设设P(x,y)是图形是图形F上的任意一点，它在平移后上的任意一点

13、，它在平移后图形图形F上的对应点为上的对应点为P(x,y), 且且 =(h,k),PP二、平移公式二、平移公式新标新标=原标原标 + 平移向量的坐标平移向量的坐标 kyyhxx得平移公式得平移公式:),(yyxxPP由由),(khPPkyyhxx，则则xyO),( yxP),(yxP FF注注: (1)平移后点的坐标等于平移前点的坐标加平移后点的坐标等于平移前点的坐标加上平移向量的坐标上平移向量的坐标. (2)从方程的角度看平移公式从方程的角度看平移公式(知二求一知二求一)三、公式应用三、公式应用 kyyhxx(x,y)是是平移前平移前的点，的点， P(x,y)是平移后的点是平移后的点例题讲解

14、例题讲解例例 1. 把把(-2，1)按按a=（3,2) 平移，求对应点平移，求对应点 的坐标的坐标 .A ),(yx 2. 点点M（8,-10）,按按 平移后的对应点平移后的对应点 的的坐标为（坐标为（-7，4）求）求 .M 解解（1）由由平移公式平移公式得得 321132yx即对应点即对应点 的坐标（的坐标（1，3）.A （2）由平移公式得）由平移公式得 kh10487即即a 的坐标的坐标 （-15,14）. 1415kh解得解得aaa例题讲解例题讲解 30yyxx 3yyxx代入代入y=2x中中xy2332 xy即函数的解析式为即函数的解析式为解：设解：设P(x, y)为为l 的任意一点，

15、它在的任意一点，它在 上的对应上的对应点点 ，由平移公式得，由平移公式得l ),(yxP xyO),(yxP),(yxP 例例 将函数将函数y=2x 的图象的图象 l 按按 =（0，3）平移）平移到到 ，求，求 的函数解析式的函数解析式l l a练习：练习：1.分别将点分别将点A(3,5) B(7,0）按向量平移）按向量平移 ，求平移后各对应点的坐标。求平移后各对应点的坐标。)5 , 4(a)5 ,11(),10, 7(BA2. .把函数把函数 的图像的图像l 按按 平移到平移到 ，求，求 的函数解析式。的函数解析式。 )4 , 0(allxy 4 xy3.若把点若把点A(3，2)平移后得到对

16、应点平移后得到对应点 , 按按上面的平移方式，若点上面的平移方式，若点A(1，3)，求，求 。)3 , 1 (AA（1，4） 4. .将抛物线将抛物线 经过怎样的平移，可经过怎样的平移，可以得到以得到 。 2xy 742xxy按向量按向量 平移平移),(32 a327422)(xxxy即抛物线的顶点即抛物线的顶点 的坐标为（的坐标为（-2，3）O 设设 是抛物线是抛物线 上的任意一上的任意一点，平移后的对应点为点，平移后的对应点为 ,由平移公式得由平移公式得),(yxP 74 xxy),(yxP 32yyxx 32yyxx2xy 代入原解析式得代入原解析式得平移后函数的解析式为平移后函数的解析

17、式为:2xy 按向量按向量 平移平移),(32 a的图象？的图象？得到得到平移平移经过怎样的一次经过怎样的一次把抛物线把抛物线例例221163xyxxy,:方法方法:(1)待定系数法待定系数法(2)配方法配方法练习：练习：.,),(求求平平移移后后函函数数的的解解析析式式平平移移的的图图象象按按把把函函数数232316axyxO 2 y=sinxy=sin2x思考：思考：（1）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线得到曲线y=sin2x? 在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y), 保持纵坐标不变保持纵坐标不变,将横坐标将横坐标x缩为原来的缩为原来的1/2

18、, 就得到正弦曲线就得到正弦曲线y=sin2x. 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点是平面直角坐标系中任意一点, 保持纵坐标保持纵坐标不变不变, 将横坐标将横坐标x缩为原来缩为原来1/2,得到点得到点 坐标对应坐标对应关系为关系为:12xxyy通常把通常把 上式上式 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。也可以称为曲线按伸缩系数为也可以称为曲线按伸缩系数为1/2向着向着y轴的压缩变轴的压缩变换换 （当（当k1时，表示伸长，当时，表示伸长，当k1时，表示伸长，当时，

19、表示伸长，当k0,0 （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。一直角坐标系下进行伸缩变换。( ,)P x y 2211.4(1)2360;(2)16;xkxyxy例 、对下列曲线向着 轴进行伸缩变换，伸缩系数练习：练习：1.在直角坐标系中在直角坐标系中, 求下列方程所对应的图形经过求下列方程所对应的图形经过伸缩变换伸缩变换 后的图形后的图形. （1）2x+3y=0; (2)x2+y2

20、=13xxyy2.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线换：曲线 变为曲线变为曲线221xy224936xy3.在同一直角坐标系下在同一直角坐标系下, 经过伸缩变换经过伸缩变换 后，后，曲线曲线C变为变为x29y2 =1，求曲线，求曲线C的方程并画出图形。的方程并画出图形。x=3xy=y思考思考1：在伸缩：在伸缩 下，椭圆是否下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？(0):(0)xxyy 思考思考2：“圆的一组平行弦的中点的轨迹是圆的一条直圆的一组平行弦的中点的轨迹是圆的一条直径径”，你能依据伸缩变换的性质，猜想椭圆的一组平，你能依据伸缩变换的性质，猜想椭圆的一组平行弦中点的轨迹是什么吗？行弦中点的轨迹是什么吗？课堂小结：课堂小结：1. 体会坐标法的思想体会坐标法的思想, 应用坐标法解决几何问题；应用坐标法解决几何问题；2. 掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。